相对论2-3
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第三章 狭义相对论知识梳理汇总
第3章 相对论基础
( special relativity )
§3-1 经典力学相对性原理与时空观 §3-2 狭义相对论基本原理 §3-3 狭义相对论的时空观 §3-4 洛仑兹变换 速度变换 §3-5 相对论动力学基础
主讲人：第五组成员
1
§1 经典力学相对性原理与时空观 1. 伽利略相对性原理 研究的问题: 在两个惯性系（实验室参考系S与运动参考系S '）中 考察同一物理事件。 事件：某一时刻发生在某一空间位置的事例。
宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。
如：动量守恒定律
S : m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
S : m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
5
2. 经典力学时空观 据伽利略变换，可得到经典（绝对）时空观 (1) 同时的绝对性 在同一参照系中，两个事件同时发生 t1 t2
t t 0 M 发一光信号，
事件1： A接收到闪光， 事件2： B 接收到闪光，
研究的问题： S、S系两事件发生的时间间隔.
S ：M 处闪光，光速为C，
同时具有相对性！
AM BM
S S
A 、B 同时接收到光信号，
u
事件1、事件2 同时 发生。
x
x，x' 轴重合， S' 相对 S 以速度u 沿x 轴作匀速直线运动。
0与0 重合时，计时开始 t t 0
伽利略变换
事件： t 时刻，物体到达 P 点
S rx, y, z,t vx, y, z,t a S rx, y, z,t vx, y, z,t a
正变换 S S
x x ut, y y, z z,t t z
( special relativity )
§3-1 经典力学相对性原理与时空观 §3-2 狭义相对论基本原理 §3-3 狭义相对论的时空观 §3-4 洛仑兹变换 速度变换 §3-5 相对论动力学基础
主讲人：第五组成员
1
§1 经典力学相对性原理与时空观 1. 伽利略相对性原理 研究的问题: 在两个惯性系（实验室参考系S与运动参考系S '）中 考察同一物理事件。 事件：某一时刻发生在某一空间位置的事例。
宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变。
如：动量守恒定律
S : m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
S : m1v1 m2v2 m1v10 m2v20
5
2. 经典力学时空观 据伽利略变换，可得到经典（绝对）时空观 (1) 同时的绝对性 在同一参照系中，两个事件同时发生 t1 t2
t t 0 M 发一光信号，
事件1： A接收到闪光， 事件2： B 接收到闪光，
研究的问题： S、S系两事件发生的时间间隔.
S ：M 处闪光，光速为C，
同时具有相对性！
AM BM
S S
A 、B 同时接收到光信号，
u
事件1、事件2 同时 发生。
x
x，x' 轴重合， S' 相对 S 以速度u 沿x 轴作匀速直线运动。
0与0 重合时，计时开始 t t 0
伽利略变换
事件： t 时刻，物体到达 P 点
S rx, y, z,t vx, y, z,t a S rx, y, z,t vx, y, z,t a
正变换 S S
x x ut, y y, z z,t t z
狭义相对论的三个时空观
狭义相对论的三个时空观
狭义相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种物理学理论，它涉及到了时间和空间的观念。
狭义相对论的三个时空观如下：
1. 相对性原理：狭义相对论的第一个时空观是相对性原理，它认为物理定律在所有惯性参考系中都是相同的。
换句话说，物理定律在不同的观察者之间是不变的，无论他们的运动状态如何。
这意味着没有一个特定的参考系是绝对的，而是都是相对的。
2. 光速不变原理：狭义相对论的第二个时空观是光速不变原理，它指出光速在真空中是恒定不变的，无论观察者自身的运动状态如何。
这意味着光在不同的参考系中传播的速度始终是相同的。
这个原理对于理解狭义相对论中的时间和空间的变化至关重要。
3. 时空的相对性：狭义相对论的第三个时空观是时空的相对性。
根据狭义相对论，时间和空间是相互关联的，构成了一个四维时空的连续体。
观察者的运动状态会导致时间和空间的相对变化，即时间的流逝速度和空间的长度会随着观察者的运动状态而发生变化。
这个时空观对于理解相对论中的时间膨胀和长度收缩等效应至关重要。
相对论问答录之三
·10 ·现代物理知识相对论问答录之三赵 峥问题一、狭义相对论遇到什么重要困难？ 正当全世界为相对论的成功而欢欣鼓舞时，爱因斯坦本人却冷静地看到了自己的理论存在严重缺陷。
首先，作为“相对论”基础的惯性系，现在无法定义了。
牛顿认为，存在绝对空间，所有相对于绝对空间静止和作匀速直线运动的参考系都是惯性系。
爱因斯坦的相对论认为不存在绝对空间，牛顿定义惯性系的方法显然不适用了。
有人建议，把惯性系定义为，不受力的物体在其中保持静止或匀速直线运动状态的参考系，也即把牛顿第一定律（即惯性定律）视作惯性系的定义。
但是，什么叫不受力呢？也许有人会说，物体在惯性系中，保持静止或匀速直线运动的状态，就叫不受力。
读者一下就会看出，这里存在逻辑上的循环。
定义“惯性系”要用到“不受力”。
定义“不受力”，又要用到“惯性系”。
这样的定义方式，在物理学中是不可接受的。
爱因斯坦注意到的另一个缺陷是，万有引力定律写不成相对论的形式。
有几年，爱因斯坦致力于把万有引力定律纳入相对论的框架，几经失败后，他终于认识到，相对论容纳不了万有引力定律。
在取得巨大成就的喜悦中，爱因斯坦冷静地看到，自己的理论存在着与“惯性系”和“万有引力”有关的两个基本困难。
这两个困难非常严重。
他的相对论是研究惯性系之间的关系的，也就是说，相对论是建立在惯性系的基础上的。
现在, 这个“基础”居然无法定义！另一方面，当时已知的力只有电磁力和万有引力两种，竟然其中的一种就放不进相对论的框架中，真是太令人遗憾了！问题二、针对上述困难，爱因斯坦有什么新思路？爱因斯坦反复考虑狭义相对论遇到的两个基本困难: ① 惯性系无法定义；② 万有引力定律不能纳入相对论的框架。
他想，既然惯性系无法定义，不如就抛开惯性系，把自己的理论建立在“任意参考系（包括非惯性系）”的基础之上。
把原来的相对性原理：“物理规律在一切惯性系中都相同”推广为“物理规律在一切参考系中都相同”。
相对论第3讲——狭义相对论小结与习题课
方向如何？
解：因为相对论效应，任一长度沿运动方向的投影收 缩，垂直于运动方向的投影不变。假设等边三角形的
A两B个、方A向C ：边将A变成等腰三角形的腰，则运A动只V可 能沿
a
D B (1)
V
C
a
D B (2) C
(1) 高 AD 不变，BC 收缩， A
AV
角 A 减小。
(2) BC 边长度不变，AD a
F
P
dP / dt ,
t
dP Fdt
P0 0
P P0 Ft
P P0 Ft
分量形式：Px P0x F x t P0x
m0 u0 ,
1
u
2 0
/
c2
Py P0y F y t F y t Ft ;
能量 - 动量关系：E 2 m02 c4 p2 c2
终受一个沿 Y 轴正向的恒力 F 的作用. 在考虑相对
论效应的情况下, (1) 求 t 时刻粒子的动量、总能量
和速度 ( 只要求写动量和速度的分量形式 ) ;
(2) 讨论 t 的极限情况下速度分量如何。
分析：在力的作用下, 粒子的动量发生变化，因此出
发点是运动方程，然后直接求解。
解：
(1) 运动方程
收缩，可达到 A 为直角。
D
V
a
D
在静止时，高 AD B (1) C B (2) C
长为 3 a / 2 ; 当运动时，观测其长度应为 a / 2 ,
即
a 3 a 1V 2 / c2 ,
22
2/3 c
薄片应以 2 / 3 c 的速率沿任一高的方向运动。
解：因为相对论效应，任一长度沿运动方向的投影收 缩，垂直于运动方向的投影不变。假设等边三角形的
A两B个、方A向C ：边将A变成等腰三角形的腰，则运A动只V可 能沿
a
D B (1)
V
C
a
D B (2) C
(1) 高 AD 不变，BC 收缩， A
AV
角 A 减小。
(2) BC 边长度不变，AD a
F
P
dP / dt ,
t
dP Fdt
P0 0
P P0 Ft
P P0 Ft
分量形式：Px P0x F x t P0x
m0 u0 ,
1
u
2 0
/
c2
Py P0y F y t F y t Ft ;
能量 - 动量关系：E 2 m02 c4 p2 c2
终受一个沿 Y 轴正向的恒力 F 的作用. 在考虑相对
论效应的情况下, (1) 求 t 时刻粒子的动量、总能量
和速度 ( 只要求写动量和速度的分量形式 ) ;
(2) 讨论 t 的极限情况下速度分量如何。
分析：在力的作用下, 粒子的动量发生变化，因此出
发点是运动方程，然后直接求解。
解：
(1) 运动方程
收缩，可达到 A 为直角。
D
V
a
D
在静止时，高 AD B (1) C B (2) C
长为 3 a / 2 ; 当运动时，观测其长度应为 a / 2 ,
即
a 3 a 1V 2 / c2 ,
22
2/3 c
薄片应以 2 / 3 c 的速率沿任一高的方向运动。
Chap 1 形象思维(2-3讲)
5
案例1：
爱因斯坦解释相对论：“如果你 同一个漂亮的女孩坐在一起聊天， 一个小时过去了，你觉得过了5分钟； 如果让你一个人在大热天孤独得坐 在一个火炉旁，5分钟就好像一个小 时。这就是相对论。”
6
案例2：
1968年 美 内华达州 3岁女孩 伊迪斯 告诉妈 妈 认识礼品盒上的字母“o”。说是老师教的。 母亲在表扬了女儿后，一纸诉状将老师告上法 庭。因为她认为女儿在认识“o”之前，可能把 “o”收成苹果、太阳、足球、鸟蛋等，然而在 识读了26个字母后，女儿失去了这种能力，要 求幼儿园赔偿1000万美元。 三个月后，法院审判幼儿园败诉，因为陪 审团得23名成员被这位母亲得一个故事所感动。
14
2、思维的历史性
思维主体的发展是在历史发展的进程中演变的。 思维方式随历史进程而演变 思维主体的组织结构有分散的专业化
3、思维的实践性
提出人以观念方式把握世界的客观需要 人所特有的思维结构和图式
4、能动性
思维主体是有目的、有意识地认识和反映物质世 界的
15
思维主体的能力结构
能力是个人获取知识、认识事物和处理实际问题的 一种本领 1、获取信息提出问题的能力 即思维主体在实践中收集事实材料，进行加工分析， 提出问题的基本能力 2、科学思维的能力 感知觉能力；记忆储存能力；逻辑加工能力；思维 的调控能力；思维的想象能力等。 3、语言能力 语言是思维的“外壳”。分为自然语言、科学语言、 数学语言等 4、自我优化知识结构的能力 16
18
思维主体和思维客体的关系
1、二者在思维活动中形成矛盾关系 思维主体和客体的关系是反映与被 反映、认识与被认识、改造与被改造 的过程； 主客体的矛盾贯穿与思维活动的始 终；主客体的相互作用，是主体不断 追求实现主客体统一的过程；
案例1：
爱因斯坦解释相对论：“如果你 同一个漂亮的女孩坐在一起聊天， 一个小时过去了，你觉得过了5分钟； 如果让你一个人在大热天孤独得坐 在一个火炉旁，5分钟就好像一个小 时。这就是相对论。”
6
案例2：
1968年 美 内华达州 3岁女孩 伊迪斯 告诉妈 妈 认识礼品盒上的字母“o”。说是老师教的。 母亲在表扬了女儿后，一纸诉状将老师告上法 庭。因为她认为女儿在认识“o”之前，可能把 “o”收成苹果、太阳、足球、鸟蛋等，然而在 识读了26个字母后，女儿失去了这种能力，要 求幼儿园赔偿1000万美元。 三个月后，法院审判幼儿园败诉，因为陪 审团得23名成员被这位母亲得一个故事所感动。
14
2、思维的历史性
思维主体的发展是在历史发展的进程中演变的。 思维方式随历史进程而演变 思维主体的组织结构有分散的专业化
3、思维的实践性
提出人以观念方式把握世界的客观需要 人所特有的思维结构和图式
4、能动性
思维主体是有目的、有意识地认识和反映物质世 界的
15
思维主体的能力结构
能力是个人获取知识、认识事物和处理实际问题的 一种本领 1、获取信息提出问题的能力 即思维主体在实践中收集事实材料，进行加工分析， 提出问题的基本能力 2、科学思维的能力 感知觉能力；记忆储存能力；逻辑加工能力；思维 的调控能力；思维的想象能力等。 3、语言能力 语言是思维的“外壳”。分为自然语言、科学语言、 数学语言等 4、自我优化知识结构的能力 16
18
思维主体和思维客体的关系
1、二者在思维活动中形成矛盾关系 思维主体和客体的关系是反映与被 反映、认识与被认识、改造与被改造 的过程； 主客体的矛盾贯穿与思维活动的始 终；主客体的相互作用，是主体不断 追求实现主客体统一的过程；
大学物理：第三章狭义相对论
考察
S 中的一只钟
x 0
两事件发生在同一地点
x
x ut 1 u2 c 2 t u x 2 c 1 u2 c 2
t
原时
t2
t
t t 2 t1 观测时间
t t 2 t 1 t 2 t1 1 u
2
2
2
E mc 2 爱因斯坦质能关系
物质具有质量，必然同时具有相应的能量；如 果质量发生变化，则能量也伴随发生相应的变
化，反之，如果物体的能量发生变化，来自么它的质量一定会发生相应的变化。
25 首 页 上 页 下 页退 出
质能守恒定律 在一个孤立系统内，所有粒子的相对论动能与 静能之和在相互作用过程中保持不变。 质量守恒定律
棒静止在 S 系， l 0 是固有长度。 棒相对于惯性系S是运动的，静止于S系的观察者测得棒的 长度值是什么呢？
l u t
l u t
t
t
1
u2 c2
l l0 /
即：物体的长度沿运动方向收缩
14 首 页 上 页 下 页退 出
参照系中运动物体的长度比其静止时的长度要短
2.光速不变原理 在一切惯性系中，光在真空中的速率恒为c ，与光源的 运动状态无关。
4 首 页 上 页 下 页退 出
二、洛仑兹变换式
x x ut y y z z u t 2 x t c x x ut y y z z u t t 2 x c
1 首 页 上 页 下 页退 出
3-1
伽利略变换和经典力 学时空观
一、伽利略变换
第三节相对论时空观
N N 0e
止的 子的平均寿命为 0 2.21 106 s 。 在 1963 年的一次实验中，在海拔 1910m 高处，测得由宇宙线产生的速度在 0.9950~0.9954c 之间铅直向下运动的 子数为平均每小时 56310 个， 而在离海 平面 3m 处， 测得同样速度的 子数为平均每小时 4089 个(其它 子已经发生了 衰变)。试求： (1) 运动 子的平均寿命； (2) 验证明间膨胀公式
0
1 v2 1 2 c
0
1 1 (0.75) 2
2.6 108 3.93 108 s
《大学物理》
教师：
胡炳全
所以，在 S 系中测量时， 介子从产生地到衰变地要平均飞行的距离为：
l v 0.75 3 108 3.93 108 s 8.84m
•根据同时性的相对性，在一个参照系中校准的时钟在另 一个参照系看来是没有校准的。
《大学物理》
教师：
胡炳全
二、时间延缓效应
1、本征时间（固有时间）： 一个惯性系中同一地点先后发生的两个事件的时 间间隔，在狭义相对论中叫做本征时间或固有时间。
2L t ' c
就是发光后接收到光这两个事 件的本征时间或固有时间。
《大学物理》
教师：
胡炳全
由光速不变原理，S系中的光速仍为c，故Δt应满足：
s 2 2 t L (vt / 2) 2 c c
解之可得：
2L t c
1 v 1 2 c
2
t ' v2 1 2 c
为了书写简洁，我们常用如下符号简写：
1 v2 1 2 c v c 1 1
【1】高三物理一轮复习,知识点提要(选修3-1,3-2,3-3,3-4,3-5)
第五章：交变电流
5.4变压器（理想） 5.5电能的输送
U1 n1 I2
U2
n2
I1
P入 P出
I1n1 I2n2 I3n3 ...
P损
I
2 线
R线
（ P2 U2
）2 R线
U2 R线
P1 P4
P1=P2
P3=P4
P2=P损+P3
U1 n1 U 2 n2
I1 n2
I2
n1
U3 n3 U 4 n4 I3 n4 I4 n3
tan
vy
at
qU偏 md
L v0
vy 2tan 2 y
v0
L
y侧
1 at2 2
1 qE t2 2m
1 qU偏 2 md
t2
qU偏L2 2mdv02
U偏L2 4U加d
第二章：恒定电流
2.1电源和电流 2.2电动势 2.3欧姆定律 2.4串联电路和并联电路（重） 2.5焦耳定律 2.6导体的电阻
v
qB
E km
1 2
mv
2 m
q 2B2R 2 2m
⑥回旋加速器
F安 左手定则
F洛
B
I
①速度选择器
②磁流体发电机
③电磁流量计
④霍尔效应（见第六章）
同向电流相吸， 反向电流相斥
组合场 复合场 临界、极值、几何知识
第四章：电磁感应
4.1划时代的发现 4.2探究感应电流的条件 4.3楞次定律 4.4法拉第电磁感应定律
q
q It Ι
E W非
t
q
I nqSv
I U R
电势差=电压
RU I
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• 于是爱因斯坦引力场方程在弱场情形下可写为牛 顿引力场方程（泊松方程）：
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
1 , (h , h, h , h, ) 2
取变换，（为方便计）
h h 1 h 2
2
or h h h 1 h
∴
1 R R R 8GT 2
, , , , h , h h , h , 16 GT
有
R k (T g T) 2 1 R 00 k (T 00 g 00 T) 2
左= R 00 1 h 00,ii 2
右= k( g 1 g 00 ()) k(g 00 1 g 00 ) k g 00 k 2 2 2 2 故有 h 00,ii k 4°注意到 1
00
g00 1 2 , h00 2
∴ 上述方程变为
,ii 1 k 2 k 2 2
将之与牛顿引力方程比较
2 4G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 8G
• 可见，在弱场，静态情形，爱因斯坦引力场方程 还原到牛顿的引力方程——广义相对论包含了牛
顿引力论为其极限情形。
• 广义相对性原理 • 真实的物理规律在一切参考系都应有相同的数 学形式——一切参考系平权。 ①取消了惯性系的优越地位； ②一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。
§3-3引力几何化 •
在平直空间（如闵氏空间），一质点在惯性系中 作自由运动的方程（惯性运动——匀速直线运动） 为
d 2X 0 ds 2
第三章
相对论性的引力理论
广义相对论理论是一个协变的引力理论。它包 含两个部分。一部分是等效原理，它说明有引 力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度 规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引 力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分 布的依赖关系。
§3-1 引力质量与惯性质量的等同性
• 惯性质量与引力质量 • 牛二： F m I a m I —惯性质量, 反映物体保持原有运动状态本领 的量度。 • 牛万： F Gm g M
• 引入广义坐标（非惯性关系）
x x ( X )
则运动方程变为
d 2 x dx dx 0 ds ds ds 2
• 式中
2 X x x x X
or
d 2 x dx dx ds 2 ds ds
1 g (g , g , g , ) 2
对弱场情形，有 1°
g h
h ——小量，
| h | 1
——闵氏度规张量
∴
1 ( h )(h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , ) 2
mg mI 1 0(10 8 )
•
因此，实验结果支持
mI mg
§3-2 等效原理
• 1908年，爱因斯坦以 m I m g 为基础提出等效
原理。 • 等效原理（弱）：在局域范围内，引力和惯性力 的力学效果相同； • 等效原理（强）：在局域范围内，引力与惯性力 等效。
• 爱因斯坦电梯
1 (h , h , h , ) 2 1 , (h , h , h , ) 2 0(h 2 )
,
1 R , , (h , h , h , h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , h , ) 2
2°对理想流体，有能量—动量张量
T U U
式中
——物质密度
dx ——四维速度， u d d ——固有时
且
d 2 ds 2 g dx dx
g u u 1
3°取共动坐标系（co-moving frame）
u
∴
1 (1,0,0,0) g 00
引
r2
m g —引力质量, 反映物体具有引力大小的量度。
☆考虑自由落体： m I a m g g g——地球重力加速度
a mg mI g
——伽俐略比萨斜塔实验 mI mg ☆牛顿摆（金，银等）：
mg mI T 2 , 周期相同 1 0( to 3 ) mgg mI
☆厄阜（ Etvs 匈牙利中学教师）扭摆： o o
• 可见
h A e
——引力辐射波
与电磁波在形式上一样。
引入谐和坐标条件：
g
0
x 0
则引力场方程化为
h , 16 GT
,
——波动方程
• 对无源区域（引力波传播空间）有
h ,, 0
谐和条件（or洛仑兹规范条件）为
h
,
1 0 h h, 0 2
,
i ( k r t )
几何量 物质分布
F R g R g
• 利用能量—动量张量守恒律
T ; 0
F R g R g
最后得爱因斯坦场方程
G R
1 R k (T g T) or 21
G 8GT 8G
2
• 而爱因斯坦引力场方程最后可写为
G 8GT
§3-8引力辐射（引力波）
• 已知在弱场近似下，场方程可写为
R , ,
1 g R kT 2
T • 若对真空（无物质分布）情形， 0
R k (T g T) 2
G R 0
§3-6场方程的牛顿近似
• 先看方程左边的几何量： R R , , ∵
00
T 00 u 0 u 0 g
T 0i 0 T ij
T T T00
• 现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分 布，于是利用场方程
1 R g R kT 2 1 g R kT R 2 1 R k (T g T) 12
加速度 惯性力 • 引力的几何化 0 ， ——空间弯曲 存在引力 即引力将导致空间的弯曲
§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程
• 思路： 等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示 广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量 表示 • 物质的能量—动量分布→动力学状态
F T
又 R g g R R ∴ R 00 R 00 ， 0i R 0i ， R
R ij R ij
1 R 00 h 00,ij 2 1 R 0i (h k 0,ik h 0i ,kk ) 2
1 R ij (h kk ,ij h ki, jk h kj, jk h ij,kk ) 2
1 , (h , h, h , h, ) 2
取变换，（为方便计）
h h 1 h 2
2
or h h h 1 h
∴
1 R R R 8GT 2
, , , , h , h h , h , 16 GT
有
R k (T g T) 2 1 R 00 k (T 00 g 00 T) 2
左= R 00 1 h 00,ii 2
右= k( g 1 g 00 ()) k(g 00 1 g 00 ) k g 00 k 2 2 2 2 故有 h 00,ii k 4°注意到 1
00
g00 1 2 , h00 2
∴ 上述方程变为
,ii 1 k 2 k 2 2
将之与牛顿引力方程比较
2 4G
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k 8G
• 可见，在弱场，静态情形，爱因斯坦引力场方程 还原到牛顿的引力方程——广义相对论包含了牛
顿引力论为其极限情形。
• 广义相对性原理 • 真实的物理规律在一切参考系都应有相同的数 学形式——一切参考系平权。 ①取消了惯性系的优越地位； ②一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。
§3-3引力几何化 •
在平直空间（如闵氏空间），一质点在惯性系中 作自由运动的方程（惯性运动——匀速直线运动） 为
d 2X 0 ds 2
第三章
相对论性的引力理论
广义相对论理论是一个协变的引力理论。它包 含两个部分。一部分是等效原理，它说明有引 力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度 规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引 力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分 布的依赖关系。
§3-1 引力质量与惯性质量的等同性
• 惯性质量与引力质量 • 牛二： F m I a m I —惯性质量, 反映物体保持原有运动状态本领 的量度。 • 牛万： F Gm g M
• 引入广义坐标（非惯性关系）
x x ( X )
则运动方程变为
d 2 x dx dx 0 ds ds ds 2
• 式中
2 X x x x X
or
d 2 x dx dx ds 2 ds ds
1 g (g , g , g , ) 2
对弱场情形，有 1°
g h
h ——小量，
| h | 1
——闵氏度规张量
∴
1 ( h )(h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , ) 2
mg mI 1 0(10 8 )
•
因此，实验结果支持
mI mg
§3-2 等效原理
• 1908年，爱因斯坦以 m I m g 为基础提出等效
原理。 • 等效原理（弱）：在局域范围内，引力和惯性力 的力学效果相同； • 等效原理（强）：在局域范围内，引力与惯性力 等效。
• 爱因斯坦电梯
1 (h , h , h , ) 2 1 , (h , h , h , ) 2 0(h 2 )
,
1 R , , (h , h , h , h , h , h , ) 2 1 (h , h , h , h , ) 2
2°对理想流体，有能量—动量张量
T U U
式中
——物质密度
dx ——四维速度， u d d ——固有时
且
d 2 ds 2 g dx dx
g u u 1
3°取共动坐标系（co-moving frame）
u
∴
1 (1,0,0,0) g 00
引
r2
m g —引力质量, 反映物体具有引力大小的量度。
☆考虑自由落体： m I a m g g g——地球重力加速度
a mg mI g
——伽俐略比萨斜塔实验 mI mg ☆牛顿摆（金，银等）：
mg mI T 2 , 周期相同 1 0( to 3 ) mgg mI
☆厄阜（ Etvs 匈牙利中学教师）扭摆： o o
• 可见
h A e
——引力辐射波
与电磁波在形式上一样。
引入谐和坐标条件：
g
0
x 0
则引力场方程化为
h , 16 GT
,
——波动方程
• 对无源区域（引力波传播空间）有
h ,, 0
谐和条件（or洛仑兹规范条件）为
h
,
1 0 h h, 0 2
,
i ( k r t )
几何量 物质分布
F R g R g
• 利用能量—动量张量守恒律
T ; 0
F R g R g
最后得爱因斯坦场方程
G R
1 R k (T g T) or 21