20 第二十讲 相位滞后和滞后-超前校正

校正前
时间 (s)
1.2 1.0
(a)
幅值
0.8 0.6
校正后
0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
时间 (s)
(b)
图.20.6 校正前和校正后系统的闭环阶跃响应
相位滞后校正的讨论 (P433)
1. 相位滞后校正提供了一种积分控制形式。 2. 相位滞后校正需提供必要的阻尼比以限 制要求的超调量。 3. 滤波器的设计过程比相位超前校正系统 简单一些，因为零极点转折频率的选择不 是特别严格。
M db
40 20
校正后
B 0
′ ω gc
C D
φ
E F
校正后
G
-180 -270
H
图.SP20.1.2
例6-5
设未校正系统开环传递函数如下，试 设计校正网络使：
1）在最大指令速度为180/s时，位置滞后误 差不超过1o; 2)相角裕度为 45o±3o; 3)幅值裕度不低于10dB; 4)动态过程调节时间t s不超过3秒。
伯德图的特征
1. 滤波器仅产生衰减而增益没有改变 (α< β ) 2. 低频幅值为1，而高频幅值为
β ∆M = −20lg α
3. 相位先滞后，后超前， 但高频 和低频时的相位皆为零。 4. 最大相位滞后和最大相位超前 发生在各自滤波器的转折频率之间。
例题 20.1
问题: 系统具有如下的开环传递函数：
60
1
10
100
M db
40
20 0
40db
0
′ ω gc
φ
-90 -180
PM = 50°
图.20.4 确定新的增益穿越频率
确定τ : 两个转折频率低于频率ωgc’=3。 这由以下两个因素来确定: (1) 较高的转折频率 1/ τ 需要满足校正装置 在该转折频率处引起的相位滞后量不超过 设计过程中相位裕度要求的10%。 通常 1/ τ = ωgc’/10。 (2) 较低的转折频率不能太小， 要保持带宽 不变。 通常1/ τ = ωgc’/10。
线性控制系统工程
第20章
相位滞后和滞后-超前校正
第20章 相位滞后及超前-滞后校正
▽相位滞后环节的传递函数
• 相位滞后网络
R1
vi
vo 1+τs = G (s) = c vi 1+ βτs R + R2 τ = R2C , β = 1 R2
R2
vo
C
-1/τ -1/βτ
M(ω) =
(βτω)
−1
γ ′ =−17.2o
kv = 30, γ ≥ 40 , hdB ≥ 10dB, ω ≥ 2.3
o
设计校正网络使图示系统
ω= 2.7时 时 φo(2.7)= –133o c o
Gc(s) =3.7s+1 41s+1
OK
ωc = 2.39 ′′ γ ′′ = 45.1o
h′′ =14.2dB
超前超前-滞后校正
相位滞后校正过程
例:
K GH(s) = s(1+0.2s)
(1) 单位斜坡输入作用下误差不大于 0.32% → K > = 316 (2) 最大超调量为 20 %. → k <= 6.3 画出对应于 K=316的伯德图
ω (rad / s)
60
1
10
100
M db
40
20 0
0
φ
ω = 5rad / s
K GH(s) = 2 s(1+ s)
设计一个相位滞后校正环节， 使其闭 环系统具有如下性能指标: (1) 阻尼比 ζ = 0.5 (2) 速度误差不超过 10%
解:
对于 (2)
1 1 =10 K = Kv = = ess 0.1
画出 K=10的伯德图: PM=0， 系统是不稳定的。 对于(1) ，PM=50º。PM 要求 o o φ = 50 +10%= 55 以上的 PM 发生在频率ω = 0.27处， 并且该 处幅值为 31dB。
采用超前-滞后复合校正方法比单独使 用超前或滞后校正方法能满足更多的性 能要求。
超前超前-滞后环节的传递函数
超前-滞后环节可 以由相位超前和相 位滞后网络串联来 构成。 其中α，β， τ，T 是独立的。 vi
C1
缓冲放大器
R1
R2
R3
C2
R4
vo
图.20.7 由独立环节组合而成的超前-滞后网络
vo (1+αTs)(1+τs) Gc (s) = = vi (1+Ts)(1+ βτs)
1
τ
= 0.1 ′ = 0.3 rad / s ωgc
τ = 3.34 βτ = 334
校正装置的传递函数
1+3.34s Gc (s) = 1+334s
校正后的开环传递函数
316(1+3.34s) GH(s) = s(1+0.2s)(1+334s)
60
0.01
0.1
1.0
ω (rad / s )
4. 相位滞后校正减小了开- ( 闭-) 环系统 的带宽。 5. 调节时间大大增加。 6. 相位滞后校正可以使相位裕度变化超 过 90º (相位超前 < 90º 图. 19.7)
k v = 30, γ ≥ 40 o , h dB k 10dB, ω c ≥ 2.3 o 例6-4 ≥ ′ ωc = 9.77 s (0.1s + )(0.2 s + 1)
(τω)
1/βτ
1/τ
∆Μ ω
2
+1 +1
90°
−1
2
φ(ω) = tan τω− tan βτω
β >1， 设计相位滞后校正装置包括确定τ 和 β。 1/β 1/τ ∆Μ 最大相位滞后发生在
ωm =
1
τ
τ β
ω 90°
∆M = −20lg β
注:设计中不是使用校正装置的相频特性，而是 利用其高频衰减。
k G( s ) = s(s / 6 + 1)(s / 2 + 1)
80 60 40 20 0dB -20 -40 0.1
采用滞后超前校正
[-20]
′ ωc = 12.6
γ ′ = −55.5o
例6-5图1 图
26.8
1
3.5
ω
10 100 [-60]
γωb =100, a=50(6-8)0.5s+1 =58.25o, ω′′可取 ωa=1 a= 取 ′′ 45o,ts=2.7s, 由 ～(6-10)求得 ∴ = 3.5 求得 0.01s+1
10
M db
40
校正后幅值
40db
20 0
φ
0
ωp
ωm
ωZ
校正后相位
ω gc
PM = 50°
-90 -180 -270
图.20.5 校正后系统的伯德图
2 1.8 1.6 1.4
幅值
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
校正环节可以由下面的电网络来替代：
C1
R2
vi
R1
R3
C2
vo
但α，β，τ，T 的值不独立， 因此并不使用。 假设α< β → 滞后部分的转折频率低于超前 部分的转折频率。
1
1
M db
β −20 log10 α
βτ
τ
1 αT
1 T
0
log10 ω
φ
0
log10 ω
图.20.9 超前-滞后滤波器的伯德图
τ ωp =
1
1+τs 1+37s G (s) = = c 1+ βτs 1+1296s
βτ
= 0.00077 rad / s
校正后的开环传递函数为
10(1+37s) GcGH(s) = 2 s(1+ s) (1+1296s)
ω (rad / s )
0.001 80 60 A 0.01 0.1 1.0 10
-90 -180
PM = 45°
图.20.3 K=316的校正前系统
要求相位裕度 PM = 45º 发生在频率 ω = 5 rad/s处。 1 相位滞后校正: 用相位滞后环节将在ω = 5 rad/s频率处校正前系统的增益减小为 0db 。 2 在相位滞后校正过程中， 假设不会改变复 合后的相位。
∆ = 20l β = 31 dB M g → β = 35.5
ω (rad / s )
80 60 0.001 0.01 0.1 1.0 10
M db
40 M=31db 20 0
K = 10
φ
ω = 0.27
-90 -180 -270
ωgc
PM = 55°
图.SP20.1.1
零点转折频率设置在新增益穿越频率的 1/10处，即 1 ωz = = 0.027 rad / s ω = 0.27.
但是将10%的安全裕度加到要求的 相位裕度上。 45º + 10% = 50º → ω = 3 rad / s 3 新的增益穿越频率ωgc’=3 rad / s 4 在ωgc’= 3 rad/s处， 校正前幅值需 由 40dB 降为0dB
20lg β = 40 → β =100
ω (rad / s)
-60 -80 ϕ