运筹学资料5非线性规划
精心整理的运筹学重点6.非线性规划N L P
∂f 2 ( x) ∂f ( x ) ∂x 2 ∂x x 2,0 1 / 2 , 0 0 1 1 2 0 −1 H (X ) = = ,[ H ( X )] = 0,1/50 ∂f ( x) ∂f 2 (x ) 0,50 2 ∂ x x ∂ x 2 1 2
2 r1* (5 − x12 − x2 )=0
r2* (6 − 3 x1 − x2 ) = 0 r1* ≥ 0 r2* ≥ 0
情况 １：假设两约束完全不起作用，此时 r1* = r2* = 0 情况 ２：第一个约束起作用，第二个不起作用， r2* = 0 ，检验知是一个 Ｋ－Ｔ 点。 情况 ３：第二个约束起作用，第一个不起作用， r1* = 0 情况 ４：两个约束完全起作用， r1* > 0, r2* > 0 ２）带约束问题最优化方法－－－－－制约函数法（外点法、内点法） 外点法：将有约束问题转成无约束极值问题，分两种情况 １． 等式约束
∂f ( x) ∂x 2 x 4 ∇f ( x ) = 1 = 1 , ∇ f ( x0 ) = ∂f ( x) 50 x2 100 ∂x 2
0 0 0 0
则 X + λ d = X − λ∇f ( X ) = [ 2 − 4 λ , 2 − 100λ ]
４．带约束问题的最优化方法
min f ( x) s.t g i ( x) ≥ 0
１）最优性条件 Ｋ－Ｔ 条件（判断最优的条件）
∇f ( x* ) − ∑ rj*∇g j ( x * ) = 0
* r* j g j(x ) = 0
r* j ≥0
2 2 min f ( x) = 2 x1 + 2 x1x2 + x2 −10x1 − 10x 2 2 例求 5 − x12 − x2 ≥0
运筹学
1（单纯形法）例：Min Z=-2x1-x2+x3 , s.t. 3x1+x2+x360≤x1-x2+2x310≤,x1+x2-x320≤,xj 0≥,解析：对第一、二、三个不等式添加松弛变量x4 x5 x6,则原线性问题化成标准形形式为：（略）因为B=（A4 A5 A6）是一单位矩阵，且b=(60 10 20)T>0 所以基B 是可行基，x4 x5 x6为基变量，x1 x2 x3为非基变量，基B 对应的基本可行解为检验数02>=ξ，故当前解不是最优解，A1列中有三个元素a11 a21 a31 均为正数，取min ()313212111,,a b a b a b =min ()120110360,,=10故转轴元为a21,x1为进基变量，x5为出基变量，进行旋转后得下表（略）它对应的基本可行解为x=(10 0 0 30 0 10)T,其目标函数值为Z0=-20，但,032>=ξ仍不是最优解，（以下的过程跟前面一样）最后得Z0=-35，检验向量0<ξ故为最优解。
故基本可行解x*=(15 ,5 ,0 )Tm 目标函数值为Z0=-35。
2（两阶段法）例 max z=3x1+4x2+2x3 s.t. x1+x2+x3+x430≤, 3x1+6x2+x3-2x40≤, x24≥解：化为标准形形式为min z=-3x1-4x2-2x3 s .t.分别加x5 x6 x7松弛变量，因为该线性规划的系数矩阵的系数矩阵已包含两个单位向量，就是A5=（100）T ，A6=（010）T ，第一阶段只要增加一个人工变量x8得到辅助LP 问题为min g=x8 s.t .以下略，作如下表（略），将表中第三行加到关于g 的第0行中，得到第一张单纯形表（略）按单纯形迭代，表略，第一阶段结束，得到辅助问题的一个最优解，3（对偶单纯形法）例 min 2x1+3x2+4x3, s.t. x1+2x2+x33≥ 2x1-x2+3x34≥ x1 x2 x3 0≥,解：引进非负的剩余变量x40≥,x50≥,将不等式约束化为等式约束直接利用对偶单纯形法求解，b2=- 4<b1=-3,所以x5为出基变量，由以下比值决定进基变量min(3422,----)=21a ξ=1,所以x1为进基变量，以a21为转轴元进行旋转变换得下表（略）因为b1=-1<0,所以x4为出基变量，因为min( )所以x2为进基变量，以a12为转轴得表（略）此时b>0,故原问题最优解为x*=( )T,其最优值Z0=（） 4写出下面线性规划的对偶规划。
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
运筹学——非线性规划
非线性规划
0.618法（近似黄金分割法）
函数 (t ) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个t * [a, b] ，使得 (t ) 在[a, t * ] 上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为 (t ) 的单 谷区间。
非线性规划
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点
第3步
计算 t k1
tk
(tk (tk
) )
，如果
t k 1
tk
，停止迭代，输出 t k1 。否则
k : k 1，转第 2 步。
非线性规划
基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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关于凸函数的一些结论
定理: 设S Rn是非空凸集
(1)若f是S上的凸函数， 0，则f是S上的凸函数；
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 定理: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
f ( x1 )（f ( x1 ),f ( x1 )）T是函数在点x1处的梯度。
x1
xn
（2）f是S上的严格凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ), x1, x2S, x1 x2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
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运筹学非线性规划
二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻 域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
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解无约束问题的算法: 解无约束问题的算法: 求f(X)的驻点X*,若是凸函数, f(X)的驻点 ,若是凸函数, 的驻点X* 得到最优解.否则,转下一步. 得到最优解.否则,转下一步. 在驻点X*处 计算H(x). 在驻点X*处,计算H(x). 根据H(x)来判断该驻点 是否是 根据H(x)来判断该驻点X*是否是 来判断该驻点X* 极值点. 极值点.
X ∈ E1
解:利用一阶必要条 件求出有可能成为最 优解的那些点: 优解的那些点: f(X) = 6x(x2-1)2 =0 得到: f(X 得到: x1=0,x2=1,x3= -1 进一步考虑二阶必要条件,缩小范围: 进一步考虑二阶必要条件,缩小范围: 二阶必要条件
H(X) =xxf(X) = 6(x2-1)2+24 x2(x2-1) = H(x1) =xxf(x1) = xxf(0) =6>0 = H(x2) =xxf(x2) = xxf(1) = 0 = H(x3) =xxf(x3) = xxf(-1) =0 = f(f(X)在 =0点正定 依二阶必要条件, f(X)在x1=0点正定,依二阶必要条件, 点正定, x1=0为(P1)的局部最优解.而x2=1, =0为 的局部最优解. =1, x3= -1满足二阶必要条件和一阶必要条 但它们显然都不是最优解. 件,但它们显然都不是最优解.
例6-3 Min f(X)= 2x12+5x22+x32+ 2x2x3 2x + 2x1x3 - 6x2+3 X ∈ E3 f(X 解:f(X) = (4x1+ 2x3, 10x2+ 2x3 – 6, 2x1+ 2x2 + 2x3 )=0 驻点x*=(1,1,驻点x*=(1,1,-2)
H(X) =xxf(X)= =
都是k 的非线性函数, 都是ki的非线性函数,构造非线性规划 模型如下: 模型如下: Max ∑ ∫Ei(ki,Q) dFi(Q) s.t.V1(k1)+ V2(k2)+…… + Vn(kn)=V V1(k1), V2(k2),……,Vn(kn) ≥ 0 利用一定的算法,可求出最优分配ki* 利用一定的算法,可求出最优分配k 和Vi *(i=1,2,….n).
电厂水库径流输入量分布为F (Q), 电厂水库径流输入量分布为Fi(Q),发 电量随库容与径流量而变化, 电量随库容与径流量而变化,以Ei(ki,Q) 表示.计划部门构造一个模型, 表示.计划部门构造一个模型,即在一 定条件下,使总发电量年平均值最大, 定条件下,使总发电量年平均值最大, 用数学语言来说,使其期望值最大. 用数学语言来说,使其期望值最大.对 每个电厂i 每个电厂i ,其年发电量的期望值为 ∫Ei(ki,Q) dFi(Q) 设V为总投资额,Vi为各水电厂的投资, 为总投资额, 为各水电厂的投资,
f(λx1+(1- λ)x2 ) f(λ +(1-
f(X1)
X1
+(1λx1+(1-
λ)x2
X2
X
f(X)
λf( x1 ) +(1- λ) f( x2) +(1-
f(X2)
f(λx1+(1- λ)x2 ) f(λ +(1-
f(X1)
X1
+(1λx1+(1-
λ)x2
X2
X
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
λf( x1 ) +(1- λ) f( x2) +(1-
f(X2)
f(λx1+(1- λ)x2 ) f(λ +(1-
f(X1)
X1
+(1λx1+(1-
λ)x2
X2
X
线性函数既是凸函数,又是凹函数, 线性函数既是凸函数,又是凹函数, 反之也然. 反之也然. 梯度向量 f(X)=grad f(X) =(f/x1 ,f/x2 ,…..,f/xn) =(f/ f/ ,…..,f/ 正定矩阵 如果对矩阵H(X),对任意 对任意X 如果对矩阵H(X),对任意X ∈ N(X* ,δ) Z∈ En 均有 ZT H(X)Z > 0( ≥ 0 ) 则称H(X)在 点正定(半正定). 则称H(X)在X* 点正定(半正定).
(P1) Min f(X)
X ∈ En
定理4 一阶充分条件) 定理4(一阶充分条件) 设f(X)为En上的凸函数,又设f(X) f(X)为 上的凸函数,又设f(X) 点可微,如果f(X 在X*点可微,如果f(X*) =0 ,则X*为 (P1) 的一个整体最优解. 的一个整体最优解.
例6-2 Min f(X)=(x2-1)3 f(X)=(
最优性条件的研究是非线性规划理论 研究的一个中心问题. 研究的一个中心问题. 为什么要研究最优性条件? 为什么要研究最优性条件? o本质上把可行解集合的范围缩小. 本质上把可行解集合的范围缩小. o它是许多算法设计的基础. 它是许多算法设计的基础.
无约束问题的最优性条件
(P1)
Min f(X)
X ∈ En
模型分类2 模型分类2 o若m=l=0 ,则称(P)为无约束问题. 则称( 为无约束问题. Min f(X) (P1)
X ∈ En
模型分类2 模型分类2 o若m≠0,l=0 ,则称(P)为带等式 则称( 约束问题. 约束问题. (P2) Min
f(X)
s.t. hi(X)=0 (i=1,2,….m)
凸函数的概念 定义:定义在凸集D 定义:定义在凸集DEn上的函数f(X) 如果对任意两点x 如果对任意两点x(1),x(2) ∈D,均有0<λ<1 均有0<λ 使得 f(λ x(1)+(1- λ)x(2)) ≤ λ f( x(1) ) +(1- λ) f( x(2)) f(λ +(1+(1则称函数f(X)为D上的凸函数. 上的凸函数.
Min f(X)
s.t. hi(X)=0 (i=1,2,….m) gj(X) ≥ 0 (j=1,2….l)
X ∈ En
凸函数的概念 凸集概念: 凸集概念: 设D是n维线性空间En的一个点集, 维线性空间E 的一个点集, 中的任意两点x 的连线上的 若D中的任意两点x(1),x(2)的连线上的 一切点x仍在D 则称D为凸集. 一切点x仍在D中,则称D为凸集. 中的任意两点x 即:若D中的任意两点x(1),x(2) ∈D, 存在0<α 存在0<α<1 使得 x= α x(1)+(1- α)x(2) ∈ D,则称D为凸集 +(1D,则称 则称D
凸函数的概念 若严格不等式成立, 若严格不等式成立,则称函数f(X)为D上 的严格凸函数. 的严格凸函数. 如果 - g(X)为D上的(严格)凸函数,则g(X) 上的(严格)凸函数, 上的(严格) 凹函数. 为D上的(严格) 凹函数.
f(X) f(X2)
f(X1)
X1
X2
X
f(X) f(X2)
定理3 二阶充分条件) 定理3(二阶充分条件) 设f(X)在X*点二阶可微,如果f(X*) f(X)在 点二阶可微,如果f(X =0 和 H(X*)为正定,则X*为(P1) 的一个 H(X 为正定, 局部最优解.( H(X 的邻域内为 局部最优解.( H(X)在X*的邻域内为 半正定. 半正定.
无约束问题的最优性条件
定理2 二阶必要条件) 定理2(二阶必要条件) 设f(X)在X*点二阶可微,如果X*为 f(X)在 点二阶可微,如果X (P1) 的一个局部最优解,则有 的一个局部最优解, f(X*) =0 和 H( X* )为半正定. f(X 为半正定.
无约束问题的最优性条件
(P1) Min f(X)
X ∈ En
第六章 非线性规划
1 引
言
非线性规划是运筹学中包含内容最多, 非线性规划是运筹学中包含内容最多, 应用最广泛的一个分支, 应用最广泛的一个分支,计算远比线性 规划复杂,由于时间的限制, 规划复杂,由于时间的限制,只能作简 单的介绍. 单的介绍. 例6-1 电厂投资分配问题 水电部门打算将一笔资金分配去建设n 水电部门打算将一笔资金分配去建设n 个水电厂,其库容量为k ,i=1,2….n,各 个水电厂,其库容量为ki,i=1,2….n,各
几个概念 定义2 定义2 X*称为(P)的一个(整体) 称为( 的一个(整体) 最优解,如果X 最优解,如果X* ∈D,满足 f(X) ≥ f(X*), X ∈D.
几个概念 定义3 定义3 X*称为(P)的一个(局部) 称为( 的一个(局部) 最优解,如果X 且存在一个X 最优解,如果X* ∈D,且存在一个X* 的邻域 N(X* ,δ)= X ∈ En X- X* < δ 满足 f(X) ≥ f(X*), X ∈D∩ N(X* ,δ) δ>0
几个概念 定义1 如果X满足( 定义1 如果X满足(P)的约束条件 hi(X)=0 (i=1,2,….m) gj(X) ≥ 0 (j=1,2….l) 则称X 则称X ∈ En 为(P)的一个可行解. 的一个可行解. 记(P)的所有可行解的集合为D, 的所有可行解的集合为D D称为(P)可行域. 称为( 可行域.
局部最优n f(X) s.t. hi(X)=0 (i=1,2,….m) gj(X) ≥ 0 (j=1,2….l) X ∈ En f(X) hi(X) gj(X) 为En上 的实函数. 的实函数. (P)
模型分类1 模型分类1 如果 f(X) hi(X) gj(X) 中至少有 一个函数不是线性(仿射)函数, 一个函数不是线性(仿射)函数,则 为非线性问题. 称(P)为非线性问题. 如果 f(X) hi(X) gj(X) 都是线性 仿射)函数,则称( (仿射)函数,则称(P)为线性问 题.
o若H(x)为正定,该驻点X*是严格局部 H(x)为正定 该驻点X*是严格局部 为正定, 极小值点; 极小值点; o若H(x)为负定,该驻点X*是严格局部 H(x)为负定 该驻点X*是严格局部 为负定, 极大值点; 极大值点; o若H(x)为半正定(半负定)则进一步 H(x)为半正定 半负定) 为半正定( 观察它在该点某邻域内的情况, 观察它在该点某邻域内的情况,如果保 持半正定(半负定), ),那它们是严格局 持半正定(半负定),那它们是严格局 部极小值点(极大值点); 部极小值点(极大值点); o如果H(x) 不定的,该驻点X*就不是f(X) 如果H(x) 不定的,该驻点X*就不是 就不是f(X) 极值点. 极值点.