3.1不等关系与不等式第1课时精品教案
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.1 不等关系与不等式》7
则 d≤ AB 。 问题 2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出 8 万本。根 据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少 2021 本。 若把提价后杂志的定价设为元，怎样用不等式表示销售的总收 入仍不低于 2021？
（二）教授新课
分析：若杂志的定价为元，则销售的总收入为
8
x
2.5 0.1
0.2
x
万元。那么不等关系“销售的总收入不低于 2021”可以表示为
不等式
8
x
2.5 0.1
0.2
x
≥2021
题
3：某钢铁厂要把长度为
4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，
600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足
板书设计:
不等式关系与不等式（一）
问题 1
问题 3
问题 2
总结
课后作业: 作业 课前预习:
教学反思（手写）： 亮点：
不足：
整改措施：
备课组/学科组长签字（盖章） 教务处/教研室签字（盖章）
课题
不等式关系与不等式（一）
授课时间
2021 年 3 月 27 日
实际授课 时间
2021 年 3 月 27 日课时:Fra bibliotek第一课时
课型
新课
知识与 技能
使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生 了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等 式组
根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过
学习方法 尝试、探究、讨论、总结、运用
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式(1)教案新人教A版必修5
3.1.1 不等关系与不等式(一)一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题投影仪、胶片、三角板、刻度尺导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师很好，请继续讲生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm 和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题 生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础。
不等式与不等关系(第一课时)教案
§3.1不等式与不等关系【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
教学设计1：3.1.1 不等关系与不等式
人教B版高二数学教案设计【学习目标】1．知识与技能：了解不等式一些基本性质并可以进行简单应用。
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情感、态度与价值观：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【学习重点】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.会用作差法比较两数的大小．【学习难点】建立不等式模型．【授课类型】新授课【学习方法】讲练结合法人教B 版 高二数学 教案设计问题3. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 答: {f ≥2.5%p ≥2.3%问题4. 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？我们怎么来定义不等关系？答: 这些关系式中都由不等式符号. 我们常用数学符号“≠，<，>，≤，≥”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系. 含有这些不等号的式子，叫做不等式．例1. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x−2.50.1×0.2)x 万元，则“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式(8－x−2.50.1×0.2)x ≥20来表示.变式1. 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解：设软件数为x ，磁盘数为y ，则根据题意可得 {60x +70y ≤500x ≥3，且x ∈N y ≥2，且y ∈N ，探究二. 比较大小问题1．在数轴上，如果表示实数a 和b 的两个点分别为A 和B ，则点A 和点B 在数轴上的位置与实数a 和b 的大小有什么关系？答：(1) 当a =b 时，点A 和点B 重合；(2) 当 a >b 时，点A 在点B 的右侧；(3) 当 a <b 时，点A 在点B 的左侧．人教B版高二数学教案设计人教B版高二数学教案设计人教B版高二数学教案设计【课后反思】。
经典教案3.1不等关系与不等式(1).doc
（2）当销售量小于 吨时，即 ，公司亏损，即 .
【方法总结】正确理解图象所表达的意思是解决该问题的关键.
例2 比较 与 的大小，其中 R.
【审题要津】比较 与 的大小，只要作差后判出差的符号即可.
解：
， .
【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
解： .
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 、4 、3 ，乙种饮料用用奶粉、咖啡、糖分别为4 、5 、5 ，已知每天使用原料为奶粉3600 、咖啡2000 、糖3000 .写出满足上述所有不等关系的不等式.
解：设配制甲种饮料 ，配制乙种饮料 .
则
8.比较 与 .
解： - = .
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
例3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
4.不等式 的含义.
不等式 应读作“ 大于或者等于 ”，其含义是指“或者 > ，或者 = ”，等价于“ 不小于 ，即若 > 或 = 之中有一个正确，则 正确.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.（见课本）
6.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么 .反之也成立，就是.（ >0 > ； =0 = ； <0 < ）.
解：由已知图形知： ，由此得： .
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.1.1 不等关系与不等式》1
不等关系与不等式的教学设计辽宁省营口市开发区熊岳高中数学组李明不等关系与不等式的教学设计一、教材分析本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。
不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用二、教学目标分析鉴于本节的地位与作用，根据新课标准的要求及高三学生的认知水平，我将教学目标确定为以下三个方面。
（1）知识与技能：通过具体情境感受在现实世界和日常生活中的存在着大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；（2）过程与方法：通过解决具体问题，学会解决比较大小的基本方法。
（3）情感与价值：通过通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
教学重点：比较大小的基本方法：作差法和作商法，及特值法教学难点：作商法和作差法三、学情分析本节课面对的是高中三年级的学生，学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
在学习过程中，教师要抓住学生熟悉的心理，积极调动起学生的学习兴趣。
学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
教师只要适当地进行引导，就会取得很好的教学效果四、教学过程由大屏幕显示不等式与不等关系考纲要求，考点分布及考情【设计意图】：让学生在学习知识之前做到心中有数（一）复习旧知（回归教材）教师提问，学生回答，大屏幕显示答案1、两个实数比较大小的依据2、不等式的性质3、不等式的常用性质【设计意图】：学生重新复习教材的内容，可以达到进一步巩固已有知识，，同时达到能熟练应用旧知识的目的（二）知识的回顾由大屏幕显示例1，教师组织学生分组讨论，回答问题例1：下列命题：①若b a bc ac >>则,22；②22,0b ab a b a <<<<则若③已知m b a ,,均为正数，并且b a <，则ba mb a >++m ④x x 432--的最大值是342- 其中正确的命题是教师给学生思考时间后回答问题，并说明理由【设计意图】：这个例子针对的是不等式的性质和常用性质的练习，让学生对不等式的性质的应用有个更进一步的认识，以及在高考中这一块知识如何命题。
3.1.1不等关系与不等式教案
3、1、1不等关系与不等式（第一课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。
（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。
2、过程与方法目标：（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。
（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。
3、态度情感与价值观目标：（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。
（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。
进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。
教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。
教学难点：判断差的符号难点突破方法：1、结合实例强化2、小组合作探究教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法学法：尝试、探究、讨论、总结、运用教具：投影仪板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。
教学过程：1、新课引入：现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？如：（1）天气预报说：今天早晨最低温度为22℃，今天白天的最高温度为30℃，若用t表示气温，那么用数学表达式可写成22℃≤t≤30℃（2）上一章学习的等比数列中规定q≠0（3）根号a中，a的取值范围是什么？a非负实数，即a≥0（4）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。
如A＞B2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）问题一：不等式的定义用不等号连接两个解析式（以表示它们之间的不等关系）所得的式子，叫做不等式．不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．（强调“≥、≤”的读法中的“或”引出问题二）问题二：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。
高中数学：3.1.1 不等关系与不等式 教案(新人教版必修5B)
3.1.1不等关系与不等式教案教学目标：1．掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，2．学会比较两个代数式的大小.教学重点：实数的大小比较的基本方法：作差法。
教学过程1、不等式的概念用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R2、实数大小比较的依据实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两个点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，若点A在点B的右方，则点A表示的实数a就大于点B表示的实数b，即a>b,这时，b应加上一个正数才能得到a，即a-b是一个正数，故比较两个实数的大小，只要考虑它们的差就可以了，对两个实数有如下的性质：如果a>b,则a-b为正数，若a<b,则a-b为负数，如果a=b，则a-b=0，反之亦然，即有：3、对于任意两个数a和b，在a>b，a=b，a<b三种关系中，有且只有一种关系成立4、 例题：例1．比较x x -2和2-x 的大小例2．当p 、q 都为正数且1=+q p 时，试比较代数式2)(qy px +与22qy px +的大小归纳总结 ：（1）、（2）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要补充例题：例3．比较lgx 2与（lgx ）2的大小。
例4．已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与ab 的大小。
5、 巩固练习： 1、若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( ) A a ＞ab ＞ab 2 B 2＞ab ＞a C ＞a ＞ab 2 D ab ＞ab 2＞a 2、下列不等式中，恒成立的是 （ ）A.a 2>0B.lg(a 2+1)>0C.0||>a a D.2a >0 3、已知a,b ∈R,b a≥0,a+b<0则( )A.a ≤0,b<0B. a ≥0,b>0C. a<0,b<0D. a>0,b>04、已知x<0，那么，x 2,2x,x 的大小关系是 （ ）A. x 2>2x>xB. x >x 2>2xC. x <x 2<2xD. 2x<x <x 25、已知ab<0，b-a<0,则不等式a 1 b1成立6、设A=(a 2+b 2)(c 2+d 2),B=(ac+bd)2，则A B7、设a<b<0,则b a 1 a1 8、已知a,b ∈R,且ab ≠0，则不等式ab-a2 b 2成立9 、比较a 4-b 4与4a 3(a-b)的大小10、已知x>y ，且y ≠0，比较y x 与1的大小11、设a=x 2+1-2x,b=x 2+16-8x,且3<x<4，比较a 与b 的大小12、 已知0<a<b,a+b=1,，比较b 与a 2+b 2的大小小结：求差比较，关键是差的符号的判定，而差的符号的判定关键是作差以后的变形，变形的主要方法是分解和配方 课堂练习：第63页练习A 、B 。
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3.1 不等式与不等关系
【课题】：3.1.1不等式与不等关系
【教学目标】：
（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不相等的数量关系，解不等式（组）的实际背景。
（2）理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值。
（3）培养、强化学生用不等式来研究不等关系的兴趣、意识。
【教学重点】：
用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值。
【教学难点】：
用不等式（组）正确表示实际问题中的不等关系
【教学突破点】：
祥细讲解问题3启发学生：（1）把不同的数量用不同的变量表示（2）把数量的不等关系转化为变量的不等式（不等式组）。
【教法设计】：
设置情境，启发讨论。
层层展开
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：
练习：
1.某一种商品降价10%后，欲恢复不低于原价，则至少应提价
A.10%
B.9%
C.11%
D.11
9
1% 解析：设至少应提价x %，则a （1－10%）（1+x %）≥a ，∴x ≥119
1
. 答案：D
2 .b 克糖水中有a(b>a>0)克糖,若再加入m(m>0)克糖,则糖水变甜了,试根据这个事实提练一个不等式__________
答案：
b a <m
b m a ++ 3．甲、乙两车从A 地同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a ，另一半时间的速度为b ；乙车用速度为a 行走一半路程，用速度为b 行走另一半路程。
若a ≠b ，试判断哪辆车先到达B 地。
解析：设甲乙的距离为s,则t 甲=
b a s +2,t 乙=)1
1(2b
a s + ∵t 甲-t 乙=-
ab
b a s
)(2+ (a-b) 2<0 ∴t 甲<t 乙 甲先到
答案：甲先到
4．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元. 设每天调出A 型车x 辆、B 型车y 辆， 请你们将题目中所包含的不等关系表示出来。
答案：因为每天调出A 型车x 辆、B 型车y 辆，则
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧∈≥⋅+⋅≤+∈≤≤∈≤≤N y x y x y x N y y N x x ,1803104610,40,80
5．某市2003年共有1万辆燃油型公交车。
有关部门计划于2004年投入128辆电力型公
交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3
1？
解析：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a
则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）。
(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得
3
110000>
+n
n S S 。
于是50005
.11)5.11(128>=
--n n S （辆）
，即32
657
5.1>
n ，
则有,5.7≈n 因此8≥n 。
所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车
总量的3
1。
答案：1458辆；到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。
6．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
n 2
1
)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 解析：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；
B n =500[(1+
21
)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 2
500－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2
500
－100) －(490n －10n 2)
=10n 2+10n －n 2500－100=10[n(n+1) － n 2
50
－10].
因为函数y=x (x +1) － n 2
50
－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n ≤3时，n(n+1) － n 2
50－10≤12－850
－10<0；
当n ≥4时，n(n+1) － n 2
50－10≥20－1650
－10>0.
∴仅当n ≥4时，B n >A n . 答案：A n =490n －10n 2；B n =500n －
n 2
500
－100. 至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？
解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y 1和y 2.一张全票价格为a 元，
那么y 1=a +0.55ax ，y 2=0.75（x +1）a .
∴y 1－y 2=a +0.55ax －0.75a （x +1）=0.2a （1.25－x ）. ∴当x ＞1.25时，y 1＜y 2；
当x ＜1.25时，y 1＞y 2.又因x 为正整数， 所以当x =1，即两口之家应选择乙旅行社； 当x ≥2（x ∈N ），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.
5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为____________.
解析：设甲地至乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v （v 2＞v ＞0），
则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间
t =
v v s +2+v v s
-2=22222v
v s v -， 平均速度v 1=t
s 2=22
22v v
v -.
∵v 1－v 2=222
2v v v -－v 2=－2
2
v v ＜0，
∴v 1＜v 2.
答案：v 1＜v 2。