中考复习(圆)3
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
人教版九年级数学《圆》全册知识梳理和经典中考复习题(含答案)
一、圆的定义
圆是一种特殊的平面图形，它是由一个点和一个半径组成的，半径是从圆心到圆周的距离。
二、圆的性质
1、圆的圆心到圆周的距离都是相等的，即半径r是相等的；
2、圆的圆周上任意两点之间的距离都是相等的；
3、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是相等的；
4、圆的圆周上任意一点到圆心的距离都是半径r；
5、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是相等的；
6、圆的圆周上任意一点到圆心的角度都是360°；
7、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是相等的；
8、圆的圆周上任意一点到圆心的弧长都是2πr；
9、圆的面积是πr2；
10、圆的周长是2πr。
三、经典中考复习题
1、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的方程是（）
A．（x-2）2+(y-3)2=25 B．（x-2）2+(y-3)2=5
C．（x-2）2+(y-3)2=125 D．（x-2）2+(y-3)2=1
答案：A
2、已知圆的圆心坐标为（2，3），半径为5，则该圆的面积是（）
A．25π B．5π
C．125π D．50π答案：C。
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(三)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）一．选择题1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2 B．C．3 D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2D．3二．填空题11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．三．解答题17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？参考答案一．选择题1．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸故选：D．3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，△BOC是等腰直角三角形，作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，∴OF＝OB sin45°＝，∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．故选：B．4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE•BE＝CE•（10﹣CE），解得CE＝2或8，从图中可知这里选答案为8，从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．故选：B．6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD∵∠BOD＝60°∴∠BOA＝30°∵OB＝OA＝OD＝2∴CB＝1在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝∴AC＝OA﹣OC＝2﹣故选：A．7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD•tan30°＝≈2.3m．则大棚高度CD约为2.3m．故选：B．9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．13．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．14．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．15．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：x2＝（x﹣20）2+602，解得x＝100mm．所以原轮片的半径是100mm．三．解答题（共4小题）17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，∴ED＝CD＝12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13（m）；（2）OE＝＝＝5，∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OE⊥CD，∴CE＝CD＝2在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）在Rt△OAE中，，∴AC＝AE﹣CE＝∵AC＝BD∴AC+BD＝．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．。
2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)高品质版
∠BAC=40°，则
∠BOC=_8_0_°
5.如图，已知⊙O中，弧AD= D
O
弧BC，∠DCA=30°
则∠BAC= __3_0_°___.
若⊙O的直径AB=4，则
C
B
AD=___2____.
点与圆的 位置关系
O C
A B
点A在圆上 点B在圆外 点C在圆内
d ＝r d＞r d＜r
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数 ）个，经过A、B两
点的圆（ 无数 ）个，若AB=6则经过A、B两点的
圆的半径r的取 值范围是（ R≥3
）
（2）经过三角形的三个顶点有且只有（ 一） 个
圆 ，若AB=3，AC=5，BC=4则三角形的外接圆的
圆心在（ AC的中点 ），半径是（ 2.5 ）。
直线与圆 相交
PA=PB ∠APO= ∠BPO ∠AOP= ∠BOP
圆与圆的 位置关系
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r 10.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm， 两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
4.如图，在⊙O中，若已知
中考考点突破之圆的专题复习
中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。
2021中考数学复习圆的综合题专项训练3(填空题 附答案详解)
1．如图，在平面直角坐标系中，等边 的边 在 轴正半轴上，点 ， ，点 、 分别从 、 出发以相同的速度向 、 运动，连接 、 交于点 ， 是 轴上一点，则 的最小值为______.
2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________．
14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
15．如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为_____．（注明选取的线段）
∴点F是经过点A，B，F的圆上的点，记圆心为O’，在圆O’上取一点N，使
点N和点F在弦AB的两侧，连接AN，BN，
∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，
连接O’A，O’B，
∴∠AO’B=2∠ANB=120°，
∵O’A=O’B，
∴∠ABO’=∠BAO’，
∴∠ABO’= (180°-∠AO’B)= (180°-120°)=30°，
30．在 中， ， ， ，圆 在 内自由移动.若 的半径为1，则圆心 在 内所能到达的区域的面积为______.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先证明 ，即可得出∠AFB=120°，即可判断出点F的轨迹是以O’为圆心的圆上的一段弧（劣弧AB），然后确定出圆心O’的位置及其坐标，即可确定点M和点F的位置，使FM的长度最小.
25．如图,⊙P的半径为10，A、B是圆上任意两点,且AB=12，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧)，若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____
中考数学圆的复习
中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。
斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。
考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。
考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。
考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
北京中考复习——圆(解析版)
北京中考复习——圆一、解答题1、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE．（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）152．解答：（1）∵AO=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD=90°．∴∠OBE+∠EBD=90°，∠OAE+∠CEA=90°，∴∠CEA=∠EBD．又∵∠CEA=∠BED，∴∠EBD=∠BED，∴DB=DE．（2）过D作DF⊥AB于F，连接OE，∵E是AB的中点，AB=12，∴AE=BE=6，OE⊥AB，∴∠AOE+∠OEC=∠DEF+∠OEC=90°，∴∠AOE=∠DEF，∵DB=DE，DF⊥AB，∴EF=12BE=3．在Rt△EDF中，DE=5，EF=3，∴DF，∴sin∠DEF=DFDE=45，∴在Rt△AOE中，sin∠AOE=AEAO=45．∵AE=6，∴AO=152．2、如图AB是圆O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO．（2）若PC=6，tan∠PDA= 34，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE解答：（1）∵P A、PC与圆O分别相切于点A、C，∴∠APO=∠EPD且P A⊥AO即∠P AO=90°，∴∠AOP=∠EOD，∠P AO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，即∠EPD=∠EDO．（2）连接OC，∴P A=PC=6．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△PDA中，AD=8，PD=10，∴CD=4．∵tan∠PDA=34，∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∴∠EPD=∠EDO，∴△OED∽△DEP，∴PDOD=DEOE=2．在Rt△OED中，OE2+DE2=52，∴OE3、如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD//BM，交AB于点F，且DA DC=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．答案：（1）证明见解答．（2）OE的长为解答：（1）∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴∠ABM=90°，AB⊥BM，∵CD//BM，∴AB⊥CD，∴DA AC=，∵DA DC=，∴DA AC DC==，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形．（2）连接BD，∵△ACD是等边三角形，∴∠DAB=30°，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵∠EBD+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠EBD=30°，在Rt△BDE中，DE=2，∴BD=OB，BE=4，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，OE，即OE的长为．4、如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD．（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．答案：（1）证明见解答．（2）OP=．3解答：（1）连接OC，OD．∵PC，PD为⊙O的两条切线，∴PC=PD．又∵OC=OD，∴OP垂直平分CD，即OP⊥CD．（2）如图，连接AD，BC．∵OD=OA，∠DAB=50°，∴∠ADO=∠DAB=50°．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBA=70°，∴∠ADC=180°-∠CBA=110°．∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°．∵OP⊥CD，∴∠ODC+∠DOP=90°，∴∠POD=30°．∵PD为⊙O的切线，OD为半径，∴∠ODP=90°．∵OA=2，∴OD=OA=2．在Rt△ODP中，OP=．35、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD．（2）若OB=2，求BH的长．答案：（1）证明见解答．（2）BH解答：（1）连接OC，∵BD为⊙O的切线，AB为直径，∴∠ABD=90°；∵C点为弧AB中点；∴∠COA=90°∴CO//BD；∵O点为AB中点，∴点C为AD中点，即：AC=CD．（2）∵CO⊥AB；E为OB中点，OB=2，∴OE=BE=1．∵CO//FD，∴△COE≌△FBE，∴BF=CO=2．∵AB为直径，∴∠AHB=∠ABF=90°．∵∠BFH=∠AFB，∴△ABF∽△BHF．∴ABBF=BHFH=2，∴BH:FH:BF．∵BF=2，∴BH6、如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF．（2）若sin C=13，BD=8，求EF的长．答案：（1）证明见解答．（2）2．解答：（1）连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF．（2）设半径为r，在Rt△OCD中，sin C=13，∴ODOC=13，∴OD=r，OC=3r，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴OF//BD，∴OEBD=OAAB=12，∴OE=4，∵OFBD=OCBC=34，∴OF=6，∴EF=OF-OE=2．7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切．（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=23，求BF的长．答案：（1）证明见解答．（2）BF．解答：（1）方法一：连结OC．∵EC与⊙O相切，C为切点，∴∠ECO=90°．∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC．∵OD⊥DC，∴DB=DC．∴直线OE是线段BC的垂直平分线．∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，∴∠ECO=∠EBO，∴∠EBO=90°，∴AB是⊙O的直径．∴BE与⊙O相切．方法二：连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵OC OBCOE BOEOE OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，∴△ODH∽△OBD，∴ODOB=OHOH=DHBD，又∵sin∠ABC=23，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=23，即OHOD=23，∴OH=4，∴DH又∵△ADH∽△AFB，∴AHAB=DHFB，1318=FB，∴FB．8、如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB．（2）如果⊙O AC的长．答案：（1）证明见解答．（2．解答：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB=90°，∠ABO=45°．而∠AOC=150°，∴∠BOC=60°．∴△BOC为正三角形，∴CB=CO，∠OBC=60°．∴∠CBD=180°-∠ABO-∠OBC=180°-45°-60°=75°．而在四边形BOCD中，∠COB=60°，∠OCD=90°，∠OBD=∠OBC+∠CBD=135°，∴∠D=360°-∠COB-∠OCD-∠OBD=75°．∴∠D=∠CBD．∴CD=CB．（2）在三角形AOB中，AB OA=2，DC切⊙O于C，∴∠DCB=∠CAD，∴△DCB∽△CAD．∴CDAD=DBDC．∴DC2=DB×DA=DB×（DB+AB），而DC=CB=OC，AB=2，∴2=DB×（DB+2），∴DB．∴AC=AD=AB+BD．9、如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BC中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若EF=4，sin∠F=35，求⊙O的半径．答案：（1）证明见解答．（2）158．解答：（1）如图，连接OC，OD，∵点D为BC中点，∴∠1=∠2=12∠BOC，∵OA=OC，∴∠A=∠3=12∠BOC．∴∠1=∠3，∴OD//AE．∵EF⊥AE，∴EF⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，EF =4，sin ∠F =35， ∴AE =3，AF =5．∵OD //AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴OD AE =OF AF， 设⊙O 的半径为r ，则OD =r ，OF =AF -AO =5-r ， ∴3r =55r ， 解得r =158， ∴⊙O 的半径为158． 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ．（1）若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线．（2）若⊙O tan ∠BDC =12，求AC 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）4．解答：（1）证明：连接OC ，∵OC =OA ，∴∠OCA =∠OAC ，∴∠COB =2∠OAC ，∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ，∴∠COB=∠ABD，∴OC//DE，∵CE⊥DB，∠CED=90°，∴∠OCE=90°，OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：连接BC，∵∠BDC=∠BAC，∴tan∠BAC=tan∠BDC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴BCAC=12，设BC=x，AC=2x，∴AB，∵⊙O∴x=2，∴AC=2x=4．11、如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5，C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．答案：（1）证明见解答．（2解答：（1）如图，连接OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CP A，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CP A=90°，即∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，故AB是⊙O的切线．（2）∵tan∠ACB=12，∴在Rt△ACP中，设AP=x，AC=2x，∵OA=5，∴OP=5-x，∴OB=5-x，∵AB=AC，∴AB=2x，∵∠ABO=90°，由勾股定理，得OB2+AB2=OA2，即（5-x）2+（2x）2=52，解得x=2，∴AP=2，∴OB=OP=3，∴AB=AC=4，∴CP过O作OD⊥PB于D，在△ODP和△CAP中，∵∠OPD=∠CP A，∠ODP=∠CAP=90°，∴△ODP∽△CAP，∴PDPA=OPCP=ODCA，∴PD=·OP PA CPBP=2PD12、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°，∴∠BOC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB //DC ，∴∠OCD =∠BOC =90°，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）连接AC ，交BD 于点E ，∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°，∴BC =AC∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CE =12AC∴BE ，∴BD =2BE ．13、如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且CD CB =，连接OC ，BD ，OD ．（1）求证：OC 垂直平分BD ．（2）过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AD ，CD ．①依题意补全图形．②若AD =6，sin ∠AEC =35，求CD 的长．答案：（1）证明见解答．（2）①画图见解答．②解答：（1）∵CD CB =，∴∠DOC =∠COB ，在△OED 与△OEB 中，OD OB DOE EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OED ≌△OEB （SAS ），∴DE =BE ，∠DEO =∠BEO ，∵∠DEO +∠BEO =180°，∴∠DEO =∠BEO =90°，∴OC 垂直平分BD ．（2）①依题意补全图形如下图．②由（1）可知，OC 垂直BD ，∵CE 为⊙O 的切线，∴∠ECO =∠BEO =90°，∴CE //BD ，∴∠E =∠DBA ，∵sin ∠AEC =35， ∴sin ∠DBA =AD AB =35， ∵AD =6，∴AB =10，则OB =12AB =5， 在△OEB 中，sin ∠EBO =OE OB =35， ∴OE =35·OB =3， 则EC =OC -OE =5-3=2，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD，∴DE=12BD=4，在Rt△DEC中，CD=故答案为：14、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AB于E．（1）求证：DE⊥AB．（2）如果tan B=12，⊙O的直径是5，求AE的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）如图所示，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠EDB=90°，又∵OD=OC，AB=AC，∴∠ODC=∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ODC=∠ABC，∴OD//AB，∵OD⊥DE，∴DE⊥AB．（2）如图所示，∵⊙O直径为5，∴AB=AC=5，连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴AD⊥BC，故∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD，又∵tan B=12，∠B=∠C，∴在Rt△ACD中，tan C=12，AC=5，∴设AD=x，则CD=2x，AC，=5，∴x故BD=CD又∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴在Rt△BDE中，BD tan B=12，设DE=y，则BE=2y，∴BD，解得：y=2，故BE=4，∴AE=AB-BE=5-4=1．15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB 的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED=∠B．（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．（2）若BC=4，tan B=12，求OB．答案：（1）1个，证明见解答．（2解答：（1）连接OE，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，又∵∠AED=∠B，∴AED=∠OEB，∴AEO=∠AED+∠DEO=∠OEB+∠DEO=∠DEB=90°，∴AE是⊙O的切线，∴图形W与AE所在直线有1个公共点．（2）∵∠C=90°，BC=4，tan B=12，∴AC=2，AB∵∠DEB=90°，∴AC//DE，∴tan∠CAE=tan∠AED=tan B=12，在Rt△ACE中，∠C=90°，AC=2，∴CE=1，∴BE=3，∵AC//DE，∴BEBC=2OBAB，∴34，∴OB16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC中点，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）设CD与OE的交点为F，若AB=10，BC=6，求OF的长．答案：（1）DE与⊙O相切，证明见解答．（2）95．解答：（1）如图，连接CD，OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵点E是AC的中点，∴CE=AE，且DE=12 AC，∴CE=DE=AE，∴∠ECD=∠EDC，∠EDA=∠EAD，又∵∠BCA=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵O点是直径BC中点，∴∠CBD=∠ODB，∠BCD=∠ODC，∵∠CBA+∠CAB=90°，∠BCD+∠CBA=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=180°-∠ODB-∠EDA=90°，且OD是⊙O半径，∴DE与⊙O相切．（2）∵点O与点E分别是BC与AC的中点，∴OE//AB，且OE=12AB，OC=12BC，CE=12AC，∵CD⊥AB，∴CF⊥OE，∵AB=10，BC=6，在Rt△ACB中，AC=8，∴OE=5，OC=3，CE=4，∵CF⊥OE，∠OCE=90°，∴∠COF+∠OCF=90°，∠CEF+∠COE=90°，∴∠OCF=∠CEO，∴△OCF∽△OEC，∴OCOE=OFOC，∴OF=2OCOE=235=95．17、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形．（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长．答案：（1）画图见解答．（2）直线EF是⊙O的切线；证明见解答．（3）BF=457．解答：（1）如图所示：（2）直线EF是⊙O的切线；理由：如图，连接BC，OD交于点H，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠E=90°，∴BC//EF，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，∵AB=5，BD=3，∴OB=OD=2.5，设OH=x，则DH=52-x，在Rt△OHB中，由勾股定理得：BH2=（52）2-x2，在Rt△BHD中，由勾股定理得：BH2=32-（52-x）2，∴（52）2-x2=32-（52-x）2，解得：x=710，∴OH=710，DH=95，∵O是AB中点，H是BC中点，∴AC =2OH =75， 易证四边形HCED 是矩形，则CE =DH =95， ∴AE =165， ∵BC //EF ， ∴AC AE =AB AF ，即75165=55BF， ∴BF =457． 18、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 切线CD 交BA 的延长线于点D ，过点O 作OE //AC 交切线DC 于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：∠B =∠E ．（2）若AB =10，cos B =45，求EF 的长． 答案：（1）证明见解答．（2）163． 解答：（1）如图，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =∠ACO +∠OCB =90°，∵DE 是⊙O 的切线，∴∠OCD =∠ACO +∠ACD =90°，∴∠OCB =∠ACD ．∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC，∴∠B=∠OCB．∵OE//AC，∴∠ACD=∠E，∴∠B=∠E．（2）在Rt△ACB中，cos B=CBAB=45，AB=10，∴BC=8，AC=6．∵∠ACB=∠OCE=90°，∠B=∠E，∴△ACB∽△OCE，∴ACOC=ABOE，∴65=10OE，∴OE=253．∵OF//AC，O为AB中点，∴OF=12AC=3，∴EF=OE-OF=163．19、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，对角线AC经过点O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE//AC．（2）若AB=8，tan E=43，求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）．解答：（1）如图，连接OD，∴∠ADC=90°，∵AD=CD，∴∠DOC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE//AC．（2）∵DE//AC，∴∠E=∠ACB，∵AC为⊙O直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=8，tan∠ACB=43，∴AC=10，∴CD．20、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：∠BCE=∠CAD．（2）若AB=10，AD=6，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）CE=203．解答：（1）连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCB+∠BCE=90°，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠OBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CAB=∠BCE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴∠CAD=∠BCE．（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=10，AD=6，∴BD=8，∵AC平分∠DAB，∴CD BC，∴OC⊥BD，DH=BH=4，∴OH=3，∵OC⊥CE，∴BD//CE，∴△OHB∽△OCE，∴OHOC=BHCE，∴35=4CE，∴CE=203．21、如图，点A，B，C在⊙O上，D是弦AB的中点，点E在AB的延长线上，连接OC，OD，CE，∠CED+∠COD=180°．（1）求证：CE是⊙O切线．（2）连接OB，若OB//CE，tan∠CEB=2，OD=4，求CE的长．答案：（1）证明见解答．（2）解答：（1）∵D是AB中点，∴OD⊥AB，∴∠ODE=90°，∴∠OCE=360°-∠ODE-（∠CED+∠COD）=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O半径，∴CE是⊙O切线．（2）过B作BH⊥CE于H，由（1）知∠OCE=90°，∵OB//CE，∴∠BOC+∠OCE=180°，∠OBD=∠CEB，∴∠BOC=90°，tan∠OBD=tan∠CEB=2，∵∠ODB=90°，∴在Rt△ODB中，tan∠OBD=ODBD=2，∵OD=4，∴BD=2，∴OB∵BH⊥CE，∴∠BHC=∠BHE=90°=∠BOC=∠OCH，∴四边形OBHC是矩形，∵OB=OC，∴四边形OBHC是正方形，∴BH=CH=OB=OC在Rt△BHE中，tan∠CEB=BHHE=2，∴HE∴CE=BE+HE22、如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD 交AC于点F，且FC=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为5，tan A=34，求GF的长．答案：（1）证明见解答．（2）1．解答：（1）∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵OD⊥AC，∴∠DGF=90°，∴∠ODB+∠DFG=90°，∵∠DFG=∠BFC，∴∠ODB+∠BFC=90°，∵BC=FC，∴∠BFC=∠FBC，∴∠FBC+∠ODB=90°，∴∠FBC+∠OBD=90°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．（2）∵tan A=OGAG=BCAB=34，又∵⊙O的半径为5，∴OA=OB=5，∴OG=3，AG=4，AB=10，∴BC=152，∴AC 252，∵CF=CB=152，∴AF=AC-CF=5，∴FG=AF-AG=5-4=1．23、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC 的延长线于点D．（1）求证：∠DBC=∠OCA．（2）若∠BAC=30°，AC=2．求CD的长．答案：（1）证明见解答．（2）3．解答：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠OBD =90°，∴∠OBC +∠CBD =90°，∴∠A =∠CBD ，∵OA =OC ，∴∠A =∠OCA ，∴∠OCA =∠DBC ．（2）∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，∴cos ∠BOC =OB OD =12， ∴OD =2OB ，∴CD =OC =OB ，∵cos ∠CAB =AC AB =∴AB =3，∴CD =OB =3，即CD 24、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 上，AD 平分∠CAB 交BC 于点E ，DF 是⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DF ⊥AF ．（2）若⊙O 的半径是5，AD =8，求DF 的长．答案：（1）证明见解答．（2）4.8．解答：（1）如图所示，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，∴∠ODA=∠CAB，∴AF//OD，又∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AF．（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由（1）可知DF⊥AF，∴∠F=∠ADB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠F AD=∠DAB，∴Rt△F AD∽Rt△DAB，∴DFBD=ADAB，在Rt△ABD中，由勾股定理可知：BD ∵⊙O的半径为5，∴AB=10，∴BD=6，即DF=6×8÷10=4.8．。
中考数学复习专题训练《圆的综合》(3)
中考数学复习专题训练《圆的综合》（3）1．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，O、A、B三点都在格点处，线段OA绕点O顺时针旋转至OB．（1）求线段OA的长；（2）画出旋转过程中点A经过的路径，且求出该路径的长．2．如图，网格中每个小正方形的边长为1，△OAB的顶点都在格点上，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使A点初次落在点A1上，请在图中画出△OAB 旋转后所得的像△OA1B1；（2）将△OA1B1向左平移三个单位得到△O2A2B2，请在图中画出平移后所得的像△O2A2B2；（3）求两次变换后B点所经过的路径总长．3．如图，点O、B的坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．（1）画出△OA′B′；（2）点A′的坐标为；（3）求在旋转过程中，点B所经过的路线的长度．4．如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：（1）网格中每个小三角形的面积为；（2）将顶点在格点上的四边形ABOC绕点O顺时针旋转120°两次，画出所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为．（结果保留π）．5．如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为，此时点A经过的路程为；（2）当点A经过的路程为时，中心O与初始位置的距离为；（3）将正方形在滚动中转了180°时点A的位置记为A1，正方形转了360°时点B的位置记为B1，请你猜想∠AA1B1的大小，并请你利用三角函数中正切的两角和公式来验证你的猜想．6．如图，⊙O的半径为10cm．（1）如果∠AOB＝100°，求扇形AOB的面积；（2）已知弧BC长为25cm，求∠COB的度数．（结果保留整数）7．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝8，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求证：AF＝DF．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；（2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．9．如图，P A、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB＝60°，OP 与弦AB交于点C，与⊙O交于点D．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．10．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C 在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上．（1）求正方形CDEF的边长；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，已知△ABC，若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1．①请在图中画出△A1B1C1；②写出A点的对应点A1的坐标；③求出线段CB在旋转过程中扫过的面积．12．如图，⊙O交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，点D 为第一象限内⊙O上的一点，连接AD，OD，CD，已知∠DAB＝15°，CD＝2．（1）∠OCD＝．（2）⊙O的半径为．（3）S扇形COD＝．13．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，已知△ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积．14．如图，点P在圆O外，P A与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，P A＝．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积．15．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，（1）求证：∠CDO＝∠BDO；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．17．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．18．如图，已知A为⊙O外一点，连接OA，交⊙O于P，AB是⊙O的切线，B是切点，且PO＝2cm，AB＝2cm，求阴影部分的面积．19．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的上，求的长度及扇形ABC的面积．20．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2＝AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．21．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，画出小狗活动的区域，并求出当BC＝2m时S的值．（结果保留π）（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，设BC＝xm，①写出面积S与x的关系式；②在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．（结果保留π）22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积S．23．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，连结OB，求图中扇形BOC的面积．24．如图，点A是游乐场上方25m处安装的一盏照明灯，灯光以圆锥形式照射地面．若圆锥的母线AB与AC的夹角为60°，求此灯光照射地面的面积．25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）26．如图，点E，C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．（1）求证：AB＝DE；（2）若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．27．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB＝AD，延长CB、DA 交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB＝BO，连接OA．（1）求证：OA∥CD；（2）求线段BC：DC的值；（3）若CD＝18，求DE的长．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BF A＝∠DBC．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若BH＝3，求AD的长度；（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．30．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．。
备战中考数学(苏版五四学制)巩固复习第三章圆的初步认识(含解析)
备战中考数学（苏版五四学制）巩固复习第三章圆的初步认识（含解析）一、单选题1.一个圆形池塘直径为15.5米，周长是（）A.8.4米B.26.376米C.31米D.48.67米2.大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆的周长是小圆周长的倍.（）A.4B.6C.23.通过圆心同时两端都在圆上的()叫直径．A.直线B.线段C.射线4.下面圆的周长(单位：厘米)是（）A.25.12厘米 B.31.4厘米 C.37.68厘米 D.43.96厘米5.不阻碍圆的大小的是（）。
A.圆心位置B.半径C.直径6.连接圆上任意两点的线段，它的长度一定（）直径。
A.小于B.大于C.不大于7.一个圆至少对折()次才能找到圆心．A.1B.2C.38.假如圆的半径是5厘米，那么它的周长是（）厘米.A.5πB.10πC.15πD.25π9.下面图形的周长是（）（单位：米）A.15.17米B.15.71米C.25.06米D.20.56米10.以下哪个选项是扇形的定义（）A.一条弧和通过这条弧两端的两条半径所围成的图形B.圆上两点与圆内一点连线及其弧围成的部分C.圆外两点与圆心连线围成的部分D.一条弧和通过这条弧两端的任意两条线段所围成的图形11.下列图形中,阴影部分不是扇形的是（）。
A.B.C.D.12.如图所示的图形中，已知圆的直径为20cm，则图形周长为（）A.20πB.10πC.5πD.10π＋20二、填空题13.一个半圆的周长是10.28分米，那个半圆的面积是________平方分米14.一个圆的周长是12.56厘米，它的面积是________平方厘米。
15.如图，圆中两条半径把圆分成面积为4：5的两个扇形，则两个扇形的圆心角的度数分别为________、________．16.用圆规画一个周长是28.26厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是________厘米.17.一个圆的直径是9m，半径是________m．18.________决定圆的位置，________决定圆的大小。
中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。
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C
B
证明：连结AB
CO1⊥AB ＝ CO1平分∠DCE ＝ 点O1到CD、CE的距离相等 ＞ ＞ O1O2是连心线 AB是公共弦
E
要证弦相等，可证该弦上的 弦心距相等，即点O1到CD、 CE的距离相等，因此，可通 过证CO1平分∠DCE
＝ ＞
O1O2⊥AB O1O2平分AB
＝ AC=BC ＞
∴(R2+R1)2=(6
2 )2 +32 =81
探究：定圆⊙ O半径为4cm， 动圆⊙ P半径为1cm
（1）当两圆外切时OP为 5 cm？点P在怎样的图形上 点P在以O为圆心,5cm为半径的圆上运动 . 运动？
（2）当两圆内切时OP为 3 cm？点P在怎样的图形 上运动？ 点P在以O为圆心,3cm为半径的圆上运动 .
P
O
Hale Waihona Puke 探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
(O)
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
d=R+r ⊙A和⊙B外切
A
R d
r
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
R-r <d<R+r ⊙A和⊙B相交
R d
r
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内切 d=R-r
d
r
R
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内含 d<R-r
练 习
O
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
O
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
(1)求证：PA2=PC · PB (2)若两圆的半径分别是方程 x2-4x+3=0的两根， 求ΔABC的周长。 P O 1
C B
A
O
2
若AB=6
2
，两半径的差
B C
A
是3，求以两半径为根的一元
二 次方程。 解：连结O1 B、O2 A 作
D
O2
P O1 O1 D⊥O2 A 于 D，∵AB是两圆
的公切线，∴O1B⊥AB,O2A⊥AB ∴四边形ABO1D是矩形 ∴R2+R1= 9（负值舍去） 设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1、R2 ∵ R2－R1=3 ∵四边形ABO1D是矩形 ∴ R1=3, R2=6 ∴AB=O1D=6 2 AD=BO1=R1 O2D=R2－R1=3 ∵ O1O22=O1D2+O2D2 ∴所求作的方程为 x2－9x＋18=0
点在圆上
点在圆外
直线和圆的位置关系
r
.O
d ┐ l
1、直线和圆相离 2、直线和圆相切
d > r
0个
1个
d = r d < r
r .O d┐
l
3、直线和圆相交
r
d┐
.O
l 2个
圆与圆之间存在怎样的位置关系？？
日 食 是 怎 样 形 成 的 ？
这 是 一 次 日 全 食 的 图 片 。
将月亮和太阳抽象成我们学 过的几何图形——圆，你能 你能不能用类比的方法，从 根据刚才的演示用你们手中 两圆公共点的个数确定两圆 的硬纸片演示出两个圆的所 的位置关系？ 有位置关系并画出来吗？
1、⊙O1、⊙O2的半径分别为2㎝和4㎝，连 0 d 2或d 6 心线O1 O2的长度在__________范围时，两 圆无公共点。 2、若相切的两圆直径分别为8㎝和14㎝， d 9或d 5 则圆心距d为_________
3、已知⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，且半 径分别为2㎝、3㎝、10㎝，则△O1 O2 O3 直角三角形 的形状是_________。 4、△ABC中,AB＝8㎝,AC＝7㎝,BC＝5㎝， 以A、B、C为圆心的三个圆两两外切，则 5cm、3cm、2cm ⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为__________
演示操作：移动⊙O2，使O2在直线
O1O2上移动，当两圆逐渐分开时，A、 B两点会逐渐靠近。 猜想：当两圆相切时，切点是否在连 心 线上？ 归纳：相切两圆的连心线经过切点。
演示
合作探究2：
讨论：如何证明：相切两圆的连心线经过切 点。
O1 O2 T
已知：如图，⊙O1⊙O2相切于点T. 求证：点T在O1O2上 证明： （反证法） 假设点T不在O1O2上，那么点T 关于O1O2的对称点T`也不在 O1O2上，而T是两圆公共点， 于是T`也是两圆公共点，这与 两圆相切只有一个公共点相矛 盾，因此点T在O1O2上
A
O1 O2
为什么？ 2.相交两圆的连心线和两圆的公共 弦，有何位置关系？
归纳：
B
演示
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
合作探究1：
根据命题如何写出已知、求证，怎样证明？ 已知：如图，圆⊙O1和⊙O2相交于点A和B.
求证：直线O1 O2垂直平分AB. 证明： 连结AO1、BO1、AO2、BO2..
观察两圆的相对位置和交点个数
1个 2个 1个 0个
1个 0个
2个
1个
0个
没有交点
外离
两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一 个圆的外部时,叫做这两个圆外离。
比如说自行车的两个轮之间位置关系。
有1个交点
外切
两个圆有唯一的公共点，并且除 了这个公共点外，每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做 这两个圆外切。
有2个交点
相交
两个圆有两个公共点时,叫做 这两个圆相交。
两个圆有唯一的公共点,并且除 了这个公共点外,每个圆上的点 都在另一个圆的内部时,叫做 这两个圆内切。
有 1 个 交 点
内切
没 有 公 共 点
两个圆没有公共点,并且每 个圆上的点都在另一个圆 的内部时,叫做这两个圆内 含。
同 心 圆 是 内 含 的 特 例
（2）已知 ⊙O1与⊙O2的半径分别为方程 x2-9x+14=0的两个根，若圆心距O1O2的 长为6，则⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？ （3）已知两圆内切时圆心距是4cm，其中 一圆的半径是５cm,求另一圆的半径？
四、如图，已知⊙O1 与⊙O2外切于点A，BC 是公切线，C、B是切点，O2O1的延长线交BC 的延长线于P点。
O1
T O2
定理：相切两圆的连心线经过切 点。
图形语言：
O1 O2
T
O1 O2
T
符号语言：
∵⊙O1⊙O2相切于点T. ∴点T在O1O2上
合作探究2：
讨论：如何证明：相切两圆的连心线经过切 点。
O1 O2 T
已知：如图，⊙O1⊙O2相切于点T. 求证：点T在O1O2上 证明： （反证法） 假设点T不在O1O2上，那么点T 关于O1O2的对称点T`也不在 O1O2上，而T是两圆公共点， 于是T`也是两圆公共点，这与 两圆相切只有一个公共点相矛 盾，因此点T在O1O2上
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
O
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
＝ AD=BE ＞
应用训练：
1.如图，⊙O1与⊙O2相交于AB两点，它们的半径 都为R，⊙O1经过点O2，求：∠O1AB的度数和 AB的长。
A O1 B O2
2.已知⊙O1与⊙O2相切于点T，经过切点T的直线 与⊙O1和⊙O2分别相交于另一点A和B，求证： O1A∥O2B
2.主要性质（1）两圆相切连心线必过 切点 。
O
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A
B
C 10
探究1 如图， ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm， 圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s） 问： （1） 在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？ （2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？ A