24.3_正多边形和圆(2课时)

A A A A A A A . A2 3 n A3 4 1 A4 5 2 A1 A2 n 1
先说A1
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做 这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角 叫做正多边形的中心角.
F E
若正多边形的周长为l， 边心距为r，则：
A
O
D
lr S=_________。 2
1
B
C
例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六 边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
360 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 60， 6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
B
D
小结：画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 画正多边形的方法 2.尺规作图等分圆
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（ × ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（ ×） 2、证明题。
A
D.24m
B C
D
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的 内接正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠C OA=120°． ②用量角器或30°角 的三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30° ．
你能用以上方法画出正四边形、正五边 形、正六边形吗？
A O ·
90°
D
B O
A
F E
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、 正八边形吗？
A D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆内 接正方形，再过圆心作 各边的垂线与⊙O相交， 或作各中心角的角平分 线与⊙O相交，即得圆 接正八边形，照此方法 依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十 四边形……
E
O
·
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要 把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这 个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多 边形的外接圆.
解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形. 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形,
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各 角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为 A６ 什么;如果不是,举出反例. A
B
P
当堂训练 1.课本P107第1题
正多边形 内 中心 角 角 边数 3 60° 120 90 90 4 120 60 6
半 径
边 边心 周 面 长 距 长 积
2 2 3 2 2 2 2
1
1 3
6 33 3
8 4 12 6 3
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为 什么?
解答：
O
360 中心角是___________; n
C
F
D
正多边形的中心角与外角的大小关 相等 系是________. 中心角与内角互补
例题选讲
知一求二
例1.若正三角形的半径为4，则它的边心距是 2 4 3 ____，边长是_____。 重点：正三角形、 正方形、 正六边形 例2.有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边 形（如图）求地基的周长和面积。
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
F E O ·
A
D
B
C
以半径长在圆周 上截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三角形， 正十二边形，正二十 四边形………
探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘
停
练习：用量角器作五角星
C
A M N
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
F
r 4 2 2 3.
2 2
E O r R C
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
B
E
C
S正方形ABCD ABBC

2R

2
2R2
抢答题：
△ABC的中心，它是△ABC的 外接圆 1.o是正 与 内切圆 的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 半径
它是正△ABC的 外接圆 的半径。
3、OD叫作正△ABC的 边心距
它是正△ABC的 内切圆 的半径。
.O D
C
B
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
A７ An A1 · O
５
A４ A３
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
1 A2 2 A3 3 A4 1 An n A1 . A A A An A
A２
A1 A2 A3 An .
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
• 学习目标 • 1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边 形的中心、半径、边心距、中心角等概念. • 2.能运用正多边形的知识解决与圆的有关 计算问题.
• 认真看课本P104-P105练习前的内容 • （1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经 常看到的用正多边形得到的图案，你能从这些图 案中找出正多边形来吗？ • （2）什么叫正多边形? • （3）从你身边举出两三个正多边形的实例，正多 边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条， 对称中心是哪一点? • （4）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样才 能作出一个正多边形来？ • 理解概念： • (1)中心（2）半径 （3）中心角 （4）边心距
.O .
R a G
C
B
A
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r
2
2 a） ， R （2 2
面积S 1 L 边心距（r） 1 na 边心距（r）
2
新课讲解 正n边形的一个内角的 B
( n 2) 180 度数是____________; n
A E
中心角
中心到正多边形的一边的距 离叫做正多边形的边心距.
O
·
半径R
边心距r
新课讲解
A B E
O
C
F
D
正多边形中的有关概念： 中心 半径 中心角 边心距
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
中心角 360
n

E
中心角
D
F 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的（边心距 ）， 它是正五边形ABCDE的（ 内切圆）的半径。 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的（中心）角， 72度 它的度数是（ ） D
E
C
.O A F B
∠AOB） 8、图中正六边形ABCDEF的中心角是（ 它的度数是（60度 ）
图片欣赏
图片欣赏
正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，三个角 四条边都相等，四个角 也相等（60度）。 也相等（90度）。
正多边形：各边相等，各角也相等的多 边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形。
思考：各边相等的多边形是正多边形吗？ 为什么？各角相等的多边形呢？
AB BC CD DE EA ， ∴ AB=BC=CD=DE=EA, B
BCE
A
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. C D 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边 形ABCD的外接圆.
CDA 3 . AB
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
小结 1.正多边形中的有关概念； 2.正多边形的对称性； 3.正多边形中的有关计算：
360 中心角 =外角 = _____ n ( n 2) 180 内角= ___________ n
边长、半径、边心距知一求二 面积S=
A B C D
求证：顺次连结正六边形
各边中点边形的各边相等
2、正多边形的各角相等
新课讲解
A
B
E
探究、正n边形具有怎样 的对称性？
C
D
正n边形都是轴对称图形，它有n条对称轴； 当n为偶数时，正多边形是中心对称图形。
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n条对称轴，每条对称轴都通 过n边形的中心。
A
1 边心距＝OD= R. 2
∠BAD=30°, 1 3 AD OA OD R R R， 2 2
R AD AB 2 3 R. cos BAD cos 30
S ABC 1 1 3 3 3 2 BC AD 3 R R R . 2 2 2 4
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？