2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ﹣2a n =1，则{a n }的通项公式是a n = ．15．已知双曲线C ：﹣=1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2=，则双曲线的离心率 ．16．在△ABC 中，∠A=，O 为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p +q 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0． （1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X的分布列及其数学期望．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，故选：B2．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把m=4﹣xi，n=3+2i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件求解即可得答案．【解答】解：由m=4﹣xi，n=3+2i，得==，∵复数∈R，∴，解得x=．故选：D．3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故选：D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式化简即可计算得解．【解答】解：∵，∴cos[π﹣（+2θ）]=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣[1﹣2sin2（+θ）]=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：=32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：=24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：=8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：=1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（x）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288用算筹可表示为，故答案为14．若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：3S n﹣2a n=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．n≥2时，3S n﹣1﹣2a n﹣1=1，相减可得：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为﹣2．∴a n=（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．15．已知双曲线C：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，），求出N点坐标，代入y=﹣得出x0与c的关系，再根据垂直列方程得出a，b的关系，从而可求得离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，设M在直线y=上，M（x0，），F（c，0），∵2=，∴M是FN的中点，∴N（2x0﹣c，），∵N在直线y=﹣上，∴2x0﹣c=﹣2x0，即x0=．∴M（，），∵MF与直线y=垂直，∴=﹣，∴b2=3a2，∴e===2．故答案为：2．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0． （1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围． 【考点】HR ：余弦定理．【分析】（1）sinB +sinC=msinA （m ∈R ），利用正弦定理可得：b +c=ma ，且a 2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出． 【解答】解：（1）由题意得b +c=ma ，a 2﹣4bc=0． 当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b +c=ma 可得m ＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率； （2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P （A ）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P （X=k ）及其分布列与数学期望． 【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X 的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求出导数得到极值点，通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a ≥2时分别求解函数的单调性以及函数的最值即可．（II）设，求出导数F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通过①当a≥0时，②当a≤﹣1时，③当﹣1＜a＜0时，分别求解函数的单调性已经函数的最值，推出a≤﹣1．【解答】解：（I）h（x）=（x﹣a）e x+a．h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F （x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。
河南省郑州市2017-2018学年高三数学三模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．设复数，则a+b=（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．“∃x 0∈R ，2x0≤0”的否定为（ ）A ．∀x 0∈R ，2x0≤0B ．∀x 0∈R ，2x0≥0C ．∀x 0∈R ，2x0＜0D ．∀x 0∈R ，2x0＞03．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 4．下列说法中正确的是（ ）①设随机变量X 服从二项分布B （6，），则P （X=3）=②已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2）且P （X ＜4）=0.9，则P （0＜X＜2）=0.4③dx}=dx=④E （2X+3）=2E （X ）+3；D （2X+3）=2D （X ）+3． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③ D ．①③5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+2B ．4π+2C ．2π+D ．4π+6．已知P 是双曲线﹣y 2=1上任意一点，过点P 分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则•的值是（ ）A．﹣B．C．﹣D．不能确定7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．30248．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．509．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．28011．已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110一、填空题13．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016=．15．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为．16．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．二、解答题17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）sin（﹣C）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．18．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且P i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X 元，求X的分布列和数学期望．19．如图，四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，侧棱AA′⊥ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA′=AB=2，E为棱AA′的中点．（1）求证：B′C′⊥CE；（2）求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值；（3）设点M在线段C′E上，且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．选作题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数，则a+b=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b 的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b=1，故选A．2．“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为（）A．∀x0∈R，2x0≤0 B．∀x0∈R，2x0≥0 C．∀x0∈R，2x0＜0 D．∀x0∈R，2x0＞0 【考点】的否定．【分析】根据特称的否定是全称即可得到结论．【解答】解：是特称，则“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为：∀x0∈R，2x0＞0，故选：D3．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，利用集合的基本运算即求出结论．【解答】解：M={x丨y=lg}={x丨＞0}={x|0＜x＜1}=（0，1），N={y|y=x2+2x+3}={y|y=（x+1）2+2≥2}=[2，+∞），∴∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞），∴（∁R M）∩N=[2，+∞）．故选：C．4．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）=②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X ＜2）=0.4③dx}=dx=④E（2X+3）=2E（X）+3；D（2X+3）=2D（X）+3．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．【解答】解：①设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=，正确；②∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2．∵P（X＜4）=0.9，∴P（2＜X＜4）=0.4，∴P（0＜X＜2）=P（2＜X＜4）=0.4，正确；③利用积分的几何意义，可知dx}=dx=，正确④E（2X+3）=2E（X）+3；D（2X+3）=4D（X）．故不正确．故选：A．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C6．已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣B．C．﹣D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．8．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△AB C==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣AB C =V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．10．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．11．已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【分析】先对函数求导可得y=f′（x）=，而故可求【解答】解：∵=﹣sin（）∴y=f′（x）=而故选C12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110【考点】数列的求和；分段函数的应用．【分析】由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．【解答】解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．一、填空题13．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用特殊值代入法，即可求出a1+a2+…+a5的值．【解答】解：令x=0，得（﹣1）5=a0，即a0=﹣1；再令x=1，得（2﹣1）5=a0+a1+a2+…+a5，所以a1+a2+…+a5=1﹣a0=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016=．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，b n+1==．求出b2，b3，b4，…，猜想：b n=，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，∴b1=1﹣a1=，b n+1==．∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：b n=，经过验证：b n+1=成立．则b2016=．故答案为：．15．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，二阶导数，得到一阶导函数有极大值点，根据f′（x）的单调性，只要，解出即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1，（x＞0），∴f′（x）=lnx﹣ax，，得一阶导函数有极大值点x=，由于f′（0）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→﹣∞，因此原函数要有两个极值点，只要解得，故答案为：（0，）．16．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．解得m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）二、解答题17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）sin（﹣C）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（1）对f（x）化简，再由在x=π处取得最小值，得到φ的值．（2）由正弦定理得到A，由此得到C．【解答】解析：（1）首先化简原函数f（x）=sinx（1+cosφ）+cosxsinφ﹣sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），由f（π）=sin（π+φ）=﹣sinφ=﹣1，又0＜φ＜π，解得，（2），由正弦定理得，当时，，当时．18．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且P i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X 元，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，第三扇门选手答不出才求助，由此能求出选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率．（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，则对应事件的概率分别为，因此题目所求概率为P（A1）P（A2）P（）P（A4）P（B）P4（C）==．注意：第三扇门选手答不出才求助（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，，，，，，，X0 3000 6000 8000 24000∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=3250．注意：最后一次答对无需再选择．19．如图，四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，侧棱AA′⊥ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA′=AB=2，E为棱AA′的中点．（1）求证：B′C′⊥CE；（2）求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值；（3）设点M在线段C′E上，且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为，求线段AM的长．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（1）以A为原点，以AD，AA′，AB为坐标轴建立空间直角坐标系，求出，的坐标，通过计算=0得出B′C′⊥CE；（2）求出两平面的法向量，则二面角的余弦值等于两平面法向量夹角的余弦值的绝对值；（3）设=λ，求出的坐标和平面ADD′A′的法向量，令|cos＜＞|=，解出λ，代入||得出答案．【解答】证明：（1）以A为原点，以AD，AA′，AB为坐标轴建立空间直角坐标系，则有B′（0，2，2），C′（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），∴B′C′=（1，0，﹣1），CE=（﹣1，1，﹣1），∴=0，∴B′C′⊥CE．（2）=（1，﹣2，﹣1），设平面B′CE法向量为=（x，y，z），则=0，，∴，令z=1，得=（﹣3，﹣2，1）．由（1）知B′C′⊥CE，且B′C′⊥CC′，CC′，CE⊂平面C′CE，CC′∩CE=C，∴B′C′⊥平面C′CE．故B′C′是平面C′CE的一个法向量．∴=﹣4，||=，||=．∴cos＜＞==﹣．二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值为．（3）=（1，1，1），设=λ=（λ，λ，λ），λ∈[0，1]，则==（λ，1+λ，λ）．平面ADD′A′的一个法向量为=（0，0，1），∴cos＜＞===．解得，∴||==．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点和准线方程，设M（x0，y0）（x0＜0），运用抛物线的定义求得M的坐标，由椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，c=1，求得b，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），运用向量共线的坐标表示，化简整理，运用平方差公式和点满足圆方程，代入即可得到所求定直线．【解答】解：（I）由C2：x2=4y知F1（0，1），准线为y=﹣1，设M（x0，y0）（x0＜0），因M在抛物线C2上，故，又，由抛物线的定义可得，解得，椭圆C1的两个焦点F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|==4，可得a=2，又c=1，则b2=a2﹣c2=3，椭圆C1的方程为：；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由=λ，可得，即为；由=﹣λ，可得，即为，①×③得：，⑤②×④得：，⑥又点A，B在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，所以，，⑤+⑥可得，3﹣3λ2=（x+3y）（1﹣λ2），由λ≠0且λ≠±1，可得x+3y=3，所以点Q总在定直线x+3y=3上．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）假设存在，根据x1+x2=2m，x1x2=1，得到消元得，根据f（x）的单调性判断函数无零点，得出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），，令h（x）=x2﹣2mx+1，△=4m2﹣4=4（m2﹣1），当△＞0即m＞1或m＜﹣1时，方程h（x）=0有两个根，设方程x2﹣2mx+1=0的两根是：x1，x2，且x1＜x2，解得：x1=m﹣，x2=m+，∴x1+x2=m，x1•x2=1，当△≤0时，即m∈[﹣1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，当m＜﹣1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，当m＞1时，△＞0，两根均为正，故f（x）在区间（0，m﹣），（m+，+∞）递增，在（m﹣，m+）递减；（2）由（1）知函数有两个极值点时m＞1且x1+x2=2m，x1x2=1AB斜率，若k=2﹣2m，则，两根均为正且x1x2=1，若x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，消元得，整理得x2﹣﹣2lnx2=0，由（1）知在区间（1，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（1）=0，函数没有零点，故这样的m值不存在．选作题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年7月6日。
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。
∀x＞，log2x≥2x+3B。
∃x＞，log2x≥2x+3C。
∃x＞，log2x＜2x+3D。
∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。
﹣6B。
6C。
7D。
53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。
$\sqrt{13}$B。
$\sqrt{15}$C。
5D。
$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。
2B。
1C。
$\frac{1}{2}$D。
05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。
60B。
65C。
80D。
816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。
48B。
72C。
96D。
1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。
25B。
49C。
12D。
248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。
$\pi^2$B。
$4\pi^2$C。
$8\pi^2$D。
$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。
河南省郑州市2017年高中毕业年级第三次质量预测理科数学
河南省郑州市2017年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ）（ ） A.0x ∀>，2log 23x x ≥+ B.0x ∃>，2log 23x x ≥+ C.0x ∃>，2log 23x x <+D.0x ∀<，2log 23x x ≥+2.已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C.83D.83-3.已知双曲线22132x y a a+=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ）A.32B.5C.7D.124.已知27cos 239πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13B.13±C.19-D.195.设集合{}1234,,,A x x x x =，{}1,0,1i x ∈-，{}1,2,3,4i =，那么集合A 中满足条件“222212343x x x x +++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.65 C.80 D.816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.22π+B.23π+C.43π+D.42π+7.设实数x ，y 满足6021402100x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩，则2xy 的最大值为（ ）A.25B.49C.12D.248.已知等比数列{}n a，且680a a +=⎰，则()84682a a a a ++的值为（ ）A.2πB.24πC.28πD.216π9.若实数a 、b 、c R +∈，且26ab ac bc a +++-，则2a b c ++的最小值为（ ）1-1+C.2D.210.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）11.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12.设函数()f x 满足()()232'xx f x x f x e +=，()228e f =，则[)2,x ∈+∞时，()f x 的最小值为（ ）A.22eB.232eC.24eD.28e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n S a -=，则{}n a 的通项公式是n a = ．15.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率 ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==，M 为劣弧BC 上一动点，且OM pOB qOC =+，则p q +的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=. （1）当2a =，54m =时，求b 、c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围.18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养；若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.19.如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===. （1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =相切，点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足()2222OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围.21.已知函数()()()ln f x x a x a =++，()22ag x x ax =-+.（1）函数()()()'x x h x f e a g e =-+，[]1,1x ∈-，求函数()h x 的最小值； （2）对任意[)2,x ∈+∞，都有()()10f x a g x ---≤成立，求a 的范围.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围； （2）求不等式()28150x x f x -++≤的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题BDDBB AADDC CD二、填空题13.三、解答题17．解：由题意得b c ma+=,240a bc-=.(I) 当52,4a m==时，52b c+=, 1.bc=解得2,1,212,2bbcc=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或(II)()2222222222222cos23(0,1).222am a ab c bc ab c aA mabc bc--+--+-====-∈∴2322m<<,又由b c ma+=可得0,m>m<<18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则225421016().45C CP AC+==（II）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：47910,,,A A A A；X的可能取值为1,2,3,4,5.113211641(1);4C CP XC C===1111312211647(2);24C C C CP XC C+===11111131211211647(3);24C C C C C C P X C C ++===1111211111641(4);8C C C C P X C C +=== 111111641(5).24C C P X C C ===∴1234542424824EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12. 19. 解：(I)在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===，又∵23BCD π∠=,∴2AB =，∴22202cos603.AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ∴222.AB AC BC=+∴BC AC ⊥.∵CF ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴ACCF ⊥，而CF BC C ⋂=， ∴.AC BCF ⊥平面 ∵//,EF AC ∴EFBCF ⊥平面.(II)由(I)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF====，令FM λ=(0λ≤≤),则C (0，0，0)，A 0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，∴AB uu u r 1，0)，BM uuu r=(λ，-1，1)，设1(,,)n x y z =r为平面MAB 的一个法向量，由00,n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uuu rg 11，得00,y x y z ⎧+=⎪⎨λ-+=⎪⎩， 取1x =,则1n rλ),∵2n r=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,∴1212n cos θ===r r g r r g ｜n ｜｜n ｜｜n ｜∵0λ≤≤,∴当0λ=时，cos θ有最小值7， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为. 20. 解：（I ）设动点),(),,(00y x A y x M ，由于AN x ⊥轴于点.N0(,0).N x ∴又圆)0(2221>=+r r y x C ：与直线52321:0+=x y l 即0532=+-y x 相切， 3.r ∴==∴圆2219.C x y +=：由题意，)222(2-=+，得000(,)2(,)2)(,0),x y x x y y x +--=000(32,32)2),0).x x y y x ∴--=000322),320x x x y y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩即003.2x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 将)23,223(y x A 代入922=+y x ，得曲线C 的方程为22 1.84x y += （II ）（1）假设直线l 的斜率存在，设其方程为m kx y +=，设1122(,),(,),P x y Q x y联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(12)4280.k x kmx m +++-=由求根公式得2121222428,.1212km m x x x x k k -+=-=++（*）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，.OP OQ ∴⊥即0.OP OQ ⋅=12120.x x y y ∴+=即1212()()0.x x kx m kx m ∴+++=化简可得，221212(1)()0.k x x km x x m ++++=将（*）代入可得021883222=+--k k m ，即223880.m k --= 即3)1(822+=k m，又12PQ x =-=将3)1(822+=k m 代入，可得PQ ====≤∴当且仅当2241k k =，即22±=k 时等号成立．又由0441242≥++k k k ，364332=≥∴PQ ，32364≤≤∴PQ ． （2）若直线l 的斜率不存在，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设OP 所在直线方程为x y =，联立22,1,84y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得P同理求得Q 故364=PQ ．综上，得32364≤≤PQ ． 21. 解:（I ）()()xh x x a e a =-+.x e a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x .① 当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. ② 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数.∴ )(x h 的最小值为a ea h a +-=--1)1(.③ 当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(.综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当20<<a 时)(x h 的最小值为a e a +--1,当2≥a 时，)(x h 最小值为a e a +-)1(.（II ）设2()(1)ln(1)2a F x x x x ax =--+-， )1(1)1ln()(-++-='x a x x F )2(≥x .①当0≥a 时，在[2,)x ∈+∞上0)(>'x F ，)(x F 在[2,)x ∈+∞递增，)(x F 的最小值为0)2(=F ，不可能有()()10f x a g x ---≤.②当1-≤a 时, 令011)(=+-=''a x x F ，解得：a x 11-=，此时121a>- ∴011)(≤+-=''a x x F .∴)(x F '在),2[+∞上递减.∵)(x F '的最大值为01)2(≤+='a F ，∴)(x F 递减.∴)(x F 的最大值为0)2(=F ，即()()10f x a g x ---≤成立.③ 当01<<-a 时，此时121,a<-当)11,2(a x -∈时，)(,0)(x F x F '>''递增，当),11(+∞-∈ax 时，)(,0)(x F x F '<''递减.∴)11()(max a F x F -'='0)ln(>--=a ，又由于01)2(>+='a F ,∴在)11,2[ax -∈上0)(>'x F ，)(x F 递增，又∵0)2(=F ,所以在)11,2[ax -∈上0)(>x F ，显然不合题意.综上所述：1-≤a .22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα=∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22=（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2.23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩当25x <<时，3723x -<-<， 所以3() 3.f x -≤≤ ∴ 3.m ≥- （II ）即()2815f x x x -≥-+由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x -≥-+的解集为空集；当25x <<时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|55}x x ≤<；当5x ≥时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.综上，不等式的解集为{|56}x x -≤≤.。
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷-答案
河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。
(完整版)2017全国三卷理科数学高考真题及答案,推荐文档
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A =，B =，则A B 中元素的个数为{}22(,)1x y x y +=│{}(,)x y y x =│ A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．B C D ．2123．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为x y x y x y A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆22221x y a b-=y x =有公共焦点，则C 的方程为221123x y +=A ．B ．C ．D ．221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=6．设函数f (x )=cos(x +)，则下列结论错误的是3πA ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称83πC ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减6π2π7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．B ．C ．D ．π3π4π2π49．等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则前6项的和{}n a {}n a 为A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为22221x y a b+=直径的圆与直线相切，则C 的离心率为20bx ay ab -+=A B C D ．1311．已知函数有唯一零点，则a =211()2()x x f x x x a e e --+=-++A ．B ．C ．D ．112-131212．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若= +，则+的最大值为APλAB μAD λμA ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省郑州市新郑三中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( )A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．4604．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．645．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣67．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．1 B．C．D．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．2612．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是__________．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( ) A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B 的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0=lg1，得到x﹣2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．460考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在[6，14）内的频率，即可求出对应的频数．解答：解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1﹣（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68=680．故选：B．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．64考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64=16故V=64+16=80故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．5．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2﹣1=1；2＞4，否，n=2+2=4，x=4t，a=4﹣1=3；4＞4，否，n=4+2=6，x=8t，a=6﹣3=3；6＞4，是，输出a x=38t；∵38t≥3，∴8t≥1，即t≥；∴t的取值范围为{t|t≥}．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题．6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣6考点：二项式系数的性质；绝对值不等式的解法．专题：二项式定理．分析：由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数．解答：解：f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴n=6，二项式（x﹣）n =（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=4，求得r=1，可得二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为﹣6，故选：D．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：进行简单的合情推理．专题：三角函数的图像与性质；推理和证明．分析：首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x﹣），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．解答：解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx﹣cosx=sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）=sin（）=﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有3个：①③④．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，∴边长为4，∴（2，2）在椭圆上∴∵椭圆的离心率为，∴=（）2∴a2=2b2∴a2=12，b2=6∴椭圆方程为：故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．1 B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选D．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：压轴题．分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax ﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．26考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a8，由此求得f′（0）的值．解答：解：∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）=x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]，∴f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：A．点评：本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点，即可得出结论．解答：解：∵f（x）=1+x﹣，∴f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2010)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，∴a=﹣4，b=﹣3∴a+b=﹣7．故选：C点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正三棱锥S﹣ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．解答：解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R=2•=6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π．．故答案为：36π．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是1．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：数形结合．分析：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，并用y1，y2表示AF，FD，而所求==（AF﹣1）（FD﹣1），代入上述式子中即可．解答：解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1又根据抛物线定义得AF=，FD=，∴AF=y1+1，FD=y2+1==（AF﹣1）（FD﹣1）=y1•y2=1．故答案为1点评：此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．解答：解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n﹣1，即．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1==﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计20～30（岁）10 30 4030～40（岁）10 70 80合计20 100 120…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则……………ξ的分布列为ξ 0 1000 3000 6000 11000P…ξ数学期望…点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PF﹣C的大小．解答：（I）证明：在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°，在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（II）解：由题意，不妨设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）．由及，得到，∴=．又由•及•，得到，∴=，，综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆C交于A，B 两点，以AB为直径的圆过原点O，即可求出O到直线l的距离．解答：解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1﹣m）（kx2﹣m）=0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）﹣ax 在x=﹣处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）及x=，即可证得结论；（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，得f′（x）=﹣a．由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1∴f′（﹣）=1，即﹣a=1，∴a=1．此时f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）．令x=，则＞ln（1+）=ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n=k+1时，不等式也成立．…根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）=b（e x﹣1），当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．。
河南省郑州市2017年高中毕业年级第三次质量预测数学(理)试题
2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题BDDBB AADDC CD二、填空题13.三、解答题17．解：由题意得b c ma+=,240a bc-=. …………2分(I) 当52,4a m==时，52b c+=, 1.bc=…………4分解得2,1,212,2bbcc=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或…………6分(II)()2222222222222cos23(0,1).222am a ab c bc ab c aA mabc bc--+--+-====-∈…………9分∴2322m<<,又由b cma+=可得0,m>所以2m<<…………12分18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，…………2分则225421016().45C CP AC+==…………4分（II）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：47910,,,A A A A；X的可能取值为1,2,3,4,5. …………7分113211641(1);4C C P X C C ===1111312211647(2);24C C C C P X C C +=== 11111131211211647(3);24C C C C C C P X C C ++===1111211111641(4);8C C C C P X C C +=== 111111641(5).24C C P X C C === …………10分∴1234542424824EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12. …………12分19. 解：(I )在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===，又∵23BCD π∠=,∴2AB =，∴22202cos60 3.AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ∴222.AB AC BC =+∴BC AC ⊥. …………2分∵CF ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴AC CF ⊥，而CF BC C ⋂=， ∴.AC BCF ⊥平面∵//,EF AC ∴EF BCF ⊥平面. …………4分(II)由(I)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，令FM λ= (0λ≤≤则C (0，0，0)，A 0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，∴AB uu u r 1，0)，BM uuu r=(λ，-1，1)，…………6分设1(,,)n xy z =r为平面MAB 的一个法向量，由00,n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uuu r g 11，得00,y x y z ⎧+=⎪⎨λ-+=⎪⎩，取x =1,则1n rλ), …………8分∵2n r=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,∴1212n cos θ===r r g r r g ｜n ｜｜n ｜｜n ｜…………10分 ∵0≤λλ=0时，cos θ， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余. …………12分 20. 解：（I ）设动点),(),,(00y x A y x M ，由于AN x ⊥轴于点.N0(,0).N x ∴又圆)0(2221>=+r r y x C ：与直线52321:0+=x y l 即0532=+-y x 相切， 3.r ∴==∴圆2219.C x y +=： …………2分由题意，)222(2-=+，得000(,)2(,)2)(,0),x y x x y y x +--=000(32,32)2),0).x x y y x ∴--=000322),320x x x y y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩即003.2x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 将)23,223(y x A 代入922=+y x ，得曲线C 的方程为22 1.84x y += …………4分 （II ）（1）假设直线l 的斜率存在，设其方程为m kx y +=，设1122(,),(,),P x y Q x y联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(12)4280.k x kmx m +++-=由求根公式得2121222428,.1212km m x x x x k k-+=-=++（*） ………6分 ∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，.OP OQ ∴⊥ 即0.OP OQ ⋅=12120.x x y y ∴+=即1212()()0.x x kx m kx m ∴+++=化简可得，221212(1)()0.k x x km x x m ++++=将（*）代入可得021883222=+--k k m ，即223880.m k --= …………8分 即3)1(822+=k m，又12PQ x =-=将3)1(822+=k m 代入，可得PQ ====∴当且仅当2241k k =，即22±=k 时等号成立．又由0441242≥++k k k ，364332=≥∴PQ ，32364≤≤∴PQ ． …………11分 （2）若直线l 的斜率不存在，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设OP 所在直线方程为x y =，联立22,1,84y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得P同理求得Q故364=PQ ．综上，得32364≤≤PQ ． …………12分21. 解:（I ）()()x h x x a e a =-+.x e a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x . …………2分 ① 当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. ② 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数. ∴ )(x h 的最小值为a e a h a +-=--1)1(.③ 当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(. …………5分综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当20<<a 时)(x h 的最小值为a e a +--1,当2≥a 时，)(x h 最小值为a e a +-)1(. …………6分（II ）设2()(1)ln(1)2a F x x x x ax =--+-， )1(1)1ln()(-++-='x a x x F )2(≥x .①当0≥a 时，在[2,)x ∈+∞上0)(>'x F ，)(x F 在[2,)x ∈+∞递增，)(x F 的最小值为0)2(=F ，不可能有()()10f x a g x ---≤. …………8分 ②当1-≤a 时, 令011)(=+-=''a x x F ，解得：ax 11-=，此时121a >-∴011)(≤+-=''a x x F .∴)(x F '在),2[+∞上递减.∵)(x F '的最大值为01)2(≤+='a F ，∴)(x F 递减.∴)(x F 的最大值为0)2(=F ，即()()10f x a g x ---≤成立. …………10分③ 当01<<-a 时，此时121,a <-当)11,2(a x -∈时，)(,0)(x F x F '>''递增，当),11(+∞-∈ax 时，)(,0)(x F x F '<''递减.∴)11()(max a F x F -'='0)ln(>--=a ，又由于01)2(>+='a F ,∴在)11,2[ax -∈上0)(>'x F ，)(x F 递增，又∵0)2(=F ,所以在)11,2[ax -∈上0)(>x F ，显然不合题意.综上所述：1-≤a . …………12分22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα= ∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22= …………4分（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-， …………7分12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2. …………10分23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩ …………3分当25,372 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ∴ 3.m ≥- ……5分 （II ）即()f x -≥2815x x -+由（I ）可知， 当22,()815x f x x x ≤-≥-+时的解集为空集；7分 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥-≥-+≤≤时的解集为.…………10分。
2017年三模参考答案(理科数学)
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河南省郑州市高中三第三次质量预测(数学理)(含答案)word版
河南省郑州市2017年高中毕业年级第三次质量预测数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题1．已知集合2{|lg 0},{|20}A x x B x x x =≤=-<，则A B = （ ）A ．（0，12） B ．[12，1] C ．(]0,1 D ．[)1,22．已知向量a 、b 均为单位向量，若它们的夹角120︒，则|a+3b|等于 （ ）A B C D ．43．已知四棱锥P —ABCD 的三视图如右图所示，则四棱锥P —ABCD的体积为 （ ） A ．12 B ．23C ．34D ．384．二项式5()m x x+的展开式中3x 的系数为10，则实数m 等于（ ） A ．-1B ．12C ．2D ．15．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ） A ．()sin(3)()3f x x x R π=+∈ B ．()sin(2)()6f x x x R π=+∈C ．()sin()()3f x x x R π=+∈ D ．()sin(2)()3f x x x R π=+∈ 6．阅读下列程序，输出结果为2的是（ ）7．在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==，则tan C 的值是 （ ）A ．-1B ．1C D ．-28．两个正数a 、b 的等差中项是5,2,a b >且则双曲线22221x y a b-=的离心率e 等于 （ ）A ．2B ．3C ．3D 9．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有下列四个命题： ①若,,;m m βαβα⊂⊥⊥则 ②若//,,//;m m αβαβ⊂则 ③若,,,;n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则 ④若,,,.m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①③B ．①②C ．③④D ．9．数列{}n a 是等差数列，若101110110,0a a a a +<⋅<且，它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n=（ ）A ．10B ．11C ．19D ．2011．若某些函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =，值域为{1，4}的“同族函数”共有 （ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个12．若函数1()axf x e b=的图象在x=0处的切线l 与圆22:1C x y +=相离，则(,)P a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(全优试卷)河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测数学(理)试题 Word版含答案
2017年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0p x ∀>，2log 23x x <+，则p ⌝为（ ）（ ） A.0x ∀>，2log 23x x ≥+ B.0x ∃>，2log 23x x ≥+ C.0x ∃>，2log 23x x <+D.0x ∀<，2log 23x x ≥+2.已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C.83D.83-3.已知双曲线22132x y a a+=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ）A.32B.5C.7D.124.已知27cos 239πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A.13B.13±C.19-D.195.设集合{}1234,,,A x x x x =，{}1,0,1i x ∈-，{}1,2,3,4i =，那么集合A 中满足条件“222212343x x x x +++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.65 C.80 D.816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.22π+B.23π+C.43π+D.42π+7.设实数x ，y 满足6021402100x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩，则2xy 的最大值为（ ）A.25B.49C.12D.248.已知等比数列{}n a，且680a a +=⎰，则()84682a a a a ++的值为（ ）A.2πB.24πC.28πD.216π9.若实数a 、b 、c R +∈，且26ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）11C.2D.210.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）11.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12.设函数()f x 满足()()232'xx f x x f x e +=，()228e f =，则[)2,x ∈+∞时，()f x 的最小值为（ ）A.22eB.232eC.24eD.28e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且321n n S a -=，则{}n a 的通项公式是n a = ．15.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率 ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==，M 为劣弧BC 上一动点，且OM pOB qOC =+，则p q +的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=. （1）当2a =，54m =时，求b 、c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围.18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养；若7w ≥，则数学核心素养为一级；若56w ≤≤，则数学核心素养为二级；若34w ≤≤，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.19.如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===. （1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.20.已知圆()2221:0C x y r r +=>与直线01:2l y x =A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足()2222OM AM ON +=-，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围.21.已知函数()()()ln f x x a x a =++，()22ag x x ax =-+.（1）函数()()()'x x h x f e a g e =-+，[]1,1x ∈-，求函数()h x 的最小值； （2）对任意[)2,x ∈+∞，都有()()10f x a g x ---≤成立，求a 的范围.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围；（2）求不等式()28150x x f x -++≤的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题BDDBB AADDC CD二、填空题13.三、解答题17．解：由题意得b c ma+=,240a bc-=.(I) 当52,4a m==时，52b c+=, 1.bc=解得2,1,212,2bbcc=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或(II)()2222222222222cos23(0,1).222am a ab c bc ab c aA mabc bc--+--+-====-∈∴2322m<<,又由b c ma+=可得0,m>m<<18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则225421016().45C CP AC+==（II）由题可知，数学核心素养一级：123568,,,,,A A A A A A，数学核心素养不是一级的：47910,,,A A A A；X的可能取值为1,2,3,4,5.113211641(1);4C CP XC C===1111312211647(2);24C C C CP XC C+===11111131211211647(3);24C C C C C C P X C C ++===1111211111641(4);8C C C C P X C C +=== 111111641(5).24C C P X C C ===∴1234542424824EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12. 19. 解：(I)在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =，∴22202cos603.AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= ∴222.AB AC BC =+∴BC AC ⊥. ∵CF ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面， ∴AC CF⊥，而CF BC C ⋂=， ∴.AC BCF ⊥平面∵//,EF AC ∴EF BCF ⊥平面.(II)由(I)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，令FM λ=(0λ≤≤),则C (0，0，0)，A 0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)， ∴AB uu u r 1，0)，BM uuu r=(λ，-1，1)，设1(,,)n x y z =r为平面MAB 的一个法向量，由00,n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uu u r g r uuu rg 11，得00,y x y z ⎧+=⎪⎨λ-+=⎪⎩， 取1x =,则1n rλ),∵2n r=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量,∴1212n cos θ===r r g r r g ｜n ｜｜n ｜｜n ｜∵0λ≤0λ=时，cos θ有最小值7， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为. 20. 解：（I ）设动点),(),,(00y x A y x M ，由于AN x ⊥轴于点.N0(,0).N x ∴又圆)0(2221>=+r r y x C ：与直线52321:0+=x y l 即0532=+-y x 相切， 3.r ∴==∴圆2219.C x y +=：由题意，)222(2-=+，得000(,)2(,)2)(,0),x y x x y y x +--=000(32,32)2),0).x x y y x ∴--=000322),320x x x y y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩即003.2x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 将)23,223(y x A 代入922=+y x ，得曲线C 的方程为22 1.84x y += （II ）（1）假设直线l 的斜率存在，设其方程为m kx y +=，设1122(,),(,),P x y Q x y联立22,1,84y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(12)4280.k x kmx m +++-=由求根公式得2121222428,.1212km m x x x x k k -+=-=++（*）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，.OP OQ ∴⊥即0.OP OQ ⋅=12120.x x y y ∴+=即1212()()0.x x kx m kx m ∴+++=化简可得，221212(1)()0.k x x km x x m ++++=将（*）代入可得021883222=+--k k m ，即223880.m k --= 即3)1(822+=k m，又12PQ x =-=将3)1(822+=k m 代入，可得PQ ====≤∴当且仅当2241k k=，即22±=k 时等号成立．又由0441242≥++k k k ，364332=≥∴PQ ，32364≤≤∴PQ ． （2）若直线l 的斜率不存在，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设OP 所在直线方程为x y =，联立22,1,84y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得P同理求得Q 故364=PQ ．综上，得32364≤≤PQ ． 21. 解:（I ）()()xh x x a e a =-+.x e a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x .① 当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. ② 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数.∴ )(x h 的最小值为a ea h a +-=--1)1(.③ 当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(.综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当20<<a 时)(x h 的最小值为a e a +--1,当2≥a 时，)(x h 最小值为a e a +-)1(.（II ）设2()(1)ln(1)2a F x x x x ax =--+-， )1(1)1ln()(-++-='x a x x F )2(≥x .①当0≥a 时，在[2,)x ∈+∞上0)(>'x F ，)(x F 在[2,)x ∈+∞递增，)(x F 的最小值为0)2(=F ，不可能有()()10f x a g x ---≤.②当1-≤a 时, 令011)(=+-=''a x x F ，解得：a x 11-=，此时121a>- ∴011)(≤+-=''a x x F .∴)(x F '在),2[+∞上递减.∵)(x F '的最大值为01)2(≤+='a F ，∴)(x F 递减.∴)(x F 的最大值为0)2(=F ，即()()10f x a g x ---≤成立.③ 当01<<-a 时，此时121,a<-当)11,2(a x -∈时，)(,0)(x F x F '>''递增，当),11(+∞-∈ax 时，)(,0)(x F x F '<''递减.∴)11()(max a F x F -'='0)ln(>--=a ，又由于01)2(>+='a F ,∴在)11,2[ax -∈上0)(>'x F ，)(x F 递增，又∵0)2(=F ,所以在)11,2[ax -∈上0)(>x F ，显然不合题意.综上所述：1-≤a .22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα=全优试卷∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22=（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--= 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2.23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩当25x <<时，3723x -<-<， 所以3() 3.f x -≤≤ ∴ 3.m ≥- （II ）即()2815f x x x -≥-+由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x -≥-+的解集为空集； 当25x <<时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|55}x x -<； 当5x ≥时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.综上，不等式的解集为{|56}x x -≤≤.。