利用修正单纯形法解线性规划问题(精)#优选、
python修正的单纯形法
单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于求解线性规划问题的算法。
它适用于具有较多约束条件和变量的问题。
单纯形法通过迭代的方法逐步找到最优解。
在Python中实现修正的单纯形法需要遵循以下步骤：1. 导入所需的库2. 定义线性规划问题的参数（目标函数、约束条件、变量范围等）3. 初始化单纯形表4. 进行迭代计算，直到找到最优解或满足停止条件以下是一个简单的Python示例，实现了修正的单纯形法：```pythonimport numpy as npdef simplex(c, A, b, x0):num_vars = len(c)num_constraints = len(b)slack_vars = np.eye(num_constraints)tableau = np.hstack((A, slack_vars, b.reshape(-1,1)))c_with_slacks = np.hstack((c, np.zeros(num_constraints)))while True:pivot_col = np.argmax(np.abs(tableau[-1,:-1]))pivot_row = np.argmax(np.abs(tableau[:-1,pivot_col]))if np.abs(tableau[pivot_row, pivot_col]) < 1e-6:print("No solution or unbounded solution.")breakpivot_element = tableau[pivot_row, pivot_col]for i in range(num_constraints):if i == pivot_row:tableau[i,:] = tableau[i,:] / pivot_elementelse:tableau[i, :] = tableau[i, :] - (tableau[i, pivot_col] * tableau[pivot_row, :]) / pivot_elementfor i in range(num_vars + 1):if i == pivot_col:c_with_slacks[i] = c_with_slacks[i] / pivot_elementelse:c_with_slacks[i] = c_with_slacks[i] - (c_with_slacks[pivot_col] * tableau[i, :]) / pivot_elementx = np.hstack((x0, tableau[:-1,-1]))print("Iteration:", np.linalg.norm(c_with_slacks[:-1]) / np.linalg.norm(c))if np.linalg.norm(c_with_slacks[:-1]) < 1e-6:print("Optimal solution found.")breakreturn xc = np.array([5, 4, 3])A = np.array([[6, 4, 2], [1, 2, 1]])b = np.array([24, 6])x0 = np.zeros(len(c))x = simplex(c, A, b, x0)print("Optimal solution:", x)```注意：这个示例是一个简化版本，没有考虑所有可能的特殊情况。
使用单纯形法解线性规划问题(参考模板)
1 / 2使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
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单纯形法解线性规划问题
一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题s.t.解：1)、将该线性问题转为标准线性问题一、第一阶段求解初始可行点2)、引入人工变量修改约束集合取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。
2 -2 -1 1 21 1 -1 -1 12 -1 -2 1 25 -2 -4 1 -1 1 50 0 0 0 03)、对上述单纯形表进行计算，是目标函数进一步减小，选为要改变的决策变量，计算改变的限值。
2 -2 -1 1 2 11 1 -1 -1 1 02 -1 -2 1 2 05 -2 -4 1 -1 1 5 10 0 0 0 00 1 0 0 04)、由于，为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。
同时将以改变的决策变量转换为状态变量。
增加的值使目标函数值更小。
1 -3 1 1 1 01 1 -1 11 -3 1 1 1 00 0 0 00 0 05）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为，二、第二阶段用单纯形法求解最优解-2 2 1 01 1 -1 0-2 1 2 15 1 3要使目标函数继续减小，需要减小或的值，由以上计算，已经有两个松弛变量为零，因此或不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。
2、求解问题s.t.如果目标函数变成，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。
解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。
1）将问题华为标准线性问题s.t.2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值为零值，求解初始解和最优解10 -1 -1 -1 10-20 1 5 1 -20-2 -1 -1 00 0 0要使目标函数继续减小，可以增大，增大的限值是10。
10 -1 -1 -1 10 0-20 1 5 1 -20 -10-2 -1 -1 0 -200 0 010 0 03）转轴。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
用单纯形法求解目标规划
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
改进的单纯形法迭代计算方法
改进的单纯形法迭代计算方法吴庆丰【摘要】对传统大M法进行改进，若计算检验数的表达式中含有M则只计算含有M的部分，从而简化计算，迭代过程中当人工变量由基变量变为非基变量时，直接去掉人工变量部分的表格然后继续计算，从而再一次降低计算量。
借鉴两阶段法的优点进一步给出了无需给出大M的迭代算法，此法不会破坏目标函数的一致性，而且可以避免传统大M法在利用计算机求解时由于M值的选取不当所导致的计算错误。
%Improved big-M method is presented. If expressions of the calculated test number contain M, the only portion containing M is calculated, and thereby the calculation is simplified. And when artificial variables become nonbasic variables by basic variables in the iterative calculation process, the artificial variables parts of the table can be directly removed and then the calculation is continued. Thus, the amount of computation is again reduced. Taking advantages of two-phase method, an iteration algorithm without giving the big M is further given. This method does not undermine the consistency of the objective function, and the calculation error can be avoided when using traditional big-M method combined with computer to solve, due to the improper selection of the value of M.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P59-62,69)【关键词】线性规划;单纯形法;大M法;两阶段法【作者】吴庆丰【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O22单纯形法是求解线性规划的基本方法，许多文献对其不断改进。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
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利用修正单纯形法解线性规划问题一软件示意：二代码说明：Dim A(1 To 3, 1 To 6) As Double '矩阵ADim a1(1 To 3) As Double '矩阵A的第一列向量Dim a2(1 To 3) As Double '矩阵A的第二列向量Dim a3(1 To 3) As Double '矩阵A的第三列向量Dim a4(1 To 3) As Double '矩阵A的第四列向量Dim a5(1 To 3) As Double '矩阵A的第五列向量Dim a6(1 To 3) As Double '矩阵A的第六列向量Dim B_(1 To 3, 1 To 3) As Double '基矩阵B的逆矩阵Dim XB(1 To 3) As Double '基本可行解Dim b(1 To 3) As Double '右端向量bDim C(1 To 6) As Double '检验数Dim CB(1 To 3) As Double '基本可行解对应的检验数Dim π(1 To 3) As Double '单纯形乘子矢量Dim r(1 To 6) As Double '检验矢量rDim r_min As Double '检验矢量最小值Dim k_sign As Integer '检验矢量最小值对应的位置Dim Y(1 To 3, 0 To 6) As Double '矩阵yDim just_vector(1 To 3) As DoubleDim liji_min As Double '用于判断离基变量所用值Dim r_sign As Integer '用于记录离基变量对应的位置Dim main_yuan As Double '用于存放主元Dim Erk(1 To 3, 1 To 3) As DoubleDim Exchange_B(1 To 3, 1 To 3) '在矩阵Erk与矩阵B_进行乘法运算时，作为矩阵B_的替换矩阵Dim Exchange_XB(1 To 3) '在矩阵Erk与XB_进行乘法运算时，作为XB_的替换矩阵Dim iterative_time As Integer '定义迭代的次数Dim XB_optimization(1 To 6) As Double '最优解Private Sub Command1_Click()'窗口1For iterative_time = 1 To 1000 '开始了迭代循环Select Case k_signCase 1If (r_sign - 3) = 3 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(3)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = XB(2)XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = 0XB_optimization(6) = XB(3)End IfCase 2If (r_sign - 3) = 1 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(5)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = 0XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = XB(2)XB_optimization(6) = XB(3)End IfCase 3If (r_sign - 3) = 2 ThenCB(1) = C(2) '付值给基本可行解对应的检验数CB(2) = C(3)CB(3) = C(6)XB_optimization(1) = 0XB_optimization(2) = XB(1)XB_optimization(3) = XB(2)XB_optimization(4) = 0XB_optimization(5) = 0XB_optimization(6) = XB(3)End IfEnd SelectFor i = 1 To 3 '计算单纯形乘子矢量π(i) = CB(1) * B_(1, i) + CB(2) * B_(2, i) + CB(3) * B_(3, i) Next iFor j = 1 To 6 '计算检验矢量rr(j) = C(j) - (π(1) * A(1, j) + π(2) * A(2, j) + π(3) * A(3, j))Next jr_min = r(1) '预先给定一个值k_sign = 1For i = 1 To 6 '找出最小检验值If (r(i) < r_min) Thenr_min = r(i) '最小检验值k_sign = i '最小检验值所在位置,对应进基矢量位置End IfNext iIf r_min < 0 ThenFor i = 1 To 3 '对应进基矢量所得的y值Y(i, k_sign) = B_(i, 1) * A(1, k_sign) + B_(i, 2) * A(2, k_sign) + B_(i, 3) * A(3, k_sign)Next iFor i = 1 To 3 '确定离基变量If Y(i, k_sign) <> 0 Thenjust_vector(i) = Y(i, 0) / Y(i, k_sign)End IfNext iFor i = 1 To 3If (just_vector(i)) > 0 Thenliji_min = just_vector(i) '预先给定一个值Exit ForEnd IfNext ir_sign = 4For i = 1 To 3 '找出最小检验值If ((just_vector(i) <= liji_min) And (just_vector(i) > 0)) Thenliji_min = just_vector(i) '最小检验值r_sign = i + 3 '最小检验值所在位置,对应进基矢量位置 End IfNext imain_yuan = Y(r_sign - 3, k_sign)If main_yuan <> 0 ThenSelect Case (r_sign - 3) '计算矩阵ErkCase 1Erk(1, 1) = 1 / main_yuanErk(2, 1) = -Y(2, k_sign) / main_yuanErk(3, 1) = -Y(3, k_sign) / main_yuanFor i = 2 To 3For j = 1 To 3Erk(j, i) = A(j, i + 3)Next jNext iCase 2Erk(1, 2) = -Y(1, k_sign) / main_yuanErk(2, 2) = 1 / main_yuanErk(3, 2) = -Y(3, k_sign) / main_yuanFor j = 1 To 3Erk(j, 1) = A(j, 4)Next jFor j = 1 To 3Erk(j, 3) = A(j, 6)Next jCase 3Erk(1, 3) = -Y(1, k_sign) / main_yuanErk(2, 3) = -Y(2, k_sign) / main_yuanErk(3, 3) = 1 / main_yuanFor i = 1 To 2For j = 1 To 3Erk(j, i) = A(j, i + 4)Next jNext iEnd SelectEnd IfFor i = 1 To 3 '给矩阵Exchange_B(i, j)付值For j = 1 To 3Exchange_B(i, j) = B_(i, j)Next jNext iFor i = 1 To 3 '计算B的新可逆矩阵B_For j = 1 To 3B_(i, j) = Erk(i, 1) * Exchange_B(1, j) + Erk(i, 2) * Exchange_B(2, j) + Erk(i, 3) * Exchange_B(3, j)Next jNext iFor i = 1 To 3 '给Exchange_XB(i)付值Exchange_XB(i) = XB(i)Next iFor i = 1 To 3 '计算基本可行解XB(i) = Erk(i, 1) * Exchange_XB(1) + Erk(i, 2) * Exchange_XB(2) + Erk(i, 3) * Exchange_XB(3)Y(i, 0) = XB(i)Next iElseMsgBox ("优化完毕!")Exit ForEnd IfNext iterative_timeCommand2.Enabled = True '使能按钮Command3.Enabled = True '使能按钮Form1.Text1(1).Text = XB_optimization(1) '显示最优解x1Form1.Text1(2).Text = XB_optimization(2) '显示最优解x2Form1.Text1(3).Text = XB_optimization(3) '显示最优解x3Form1.Text1(4).Text = XB_optimization(4) '显示最优解x4Form1.Text1(5).Text = XB_optimization(5) '显示最优解x5Form1.Text1(6).Text = XB_optimization(6) '显示最优解x6Form1.Text1(0).Text = C(1) * XB_optimization(1) + C(2) * XB_optimization(2) + C(3) * XB_optimization(3) + C(4) * XB_optimization(4) + C(5) * XB_optimization(5) + C(6) * XB_optimization(6) '显示最优值ZForm1.Text1(7) = iterative_time - 1 '显示迭代次数End SubPrivate Sub Command2_Click()End '结束程序End SubPrivate Sub Command3_Click()Form1.Show '调用优化结果显示窗口End SubPrivate Sub Form_Load()Dim i, j As IntegerFor i = 1 To 3 '付值给系数矩阵AFor j = 1 To 6A(i, j) = Quotiety_A(j + 6 * (i - 1)).Text '付值给系数矩阵A Next jNext iFor i = 1 To 6 '将矩阵A列分块（a1,a2,a3,a4,a5,a6）For j = 1 To 3Select Case iCase 1a1(j) = A(j, i)Case 2a2(j) = A(j, i)Case 3a3(j) = A(j, i)Case 4a4(j) = A(j, i)Case 5a5(j) = A(j, i)Case 6a6(j) = A(j, i)End SelectNext jNext iFor i = 1 To 3 '付值给基矩阵B的逆矩阵B_For j = 1 To 3Select Case iCase 1B_(j, i) = a4(j)Case 2B_(j, i) = a5(j)Case 3B_(j, i) = a6(j)End SelectNext jNext iFor i = 1 To 6 '付值给检验数Select Case iCase 1C(1) = C_quotiety(0).TextCase 2C(2) = C_quotiety(1).TextCase 3C(3) = C_quotiety(2).TextCase 4C(4) = C_quotiety(3).TextCase 5C(5) = C_quotiety(4).TextCase 6C(6) = C_quotiety(5).TextEnd SelectNext ib(1) = b_quotiety(0).Text '付值给右端向量bb(2) = b_quotiety(1).Textb(3) = b_quotiety(2).TextFor i = 1 To 3 '计算初始基本可行解XB(i) = B_(i, 1) * b(1) + B_(i, 2) * b(2) + B_(i, 3) * b(3) Y(i, 0) = XB(i)Next iCB(1) = C(4) '付值给初始基本可行解对应的检验数CB(2) = C(5)CB(3) = C(6)End SubPrivate Sub Command1_Click()'窗口2Unload Form1 '关闭优化结果显示窗口End Sub最新文件仅供参考已改成word文本。