8自适应控制解析

自适应机制要保证当参数变化时系统稳定且跟踪误差收敛到0。 非线性控制中的许多方法可用来分析，例如Lyapunov理论等
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例：质量未知的模型参考自适应控制
考察用电动机力 u控制一个质量为 m的质点在没有摩擦的表 面上运动， 其性态可以描述为 m x u 假设操纵者给控制系统 发出定位指令r (t )。 受控物体对外部指令 r (t )的理想响应由下面的参 考模型给出
一些被控系统具有参数不确定性，如果没有在线校正或者估计机制
逐渐减小参数不确定性，将可能导致系统的不稳定。 另一些控制问题，如电力系统控制，开始时系统地动力特性是清楚
的，但是在控制过程中，系统的参数将发生无法预测的变化。
如果不连续地进行控制器的“再设计”，原本适合的控制器将不能 有效控制发生变化的对象。
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1 问题描述
n阶SISO非线性系统：
其中，
自适应控制设计目标：使系统的输出渐近地跟踪一个期望的输出 yd (t ) 对非线性系统做简单变换，得
其中，
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2 控制规律的选择
定义组合误差 z e( n1) n2e( n2) 0e
其中，e是跟踪误差
( n1) ( n1) ( n1) z可以改写为 z y ( n1) yr ,其中yr yd n2e( n2) 0e

x m 1 x m 2 x m 2 r (t )

正常数 1和2反映指定的性能。
若质量m精确已知，可以用下面 的控制律实现完全跟踪 u m( x m 2 x x)
2 ~ ~
由这个控制器可以得到按指数收敛的跟踪误差
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现在假设m不是精确已知的。使用控制规律：
自适应控制器会不断改善自身的性能，而鲁棒控制器只是试图保
持性能的一致性 自适应控制器需要很少或不需要未知参数的先验知识，而鲁棒控
制器通常需要预先知道参数的合理估计
鲁棒控制在处理干扰、快变参数、未建模动态等方面具有好的特 性
4
8.1.2 什么是自适应控制？
自适应控制器的参数是变化的，并且有一个根据系统中的信号自
仍然选用极点配置控制规律 但是选用一个估计器来个估计质量参数 最简单的方法: 此方法的缺点：噪声大；加速度有可能为0 较好的方法：最小二乘法，选择估计规律使总的预测误差 最小
其中，e为
从而得到估计值
其中 w x

这样，如果未知参数是慢变的，在每一个新的时刻，上述估计必须重新 计算。
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8.1.2 如何设计自适应控制器
自适应控制的研究始于20世纪50年代，是由于研究高性能飞 行器自动驾驶仪的设计而产生的。现在已广泛应用于机器人 操纵、飞行器和火箭控制、化学过程、电力系统、船舶驾驶 和生物工程等
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8.1 基本概念

为什么需要自适应？ 它的基本结构是什么？ 如何着手设计自适应控制系统？
8.1.1 为什么需要自适应？
~ ~
根据引理，得到自适应规律
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4 跟踪收敛性分析
取候选Lyapunov函数为 沿系统轨线的导数为
根据自适应规律，化简后得 从而自适应系统是全局稳定的。而且Barbalat引理保证了跟踪误差e(t) 的全局渐近收敛
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例：使用自适应控制器控制不稳定的一阶线性系统
y a p y b p u
^
其中m 表示可校正的参数 .代入对象动态中 ,得
定义组合跟踪误差的量度s为 定义信号量v为 得闭环误差方程
校正参数m 的方法之一是下面的 参数更新规律: m vs，其中正常数称为自适应增益
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^ ^
使用Lyapunov理论分析这个自适应系统的稳定性和收敛性。
取Lyapunov函数为 得
自适应控制设计包括以下3个步骤： 选择含有变化参数的控制规律 选择校正这些参数的自适应规律 分析得到的系统地收敛特性 下面的引理常用于校正参数的自适应规律
两个信号e和 , 它们之间存在如下动态 关系 e(t ) H ( s)[k T (t )v(t )] 其中，e(t )是标量输出信号， H ( s )是严正实的传递函数， k是符号 已知的未知常数， (t ), v(t )是向量函数 . 如果 (t )服从如下规律
取候选Lyapunov 函数为 V | h | z [h a i ] 0
2 1 i 1 ~2 n ~2
^
^
计算得， V 2 | k | z 2 0

所以，自适应系统全局跟踪收敛
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例：非线性质量-弹簧-阻尼器系统
第一步， 定义误差
第二步， 选择控制律
导致 或者

选取控制规律 代入非线性对象，
（比较线性系统的情况）
与参考模型
ym am ym bm r (t ) 相比较，同时定义

得到自适应规y 2 3u
仿真参数为

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8.3 非线性系统自适应控制

使用自适应控制的非线性系统，通常要满足： 非线性对象可以参数线性化 全状态可量测 如果参数已知，则可以通过控制输入稳定地抵消非线 性项（不存在隐藏的不稳定动态）
假定对象参数 a p 1, bp 3是未知的。参考模型选 择为am 4, bm 4,即 x m 4 xm 4r


取自适应增益\gamma为2 ，两个控制器参数的初制均为0。系统和参 考模型的初是条件都取为0
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跟踪误差收 敛，参数误 差不收敛
（只有当参考信号r(t)满足一定的条件时，估计参数才会收 敛到理想控制器参数？）
^ ^
u a r (t )r a y (t ) y （为什么? 使系统可能实现精确模型匹配）
其中, a r (t )和 a y (t )是时变反馈增益 . 闭环系统为
(2)
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如果被控对象的参数已知，根据方程(1),(2) 那么，选取控制参数 根据 得到闭环系统 它与参考模型相同，从而有零跟踪误差

t T
t
vvT dr a1 I
意味着：对于不同时间t的v(t)要求线性无关 对于一阶系统，如果r(t)至少包含一个正弦部分，就可保证v(t)是 持续激励
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6 在非线性系统的推广
同样的自适应控制方法 可以用于 y a p y c p f ( y) bpu，其中f为任意的已知非线性函 数
动在线校正这些参数的机制。 自适应控制器有两种：模型参考自适应 和 自校正方法
1 模型参考自适应
由四部分组成： 带有未知参数的被控对象， 参考模型（描述期望输出）， 带有可校正参数的控制规律， 校正参数的自适应机制。
被控对象参数未知，但是我们假设结构是已知的： 对线性系统，这意味着系统的极点数和零点数是已知的，但它们的 位置是未知的； 对非线性系统，意味着动态方程结构已知，但是某些参数未知
• • •
它们对自适应系统有什么影响? 什么时候自适应控制系统对它们很敏感? 如何才能使自适应控制系统对它们不敏感?
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1 参数漂移
如果信号v不是持续激励的，即使很小的非参数不确定性也会导致严重的 后果。
例: 非参数不确定性导致的严重后果
一被控对象的传递函数为 建模后，标称模型为
因此系统有未建模动态

y a p y b p u
在自适应控制中 , 假定系统参数 a p和bp是未知的。 所期望的自适应系统的 性态为一阶参考模型ym am ym bm r (t )

(1)
2 控制规律的选择 选择控制规律
^ ^
bm 参考模型的传递函数形 式为ym Mr, 其中M s am
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参考模型一方面应当能反映控制任务中指定的性能，如上升时间、 调节时间、超调或频域特性等；另一方面理想特性应当是自适应 控制系统可以达到的。
控制器应当具有完全的跟踪能力，即被控对象的参数精确知道时， 相应的控制器应当使系统的输出与参考模型的输出相等。当参数未 知时，自适应机制将校正参数，从而渐进地达到完全跟踪。
它是高频动态，两个极点分别为 -15-j 和 -15+j (非主导极点) 系统参考模型为
除了未建模动态外，假设存在量测误差n(t)=0.5sin(16.1 t) 整个自适应控制系统如图
( n) r
kz a i f i ( x, t )
i 1
~ (n) r
n
^
得到跟踪误差满足 h z kz h y
其中，

a i f i ( x, t )
i 1
n
~
因此，z
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根据引理，选取自适应 规律为 h sgn(h) z yr( n ) a i sgn(h) z f i
控制规律可取为
u hyr( n ) kz ai f i ( x, t )
i 1
n
(k是与h符号相同的常数)
如果参数都已知，这个控制规律导致跟踪误差方程：
h z kz 0

因此给出z的指数收敛性，从而保证了e的收敛性
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3 自适应规律的选择
对于自适应系统，控制规律改为：
^
uhy
因为被控对象的参数未知，控制律改选为
第三步， 跟踪误差分析
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所以，跟踪误差满足
第四步， 求得自适应规律
第五步， 分析系统在自适应控制下的稳定性
取候选Lyapunov函数
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8.4 自适应控制系统的鲁棒性
以上分析假定系统除了参数不确定性外,没有其它不确定 因素. 而除了上述参数不确定性外,许多系统存在非参数不确定 性
(t ) sgn(k ) e v(t ) 其中是正常数。那么 (t )和e(t )全局有界。而且，如果 v(t )有界，那么