北理工信号与系统2

连续时间系统的时域分析§2.1 引言本章解法时域解法微分方程法古典法奇次通解特解零输入响应零状态响应卷积积分零状态响应奇异函数用奇异函数表示任意时间信号冲激响应h(t)的求法卷积积分的定义式卷积积分的图解法卷积积分的数值法2.2 LTI 系统的微分方程描述1、微分方程的列写1）什么是输入，什么是输出2）要按基氏第一、第二定律列出电路3）一般要给出所求变量的初始条件：L i )0(L i 和)0('L i C=1/4F L=2HΩ=52R Ω=11R si0)()()()(121=--+⎰∞-dt t di L t i R t i R d i c L L c t c ττL s c i i i -=(1)(2)(2)代入(1)得)(2)(21)(2)(3)(22t i t i dt d t i t i dt d t i dt d s s L L L +=++：1、应当有初始条件2、有时为了书写方便，把d/dt=P 或d/dt=D 上面的微分方程可写成)()22/1()()23(2t i D t i D D s L +=++3、把以上微分方程推广到一般的情况=++++---)()(......)()(01111t y a t y dtd a t y dt d a t y dt d n n n n n )()(......)()(01111t x b dt t dx b t x dt d b t x dt d b m m m m m m ++++---m 阶，输出为n 阶2、微分方程的解法例：)(5)(21)(23)(322t u e t y t y dt d t y dt d t -=++y(0)=1,y’(0)=0)()()(t y t y t y p h +=1)求齐次解：特征方程为0)2/12/3(2=++λλ两个特征根为11-=λ2/12-=λ则t t n ec e c t y 2/121)(--+=2）求特解对于方程=++)()2/12/3(2t y DD t e -t e 35-t p tec t y -=3)(取t et e 35)(-=它的根-3与方程的特征根（-1，-1/2）不相重t p e c t y 33)(-=代入方程13=c tp e t y 3)(-=∴3）求完全解tt t p n e e c e c t y t y t y 32/121)()()(---++=+=11)0(21=++=c c y 032/1)0(21=---='c c y 解得61-=c62-=ctt t e e e t y 32/166)(---++-=2.3 零输入、零状态响应的求法1、零输入相应的解法零输入响应就是当激励x(t)仅由y(0)初始条件引起的响应例0)(21)(23)(22=++t y t y dt d t y dt d 1)0(=y 0)0(='y 特征根为11-=λ2/12-=λt t e c e c t y 2/1210)(--+=∴11-=c 22=c )()2()(2/10t u ee t y tt--+-=∴λ零状态响应例)(5)(21)(23)(322t u e t y t y dt d t y dt d t-=++0)0(=y 0)0(='y 第一步求齐次通解2/12/32=++λλ得两个实根-1，-1/2tt ec e c t y 2/121)(--+=∴齐第二步求特解以tp cet y 3)(-=代入得1=c tp et y 3)(-=第三步求零状态解代入初始条件得)()45)(32/10t u eee t y ttt---++-=∴（状3、完全响应完全响应=零输入响应+零状态响应tt t ee e 32/166---++-=ttt ee e t y 32/166)(---++-=从前面的结果自然响应tte e 2/166--+-受迫响应te3-暂态响应当t-> 响应->0 则为暂态响应∞稳态响应当t-> 响应0 则为稳态响应∞≠§2.4 用冲击函数表示任意信号卷积积分1、用冲击函数表示任意信号tx(t)tx(t))(ˆt xt)(ˆt x∑∞-∞=∆-∆⋅∆=k k t k x t x)()()(ˆδ当0>-∆>-∆k 连续变量，ττd >-∆)()(τδδ->-∆-t k t )()(τx k x >-∆)()(ˆt x t x>-∑⎰∞-∞=∞∞->-k ⎰∞∞--=ττδτd t x t x )()()(在时域中，把任意函数分解为无限多个冲激函数的叠加积分表示式⎰∞∞--=ττδτd t x t x )()()(多点抽样⎰∞∞--=dtt t t x t x )()()(0δ一点抽样2、卷积积分∑∞-∞=∆⋅∆-∆=≈k k t k x t xt x )()()(ˆ)(δ输入零状态响应)(t δ)(t h )(∆-k t δ)()(∆-∆⋅∆k t k x δ∑∞-∞=∆-∆⋅∆k k t k x )()(δ)(∆-k t h )()(∆-⋅∆⋅∆k t h k x ∑∞-∞=∆-⋅∆⋅∆k k t h k x )()(∑∞-∞=>-∆∆-⋅∆⋅∆=k k t h k x t y )()(lim)(0⎰∞∞--=ττδτd t x t x )()()()()()()()(t h t x d t h x t y *=-=⎰∞∞-τττ讨论几个问题1、以上卷积公式⎰∞∞--=τττd t h x t y )()()(如果的信号是一个有始信号，从零开始)(τx)(τ-t h 中，当0<-τt 即t >τ时，0)(=-τt h 当0>-τt 即t <τ时，0)(≠-τt h 2、卷积意义的进一步说明⎰-=td t h x t y 0)()()(τττ>-τ>-t >--τt 激励函数作用于电路的时间反映了在轴上移动的距离)(τ-h τ响应与输入的持续时间τ是重设的自变量，t 是参变量而是从0开始到t 对输入函数的加权积分2.5 卷积积分的运算和图解例1)()(t u e t x at-=)()()(0t t u t u t h --=1tx(t)h(t)1tt 进行⎰-=td t x h t y 0)()()(τττ卷积积分运算)(τx 变为)(τ-x 第二步：按区域的特点移动)(τ-x )τ)(τh (τ-x )τ(τ-x (τh 0t 0t t1）在0≤<∞-t y(t)=0在00t t <<)(τh τ)(τ-x t 0t ⎰--⋅=t t a d e t y 0)(1)(ττ]1[/1at e a --=3) 在0t t >区间⎰--=00)()(t t a d e t y ττ]1[/10-=-at at e ae )(τ-x )(τh τt 0t y(t)t0t3 任意函数与)(t δ函数卷积的结果⎰∞∞-=-=*)()()()()(t x d t x t t x ττδτδ)()()(T t x T t t x -=-*δ)()()(2121T T t x T t T t x --=-*-δ)(1t x t -T T 01-T T0)(2t x 求)()(21t x t x *)()()(2T t T t t x -++=δδ )]()([)()()(121T t T t t x t x t x -++*=*∴δδ)()(11T t x T t x -++=)()(21t x t x *1T 2Tt-T2：已知)(1t f 和)(2t f 的图形如图示，试计算卷积积分)()(21t f t f *解：1）翻转)()(11ττ->-f f 17t 2)(1t f t225)(2t f ½2-1-7τ)(1τ-f 2τ)(1τ-t f t-7t-12）平移3）分步相乘、积分(a) 若t-1<2, t<3t-7t-1252½若2<t-1<5 即3<t<6t-72t-152½⎰--=⋅=1232/12)(t t d t s τ若t-1>5 t-7<2 即t>6 t<9t-725t-1(d)若2<t-7<5 即9<t<12⎰=⋅=5232/12)(τd t s ⎰--=⋅=57122/12)(t t d t s τ2t-75t-1(e) 若t-7>5,即t>12 s(t)=02t-75t-12½tt-3 3<t<63 6<t<912-t 9<t<120 t>12 s(t)=336912ts(t)2.6 单位冲激相应的算法一、定义：所谓单位冲激响应h(t)是系统在单位冲积激励的情况下的零状态响应所谓单位阶跃响应s(t)是系统在单位阶跃激励的情况下的零状态响应注意三点：1。

单位2。

零状态，即初态为零3、h(t)1 此系统表示输入x(t)与输出y(t)之间的模拟关系-T⎰x(t)y(t)⎰--=t d T x x t y 0)]()([)(τττ当)()(τδτ=x 时y(t)=h(t))()()(T t u t u t h --=∴例2 已知RC 积分电路的RC 常数为1，求该电路的冲激响应h(t)解：++--R C x(t)y(t)Ri(t)+y(t)=x(t))()(t x t y dt dy RC =+1=RC 方程为)()()(t x t y t y dt d =+)()()(t t h dt t dh δ=+)()()1(t t h D δ=+其零输入响应可以求得为tce -我们将方程双方乘以t t e e=-λ改写成)()()(t e t h e dtt dh e t t t δ=+双方从0->t 积分⎰=-t t d e h t h e 0)()0()(ττδτ)()()(0)(t u e d e t h t tt ⎰---==∴ττδτ)(t u e t-即的结果不是偶然的t e λ二、把冲激响应的零状态响应转化为零输入相应的求解法1、这方法是对这样的一般微分方程求解u(t)响应的问题)()()...(011t t h a D a D n n n δ=++++-0)0(...)0()0()1(=='=-n h hh的问题，它具有一般性方法的中心思想就是奇异函数有这种本领，它能把输入激励函数，突然变成零输入响应，（亦就是变成系统的初态）)(t δ0)()...(011=+++--t h a D a D n n n 0)0(...)0()0()2(=='=-n h hh 1)1()0(=∴-n h 第n 项导数产生则必然使(n-1)次导数项，在t=0处，有个阶跃跳变)(t δ1/a低阶导数项的初始条件为零例3：求微分方程的冲激响应方程为)()()(t x t y dtt dy =+)()()(t t h dtt dh δ=+0)0(=-h 解：把以上函数编程系统的零始状态δ(D+1)h(t)=01)0(=+h11-=∴Dtceth-=)(1)0(==ch)()(tueth t-=∴2、当等式右端有的求导数项时)(tδ)()...()()...(1111tbDbDbt haDaD mmmmnnnδ+++=+++----第一步：设011===-bbbmm设右端仅有)(tδ则)()(ˆ)...(11tt haDaD nnnδ=+++--求出)(ˆt h进行等式右端的运算)(ˆt h)(ˆ)...()(011t h b D b D b t h m m m m ++=--例4：求方程)(2)()(3)(4)(22t x dt t dx t y dt t dy dt t y d +=++h(t)=?解：第一步求)(ˆt h 方程为)()(ˆ3)(ˆ4)(ˆ22t t h dt t h d dt t h d δ=++0)0(ˆ=h 0)0(ˆ='h0)(ˆ3)(ˆ4)(ˆ22=++t h dt t h d dt t hd 0)0(ˆ=h1)0(ˆ='h 特征方程0)3)(1()34(2=++=++P P P P∴31-=P 12-=P ∴t t e k e k t h 321)(ˆ--+=得2/11=k 2/12-=k ∴)(2/1)(ˆ3t t e e t h ---=求h(t)=?)()(2/1)(ˆ)2()(3t u e e t h D t h t t --+=+=§2.7 卷积积分的性质1。