2020年天津高考文科数学(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文(天津卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷，含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I 卷时、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。
必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面的高如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体积 V Sh = P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V Sh = 第I 卷(选择题 共50分)一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，52ii=- A.12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+2.设变量x,y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A. 6B. 7C.8D.23 3.设,x R ∈则"1"x =是3""x x =的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.设双曲线()22220x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A.2y x =±B. 2y x =±C. 22y x =±D. 12y x =± 5.设0.3113211log 2,log ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A. a b c <<B.a c b <<C. b c a <<D.b a c << 6.阅读右面的程序框图，则输出的S =A. 14B.20C.30D.55 7.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是A.2πB.38πC. 4πD.8π8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是A.()()3,13,-+∞UB. ()()3,12,-+∞UC. ()()1,13,-+∞UD. ()(),31,3-∞-U9.设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,23x ya b a b ==+=，则11x y+的最大值为 A.2 B.32 C. 1 D.1210.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第二卷二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置。
2020年天津卷数学高考试题及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年天津卷数学高考试题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A．10 B．18 C．20 D．365．若棱长为23A．12πB．24πC．36πD．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 2a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 4441313A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k nn k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x xx x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年天津高考数学试卷-(含答案)
2020年天津高考数学试卷第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为3 A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞ 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ； （Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年天津高考数学试卷答案1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D10．32i -11．1012．513．16；2314．415．16；13216.（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17.依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,|A CA C CA⋅〈〉==n n n ，于是sin ,6CA〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,||||AB AB AB ⋅==n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E ． 18．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k kk --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑． 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯． 20．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故23336ln 10t t t t-++->． ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。
2020年天津市高考数学试卷-含详细解析
2020年天津市高考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b7. 设双曲线C 的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C.x 24−y 2=1 D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点． (Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题． 进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}， 则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}， 故选：C ． 2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件， 故选：A ． 3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ， 当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ， 故选：A ． 4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可． 【解答】解：直径径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个， 故选：B ． 5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题． 正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积． 【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R=√3×2√3=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，(x2<x1)当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，(x2>x1)y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，在[0,2k只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r =2，得r =1，∴x 2的系数是2×C 51=10， 故答案为10． 12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题． 根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x −√3y +8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r 2=d 2+(|AB|2)2，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2=r 2的圆心为(0,0)，半径为r ； 则圆心到直线x −√3y +8=0的距离d =√1+3=4， 若|AB|=6，则有r 2=d 2+(|AB|2)2=16+9=25，故r =5； 故答案为：513.【答案】16 23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13， 则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23， 故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b =a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2⋅8a+b =4，当且仅当a+b 2=8a+b ，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 132【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=8+25−132×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n ⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33，∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0，∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14kn k=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4n−49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n −49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ， 故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1， 当0<x <1，g′(x)<0， 当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x3+klnx，则f′(x)=3x2+kx，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t，t>1，则(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+kln x1x2)，=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2kln x1x2，=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t≥1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。
2020年天津卷数学高考试题及其答案
初高中数学学习资料的店
初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 11 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+．
·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．
·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩
A ．{3,3}-
B ．{0,2}
C ．{1,1}-
D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3
．若棱长为
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．144π 4．设0.70.80.713,()
,log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<。
2020年新高考天津卷数学试题(含解析)
所以，直线
AB
与平面
DB E 1
所成角的正弦值为
3
.
3
18.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的一个顶点为 A(0, 3) ，右焦点为F
，且 | OA || OF
|，其中O为原点．
（1）求椭圆 方程；
（2）已知点 C 满足3OC OF ，点 B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于
f ( x) |x|
恒有 3 个不同交点，满足题意；
当 k 0时，如图 3，当 y kx 2 与 y x2相切时，联立方程得 x2 kx 2 0 ，
令 0得 k2 8 0，解得 k 2 2 （负值舍去），所以k 2 2 .
综上， k 的取值范围为 (,0) (2 2, ) .
二、填空题
2 2 6
6 6，
sin CA, n 1 cos2 CA, n
30
．
6
所以，二面角 B B E D 的正弦值为 1
30 ； 6
（3）依题意， AB 2,2,0 ．
由（2）知 n 1,1,2为平面 DB1E 的一个法向量，于是cos AB, n
AABBnn 2
4 2
6
3 3．
x2 y2 A. 4 4 1
y2 B. x2 4 1
x2 C. 4 y2 1
D. x2 y2 1
答案：D
a b
解答：由题可知
b
(
b) a
1
a
b
1，所以双曲线 C
的方程为 x2 y2
1.
8.已知函数
f
( x)
sin x
3
．给出下列结论：
2020年天津卷数学高考试题(含答案)
2020年天津卷数学高考试题(含答案)2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
在答卷前，考生需填写姓名、考生号、考场号和座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生需将答案涂写在答题卡上，不得在试卷上作答。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。
如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。
球的表面积公式S=4πR，其中R表示球的半径。
1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}，B={-3,0,2,3}，则A∩B={0,2}。
2.设a∈R，则“a>1”是“a>a的充分不必要条件”。
3.函数y=4x/(2x+1)的图象大致为下图中的CD线段。
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.35,5.37),[5.37,5.39),[5.39,5.41),[5.41,5.4 3),[5.43,5.45),[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为20个。
5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为36π。
6.设a=3，b=0.7^(1/3)，c=log0.7(0.8)，则a>b>c。
7.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在x=2处有极值，则a<0.8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a3=7，则S10=55.9.已知函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=2x-1，则f(g(x))=4x^2-8x+5.1.双曲线C的方程为x^2/4-y^2/b^2=1，其中b>0.2.正确结论为D．①②③。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（A ）{1,1}-（B ）{0,1}（C ）{1,0,1}-（D ）{2,3,4}（2）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为（A ）6 （B ）19 （C ）21（D ）45（3）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c >> （B ）b a c >>（C ）c b a >>（D ）c a b >>（6）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （A ）在区间[,]44ππ-上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -=（B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= （8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 （A ）15- （B ）9- （C ）6-（D ）0第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，复数67i12i++=__________． （10）已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱柱A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． （13）已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +18b 的最小值为__________． （14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． （16）（本小题满分13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ．已知b sin A =a cos(B –π6)． （Ⅰ）求教B 的大小；（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin(2A –B )的值． （17）（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（18）（本小题满分13分）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． （19）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值. （20）（本小题满分14分）设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列. （I ）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x = 与直线 12()y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围. 参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）C （2）C （3）A （4）B （5）D（6）A（7）A（8）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i（10）e （11）13（12）2220x y x +-= （13）14（14）［18，2］三、解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种．学@科网 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． （16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ）解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B ．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos Asin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-= （17）本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MNDMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）解：连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面AB D ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD=4． 在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠==． 所以，直线CD 与平面ABD． （18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.学&科网（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2259ca=，又由222a b c=+，可得23.a b=由||AB==,从而3,2a b==.所以，椭圆的方程为22194x y+=.（II）解：设点P的坐标为11(,)x y，点M的坐标为22(,)x y，由题意，21x x>>，点Q的坐标为11(,).x y--由BPM△的面积是BPQ△面积的2倍，可得||=2||PM PQ，从而21112[()]x x x x-=--，即215x x=.易知直线AB的方程为236x y+=，由方程组236,,x yy kx+=⎧⎨=⎩消去y，可得2632xk=+.由方程组221,94,x yy kx⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x=.由215x x=，5(32)k=+，两边平方，整理得2182580k k++=，解得89k=-，或12k=-.当89k=-时，290x=-<，不合题意，舍去；当12k=-时，212x=，1125x=，符合题意.所以，k的值为12-.（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分. （Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0，(0)f'=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(0)f'(x−0)，故所求切线方程为x+y=0.（Ⅱ）解：由已知可得f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t22+9t2.故()f x'= 3x3−6t2x+3t22−9.令()f x'=0，解得x= t2，或x= t2.当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 23−9×(；函数小值为f (t 23−9×−（III ）解：曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x −t 2+d )(x −t 2) (x −t 2−d )+ (x −t 2=0有三个互异的实数解，令u = x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u设函数g (x )= x 3+(1−d 2)x y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−价于函数y =g (x )有三个零点.()g'x =3 x 3+(1−d 2).当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=，x 2.易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x 1)= g (+g (x )的极小值g (x 2)= g)=+若g (x 2) ≥0，由g (x )的单调性可知函数y =f (x )至多有两个零点，不合题意.若2()0,g x <即322(1)27d ->，也就是||d >此时2||d x >，(||)||0,g d d =+>且312||,(2||)6||2||0d x g d d d -<-=--+<-<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x = 在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意.学科……网所以d 的取值范围是(,(10,).-∞+∞。