十字相乘法精华版
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
目录
01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
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02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
(完整版)十字相乘法
十字相乘法分解因式因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1、 因式分解。
分析：因为7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2、 因式分解。
分析：因为-2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8）(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。
十字相乘法
十字相乘法口诀：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式=的逆运算来进行因式分解。
2。
十字相乘法公式:可以分成两种情况：型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解十字相乘法公式十字相乘法：十字分解法能把二次三项式分解因式。
要务必注意各项系数的符号，以及写在十字交叉线四个部分的项。
方法是：交叉相乘，水平书写.公式：X²+（a+b)x+ab=（x+a)（x+b）十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b）x+ab的逆运算来进行因式分解.因式分解:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。
在数学求根作图方面有很广泛的应用。
原则：1、分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小括号3、结果的多项式首项为正. 在一个公式内把其公因子抽出，其中，是公因子。
因此,因式分解后得到的答案是：公式重组，透过公式重组，然后再抽出公因子十字相乘法口诀十字相乘法--借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，它是先将二次三项式的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积（一般会有几种不同的分法)然后按斜线交叉相乘、再相加,若有 ,则有，否则,需交换的位置再试，若仍不行,再换另一组，用同样的方法试验，直到找到合适的为止.口诀：分解二次三项式，尝试十字相乘法。
分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项,十字相乘分解它。
十字相乘法练习题1.例析“十字相乘法分解因式”同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察=，可知=。
十字相乘法完整版
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
= (a + d) (b – c)
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
分组分解法
十字相乘法
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多 项式再因式分解。 问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作 一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 = 2 ( x - y ) ²- 3 ( x - y ) - 2 1 -2 ╳ 21
十字相乘法
因式分解方法
01 原理
03 运算举例
目录
02 判定 04 分解因式
05 例题解析
07 注意事项
பைடு நூலகம்目录
06 重难点
基本信息
十字相乘法是因式分解中十四种方法之一。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘的积为二次项，右边相乘的积为常数项，交叉相乘再相加等 于一次项。原理就是运用二项式乘法的逆运算来进行因式分解。
例题解析
例3 例1
例2
例4
例1
把 2 x ²- 7 x + 3 分 解 因 式 . 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同。）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 13 ╳ 21
十字相乘法顺口溜
十字相乘法顺口溜
1. 十字相乘法呀，真神奇，算起来那叫一个快！就像孙悟空的七十二变，看我给你变一变，比如分解x²+5x+6，一下子就能变成(x+2)(x+3)啦！
2. 嘿，十字相乘法顺口溜，那可是解题的好帮手！好比一把钥匙开一把锁，遇到x²+3x-4，咱就能轻松搞定，变成(x-1)(x+4)呀！
3. 哇塞，十字相乘法顺口溜太好用啦！就像有了魔法棒一样，看分解x²-2x-3，轻松变成(x-3)(x+1)，厉害吧！
4. 十字相乘法顺口溜，这可不得了！如同给你装上了翅膀，比如算x²+6x+8，马上得出(x+2)(x+4)，是不是很牛！
5. 哎呀呀，十字相乘法顺口溜，简直妙不可言！就像找到了宝藏的地图，碰到x²-5x+6，一下子就知道是(x-2)(x-3)啦！
6. 嘿嘿，十字相乘法顺口溜，可太有意思啦！好像给你指引方向的明灯，算x²-3x+2，马上变成(x-1)(x-2)咯！
7. 哇哦，十字相乘法顺口溜，这也太好用了吧！就像拥有了超能力，看分解x²+4x-5，轻松变成(x-1)(x+5)，牛不牛！
8. 十字相乘法顺口溜，那真是绝了！如同给你开了外挂，比如算x²-4x-12，迅速得出(x-6)(x+2)，厉害吧！
9. 哟呵，十字相乘法顺口溜，真的超厉害！就像有了秘密武器，分解
x²+7x+10，一下子就是(x+2)(x+5)啦！
10. 哈哈，十字相乘法顺口溜，简直太棒啦！好像是解题的神器，算x²-7x+12，轻松得出(x-3)(x-4)呀！
我的观点结论：十字相乘法顺口溜真的是非常实用的工具，能让我们在数学计算中事半功倍，大家一定要好好掌握呀！。
十字相乘法完整版
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
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10
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
完全平方公式
平方差公式
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4
2）(m2–1)(n2–1)+4mn
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15
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式 分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2
( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
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8
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
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9
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
十字相乘法知识点总结
十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。
比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。
比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。
”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。
”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。
比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。
”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。
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小结
十字相乘法公式：
x2 ? (a ? b)x? ab ? (x? a)(x? b)
1.如果二次三项式x2+px+q 中的常数项q=ab ，一次项系数p=a+b ，那么
x2+px+q 就可以进行如上的因式分解。 对于x2+px+q
（1）当q＞0时，a、b ﹍﹍ ，且a、b的符号与p的符号﹍﹍。 （2）当q ＜0时，a 、b ﹍﹍，且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍与 p 的符号相同。
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
我们可以用它进行因式分解 （适用于二次三项式）
像这样，我们借助一个十字交叉相乘帮助我们分解因式的方法叫十字相乘法。
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6) （2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2) （3）12= 1× 12 或(-1)×(-12) 或2× 6 或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
结尾
拓展 (x－y)2 ＋(x－y) －6
x2–(2m+1)x+m 2+m–2
对于x2+px+q （1）当q＞0时，a、b ﹍同号﹍ ，且a、b的符号与p的符号﹍相同﹍。 （2）当q＜0时，a、b﹍异﹍号 ，且﹍a、﹍b中﹍绝对﹍值﹍较大﹍的﹍因数﹍﹍与p的符号相同。
(x2+8x)2+22(x2+8x)+ 120
思考：将下列多项式进行因式分解 a2+3ab+2b 2
十字相乘法
?什么是十字相乘？ ?是不是所有的二次三项式都能用十字相乘分解因式？ ?十字相乘有什么用处？
导入
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) = x2+7x+12 (2) (x(x+4 ) = x2+x-12
练一练
一、 若x2+mx-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符 合条件的整数 m个数是多少？
-12=1× (-12) 或(-1)×12 或2×(- 6) 或(-2)× 6 或3×(-4) 或(-3)× 4
二、⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6； (3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab
(4) (x-3)(x-4 ) = x2-7x-12
思考：你有什么快速计算类似以上多项 式的方法吗？
类比学习
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
整式乘法
一个二次三项式
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
（4）-12= 1× (-12) 或(-1)×12 或2×(- 6) 或(-2)× 6 或3×(-4) 或(-3)× 4
（5）24= 1× 24 或(-1)×(-24) 或2× 12 或(-2)× (-12) 或3×8 或(-3)× (-8) 或4× 6 或(-4)× (-6)
（6）-24=
1×(- 24) 或(-1)×24 或2× (-12) 或(-2)× 12 或3×(-8) 或(-3)× 8 或4×(-6) 或(-4)× 6
因式分解提高篇
复习 1.什么是因式分解？ 2.因式分解与整式乘法有哪些区别与联系？ 3.我们学过哪些因式分解的方法？
因式分解一般按下列步骤进行
（1）一提：提公因式法 （2）二套：公式法
若为二项式，考虑用平方差公式 a2-b2 若为三项式，考虑用完全平方公式 a2±2ab+b 2 （3）三检查：括号里面分到底
一个二次三项式
因式分解
两个一次二项式相乘的积
分解因式的二次三项式的系数的特点： 常数项能分解成两个数的积， 且这两个数的和恰好等于一次项的系数。
试因式分解 x2+4x+3
x2 + 4x + 3
可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3
x
1
∴原式=(x+1)(x+3)
x
3
3x + x = 4x
2. 在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的分解因数有多种情况，所 以通常要经过多次的尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
思考：将下列多项式进行因式分解 a2+3ab+2b 2
课后提升练习
（a+b ）2-4(a+b)+3 x4-3x3 -28x2 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y 2
Thanks!!