第2章 信号的采样与重建
2 信号的采样与重建
第二章 要点
1 信号经采样后频谱发生的变化--------信号经采样后频谱发生的变化 理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为 理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓 重复周期为 采样频率)。 Ωs(采样频率 。 采样频率 2 由离散信号恢复连续信号的条件 由离散信号恢复连续信号的条件--------要使实信号采样后能够不失真还原， 要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于等于 信号最高频率的两倍。 信号最高频率的两倍。 s≥2 max 3 采样的恢复 采样的恢复--------加低通滤波器; 加低通滤波器
T
0
t
Ω< Ω≥ Ωs Ωs
− Ωs / 2
0
Ωs / 2
Ω
T G( jΩ) = 0
∞
2 2
Ωs 2 Ω − s 2
1 T jΩt g(t) = ∫−∞G( jΩ)e dΩ = 2π ∫ 2π
Ωs π t si n t si n T 2 = = Ωs π t t T 2
e jΩt dΩ
n=−∞
傅立叶变换（复习）
傅氏变换： 傅氏变换：
F( jΩ) = ∫ f (t)e
−∞
∞
− jΩt
dt
傅氏反变换： 傅氏反变换：
1 ∞ f (t) = F( jΩ)e jΩt dΩ 2π ∫−∞
包络
t
ˆ xa (t ) = xa (t ) * g (t ) =
∞
0
被恢复的信号 在采样点的值 就等于Xa(nT), 采样点之间的 信号是由各采 样值内插函数 波形叠加而成。
∞ n = −∞ a
n = −∞
∑ x (nT )δ (t − nT ) * g (t ) = ∑ x (nT ) g (t − nT )
实验三 信号采样与重建(实验报告)
《信号与系统》实验报告学院 专业 班级姓名 学号 时间实验三 信号采样与重建一、实验目的1、进一步学习MATLAB 的函数及其表示。
2、掌握及验证信号的SHANNON 采样定理。
3、由采样序列重构恢复原信号。
二、实验内容1、对连续时间信号y(t)＝sin(24πt)+ sin(40πt)，它有12Hz 和20Hz 两个等幅度分量。
用MATLAB 作图求出Nyquist 频率2fmax 。
t in 1/4sec.y (t )Analog Signalt in 1/12sec.s i n (24*p i *t )t in 1/20sec.s i n (40*p i *t )作图法判断频谱法判断2、设连续信号x(t)=exp（－1000|t|）时A、求傅利叶变换X（jw）。
（先书面求出变换公式，可判断出在2000Hz以上，其频谱幅度已经很小，因此，该处频率就可近似当成信号的最高频率）。
B、现在取采样频率fs＝5000Hz，可得到信号序列x1[n],求离散DFT频谱X1（e jw）C、减小采样频率至fs＝1000Hz，则可得到序列x2[n],求频谱X2（e jw）D、分别针对x1[n]与x2[n],试重建恢复（用三次样条函数或sinc函数）出对应的连续信号x1（t）与x2（t）,并与原信号x（t）作对比。
最后根据抽样定理的知识，简单说明采样频率的大小对信号重建质量的影响。
5000Hz采样序列的重构情况 1000Hz采样序列的重构情况三、思考题：①连续时间信号的傅利叶变换matlab求法，这里采用的近似公式是什么？②从序列重构连续信号所采用的matlab函数是什么？采用三次样条内插函数，即利用Xa=spline(nTs,X,t)来实现。
其中X和nTs分包含在nTs 时刻和样本X(n)的数组，但存在一些误差。
③shannon采样定理中的信号Nyquist频率是指什么？与采样频率有什么不同？Nyquist频率是指是指最低允许的抽样率，是带限信号频率宽度的2倍，并且Nyquist 频率信号带宽是采样频率的一半。
信号采样和重建外文翻译解读
三江学院毕业设计(论文)外文资料翻译院系电子信息工程专业电子信息工程学生姓名徐慧班级学号12010091039外文出处/view/c46c9b3d376baf1ffc4fada0.html附件：1.外文资料翻译译文（约3000汉字）；2.外文资料原文(与课题相关的1万印刷符号左右)。
指导教师评语：指导教师签名：年月日外文资料翻译译文压缩采样的介绍信号或图像采样的传统方法遵循香农定理：采样速率大于等于信号频率最大值（也叫的奈奎斯特速率）的二倍。
事实上，这一原理构成了音频和视频设备、医学成像设备和无线电接收器等设备上的几乎所有信号采集协议的基础（尽管对于一些信号，比如非带宽受限的图像，采样速率不是通过香农定理而是由时间或空间分辨率决定，然而在这样的体系里通常要在抽样前使用抗混叠的低通滤波器进行带宽限制，所以香农定理依然起到了一个隐式的作用）。
例如，在数据转换方面，标准的模数转换器技术使用的量化香农定理表述为：信号均匀抽样速率大于等于奈奎斯特速率。
本文概括论述了压缩采样的理论，也被称作压缩传感或者CS，是一篇突破了传统信号获取理论的文章。
CS理论断言可以用比传统方法更少的采样点或测量值恢复信号或图像。
为了实现这一点，CS依赖于两个原则：稀疏性和非相干性，前者与所感兴趣的信号有关，后者与传感模式有关。
稀疏性表达的思想是：连续时间信号的信息速率可能远小于根据带宽所计算出的值，或者说离散信号取决于远小于有限长度的一些量值，更明确的说，CS阐述了这样一个事实：从某种意义上说，当用适当的基表示时有简洁描述的情况下，许多自然信号是稀疏的或可压缩的。
非相关性扩充了时域和频域的二元性，并表达了这样一种思想:在ψ中有稀疏表示的目标信号在它们所在的域上是展开的，正如在时域中冲击函数或者峰值函数在频域中是展开的一样。
换句话说，非相关性描述的是：与我们感兴趣的信号不同，采样/传感信号波形在基ψ中有一个相当密集的表示。
至关重要的发现是能够设计一个有效的传感或采样方案来捕捉内嵌在稀疏信号里的有用的信息，再将其压缩。
数字信号处理实验报告-信号采集与重建
数字信号处理实验报告-信号采集与重建实验二信号的采样与重建一.实验目的（1）通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
（2）通过实验，了解数字信号采样转换过程中的频率特征。
（3）对实际的音频文件作内插和抽取操作，体会低通滤波器在内插和抽取中的作用。
二.实验内容（1）采样混叠，对一个模拟信号Va(t)进行等间采样，采样频率为200HZ，得到离散时间信号V(n).Va（t）由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成。
Va(t)=6cos(60pi*t)+3sin(300pi*t)+2cos(340pi*t)+4cos(500pi*t)+10sin(660pi*t)观察采样后信号的混叠效应。
程序：clear,close all, t=0:0.1:20; Ts=1/2; n=0:Ts:20;V=8*cos(0.3*pi*t)+5*cos(0.5*pi*t+0.6435)-10*sin(0.7*pi*t);Vn=8*cos(0.3*pi*n)+5*cos(0.5*pi*n+0.6435)-10*sin(0.7*pi*n); subplot(221)plot(t,V), grid on,subplot(222) stem(n,Vn,'.'), grid on,40200-20-4040200-20-400510152021101520（2）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。
分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。
程序：clear;N=100; M=2;f1=0.043; f2=0.31; n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); y1=x(1:2:100);y2=decimate(x,M,'fir'); figure(1);stem(n,x(1:N));title('input sequence'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(2); n=0:N/2-1; stem(n,y1);title('output sequence without LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(3); m=0:N/M-1;stem(m,y2(1:N/M));title('output sequence with LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(4);[h,w]=freqz(x);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the input sequence');xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(5);[h,w]=freqz(y1);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP');xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(6);[h,w]=freqz(y2);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP');xlabel('w');ylabel('fudu');input sequence21.510.5fudu0-0.5-1-1.5-202120304050n60708090100output sequence without LP21.510.5fudu0-0.5-1-1.5-20510152025n3035404550output sequence with LP1.510.5fudu0-0.5-1-1.50510152025n3035404550frequency spectrum of the inputsequence5045403530fudu252021105000.511.5wfrequency spectrum of the output sequence without LP3022.533.52520fudu15105000.511.5w22.533.5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
信号采样与重建
1.软件介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。
成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
MTLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
(2)运算符丰富。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。
(5)MATLAB的图形功能强大。
(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。
由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件:(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
第二章+信号的采样与重建
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2014/3/14
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4、采样信号的频谱
问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号 频谱的关系？ 设
X Xaa((jj )) F xa (t ) xa (t )e jt dt
1
对应的反变换为
x a (t ) F
( t nT ) e jm t dt
jm s t
(t )e
1 dt T
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所以
1 M (t ) T
m
e jm s t
将M(t)的级数表示代入采样序列的傅立叶变换式：
jt ˆ ( j) F x x ( t ) M ( t ) e dt ˆ X ( t ) F x ( t ) M ( t ) a a a a
G(j)
T
s / 2
0 S/2
a (t ) x
T G ( j ) 0 s s
G(j) g(t)
y (t ) xa (t )
2 2
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X
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内插公式表明，连续函数 xa(t)可以由它的采样值 xa(nT )来表示，它等于 xa(nT )乘上对应的内插函数 的总和，如图所示。 S (t 2T )
1
(m-1)T (m-2)T mT
信号的采样与恢复
深圳大学实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：信号的采样与恢复学院：信息工程专业：电子信息指导教师：报告人：学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务部制一、实验目的和要求1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证采样定理。
二、实验内容和原理实验原理1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号采样而得。
采样信号x s （t ）可以看成连续信号x （t ）和一组开关函数s （t ）的乘积。
s （t ）是一组周期性窄脉冲，如图2－5－1，T s 称为采样周期，其倒数f s ＝1/T s 称采样频率。
图2－5－1 矩形采样信号对采样信号进行傅里叶分析可知，采样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于采样频率f s 及其谐波频率2f s 、3f s ……。
当采样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sinx/x 规律衰减。
采样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、采样信号在一定条件下可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。
3、原信号得以恢复的条件是f s ≥2f max ，f s 为采样频率，f max 为原信号的最高频率。
当fs ＜2 f max 时，采样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s ＝2 f max ，恢复后的信号失真还是难免的。
实验中选用f s ＜2 f max 、f s ＝2 f max 、f s ＞2 f max 三种采样频率对连续信号进行采样，以验证采样定理：要使信号采样后能不失真地还原，采样频率f s 必须大于信号最高频率的两倍。
4、连续信号的采样和采样信号的复原原理框图如图2－5－2所示。
信号的采样与重建
信号的采样与重建一、 设计目的和意义通过用MATLAB 对f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)进行设计仿真，让我们通过试验论证理论的正确性，同时学会使用并掌握MATLAB 软件的使用，进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、 设计原理通过使用软件MATLAB 对采样信号模拟仿真，进行采样、傅里叶变换通过数字图形对设计的F （T ）显示，观察其形状变化。
1、时间的傅立叶变换：X(jw)=()jwt x t e dt ∞--∞⎰; （2-1）X(t)=1/2()jwt X jw e dw π∞-∞⎰. （2-2）2、离散时间的傅立叶变换：X(jwe )=[]jw nn x n e∞-=-∞∑; （2-3）X[n]=21/2()jw jwn X e e dw ππ⎰. （2-4）3、采样定理：设x(t)是某一个带限信号，在|w|>Wm 时，X （jw ）=0。
如果Ws:>2Wm ，其中Ws=2π/T,那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,1,2++--,···所决定。
已知这些样本值，我们能用如下 办法重建X(t)信号：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将 冲激串通过一个增益T ，截止频率大于Wm ，而小于（Ws-Wm ）的理想低通滤波器，该滤波器的 输出就是x(t)。
4、频谱的平移：0()((0))fejw t e x t X j w w −−→-。
（2-5） 三、 详细设计步骤1.建立源信号：f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)，对f （t ）进行采样，其结果显示如图1所示： t=-1:pi/100:1;x1=5*sin(2*pi*30*t);x2=2*sin(2*pi*60*t); x3=0.5*sin(2*pi*90*t);f=x1+x2+x3;subplot(221),plot(t,x1);subplot(222),plot(t,x2); subplot(223),plot(t,x3);subplot(224),plot(t,f);2、采样：用120Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（3）所示： fs1=120;t1=-1:1/fs1:1;f1=5*sin(2*pi*30*t1)+2*sin(2*pi*60*t1)+0.5*sin(2*pi*90*t1);figure(1);plot(t1,f1);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;fs2=240;t2=-1:1/fs2:1;f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2);figure(2);plot(t2,f2);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象. 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示：f1=30;f2=60;f3=90;fs=120;N=120;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x1=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf1=fft(x1,N);xf1=abs(xf1);w1=120*k/Nfigure(1);plot(w1,xf1);f1=30;f2=60;f3=90;fs=240;N=240;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x2=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf2=fft(x2,N);xf2=abs(xf2);w2=240*k/Nfigure(2);plot(w2,xf2);4、因为用信号fs=120HZ进行采样时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原，其重建如图（6）所示。
《信号与系统》课程设计-信号采样与重建
《信号与系统》课程设计——信号的采样与重建【设计题目】信号的采样与重建 【设计要求】(1) 理解并掌握采样定理。
(2) 分别给定的带限信号进行临界采样、欠采样、过采样，观察采样前后信号的时域波形及频谱特点。
(3) 分别对临界采样、欠采样、过采样后的信号进行重构，设计合理的滤波器，完成信号的重建。
【设计工具】MATLAB 【设计原理】1 采样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。
其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为0F ，则当取样频率02F F s ≥时，可从取样序列)()(s a nT x n x =中重构，否则将导致)(n x 的混叠现象。
带限信号的最低取样频率称为Nyquist （奈奎斯特）速率。
图1给出信号采样原理图图1 信号采样原理图由图1可见，)()()(t t f t f Ts s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t Ts δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ （1）其傅立叶变换为∑∞-∞=-n s s n )(ωωδω，其中ss T πω2=。
设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ssn s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω （2）若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω如图（2），由式（2）可见，)(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s 1倍）。
因此，当m s ωω2≥时如图（4），频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时如图（5），频谱发生混叠。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
实验四 信号的采样及恢复一、实验目的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进行抽样和恢复的基本方法；3、通过实验验证抽样定理。
二、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ⨯=π（2）)502cos()(2t t x ⨯=π （3）)1002cos()(3t t x ⨯=π2、产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
（1）生成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进行抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利用抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =⎪⎭⎫⎝⎛=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？ （3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利用MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进行抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ∙=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f ππω22==称为抽样角频率。
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Ts
2
T s Ts
2 n
2 2
T s
(t )e jm t dt
s
1 Ts
ame
jm s t
1 Ts
m
jm s t e
ˆ ( j) X a
1 Ts
1 jms t jt e e dt xa (t )m Ts
x (t ) (t nT ) x (nT ) (t nT )
a n a
这种采样可看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之 为冲激采样或理想采样。
理想采样的时间波形图见图2.6(b)所示。
9
xa (t )
0
xa (t )
t
p(t )
0
M (t )
t
0
t t
0
2
A/D转换---量化：用二进制数码对应的电平替代采样电 平值，图2.2中的小圆点处的幅度称为量化电平。
A/D转换---数字化（编码）：将量化后的电平用二进制 数码表示。 模拟信号的数字化工程上通常用A/D转换器来实现。 由 于A/D转换器采用有限的二进制位，所以表示的信号幅度也 是有限的，若用b位二进制数码表示，则只能表示2b个电平 （量化电平），所以量化电平和模拟信号相比存在一定的误 差，误差的大小和A/D转换器的位数有关。 A/D转换器将采 样保持器的输出信号转换成数字信号，A/D转换器的转换时 间应小于采样周期T。A/D转换后的信号是一串数字，不但在 时间上进行了离散化，在幅度上也进行了量化，这种信号称 为数字信号。
1 ˆ X a ( j) X a ( j) Ts
s 2
将采样信号通过一个理想低通滤波器（特性如图2.9(a)所 示滤波器的带宽等于c),则可恢复出原连续时间信号。
ˆ ( j) X a
理想低通滤波器
H ( j)
Y ( j )
16
若低通滤波器的频率响应为:
H(j) Ts
Ts H ( j ) 0
3
模拟信号数字化:采样、量化、编码。
数码 量化电平
0.89 0.81 0.63
0. 90 0.87
数字信号
采样保持信号
0.75 量化电平 0.61 模拟信号
0.38
0.36 0.24 0.14
图2.2
模拟信号的数字化
4
数字/模拟转换与平滑滤波。工程上用D/A转换器实现从 数字信号到模拟信号的转换。 D/A转换器的输出信号类似与 采样保持信号，是一阶梯状的连续时间信号。D/A转换器每 得到一个数字就建立一个新的量化电平，并通过零阶保持在 T时间段内保持此电平直至下一个数字到达，如此不断重复， 形成一个阶梯状的连续时间信号。该信号与原模拟信号的频 谱并不相同，只有通过平滑滤波器滤除高频分量，才能得到 平滑的模拟信号。如图2.3所示。 为了便于进一步讨论连续时间信号的采样与重建的基本条 件，对图2.1进行一定的简化，见图2.4.
对于理想采样采样信号与连续时间信号有如下关系，
ˆa (t ) xa (t )M (t ) x
对上式两边同时进行傅里叶变换得：
jt ˆ X a ( j) xa (t )M (t )e dt
其中：M(t)是周期为Ts的周期脉冲信号，因此，可将其展 开成傅里叶级数：
M (t )
ˆa (t ) x
h(t)
ˆa (t ) * h(t ) y(t ) x
图2.9(b) 信号恢复的原理图
理想低通H(j)的冲激响应为
1 h(t ) 2
Ts H ( j)e d 2
jt
s 2 s 2
e jt d
sin
s t sin t 2 T s t t T 2
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓, 重复周期为s(采样频率)，即采样信号的频谱是以s为周期 的连续信号。
若xa(t)是实带限信 号，且：
X a ( j)
1
1 m s 2
则采样信号的频谱如 图2.7所示。
0 m s
ˆ ( j) X a
1/Ts
2s
3 s
…
…
2s
第2章
信号的采样与重建
第1章中我们讨论了离散时间信号，然而工程和现实 生活中大部分信号为模拟信号。如何对模拟信号进行数字 处理？本章主要讨论模拟信号的采样与重建，并引出采样 定理、奈奎斯特采样频率的概念；对用到的模拟低通滤波 器的特性指标进行了分析；并介绍了欠采样和采样率转换 技术。
2.1
数字信号处理系统的模拟接口
m
(t nT )
m
jm s t a e m
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其中：s 2 T 2f s
s
am
1 Ts
Ts
2 2
T s
M (t )e jms t dt
jm t ( t nT ) e dt
s
1 Ts 1 Ts
M (t )
ˆa (t ) xa (t ) p(t ) x
此过程可用图2.5(c)所示的数学模型表示。
p(t )
xa (t )
p(t )
图2.5(c) 数学模型
ˆa (t ) x
T
图2.5(b) 调制脉冲
t
一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在 离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图2.6(a)所示）。
3 s
0 m s
图2.7
1 ˆ X a ( j) X a ( j) Ts
S
频谱周期延拓
13
2
X a ( j)
若xa(t)是实带限信号，但
1
1 m s 2
则采样信号的频谱如图 2.8所示，此时频谱产生了 混叠。
0 m s
ˆ ( j) X a
2s
3 s
…
0
图2.8
c c
- c
0
c
图2.9(a) 低通滤波器的系统特性
则采样信号通过滤波器后所得输出信号为：
ˆ ( j)H ( j) Y ( j) X a
当： m
ˆ ( j) X a
TS
1/TS
…
0
…
2s
3 s
c s m
m c s
1 X a ( j) TS X a ( j) ˆ ( j) H ( j) Ts Y ( j ) X a 0
采样信号经理想低通后的输出(如图2.9(b)所示）为:
18
ˆa (t )* h(t ) xa (t ) y(t ) x
ˆa ( )h(t )d xa ( ) ( nT ) h(t )d 即：xa (t ) x n
0
t t
ˆa (t ) x
ˆa (t ) x
0
0
ˆa (t ) xa (t ) p(t ) x
(a)脉冲采样 图2.6
ˆa (t ) xa (t )M (t ) x
(b)理想采样 采样信号图形
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采样信号的频谱
xa (t ) X a ( j)
ˆ ( j) ˆa (t ) X x a
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如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超 过折叠频率:
T X ˆ s a ( j ) X a ( j) 0 s s 2 2
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
1 ˆ X a ( j) Ts
m
X a ( j jms )
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图2.10
采样内插恢复
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数 为1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点 上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的 波形延伸迭加而成。 内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于信号最高频谱的两倍，整 个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信 息——奈奎斯特定律。
jt x ( t ) M ( t ) e dt a
j ( m s )t x ( t ) e dt a M X a [ j ( ms )]
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1 ˆ X a ( j) Ts
m
X
a
[ j ( m s )]
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若开关闭合时间τ→0时，p(t)则可认为是周期性的冲激函数 ，我们用M(t)表示这个周期冲激函数,见图2.5(d)。
M (t )
0
图2.5(d) M(t)
t
M (t )
n
(t nT )
则采样后的输出信号 为
ˆa (t ) xa (t )M (t ) x
n
xa(t) x(n)
理想采样器 通用或专用 计算机
y(n)
理想内插器
ya(t)
图2.4 图2.1的简化表示
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数字信号转换为模拟信号：D/A转换、平滑滤波
数码 量化电平
数字信号 D/A输出信号 模拟信号
图2.3
数字信号转化成模拟信号
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2.2
模拟信号的采样与重建
对于信号的采样与重建我们首先关心的是模拟信号经 采样后是否能保持原有的信息；其次，由数字信号恢复模 拟信号应该具备哪些条件？ 要清楚这些问题我们先来讨论采样的过程。对于等间隔 采样，设其采样周期为T，则其采样频率为fs=1/T,对应的角 频率为 s 2 / T 2 f s。 采样可以用图2.5(a)所示的电子开关来实现。