不等关系与不等式第一课时教学设计
高中数学教学课例《3.1不等关系与不等式(1)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《3．、三角等内容有着密切的联系.
在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式
在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始
课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学 教材分析
（3）练习巩固 4、联系实际，探索研究 在教学中，我们提倡让学生在问题解决中学习，在问题 探索中学习，从而使学生建构起对知识的理解，因此在 下一环节中，我设计了一个生活实际问题，让学生在问 题探索中学习新知。 能否用所学知识准确表示“糖水加糖甜更甜”的现象？ 下面通过复习实数的基本理论，利用数轴数形结合，归 纳总结得出比较两个实数（式）大小的方法，学生容易 接受。 然后给出两组比较简单的作差比较，师生合作完成，教 师板书，学生回答，再总结提炼步骤方法。并变式练习， 一方面可以巩固作差比较法，另一方面，渗透了分类讨 论的数学思想，为课后的能力作业给予一点启示。 例 3、比较下面两组代数式的大小： 步骤：作差→变形→判号→结论. 其中变形是关键，常用的变形手段有提公因式、分解因 式、通分、配方、有理化等. 最后通过例 4，可以先让学生尝试，教师巡视学生解答 情况，最后通过幻灯片展示标准过程，指出学生易错点， 强调关键点。对本题的教学既是对实际探索问题的解 决，前后呼应；也是对作差比较法的进一步巩固，突破
教学策略选 教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推 择与设计 理。 为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主 体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理 念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织— —启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活 动。我设计了以下六个环节，层层深入，在教学中注意 关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学 过程的每个环节。
【教学设计】基本不等式
《基本不等式（第一课时）》教学设计一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．学生探讨等号取到情况，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二：分析法。
略。
为基本不等式分析法证明做好铺垫。
引领学生通过代换得到基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）证法一（作差法）略。
【教案】等式与不等式性质(一)教学设计
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比 较 （ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如 果 a-b 是 正 数 ，
那 么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习 的
目标，
整 体
提 升
数 学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（ 北京） 股份有 限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1） 某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于， 等于，
至少， 至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。
不等关系与不等式(优质课)教案
不等关系与不等式（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用 教学难点： 理解不等式性质的证明范围教学过程：1. 不等式（1） 用数学符号""""""""""≠<<≥≤ 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。
（2） 含有不等号的式子，叫做不等式。
2. 实数的大小关系（1） 实数集与数轴上的点集一一对应；（2） 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；（3） 对于任意两个实数a 和b ，在,,a b a b a b =><三种关系中有且仅有一种关系成立； （4） 在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较000a b a ba b a b a b a b−>⇔>−<⇔<−=⇔= 3. 不等式的性质（1） 对称性：如果a b >，那么b a <；如果 b a <，那么a b >； （2） 传递性：如果a b >且b c >，则a c >； （3） 加法法则：如果 a b >，则a c b c +>+；（4） 乘法法则：如果,0a b c >>，则ac bc >；如果,0a b c ><，则ac bc <类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较 例1.用不等号表示下列关系 （1）a 与b 的和是非负数 （2）实数x 不小于3解析：（1）0a b +≥ （2）3x ≥ 答案：（1）0a b +≥ （2）3x ≥ 练习1.（1）实数m 小于5，但不小于-2（2）x 与y 的差的绝对值大于2，且小于或等于6 答案：（1）25m −≤≤ （2）26x y <−≤练习2.已知,a b 分别对应数轴上的,A B 两点，且A 在原点右侧，B 在原点左侧，则下列不等式成立的是（）A.0a b −≤B.0a b +<C.a b >D.0a b −> 答案：D例2.比较22x x +与2x +的大小 解析：()()()()22212xx x x x +−+=−+当{1020x x −>+> 或{1020x x −<+< 即1x >或2x <−时，()()120x x −+>，此时222x x x +>+；当21x −<<时，()()120x x −+<，此时222x x x +<+ 答案：1x >或2x <−时，222x x x +>+；当21x −<<时，222x x x +<+ 练习3.比较a b a b 与b a a b （,a b 为不相等的正数）的大小 答案：a b b a a b a b >练习4.已知0a b >>，则2222a b a b −+ _________a ba b−+ （填,,><=）答案：>类型二： 不等式性质的证明应用 例3.已知0,0,a b c d >>>>求证a bd c< 解析：0,0c d c d <<∴−>−>又0,0,a b ac bd ac bd >>∴−>−>∴<又0,0,ac bd c d cd cd cd <<∴>∴<即a b d c< 答案：见解析练习5.已知0,c a b >>>求证a bc a c b>−− 答案：0,0,0,,0110,0,c a b c a c b a b c a c ba ba b c a c b c a c b>>>∴−>−>−<−∴<−<−∴>>>>∴>−−−− 练习6.已知0,0,a b c d >><<<答案：110,00,00,a b c d c d a b c d d c <<−>−>∴<−<−>>∴−>−>类型三： 利用不等式的性质求取值范围 例4.已知15,13a b a b ≤+≤−≤−≤（1） 求,a b 的范围； （2） 求32a b −的范围。
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教案标题：不等关系与不等式教案教案目标：1. 理解不等关系的概念，并能够正确运用不等关系符号（大于、小于、大于等于、小于等于）。
2. 掌握解不等式的方法，包括图像法和代数法。
3. 能够在实际问题中运用不等关系和不等式解决数学问题。
教学资源：1. 教材：包含不等关系和不等式的相关知识点。
2. 白板、黑板或投影仪：用于展示教学内容和解题步骤。
3. 练习题：用于巩固学生对不等关系和不等式的理解和运用能力。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾等关系的概念，例如“大于”和“小于”。
2. 提出问题：“在数学中，我们还可以比较两个数的大小，但不一定是相等的关系，你知道这个叫什么吗？”引导学生理解不等关系的概念。
概念讲解（10分钟）：1. 解释不等关系的符号表示，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
2. 通过示例和图示，帮助学生理解不等关系符号的含义和使用方法。
解不等式的方法（15分钟）：1. 图像法：通过绘制数轴和标记关键点的方式，帮助学生直观地理解不等式的解集。
演示解不等式的图像法步骤，并让学生跟随进行练习。
2. 代数法：通过运用数学运算规则和性质，将不等式转化为等价的形式，从而求解不等式。
演示解不等式的代数法步骤，并让学生进行练习。
练习与巩固（20分钟）：1. 给学生分发练习题，包括不等关系的填空题和不等式的求解题。
确保题目涵盖不同难度和类型，以满足不同学生的需求。
2. 引导学生独立或合作完成练习题，并及时给予指导和反馈。
3. 随堂检查学生的练习情况，并解答他们可能遇到的问题。
拓展应用（10分钟）：1. 提出一些实际问题，要求学生利用不等关系和不等式进行求解。
例如：“某超市举行促销活动，商品原价的80%作为折扣，你能计算出打折后的价格吗？”2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为数学不等式，并运用所学知识解决问题。
总结与反思（5分钟）：1. 总结不等关系和不等式的概念和解题方法。
不等关系与不等式教学设计
《不等关系与不等式》教案【教学目标】1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。
通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。
通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度【重点难点】重点：比较实数大小的方法．难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；2.比较实数大小方法的实际应用【教学方法】体验法、合作讨论法【教学过程】(一)创设情境泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。
合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）（学生思考演算并请学生回答结果）由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？若设人数为n ，记采用方案A 的费用为)(n f ，采用方案B 的费用为)(n g ，则36144)(+=n n f ，n n g 150)(=接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(<⇒>-⇔>n n g n f n g n f 60)()()()(=⇒=-⇔=n n g n f n g n f 60)()()()(>⇒<-⇔<n n g n f n g n f 所以 当62<<n 时，选择方案B;当 6=n 时，选择两种方案都一样； 当 6>n 时，选择方案A. 这样我们的问题就解决了。
不等关系与不等式教学设计与教学反思
不等关系与不等式教学设计与教学反思不等关系与不等式教学设计与教学反思一、教学目标1、通过具体情境，感受在现实世界与日常生活中存在着大量的数量关系；了解不等式（组）的实际背景，了解不等式的一些基本性质。
2、从具体事例出发，通过列不等式，训练学生的分析判断和逻辑推理能力，给出不等式的性质，并对一些性质给予证明。
3、通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切关系以及对人类历史发展的作用，激发学生学习数学的兴趣与信心。
二、教学方法从一些具体事例出发，通过列不等式引入不等关系，进而给出不等式的性质及其应用。
三、教学重难点重点：不等式的性质难点：不等式性质的应用四、课时安排1课时五、教学过程1、导入新课现实世界和日常生活中既有相等关系又有大量的不等关系。
我们知道的两点之间线段最短，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等。
人们还经常用长与短、大与小、轻与重等描述某种客观事物在数量或质量上存在的不等关系。
2、讲授新课问题1：某天的天气预报报道，最高气温15℃，最低气温7℃。
问题2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是40v。
问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5℅，蛋白质的含量p应不少于2.3℅，写成不等式组就是2.5%2.3%fp问题4：如图，用两根长度均为l的绳子，分别围成一个正方形和圆。
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为：2()4l。
所围成的圆的面积可以表示为：2()2l。
(1)如果要使正方形的面积不小于225cm，那么绳长l应满足怎样的条件？2()254l(2)如果要使圆面积不小于2100cm，则绳长l应满足怎样的条件？2()1002l【设计意图：由生活中的不等关系到数学中的不等关系，然后抽象出不等式概念，便于学生理解】不等式的概念根据等式的一些基本性质可以研究等式，那我们要根据不等式研究不等关系，就需要对不等式的性质有必要的了解。
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3.1 不等关系与不等式教学设计（第一课时）
【教学过程】
一．情景导入，创设问题：
以章头图为情景，让学生发挥想象，举出生活中类似“不等关系”的实例.
如：某天的天气预报报道，最高气温30℃，最低气温15℃.
(学生举手发表，教师给以肯定与表扬)
〖设计意图〗由章头图让学生自由发挥，举出类似的例子.
提问：如何用数学符号表示这些不等关系呢？
生：用不等式.
回顾不等式的相关知识：举例-7＜-5；3+4＞1+4；26x ≤；a +2≥0；3≠4；22≥.
不等式：用不等号将两个式子连接起来所成的式子.
我们学过的有哪些不等号？
> 表示大于 < 表示小于
≥ 表示大于或等于（不小于、不低于）
≤ 表示小于或等于（不大于、不超过）
人的身高有高与矮，重量有轻重之分，数有大小之分.即两个实数有：
a b >或a b <或a b =三种大小关系
如：（给出教材上的两个实例，学生用不等式表示出来）
实例1 限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h.
实例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不 少于2.3%.（对两个不等式同时满足的强调）
二．师生互动，建立不等关系：
问题1 设点A 与直线l 的距离为d ，B 为直线l 上任意一点，如图，你能得出怎样的不等关系？ A
d
l
B
［学生活动］由学生讨论、发言，师生共同总结出d AB ≤
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表 示销售的总收入不低于20万元呢？
［师生活动］阅读题目，学生勾画出重要信息（注意单位的统一），按下列要求独立思考. 提问：怎样用自己的语言描述出销售总收入？
用数学式子又怎样表示呢？（见预学案）
解：设杂志的定价为x 元，则定价提高了( 2.5x -)元，即定价提高了（
2.50.1
x -）个0.1
销售量减少了(
2.50.20.1
x -⨯)万本. 此时销售量为( 2.580.20.1x --
⨯)万本.
那么总收入为 2.5(80.2)0.1
x x --
⨯⋅万元. 故可以建立不等式 2.5(80.2)200.1x x --
⨯⋅≥. ［学生活动］学生结合学案讨论，最后师生共同总结.
问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.如何用不等式组表示上述所有不等关 系？
［学生活动］自己阅读题目，找出其中蕴涵的不等关系.
提示：若令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样 的不等量关系呢？
由学生讨论，举手到黑板上进行板演，最后集体讲评.
解：令截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.
根据题意得：
5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤ ⎧⎪≥ ⎪⎨≥
⎪⎪≥
⎩
[学有所用] 74p 练习1 （学生举手到黑板上板演）
生活实例探究 若b 克糖水中有a 克糖，其中0b a >>；之后再放m 克糖（0m >）为什么会 变得更甜呢？
思考：之后再放m 克糖使得糖水的什么变了？试猜想此过程中是否蕴涵了一个 不等关系？
三. 类比实数的大小，比较代数式的大小：
事实上，对于两个实数a b 、：
若a b -是正数，那么a b >；若a b -等于零，那么a b =；若0a b -<， 那么a b <.反过来也成立吗？
故有：
0;
0;0.
a b a b a b ->⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-=⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽-<⇔⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽
思考：实数可以比较大小，那么，对于任意的两个代数式，又如何比较大小呢？
四．实例剖析
比较代数式2225856x x x x ++++与的大小.
活动：让学生验证糖水实例探究中的猜想.
归纳作差比较法的步骤：
1.作差；
2.变形：配方、因式分解、通分（分母）分子有理化
3.定号.
练习：比较下列代数式的大小
（1）233x x +与；
（2）6421x x x ++与 （其中1x ≠±）.
五.课堂小结
1.通过具体情景，建立不等式（组）
2.比较两个代数式的大小——作差法
【本节作业】
755
1P A B
【板书设计】 3.1不等关系与不等式（一）
实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题。