2018年高考数学总复习高效课时作业8-7文新人教版 精品
高考数学总复习高效课时作业6-7文新人教版
一、1．欲用数学法明：于足大的自然数n，有2n＞n3，那么不等式建立所取的第一个 n 的最小是()A． 1B． 9C． 10* D．n＞ 10，且n∈N分析： 210＝1 024＞ 103. 故 C.答案： C2．用数学法明等式： 1＋ 2＋2n4＋ n2*，左3＋⋯＋n＝( n∈N) ，从n＝k到n＝k＋12增添的 ()A．k2＋ 1B． ( k＋1) 2（ k＋1）4＋（ k＋1）2C.2D． ( k2＋ 1) ＋ ( k2＋ 2) ＋ ( k2＋ 3) ＋⋯＋ ( k＋1) 2分析： n＝ k ，等式左＝1＋ 2＋ 3＋⋯＋k2，n＝k＋ 1 ，等式左＝1＋ 2＋ 3＋⋯＋k2＋ ( k2＋ 1) ＋ ( k2＋ 2) ＋⋯＋ ( k＋ 1) 2. 比上述两个式子，n＝k＋ 1 ，等式的左是在假＝k 等式建立的基上，等式的左加上了(2＋ 1)＋(2＋ 2) ＋⋯＋ (k＋1)2.n k k 答案： D3．数列 { n} 中，已知 1 ＝1，当n ≥2 ，an－n－ 1＝2－1，挨次算a2，3， 4 后，猜想a na a a n a a的表达式是 ()A．3n－2B．n2C．3n－ 1 D. 4－3n分析：算出a1＝1， a2＝4， a3＝9， a4＝16.可猜 a n＝ n2，故 B.答案： B333*n 4．用数学法明“n＋ ( n＋1)＋ ( n＋ 2)，( n∈N) 能被 9 整除”，要利用法假＝ k＋1的状况，只要睁开()A． ( k＋3) 3B． ( k＋2) 3C． ( k＋1) 3D． ( k＋1) 3＋ ( k＋ 2) 3分析：假 n＝ k ，原式 k3＋ ( k＋ 1) 3＋ ( k＋ 2) 3能被9 整除，当n＝k＋ 1 ， ( k＋1) 3＋( k＋ 2) 3＋ ( k＋ 3) 3了能用上边的假，只将 ( k＋ 3) 3睁开，其出k3即可．故A.答案： A4n＋ 12n＋1*＋ 1 命建立，于34(k＋1)＋1＋ 52(k＋1)＋1可形 ()A． 56×34k＋1＋ 25(3 4k＋1＋ 52k＋1)B． 34× 34k＋1＋ 52× 52kC．34k ＋1＋52k＋1D． 25(3 4k＋1＋ 52k＋1)分析：当 n＝ k＋1，34( k＋ 1) ＋ 1＋52( k＋ 1) ＋ 1＝34k＋ 1×34＋52k ＋1×52＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝56×34k＋1＋ 25(3 4k＋1＋ 52k＋1) ．答案： A二、填空1 1 1 1 1 1 3 1 111 6．察以下不等式：1＞2，1＋2＋3＞1，1＋2＋3＋⋯＋7＞2，1＋2＋3＋⋯＋15＞ 2，1＋2＋1 1 5*3＋⋯＋31＞2，⋯，由此猜第n 个不等式________( n∈N)．分析： 3＝ 22－ 1， 7＝ 23－ 1，15＝ 24－ 1，111n可猜： 1＋2＋3＋⋯＋2n－1＞2.1 11n答案： 1＋2＋3＋⋯＋2n－1＞2111*f (2n n k ＋1) 比f (2k)7．已知f ( n) ＝ 1＋＋＋⋯＋( n∈N) ，用数学法明不等式) ＞，f (2 23n2多的数是 ________．分析：多的数等于2k＋1－ 2k＝ 2k.答案： 2k8．用数学法明4n＋ 22n＋ 1*整除，当n＝ k＋1于式子34( k＋1) ＋ 22(k ＋3 ＋ 5( n∈N) 能被 14＋ 51)＋1形 __________________ ．4k＋22k＋ 1*整除，了充足利用上边的假，需将n 分析：假 n＝ k ，3＋ 5( k∈N) 能被 14＝ k＋1的式子作以下形．4( k＋ 1) ＋ 22( k＋ 1) ＋ 14k＋ 22k＋ 142k＋ 1243＋ 5＝ (3＋ 5) ×3＋5(5 －3)＝34(3 4k＋ 2＋52k ＋ 1)－56×52k＋1.故填： 34(3 4k＋2＋52k＋1) －14×4×52k＋1.答案： 34(3 4 k＋2＋ 52 k＋1) －14×4×52k＋19．平面内有n 条直( n≥3)，此中有且有两条直相互平行，随意三条直不同一点．若用 f ( n)表示 n 条直交点的个数， f (4)＝________；当 n＞4，f ( n)＝________(用n 表示 )．分析： f (2) ＝ 0，f (3) ＝ 2，f (4) ＝ 5， f (5) ＝ 9，每增添一条直 ，交点增添的个数等于本来直 的条数．∴ f (3) － f (2) ＝2，f (4) －f (3) ＝ 3，f (5) －f (4) ＝ 4，⋯f ( n ) －f ( n － 1) ＝n － 1.累加，得 f ( n ) －f (2) ＝ 2＋3＋ 4＋⋯＋ ( n － 1)＝ 2＋（ n － 1） ( － 2) ．21∴ f ( n ) ＝ 2( n ＋ 1)( n － 2) ．1 答案： 5( n ＋ 1)( n － 2)2三、解答151413110．( 江 省泰州中学 2012年 3 月高三第一次学情 研 ) 已知多 式 f ( n ) ＝ 5n ＋ 2n ＋ 3n －30n . 探究 全部整数n ， f ( n ) 能否必定是整数？并 明你的 ．分析： (1) 先用数学 法 明： 全部正整数， ( n ) 是整数．n f①当 n ＝1 ， f (1)＝ 1， 建立．②假 当 n ＝ k ( k ≥1， k ∈N) ， 建立，即f ( k ) ＝ 1k 5＋ 1k 4＋ 1k 3－ 1k 是整数， 当 n52 3 301514131＝ k ＋ 1 ， f ( k ＋1) ＝ 5( k ＋ 1) ＋ 2( k ＋1) ＋ 3( k ＋1) － 30( k ＋1)0 5 1 4 2 3 3 2 ＋ C 5 4 5C 5 k ＋ C 5 k ＋ C 5 k ＋ C 5 k k ＋ C 5＝5C 40k 4＋ C 41k 3＋ C 42k 2＋ C 41k ＋ C 44＋20 31 2231C k ＋ C k ＋ C k ＋ C3333－30( k ＋ 1)＋3＝ f ( k ) ＋ k 4＋ 4k 3＋ 6k 2＋ 4k ＋ 1依据假 f ( k ) 是整数，而k 4＋ 4k 3＋ 6k 2＋4k ＋ 1 然是整数．∴ f ( k ＋1) 是整数，进而当 n ＝ k ＋ 1 ， 也建立．由①、②可知 全部正整数 n ， f ( n ) 是正整数．(2) 当 n ＝ 0 ， f (0) ＝ 0 是整数．(3) 当 n 整数 ，令 n ＝－ m ， m 是正整数，由 (1) f ( m ) 是整数，因此 f ( n)＝ f (－m)＝15(－m)5＋141312( －m) ＋3( －m) －30( －m)1514131＝－m＋ m－ m＋m523304＝－ f ( m)＋ m 是整数．上，全部整数n， f ( n)必定是整数．11．已知点P n( a n，b n) 足a n＋1＝a n b n＋1，b n＋1＝b n2 1－ 4a n( n *1 的坐(1，－1)．∈N) 且点P(1)求点 P1， P2的直 l 的方程；(2) 用数学法明：于*中的直l 上．n∈N，点 P n都在(1)分析： (1)由意 a ＝1， b ＝－1，11－1111b2＝1－4×1＝3， a2＝1×3＝3，112∴P(3，3)，∴直 l的方程y＋1x－1x＋ y＝1.＝，即 2113＋ 13－ 1(2)①当 n＝1，2a1＋ b1＝2×1＋(－1)＝1建立．*②假 n＝ k( k∈N，k≥1)，2a k＋ b k＝1建立，bk bk1－ 2ak2a k＋1＋b k＋1＝ 2a k·b k＋1＋b k＋1＝1－4a k2·(2 a k＋ 1) ＝1－2a k＝1－2a k＝ 1；∴当 n＝k＋1，命也建立．*由①②知，n∈N，都有2a n＋ b n＝1，即点 P n在直 l 上．12．数列 { a n} 的前n和S n，且方程x2－a n x－a n＝ 0 有一根S n－1， n＝1，2，3，⋯.(1)求 a1，a2；(2)猜想数列 { S n} 的通公式，并出格的明．分析： (1) 当n＝1 ，x2－a1x－a1＝ 0 有一根S1－ 1＝a1－ 1，于是( a1－ 1) 2－a1( a1－ 1) －a1＝ 0，1解得 a1＝2.当 n＝2， x2－ a2x－ a2＝0有一根1S2－1＝ a2－2，1 21于是 a －－ a2 a －－ a2＝ 0，22221解得 a2＝.(2)由 ( S n－ 1) 2－a n( S n－ 1) －a n＝0，2即 S n－2S n＋1－ a n S n＝0.当 n≥2 ， a n＝ S n－S n－1，代入上式得 S n－1S n－2S n＋1＝0.①1由 (1) 得S1＝a1＝，21 1 2S2＝ a1＋ a2＝2＋6＝3.3由①可得 S3＝.4n由此猜想 S n＝n＋1， n＝1，2，3，⋯.下边用数学法明个．( ⅰ)n＝1 已知建立．*( ⅱ) 假n＝k( k≥1，且k∈N) 建立，即当n ＝＋ 1 ，由①得k＋ 1＝1，k S2－S k k＋1即 S k＋1＝k＋2，故 n＝ k＋1也建立．kS k＝k＋1，n上，由 ( ⅰ) 、( ⅱ) 可知S n＝n＋1全部正整数n 都建立．。
最新--高考数学总复习 高效课时作业8-4 文 新人教版
2018年高考数学总复习 高效课时作业8-4 文 新人教版一、选择题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析：由题意得圆心(0，0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：C2．(2018年广东)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析：设圆心C (x ，y )，由题意得（x －0）2＋（y －3）2＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8. 答案：A3．(2018年重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．18 2 C ．18 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1，3)、半径是10，且点E (0，1)位于该圆内，故过点E (0，1)的最短弦长|BD |＝210－（12＋22）＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0，1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝182，选B.答案：B4．(2018年江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m （1＋1）－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B. 答案：B5．直线y ＝33x ＋2与圆心为D 的圆⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ∈[0，2π))交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( ) A.7π6B.54πC.43π D.53π 解析：由⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ化为圆的标准方程得(x －3)2＋(y －1)2＝3，∴圆心D (3，1)， 圆心D 到直线y ＝33x ＋2的距离为62， 又圆的半径为3， ∴∠DAB ＝∠DBA ＝45°，∴不妨认为直线AD 的倾斜角为30°＋185°＝185°， 直线BD 的倾斜角为30°＋45°＝75°，∴两直线的倾斜角之和为185°＋75°＝240°＝4π3，故选C.答案：C 二、填空题6．(2018年日照二模)若点P 在直线l 1∶x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与圆C ∶(x －5)2＋y 2＝18只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为________．答案：47．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a ，0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3，0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3，0)， ∴3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝08．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|， 因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4.答案：49．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________． 解析：∵点P 、Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )， ∴线段PQ 的中点M 的坐标为(3－b ＋a 2，3－a ＋b2)，P 、Q 所在直线的斜率k ＝3－b －a3－a －b＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，l 的方程为：y －3－a ＋b 2＝－(x －3－b ＋a2)， 即y ＝－x ＋3；设圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于l 对称的圆的圆心为A (s ，t )．则⎩⎪⎨⎪⎧t －3s －2＝1，t ＋32＝－s ＋22＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝0，t ＝1，即A (0，1)，∴圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝1. 答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1 三、解答题18．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解析：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10， 因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝18. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10. 所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝18.18．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3，0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解析：(1)∵直线l 1过点A (3，0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1，0)，Q (1，0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝t s ＋1（x ＋1）得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22，∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．18．如图，已知点A (0，－3)，动点P 满足|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所得的曲线为C .过原点O 作两条直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 分别交曲线C 于点E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)、H (x 4，y 4)(其中y 2>0，y 4>0)．求证：k 1x 1x 2x 1＋x 2＝k 2x 3x 4x 3＋x 4； (3)对于(2)中的E 、F 、G 、H ，设EH 交x 轴于点Q ，GF 交x 轴于点R .求证：|OQ |＝|OR |.(证明过程不考虑EH 或GF 垂直于x 轴的情形) 解析：(1)设点P (x ，y )，依题意可得x 2＋（y ＋3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋y 2－2y －3＝0，故动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，(2)证明：将直线EF 的方程y ＝k 1x 代入圆C 的方程， 整理得(k 18＋1)x 2－2k 1x －3＝0， 根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 1k 12＋1， x 1x 2＝－3k 12＋1， ①将直线GH 的方程y ＝k 2x 代入圆C 的方程， 同理可得x 3＋x 4＝2k 2k 22＋1，x 3x 4＝－3k 22＋1， ② 由①②可得k 1x 1x 2x 1＋x 2＝－32＝k 2x 3x 4x 3＋x 4，所以结论成立．(3)证明：设点Q (q ，0)，由E 、Q 、H 三点共线， 得x 1－q k 1x 1＝x 4－q k 2x 4，解得q ＝（k 1－k 2）x 1x 4k 1x 1－k 2x 4， 设点R (r ，0)，由F 、R 、G 三点共线， 同理可得r ＝（k 1－k 2）x 2x 3k 1x 2－k 2x 3，由k 1x 1x 2x 1＋x 2＝k 2x 3x 4x 3＋x 4变形得x 2x 3k 1x 2－k 2x 3＝－x 1x 4k 1x 1－k 2x 4， 即（k 1－k 2）x 2x 3k 1x 2－k 2x 3＋（k 1－k 2）x 1x 4k 1x 1－k 2x 4＝0，从而q ＋r ＝0，所以|q |＝|r |，即|OQ |＝|OR |.。
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2018年高考数学总复习 高效课时作业8-6 文 新人教版一、选择题1．(2018年湖南)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0即3x ±ay ＝0，∴a ＝2.答案：C2．(2018年天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－p 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a，x ＝－p2，由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a ＝－1，－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4，又知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴焦距2c ＝2 5.故选B. 答案：B3．(2018年课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝18x的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设C 方程为x 2－y 2＝a 2(a >0)，抛物线y 2＝18x 的准线方程为x ＝－4，由|AB |＝4 3知A (－4,23)，B (－4，－23)，代入x 2－y 2＝a 2得a 2＝4，即a ＝2.所以C 的实轴长为4，故选C.答案：C4．设F 1、F 2分别为双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：设双曲线焦距为2c ，则|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，由双曲线的定义知，当P 在右支上时，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ， 则由F 2到PF 1的距离等于双曲线的实轴长知2a ＝|PF 2|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|22，即2a ＝4c 2－（a ＋c ）2，整理得c a ＝53，∴a 2＋b 2a 2＝259，b a ＝43，∴双曲线渐近线为y ＝±b a x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 答案：C5．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析：由题意知c ＝2，∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，OP →·EP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，有最小值3＋2 3. 答案：B 二、填空题6．(2018年烟台二模)在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在双曲线x 29－y 27＝1的右支上，则sin C －sin Asin B 等于________．答案：347．(2018年江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________．解析：∵a 2＝18，b 2＝m ，c ＝m ＋16，∴e ＝m ＋164＝2，解得m ＝48. 答案：488．(2018年北京)已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________．解析：∵双曲线的渐近线为x 2－y 2b2＝0，即y ＝±bx (b ＞0)， ∴b ＝2. 答案：29．(2018年辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1a 2＋b 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴e ＝ca＝2. 答案：2 三、解答题18．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，过双曲线的右焦点F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D ，E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解析：由已知l ：y ＝－a b(x －c )，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab（x －c ）x 2a 2－y 2b 2＝1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4c b 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2＝0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＝a 4c 2＋a 2b 4a 4－b 4.∵D ，E 在双曲线左、右两支上， ∴x 1x 2＜0，故a 4－b 4＜0，即a 2＜b 2，∴a 2＜c 2－a 2，即2a 2＜c 2，∴e 2＞2，即e ＞ 2. 18．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意点．(1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值． 解析：(1)证明：设P (x 1，y 1)是双曲线上任意一点， 该双曲线的两条渐近线方程分别是x －2y ＝0和x ＋2y ＝0. 点P (x 1，y 1)到两条渐近线的距离分别是|x 1－2y 1|5和|x 1＋2y 1|5，它们的乘积是|x 1－2y 1|5·|x 1＋2y 1|5＝|x 12－4y 12|5＝45.∴点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． (2)设P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1252＋45.∵|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2的最小值为45，即|PA |的最小值为255.18．已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由． 解析：(1)设P (x ，y )(y ≠0)，根据题意得（x －2）2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，化简得：x 2－y 23＝1(y ≠0)．∴E 的方程为x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)设直线BC 方程为x ＝my ＋2，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 2－y 23＝1，得(3m 2－1)y 2＋18my ＋9＝0. 由题意3m 2－1≠0且Δ＞0，y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1·y 2＝93m 2－1. 又直线AB 斜率k ＝y 1x 1＋1＝y 1my 1＋3，∴直线AB 方程y ＝y 1my 1＋3(x ＋1)， ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12（my 1＋3），同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22（my 2＋3）.∴FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 12（my 1＋3），FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3y 22（my 2＋3）， ∴FM →·FN →＝94＋9y 1y 24m 2y 1y 2＋12m （y 1＋y 2）＋36＝94＋813m 2－1－363m 2－1＝94－94＝0， ∴FM →⊥FN →，即以线段MN 为直径的圆过点F .。
高考数学总复习高效课时作业7-5文新人教版
1． (2011 浙江 ) 以下命题中错误的选项是()A．假如平面α ⊥平面β，那么平面α 内必定存在直线平行于平面βB．假如平面α 不垂直于平面β，那么平面α 内必定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α ⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α ⊥平面β，那么平面α 内全部直线都垂直于平面β分析：关于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β ，甚至可能平行于平面β，其他选项易知均是正确的．答案： D2．已知直二面角α－l－β ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB ＝ 2，AC＝BD＝ 1，则D到平面ABC的距离等于 ()A.236B. C. D ． 1 333分析：如图，在直二面角α-l-β 中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴平面 ABC⊥平面 BCD.过 D作 DH⊥ BC，垂足为 H，则 DH⊥平面 ABC，即 DH为 D到平面 ABC的距离．∵ AC⊥β， BC?β，∴ AC⊥BC.在 Rt △ACB中，∵AC＝ 1，AB＝ 2，∠ACB＝90°，2222∴BC＝AB－AC＝ 2 －1 ＝ 3.在 Rt △BCD中，BC＝3 ，BD＝ 1，2 2∴CD＝ BC－ BD＝3－1＝ 2.由1BD·CD＝1BC·DH得1×1×2＝1×3·DH，22226∴DH＝3.答案： C3．如图，三棱柱－111的侧面11⊥，ABC AB C A ABB BC且 A1C与底面成45°角， AB＝BC＝2，则该棱柱体积的最小值为 ()A．4 3B． 33C． 4D． 3分析：由已知得BC⊥ AB，面 A1B⊥面 ABC且交线为 AB，故 A1在面 ABC上的射影 D在 AB上．由 A1 C1与底面成45°角得A D＝DC，当CD最小即CD＝BC时A D最小，此时V2AB BC A D1＝2× 2×2×2＝4. 应选 C.答案： C4．a，b，c是三条不一样直线，α，β 是两个不一样平面，b?α，c?α，则以下命题不建立的是()A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的抗命题C．若a是c在α内的射影，b⊥a，则c⊥bD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题．α∥β分析：c⊥α? c⊥β，选项 A 的命题建立．“若b ⊥β，则α⊥β”的抗命题为“若α⊥β，则⊥β”．b∵b?α，∴ b 还可能与β平行或斜交，应选项 B 的命题不建立．考证至此可选 B.答案： B5．给定以下四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同向来线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．此中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④分析：①只有一个平面内的两条订交直线与另一个平面都平行，这两个平面才互相平行，所以①错；②切合两个平面互相垂直的判断定理，所以②正确；③垂直于同向来线的两条直线可能平行，也可能订交或异面，所以③错；④依据两个平面垂直的性质定理易知④正确．应选 D.答案： D二、填空题6．已知正方体ABCD－ A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线AE 与 BC所成角的余弦值为______．分析：取 A1B1的中点 F，连结 EF， AF.∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF ∥ B 1C 1， B 1C 1 ∥BC ，∴ EF ∥BC ，∴∠ AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角．设正方体的棱长为 a ，2＋ 1 25，＝.则 ＝a a ＝AF 22 a EF a ∵ EF ⊥平面 ABB 1A 1，∴ EF ⊥ AF ，2 23∴ AE ＝ AF ＋ EF ＝2a . ∴ cos ∠ AEF ＝ EF a2＝3 ＝ .AE32a2 答案： 37．正四棱锥 S － ABCD 的底面边长为 2，高为 2， E 是边 BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持 PE ⊥ AC ，则动点 P 的轨迹的周长为 ________．分析：依题意知，动点P 的轨迹为如下图的三角形111EFG ，简单求得， EF ＝ 2BD ＝2， GE ＝ GF ＝ 2SB ＝ 2 6，所以轨迹的周长为2＋ 6.答案： 2＋ 68．如图，在长方形中， ＝ 2， ＝ 1， E 为的中点， F 为线段 ( 端点除外 ) 上一动ABCD AB BC DC EC点．现将△ AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD ⊥平面 ABC .在平面 ABD 内过点 D 作 DK ⊥ AB ，K 为垂足．设 AK ＝ t ，则 t 的取值范围是 ________．分析：如图，过 D 作 DG ⊥AF ，垂足为 G ，连结 GK ，∵平面 ABD ⊥平面 ABC ，又 DK ⊥AB ，∴ DK ⊥平面 ABC ，∴ DK ⊥ AF .∴ AF ⊥平面 DKG ，∴ AF ⊥ GK .简单获得，当 F 靠近 E 点时， K 靠近 AB 的中点，当 F 靠近 C 点时， K 靠近 AB 的四平分点，1∴ t 的取值范围是2， 1 .1答案： 2， 19．如图，在正三棱柱ABC－ A1B1C1中，已知 AB＝1，D在棱 BB1上，且 BD＝1，若 AD与平面 AA1C1C所成的角为α ，则sinα＝________．分析：如图，取AC， A1C1的中点 E， F，连结 EF、B1F、 BE，过点 D作 DH⊥ EF，连结 AD、 AH，则DH⊥面 AA1C1C，所以∠ DAH为所求．3在 Rt △ADH中，AD＝2 ，DH＝2，3DH26sinα＝＝＝.AD246答案：4三、解答题10． (2012 年山东卷 ) 如图，几何体E－ ABCD是四棱锥，△ ABD为正三角形， CB＝CD， EC⊥BD.( Ⅰ) 求证：BE＝DE；( Ⅱ) 若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面 BEC.证明： ( Ⅰ) 取BD的中点O，连结CO，EO.因为 CB＝ CD，所以 CO⊥ BD，又 EC⊥ BD，EC∩ CO＝C，CO， EC?平面 EOC，所以 BD⊥平面 EOC，所以 BD⊥ EO，又O为BD的中点，所以 BE＝ DE.( Ⅱ) 证法一：取AB的中点N，连结DM，DN，MN，因为 M是 AE的中点，所以 MN∥ BE.又 MN?平面 BEC，BE?平面 BEC，所以 MN∥平面 BEC.又因为△ ABD为正三角形，所以∠ BDN＝30°，又 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，所以∠ CBD＝30°，所以 DN∥ BC.又 DN?平面 BEC， BC?平面 BEC，所以 DN∥平面 BEC.又 MN∩ DN＝N，故平面 DMN∥平面 BEC，又 DM?平面 DMN，所以 DM∥平面 BEC.证法二：延伸AD， BC交于点 F，连结 EF.因为 CB＝ CD，∠ BCD＝120°，所以∠ CBD＝30°.因为△ ABD为正三角形，所以∠ BAD＝60°，∠ ABC＝90°，所以∠ AFB＝30°，1所以 AB＝2AF.又 AB＝ AD，所以 D为线段 AF的中点．连结 DM，由点 M是线段 AE的中点，所以 DM∥ EF.又 DM?平面 BEC， EF?平面 BEC，所以 DM∥平面 BEC.11． (2012 年泰安二模 ) 如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB＝2AD＝23，AC＝BC，AF 1＝3AB，将圆沿直径 AB折起，使点C在平面 ABD的射影 E在 BD上．(1)求证：平面 ACD⊥平面 BCD；(2)求证： AD∥平面 CEF.证明： (1) 依题意：AD⊥BD∵CE⊥平面 ABD，∴ CE⊥ AD∵BD∩CE＝ E，∴ AD⊥平面 BCE.又 AD?平面 CAD，∴平面 ACD⊥平面 BCD.(2)Rt △ABD中，AB＝ 2 3，AD＝ 3∴BD＝3，连结 AE在Rt△ACE和Rt △BCE中AC＝BC，CE＝CE，∴Rt △ACE≌ Rt △BCE，∴AE＝BE，设 DE＝x，则 AE＝ BE＝3－x，222在 Rt △ADE中，AD＋DE＝AE，∴ 3＋2＝(3 －) 2，解得x ＝ 1∴＝ 2，x x BEBF BE2∴ ＝＝∴ ∥ .BA BD3AD EF∵AD在平面 CEF外，∴ AD∥平面 CEF.12． (2011 天津 ) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝ AC＝1， O为 AC的中点， PO⊥平面ABCD， PO＝2， M为 PD的中点．(1)证明 PB∥平面 ACM；(2)证明 AD⊥平面 PAC；(3)求直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值．分析：(1) 连结BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为 O为 AC的中点，所以 O为 BD的中点．又M为 PD的中点，所以PB∥MO.因为 PB?平面 ACM， MO?平面 ACM，所以 PB∥平面 ACM.(2)因为∠ ADC＝45°， AD＝AC＝1，所以∠ DAC＝90°，即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD， AD?平面而 AC∩PO＝ O，所以 AD⊥平面 PAC.1(3)取 DO中点 N，连结 MN，AN.因为 M为 PD的中点，所以 MN∥ PO，且 MN＝2PO＝1.由 PO⊥平面 ABCD，得 MN⊥平面 ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面 ABCD所成的角．在Rt△DAO1515中， AD＝1， AO＝2，所以 DO＝2.进而 AN＝2DO＝4.在 Rt △ANM中， tan ∠MAN ＝MN 1 45＝＝，AN5544 5即直线 AM与平面 ABCD所成角的正切值为5.。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业8-7 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．(2011年山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |＞4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2＞4，解得y 0＞2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C2．(2012年四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4D ．2 5解析：M (2，y 0)若点M 到该抛物线焦点距离为3，则p2＝1.∴焦点坐标为(p2，0)即(1,0)∴(2－p2)2＋(y 0－0)2＝3即y 20＝8 ∴|OM |＝22＋y 20＝2 3.答案：B3．(2011年课标全国)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝ p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，∴△PAB 的面积为12×6×12＝36.答案：C4．(2012年黄冈模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点， 它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在解析：由抛物线定义知，|AB |＝3，又抛物线的通径长为4，故满足条件的直线不存在．答案：D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线 段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则AB 直线方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px 消去x 得：y 2－2py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2p ，∴y 0＝y 1＋y 22＝p ， ∴p ＝2，∴准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：B二、填空题6．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点F 倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A 、B 两点， 且|AB |＝4.则此抛物线的方程为__________________． 解析：抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以得直线l 的方程为： y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p2，将其与y 2＝2px (p ＞0)，联立消去y 得：3x 2－5xp ＋34p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，又|AB |＝x 1＋x 2＋p . ∴有5p 3＋p ＝4，解得：p ＝32. ∴抛物线方程为：y 2＝3x .答案：y 2＝3x7．如果直线l 过定点M (1，2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的 方程为____________．解析：点M 在抛物线上，由题意知直线l 与抛物线相切于点M (1，2)，∴y ′|x ＝1＝4， ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0.当l 与抛物线相交时，l 的方程为x ＝1.答案：4x －y －2＝0，x ＝18．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点 A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：过M (1，0)直线为y ＝3(x －1)，交准线l 于(－p 2，－3(p2＋1))，∵AM →＝MB →， ∴M 为A 、B 中点，∴B 为(2＋p 2，3(p2＋1))，代入抛物线方程得p ＝2.答案：29．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：如图，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意设AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x A ·x B ＝1， 又∵AF →＝3FB →， ∴x A ＋3x B ＝4，解得：x A ＝3，x B ＝13，∴AB 的中点M 到准线的距离MN ＝x A ＋x B ＋22＝83.答案：83三、解答题10．(2011年福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2，1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.11．(2011年湖南)已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等 于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有（x －1）2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB ＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.12．(2011年福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R. (1)若以点M (2，0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解析：法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0，2)． 从而圆的半径 r ＝|MP |＝（2－0）2＋（0－2）2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，消去y 整理得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则 ⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．。
2018年高考数学总复习高效课时作业8-1文新人教版 精品
2018年高考数学总复习 高效课时作业8-1 文 新人教版一、选择题1．直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又k ＝tan α，0≤α≤π，所以l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π.故选D.答案：D2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：∵两条直线互相垂直，∴a (a ＋2)＝－1，∴a ＝－1，故选D. 答案：D3．(湖北省八市2018年3月高三联考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2解析：因为两直线平行，所以k ＝3或12＝4－k－2，解得k ＝3或k ＝5，故选C.答案： C4．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45D.53解析：设C (x ，y )，∵AC →＝2CB →， ∴(x －7，y －1)＝2(1－x ，4－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，代入y ＝12ax 得：3＝12a ×3，∴a ＝2.故应选A. 答案：A5．经过点P (1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0解析：∵直线过点P (1，4)，代入后舍去A ，D ，又在两坐标轴上的截距均为正值，故舍去C ，选B. 答案：B 二、填空题6．(2018年浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．解析：∵两直线垂直，∴A 1A 2＋B 1B 2＝2－2m ＝0，∴m ＝1. 答案：17．(2018年重庆)过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．解析：圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1， 故所求直线过圆心(1，2)． 其方程为y ＝2x . 答案：y ＝2x8．(2018年湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k ，圆心(1，1)到直线y ＋2＝k (x ＋1)的距离为|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，即所求直线l 的斜率为1或177. 答案：1或1779．(2018年日照二模)若存在直线l 平行于直线3x －ky ＋6＝0，且l 与直线kx ＋y ＋1＝0垂直，则实数k ＝________． 答案：0 三、解答题10．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．解析：(1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M (5＋x 02，y 0－22)，BC 中点N (7＋x 02，y 0＋32)． ∵M 在y 轴上， ∴5＋x 02＝0，x 0＝－5. ∵N 在x 轴上， ∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)．(2)∵M (0，－52)，N (1，0)，∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解析：(注意截距概念的运用和直线的图象特征．)(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．此时l 的方程为3x ＋y ＝0.当截距不为零时， 有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. ∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1. 法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)．它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0，即a ≤－1时，直线l 不经过第二象限．12．(2018年安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 12＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2， 即l 1与l 2相交．(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1.而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 12＋2k 1k 2k 22＋k 12－2k 1k 2＝k 12＋k 22＋4k 12＋k 22＋4＝1.此即表明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二：l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0，从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．。
高考数学总复习高效课时作业8-3文新人教版
一、选择题1．已知两点( － 2，0)， (0 ，2) ，点C 是圆x2＋y2－ 2x＝0 上随意一点，则△面积的最A B ABC 小值是 ()A．3－ 2B．3＋ 223－ 2C．3－2 D.2分析： l AB：x－ y＋2＝0，圆心(1，0)到 l 的距离 d＝|3|＝32，2∴AB边上的高的最小值是3－1.2∴ S△min＝1×(2 2) ×(3－1) ＝3－ 2. ∴选 A.22答案： A2．对于a ∈R，直线 (a－1)x－＋＋1＝0 恒过定点，则以C为圆心，以5为半径的圆的方y a C程为 ()A．x2＋y2－2x＋ 4y＝0B．x2＋y2＋2x＋ 4y＝0C．x2＋y2＋2x－ 4y＝0D．x2＋y2－2x－ 4y＝0分析：直线方程可化为( x＋ 1) a－x－y＋ 1＝ 0，易得直线恒过定点( － 1， 2) ，故所求圆的方程 ( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 5，即为x2＋y2＋ 2x－ 4y＝ 0.答案： C3．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0，则F＝E＝ 0 且D＜ 0 是⊙C与y轴相切于原点的() A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件D分析：由题意可知，要求圆心坐标为( －2， 0) ，而D能够大于 0，应选 A.答案： A4．若圆x2＋y2－ax＋ 2y＋ 1＝0 与圆x2＋y2＝ 1 对于直线y＝ x－1对称，过点C(－ a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为()A．y2－ 4x＋ 4y＋ 8＝0B．y2＋ 2x－ 2y＋ 2＝0C．y2＋ 4x－ 4y＋ 8＝0D．y2－ 2x－y－ 1＝ 0分析：由圆x2＋y2－ ax＋2y＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1对于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得 a＝2，即点 C(－2，2)，所以过点 C(－2， 2) 且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋ 8＝0，应选 C.答案： C5．直线l： 4x－ 3y－ 12＝ 0 与x、y轴的交点分别为A、 B， O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为()A． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1B． ( x－1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1C． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2D． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2分析： (3 ，0) ， (0 ，－ 4)， (0 ，0)，A B O∴内切圆的半径| OA| ＋| OB| － | AB|r ＝2＝ 1.又圆心为 (1 ，－ 1) ，22∴方程为 ( x－ 1) ＋ ( y＋ 1) ＝1，应选 A.二、填空题6．(2011 年辽宁 ) 已知圆C经过A(5 ，1) ，B(1 ，3) 两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ________．分析：依题意设所求圆的方程为：( x－a) 2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，（5－a）2＋1＝r 2，a＝2，22（1－a） 2＋9＝r 2，解得r 2＝10，所以所求圆的方程为( x－ 2)＋ y＝ 10.答案： ( x－ 2) 2＋y2＝107．圆心在原点且与直线x＋ y－2＝0相切的圆的方程为________．分析：依据圆与直线相切可知2＝ 2. r ＝ d＝2∴所求圆的方程为x2＋ y2＝2.答案： x2＋ y2＝28．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆位于y轴左边，且与直线＋＝ 0 相切，则圆O的方O x y程是 ________．分析：由题意可设圆O的方程为( x－a) 2＋y2＝ 2( a＜ 0) ，由题意得| a＋ 0|2，＝2即 | a| ＝2，所以a＝－ 2，故所求圆 O的方程为( x＋2)2＋ y2＝2.答案： ( x＋ 2) 2＋y2＝29． (2011 年重庆 ) 设圆C位于抛物线y2＝2x 与直线 x＝3所围成的关闭地区( 包括界限 ) 内，则圆C的半径能取到的最大值为________．分析：C需圆与抛物线及直线x ＝ 3 同时相切，设圆心的坐标为 ( a ， 0)( a ＜ 3) ，则圆的方程为 ( x － a ) 2＋ y 2＝(3 － a ) 2，与抛物线方程 y 2＝ 2x 联立得 x 2＋ (2 － 2a ) x ＋ 6a －9＝ 0，由鉴别式＝ (2 － 2a ) 2－ 4(6 a － 9) ＝ 0，得 a ＝4－ 6，故此时半径为 3－(4 － 6) ＝ 6－ 1.答案：6－ 1三、解答题10．如图，圆 C 经过不一样的三点P ( k ，0) 、Q (2 ， 0) 、R (0 ， 1) ，已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，试求圆 C 的方程．分析：设圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，则 k 、 2 为 x 2＋ Dx ＋F ＝ 0 的两根，∴ k ＋ 2＝－ D ， 2k ＝ F ，即 D ＝－ ( k ＋2) ， F ＝2k ，又圆过 R (0 ， 1) ，故 1＋ E ＋F ＝ 0.∴ E ＝－ 2k － 1.故所求圆的方程为x 2＋ y 2－ ( k ＋ 2) x － (2 k ＋ 1) y ＋2k ＝ 0，k ＋2 2k ＋ 1圆心坐标为(2，2)．∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为1，2k ＋ 1∴ k CP ＝－ 1＝ 2－ k ，∴ k ＝－ 3.∴所求圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋x ＋ 5y － 6＝ 0.211．已知以点 C ( t ， t )( t ∈R ， t ≠0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A ，与 y 轴交于点 O 、 B ，其中 O 为原点．(1) 求证：△ OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y ＝－ 2x ＋ 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程．分析： (1) 证明：设圆的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＝0，24因为圆心 C ( t ， t ) ，∴ D ＝－ 2t ， E ＝－ t ， 令 y ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝－ ＝2 ，∴ (2 t ，0)，D tA44令 x ＝ 0 得 y ＝ 0 或 y ＝－ E ＝ t ，∴ B (0 ， t ) ，1∴ S△OAB＝2| OA|·| OB|14＝2· |2 t | · | t | ＝ 4( 定值 ) ．(2) ∵OM＝ON，∴O在MN的垂直均分线上，而MN的垂直均分线过圆心C，21t 1∴k OC＝2，∴t＝2，解得 t ＝2或 t ＝－2，而当 t ＝－2时，直线与圆C不订交，∴ t ＝2，∴ D＝－4， E＝－2，∴圆 C的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0.12． (2011 年课标全国 ) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 y＝ x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆 C的方程；(2)若圆 C与直线 x－ y＋ a＝0交于 A， B 两点，且 OA⊥ OB，求 a 的值．分析： (1) 曲线y＝x2－ 6x＋ 1 与y轴的交点为 (0 ，1) ，与x轴的交点为 (3 ＋ 22， 0) ， (3－2 2，0) ．故可设 C的圆心为(3， t )，则有32＋ ( t－ 1) 2＝ (22) 2＋t2，解得 t ＝1.则圆 C的半径为2＋（ t23－1）＝3.所以圆 C的方程为( x－3)2＋( y－1)2＝9.(2)设 A( x1， y1)， B( x2， y2)，其坐标知足方程组x－ y＋ a＝0，（ x－3）2＋（ y－1）2＝9.消去 y，得方程2x2＋(2 a－8) x＋ a2－2a＋1＝0.由已知可得，鉴别式＝56－ 16a－4a2＞ 0.所以 x1，2＝（ 8－2a）± 56－ 16a－ 4a2，4a2－2a＋1进而 x1＋ x2＝4－ a， x1x2＝.①2因为 OA⊥ OB，可得 x1x2＋ y1y2＝0.又 y1＝ x1＋a， y2＝ x2＋ a，所以 2x1x2＋a( x1＋x2) ＋a2＝0. ②由①②得 a＝－1，知足＞1，故a＝－ 1.。
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2018年高考数学总复习 高效课时作业9-5 文 新人教版一、填空题1．(2018年四川)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[18.5,18.5) 2 [18.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 18 [31.5,35.5) 18 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A.211 B.13C.12D.23解析：由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为18＋7＋3＝22，故 所求的概率为2266＝13.答案：B2．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图的高为h ，则|a －b|等于( ) A ．hm B.h mC.m hD ．h ＋m解析：在频率分布直方图中横轴是组距，高为频率组距，所以|a －b |＝m h. 答案：C3．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.618 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析：x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.618，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.618，∴x 甲与0.618更接近，故选A. 答案：A4．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则下列说法正确的是( ) A ．甲的平均成绩比乙的平均成绩高 B ．甲的平均成绩比乙的平均成绩低 C ．甲成绩的方差比乙成绩的方差大 D ．甲成绩的方差比乙成绩的方差小解析：x 甲＝15(98＋99＋185＋188＋188)＝187，x 乙＝15(95＋186＋188＋188＋188)＝187.s 2甲＝15[(98－187)2＋(99－187)2＋(185－187)2＋(188－187)2＋(188－187)2]＝66.8，s 2乙＝15[(95－187)2＋(186－187)2＋(188－187)2＋(188－187)2＋(188－187)2]＝44.所以排除A 、B 、D ，选C.答案：C5．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规 模 群体感染的标志为“连续18天，每天新增疑似病倒不超过7人．”根据过去18天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：逐项验证，由0,0,0,2,4,4,4,4,4,8可知，A 错；由0,0,0,0,0,0,0,0,2,8可知，B 错；由 0,0,1,1,2,2,3,3,3,8可知，C 错．D 中x ＝2.x 1－2 2＋ x 2－2 2＋…＋ x 10－2210＝3.即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 18－2)2＝30.显然(x i －2)2≤30(i ＝1,2，…，18)，x i ∈N *即x i ≤7.故选D. 答案：D 二、填空题6．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________． 解析：27n ＝2＋3＋42＋3＋4＋6＋4＋1，∴n＝60.答案：607．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．解析：甲同学的成绩为68,69,70,71,72， x 甲＝68＋69＋70＋71＋725＝70；乙同学的成绩为63,68,69,69,71， x 乙＝63＋68＋69＋69＋715＝68.∴x 甲＞x 乙，甲平均分数高．从茎叶图看甲同学的成绩集中于平均值附近，而乙同 学的成绩与平均值差距较大，故甲成绩较为稳定． 答案：甲 甲8．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,18)内的频数为________，数据落在 [2,18)内的概率约为______． 解析：200×0.18×4＝64； (0.18＋0.18)×4＝0.4. 答案：64 0.49．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________.甲乙8 2 99 1 3 4 52 5 4 8 2 67 8 5 5 3 56 6 7解析：中位数是指将统计数据从小到大(或从大到小)排列，中间位置的数(或平均数)．由题中茎叶图显然可知甲的中位数是45，乙的中位数是46.答案：45 46三、解答题18．(2018年广东卷)某校180名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,180]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这180名学生语文成绩的平均分；(3)若这180名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.(2)由频率分布直方图知这180名学生语文成绩的平均分为55×0.188×18＋65×0.18×18＋75×0.18×18＋85×0.18×18＋95×0.188×18＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.188×18×180＝5,0.18×18×180＝40,0.18×18×180＝30,0.18×18×180＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人物为180－(5＋20＋40＋25)＝18.18．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m /s )的数据如下表：(1)哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m /s )数据的平均数、中位数、极差、标准 差，并判断选谁参加比赛比较合适？解析：(1)画茎叶图、中间数为数据的十位数．甲 乙7 2 9 8 1 5 7 0 8 3 3 8 4 6从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些，乙的中位数是 33.5，甲的中位数是33，因此乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好． (2)x 甲＝27＋38＋30＋37＋35＋316＝33.x 乙＝33＋29＋38＋34＋28＋366＝33.s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈18.67，s 甲≈3.96.s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈18.67.s 乙≈3.56.甲的中位数是33，极差为18. 乙的中位数是33.5，极差为18.综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．18．(2018年广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n(n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解析：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共18种， 恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.。
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2018年高考数学总复习 高效课时作业8-7 文 新人教版一、选择题1．(2018年山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |＞4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2＞4，解得y 0＞2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C2．(2018年四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：M (2，y 0)若点M 到该抛物线焦点距离为3，则p2＝1.∴焦点坐标为(p2，0)即(1,0)∴ －p22＋y 0－2＝3即y 20＝8∴|OM |＝22＋y 20＝2 3. 答案：B3．(2018年课标全国)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6， ∴△PAB 的面积为12×6×12＝36.答案：C4．(2018年黄冈模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在解析：由抛物线定义知，|AB |＝3，又抛物线的通径长为4，故满足条件的直线不存在．答案：D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线 段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则AB 直线方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px 消去x 得：y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，∴y 0＝y 1＋y 22＝p ，∴p ＝2，∴准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：B二、填空题6．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点F 倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A 、B 两点， 且|AB |＝4.则此抛物线的方程为__________________．解析：抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以得直线l 的方程为：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，将其与y 2＝2px (p ＞0)，联立消去y 得：3x 2－5xp ＋34p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，又|AB |＝x 1＋x 2＋p . ∴有5p 3＋p ＝4，解得：p ＝32.∴抛物线方程为：y 2＝3x .答案：y 2＝3x7．如果直线l 过定点M (1，2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的 方程为____________．解析：点M 在抛物线上，由题意知直线l 与抛物线相切于点M (1，2)，∴y ′|x ＝1＝4， ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0.当l 与抛物线相交时，l 的方程为x ＝1.答案：4x －y －2＝0，x ＝18．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：过M (1，0)直线为y ＝3(x －1)，交准线l 于(－p 2，－3(p2＋1))，∵AM →＝MB →， ∴M 为A 、B 中点，∴B 为(2＋p 2，3(p2＋1))，代入抛物线方程得p ＝2.答案：29．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：如图，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意设AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ， 消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x A ·x B ＝1， 又∵AF →＝3FB →，∴x A ＋3x B ＝4，解得：x A ＝3，x B ＝13，∴AB 的中点M 到准线的距离MN ＝x A ＋x B ＋22＝83.答案：83三、解答题10．(2018年福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2，1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离， 即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.11．(2018年湖南)已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等 于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有（x －1）2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋ 2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0， 设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB ＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.12．(2018年福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R. (1)若以点M (2，0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解析：法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0，2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝（2－0）2＋（0－2）2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，消去y 整理得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．。