18相对论2及黑体

由（2）式
在S′ 系中mA≠ mB
因为两个粒子完全相同，在S′ 系中区别在于一个静止一个运动。 则有：
m = m0 1− v c
2 2
=
m0 1− β
2
(18-8)
18-6 狭义相对论动力学基础 一．相对论动力学的基本方程 质速关系 1．相对论质量 m0 m0 m= = (18-8) 2 2 1− (v c) 1− β
(18-9)
3．相对论动力学方程 v v d v dv v d m F = (mv) = m +v (18-10) dt dt dt 物体所受作用力等于其动量对时间的变化率。
m=
m0 v 2 1− ( ) c
注意： 当v<< c时，m= m0 1) v v dv v = m0a ——牛顿第二定律。 F = m0 dt 2)方程虽保持原牛顿定律的框架,但内容差别极大。 经典力学 力的作用 F长时间作用 力的方向 改变速度(大小、方向) 相对论力学 改变速度、改变质量
X′ X
(1)
由（1）式
− 2v vA = v2 1+ 2 c
2 c2 vA 解出： v = ( 1− 2 −1) vA c
(3)
− 2v －(mA ＋mB )v = mA v2 1+ 2 v2 1+ 2 c (4) 解出： mA = c2 mB v 1− 2 c mB mA = 将（3）代入（4）得： 2 vA 1− 2 c 在S′ 系中mB静止，令mB = m0
运动时 运动时τ ——相对两事件发生地 运动 的参考系所测的时间。 τ0 τ= (18-6) ⇒ 时间测量具有相对性 1− β 2 结论： 相对过程发生地运动的参照系，测得过程经历的时间延缓 (膨胀)了。 τ > τ0 又称爱因斯坦延缓。
∆t′=t2′−t1′=τ
τ0 τ= 1− β 2
(18-6)
例1．一架飞机以600 m/s速度相对地球飞行，用地球上的时 钟测量，需用多长时间飞机上的时钟才会慢2×10−6 s。 解：S系——地球，时间∆t S′ 系——飞机， 时间τ0 研究对象——飞机上的“钟” τ0 ∆t = ∆t −τ0=2×10−6s 1− β 2 τ0 1 v2 1 v2 ∆t = ≈ (1+ 2 )τ0 τ0 = 2×10−6 2 2 2
m/m0
1 1
m0～静止质量 (相对物体静止的惯性系所测) m～相对论质量 (相对物体运动的惯性系所测)
v/c
1905年考夫曼
v～物体相对某一个 相对某一个惯性系的运动速度 相对某一个 v=11.2km/s (第二宇宙速度） m=1.0000000009 m0 ≈ m0 v =0.9c， m =2.3 m0 m v =0.9999c， =70 m0 2．相对论动量 v 质量也具有相对性 v m0v v P = mv = 说明： 1) v↑时，m↑ 1− (v c)2 ——物质与运动不可分割。 仍具有相对性。 2) 当v<< c时，m= m0
例3．一艘宇宙飞船船身的固有长度为L0=90m，相对地面以v =0.8c 的速度在一观测站上空飞过。求： (1) 观测站测得船身通过观测站的时间是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间是多少？ 解： 两个事件： 船头与观测站重合； ① ② 船尾与观测站重合。 S系——地球： ∆x=0， ∆t=？ S′ 系——飞船： x′=L0=90 m， ∆t ′=？ ∆ (1) S系： 飞船以 v飞行 L——飞船长度 L = L0 1− (v c) 2 =……=54m 2 L =……=2.25×10−7s （固有时间） L = L0 1− (v c) ∆t = v τ0 (2) S′ 系： 观察站以 v 运动L0 τ= L0 =……=3.75×10−7s 1− β 2 ∆t′ = v Lv ∆t L0 还可以：∆t′ = = = 1− β 2 1− β 2 v
v v →∞
v 与d v一 致
v v ↑ m ↑, m →∞ v < c
v dv v d m 与 m +v 一 致 dt dt
实验对相对论的支持：美国斯坦福大学，电子直线加速器 斯 斯坦福加速器 坦 福 加 速 器 全 貌 全 长 2 英 里 加速 L=3×103m，E=7×103V/m
7×106V
t'2 −t'1 = (t2 −t1) − v (x2 − x1) 2 c =0 2 1− β
S′ 系看小甲、小乙同时出生! 2) 当 v = 0.8c 时 v
t'2 −t'1 = (t2 −t1) − c 1− β 2
2
(x2 − x1)
= – 0.0033s
S′ 系看小乙先生、小甲后生!
但具有因果关 系的事件时序 能否颠倒呢？
1− v c
2c
2c
⇒
τ0 =106s =11.6天 ∆t ≈τ0=11.6天
多长时间慢1 s？ 1.58×104年。
例2.在惯性系 S 中，某事件发生在 x 轴上xA处，经2×10−6s后， 另一事件发生在 x 轴上xB处，xB− xA =300m。 (1) 能否找到一个相对S系作匀速直线运动的惯性系 S′，在S′ 中， 两事件发生在同一地点 ？在S′ 系这两事件的时间间隔为多少？ 同一地点 (2) 若xB− xA =2000 m，而其它条件不变，情况又如何？ ∆x′ + v∆t′ ∆x = 解： 能否找到这样的 S′ 系? ——其相对 系的速度小于 其相对S系的速度小于 这样的 其相对 系的速度小于c 1− β 2 (1) S： ∆t =2×10−6s，∆x =300m ∆x − v∆t ∆x′ = S′： ∆t′ =?(s)， ∆x′=0 1− β 2 ∆x − v∆t ∆x ∆x′ = ⇒ v = =……=0.5c 可以找到！ 2 =0 ∆t 1− β τ0 也 −6由 式 算 可 下 计 2 由 τ= ⇒ τ0 = τ 1− β =……=1.73×10 s 2 1− β v∆x ∆t − 2 −6s，∆x=2000m c (2) S：∆t =2×10 ∆t′ = 1− β 2 S′：∆ t ′=？，∆x′=0 ∆x − v∆t ∆x ′= ∆x = 0 ⇒ v = =……=109m/s > c 找不到！ ∆t 1− β 2
四. 时序的相对性（时刻顺序的相对性） 设S系: 事件“1”(x1, t1) 设 t2>t1 在S′ 系谁先谁后？
v (t2 − t1) − 2 (x2 − x1) c t'2 −t'1 = −t 1− β 2
O
事件“2”(x2,t2)
Y Y′ O′
v∆x (∆t − 2 ) c ∆t′ = 1− β 2
2．质能关系 EK=mc2−m0c2 爱因斯坦称：E0=m0c2 ～静止能量 (18-15) 质能关系式 E=mc2 ～相对论总能量 ⇒ E=EK +E0 原子能 独到之处——指出物体静止质量也对应一份能量。 3) 在一孤立 系统，总能量守恒意味着总质量守恒。 孤立 例1．π°介子衰变后，m0=0。辐射能等于静能mπ c2。 m 能量守恒： 1c2+m2c2 = m′1c2+m′2c2 （静能不一定守恒） 例2．正负电子对湮灭，m0=0，转化为一对光子。 消去c2 ：m1+m2=m′1+m′2 质量守恒！ （静质量也不一定守恒） + – 测得二光子能量2hν=2 mec2 说明： 1) E0——物体的总内能！ 包括分子的内能、势能、原子的电磁能、质子中子的结合能等。 2) 质与能相互依存、严格对应、同增同减 m → E=mc2 E → m=E/c2
狭 义 相 对 论
第二讲
作业：P215 18-13 18-15 18-18 18-21
18-4 狭义相对论的时空观 三．时间膨胀——时间测量的相对性 Y Y′ X′
v∆x ∆t − 2 c ∆t′ = 1− β 2
S系：在某x处,经历一过程, 开始(x,t1), 结束(x,t2)
=0
——同地、异时发生两事件： ∆x= 0 ∆t=t2−t1= τ0 固有时 O O′ X 固有时τ0——相对某一个参考系同一地点 测得的两事件时间间隔。 同一地点 S ′ 系： 开始(x1′,t1′) (x ′)，结束(x2′,t2′) (x 两事件异地，异时发生
实验
7×106V
7×106V
学 v =280c v>c
：电子 加速器 ：v =0.999999999c
v d v 二．相对论动能 质 量和能 量的 关系 能 F = (mv) dt 1 .相对论动能 设一物体相对S系 v0=0， 受一沿 x 轴正向的外力F 作用 v v r r 由动能定理： F F dA=dEK =F⋅dx =F⋅vdt = v ⋅d(mv) x v v m0v m0 = ∫ v d( ) =…… = EK = ∫ v d(mv) 0 c2 − m0c2 0 1− (v c)2 1− (v c)2
v u
在S< c c， ∴∆t′ >0 先t1′ t ′，后 t2′ 结论： 有因果关系的两事件的时序是不能颠倒的。 ——因果规律不变！ 尽管时空是相对的，但相对论中也有绝对的一面。
18-6 狭义相对论动力学基础 u −v u' = 一．相对论动力学的基本方程 v 1− 2 u 1．相对论质量 c 相对性原理决定，物理定律在不同参照系中有相同的形式。 如：动量守恒定律仍然是一条基本的物理定律。 Y Y′ S′ 设S系中有一个粒子，原来 v→ 静止于O，某一时刻完全分 裂为相同的两半A和B 则S中 v→ ←v (mA=mB），分别沿x轴以速 A O B O′ 度v反向运动。 mA v = mB v S系中动量守恒： − 2v 在S′ 系中: B对S′ 速度为0，A对S′ 速度vA为： vA = v2 1+ 2 − 2v c = mA S′ 系中动量守恒： (2) －(mA ＋mB )v v2 1+ 2 在S′ 中若mA=mB ，则动量不守恒！ c