最大度是5的可平面图的边染色

最大度是5的可平面图的边染色倪伟平(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄　277160)摘　要:对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G )=Δ,称G 为第一类图;如果χ′(G )=Δ+1,称G 为第二类图.χ′(G )表示G 的边染色数.1965年,V izing 举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用D ischarge 方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.关键词:平面图;边染色;最大度;圈中图分类号:O157.5 文献标识码:A 文章编号:1000-2162(2010)03-0018-06Edge color i n gs of pl anar graphs w ith max i m u m degree f i veN IW ei 2p ing(Depart m ent of M athematics and I nfor mati on Science,Zaozhuang University,Zaozhuang 277160,China )Abstract:Let G be a p lanar graph of maxi m u m degree Δ,G was said t o be class 1if χ′(G )=Δand class 2if χ′(G )=Δ+1,where χ′(G )denoted the chr omatic index of G .I n 1965,V izing p r oved that p lanar graphs of class 1and class 2were exist f or Δ=5.By app lying a discharging method,the author p r oved that every si m p le p lanar graph G with Δ=5was of class 1,if G had no chordal -4-cycles and chordal -5-cycles,or no chordal -4-cycles and chordal -6-cycles .Key words:p lanar graph;edge col oring;maxi m um degree;cycle文中考虑的图都是简单、无向有限图.若图G 可以表示在平面上,并且任意两条边仅在其端点处才可能相交,则称G 是可平面图,图G 的这种平面上的表示法称为G 的一个平面嵌入,或称为平面图.分别用V (G )、E (G )、F (G )、Δ(G )(简记为Δ)表示G 的顶点集合、边集合、面集合、最大度.用d (x )表示x 在G 中的度数,x ∈V (G )∪F (G ).用d k (v )表示点v 的度数为k 的邻点的个数,d k +(v )表示点v 的度数不小于k 的邻点的个数.度数为k 的点(或面)称为k -点(或k -面),度数不小于k 的点(或面)称为k +-点(或k +-面).若一个3-面f 关联3个度数分别为i,j ,k 的顶点,其中,i ≤j ≤k,则称f 为(i,j ,k )-面.设C 是G 中长度为k 的圈,如果xy ∈E (G )\E (C ),其中,x,y ∈V (C ),称xy 为C 的一条弦,C 为有弦的k -圈.若存在一个映射φ:E (G )→{1,2,…,k},对G 中任意两条相邻接的边e 1和e 2,有φ(e 1)≠φ(e 2),则称G 是k -边可染色的,使得图G 具有k -边可染色的最小的正整数k 定义为G 的边色数,记作χ′(G ).若图G 满足χ′(G )=Δ(G ),称G 为第一类图,若χ′(G )=Δ(G )+1,称G 为第二类图.若图G 是连通的第二类图,并且去掉任意边e ∈G 后,G -e 是第一类图,则称G 是一个临界图.最大度为Δ的临界图简称收稿日期:2009-10-24基金项目:山东省教育厅科研计划基金资助项目(J08L I 66)作者简介:倪伟平(1965—),女,山东枣庄人,枣庄学院副教授,硕士.引文格式:倪伟平.最大度是5的可平面图的边染色[J ].安徽大学学报:自然科学版,2010,34(3):18-23.2010年5月第34卷第3期安徽大学学报(自然科学版)Journal of Anhui University (Natural Science Editi on )May 2010Vol .34No .3Δ-临界图.显然,每个Δ-临界图(Δ≥2)是2-连通的.文献[2]证明了每个Δ≥8的简单平面图是第一类图,同时猜想这个结论对Δ≥6的简单平面图也是成立的,给出了Δ∈{2,3,…,5}的简单平面图存在第二类的例子.文献[3]、[4]独立证明了Δ=7时文献猜想成立.文献[5]、[6]给出了Δ=6的可平面图是第一类图的充分条件.对于Δ=5的可平面图,文献[7]证明了Δ=5且围长不小于4的可平面图是第一类图;文献[9]给出了Δ=5且不含4-圈或不含5-圈的可平面图是第一类图;文献[10]证明了Δ=5且没有相交三角形的简单平面图是第一类图.下面将运用D ischarge 方法及临界图的重要性质证明:最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.1　临界图的性质引理1　设G 是一个Δ-临界图,u,v ∈V (G )且u,v 相邻接,d (v )=k,那么(1)若k <Δ,则u 至少邻接于Δ-k +1个度为Δ的顶点;(2)若k =Δ,则u 至少邻接于两个度为Δ的顶点;(3)d (v )+d (u )≥Δ+2.引理2　设G 是一个Δ-临界图,xy ∈E (G ),使得d (x )+d (y )=Δ+2,那么(1)每个v ∈N ({x,y})/{x,y}是Δ-点;(2)每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}满足d (v )≥Δ-1;(3)如果d (x )<Δ,d (y )<Δ,则每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}是Δ-点.引理3　如果图G 存在3个不同的顶点x,y,z 满足下列两个条件:(1)xy ∈E (G ),xz ∈E (G ),d (z )<2Δ-d (x )-d (y )+2;(2)xz 包含在至少d (x )+d (y )-Δ-2个不包含顶点y 的三角形中.则G 不是Δ-临界图.2　主要结论及证明引理4　设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 还关联2个5+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s ≥1时,v 还关联2个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,v 还关联3个5+-面;当s =1时,v 还关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,如果v 关联(2,5,5)-面及(5,5,5)-面,则v 还关联2个5+-面和1个6+-面;如果v 关联2个(5,5,5)-面,则v 还关联3个5+-面.当s =1时,如果v 关联(2,5,5)-面,则v 至少关联1个5+-面和1个6+-面;如果v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联2个5+-面.引理5　设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的6-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 至少关联1个6+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s =2时,v 关联2个6+-面;s =1时,v 至少关联1个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,则v 至少关联2个6+-面;当s =1时,则v 至少关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,v 关联2个6+-面.当s =1时,若v 关联(2,5,5)-面,则2-点关联的另一面f 为5-面或为7+-面.如果f 为5-面,则v 还关联1个5+-面和1个6+-面.如果f 为7+-面,则v 至少还关联1个5+-面.若v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联1个5+-面.定理1　设G 是最大度为5的可平面图.若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不含有弦的91第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色4-圈和有弦的6-圈,则G 是第一类图.证明　假设定理1不成立,即G 是第二类图.不失一般性,可以假设G 是5-临界图,那么G 是2-连通的.因此,G 的每个面的边界是一个圈,且每条边位于2个不同面的边界上.将Euler 公式|V (G )|-|E (G )|+|F (G )|=2∑v ∈V (G )d (v )=∑f ∈F (G )d (f )=2|E (G )|变形可得∑x ∈V (d (x )-4)+∑x ∈F (d (x )-4)=-8. 对任意x ∈V (G )∪F (G ),定义初值ch (x )为ch (x )=d (x )-4. 根据给出的交换规则(D ischarging rules ),对每一个x ∈V (G )∪F (G )的ch (x )进行调整,从而得到新的值ch ′(x ).因为所作的调整始终保证不影响其和式的值,所以有∑x ∈V ∪F ch (x )=∑x ∈V ∪F ch ′(x )=-8. 如果可以证明对于每一个x ∈V (G )∪F (G ),都有ch ′(x )≥0,则与上式矛盾,从而定理得证.情况1　若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈.定义规则如下:R 1对每个5-点v,v 分值如下:(1)v 分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值215给其邻接的每个4-点;(2)若v 邻接5-点u,u 与2-点x 邻接,而v 与x 不邻接,则v 分值130给u .R 2对每个3-点v,v 分值25给其关联的每个3-面.R 3对每个4-点v,v 分值13给其关联的每个3-面.R 4对每个度为3的面f,设x 、y 、z 是f 的3个不同顶点,且d (x )≤d (y )≤d (z ).(1)若f 是(2,5,5)-面,则y 、z 分别分值12给f;(2)若f 是(3,4,5)-面,则x 分值25、y 分值13、z 分值415给f;(3)若f 是(3,5,5)-面,则x 分值25、y 分值310、z 分值310给f;(4)若f 的顶点的度至少为4,则x 、y 、z 分别分值13给f .R 5设f 是度至少为5的面,则f 分值d (f )-4d (f )给与其关联的每个顶点.假设f ∈F (G ),则d (f )≥3.如果d (f )=4,则ch (f )=0,取ch ′(f )=0.如果d (f )≥5,则ch (f )=d (f )-4≥1.由R 5,有ch ′(f )=d (f )-4-d (f )-4d (f )×d (f )=0.如果d (f )=3,则ch (f )=-1.由于Δ=5,由引理1～3知,f 必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5,5,5)-面,由R 4,有ch ′(f )=-1+1=0.对于每个v ∈V (G ),有d (v )≥2.(1)设d (v )=2,则ch (v )=-2.由引理1,v 与2个5-点邻接.由R 1(1),有ch ′(v )=ch ′(v )=-2+1×2=0.(2)设d (v )=3,则ch (v )=-1.由引理1,v 至少邻接2个5-点,由R 1(1),v 至少得12×2.若02安徽大学学报(自然科学版)第34卷s=1,由引理4(1)及R5,v至少得值15×2,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+15×2-25=0;若s=0,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理1,v至少邻接两个5-点,由R1(1),v至少得值215×2.由引理4(2),有s≤2.若s≥1,由引理4(2)及R5,v至少得值15×2,由R3,v至多分值13×2给其关联的3-面,所以,ch′(v)≥215×2+15×2-13×2=0;若s=0,则有ch′(v)≥215×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有一个2-点,至少有2个5-点与v邻接.由引理4(3),有s≤2.当d2(v)=1时,由引理2,有d5(v)=4.如果s=2且v关联(2,5,5)-面和(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2+13,由R1(2),v得值130×3,由R1(1)、R4(1)、R4(4),v至多分出值1+1 2+13,所以,ch′(v)≥1+15×2+13+130×3-(1+12+13)=0.如果s=2且v关联2个(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×3,由R1(2),v至少得值130×3,由R1(1)及R4(4)知,v至多分值1+13×2,所以,有ch′(v)≥1+15×3+130×3-1+13×2>0.如果s=1且v关联(2,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15+13,由R1(1)、R4(1),有ch′(v)≥1+15+13-1+12>0.如果s=1且v关联(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5知,v至少得值15×2,再根据R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-1+13>0.如果s=0,则有ch′(v)=1-1=0.当m in{d(u)|u∈N(v)}=3时,由引理1,v至多与2个3-点、至少与3个5-点邻接.假如d3(v)=2,由引理3,v至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.当s=1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,再由R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-12×2+13>0.当s=0时,由R1(1),有ch′(v)=1-12×2=0.假如d3(v)=1且d4(v)=1,由R1(1),v分值12+215给其邻接的3-点和4-点,由R4(2)、R4(3)、R4(4),v至多分值13×2给其关联的2个3-面.由引理4(3)及R5,当s=2时,v至少得值15×3,s=1时,v至少得值15×2.所以,s=2时,有ch′(v)≥1+15×3-12+215+13×2>0;s=1时,有ch′(v)≥1+15×2-12+215+13>0;s=0时,有ch′(v)=1-12+215>0.假如d3(v)=1且d5(v)=4,由R1(1)、R4(3)、R4(4),v至多分值12+13×2.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值1 5×2,所以,有ch′(v)≥1+15×2-12+13×2>0;当s=0时,则有ch′(v)=1-12>0.当m in{d(u)|u∈N(v)}≥4时,由引理1,有d5(v)≥2,d4(v)≤3.由R1(1),v至多分值215×312第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色给其邻接的4-点,由R1(2),v至多分值130×5给其邻接的5-点,由R4(4),v至多分值13×2给与其关联的3-面.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,所以,ch′(v)≥1+15×2-2 15×3+13×2+130×5>0;当s=0时,有ch′(v)≥1-215×3+130×5>0.情况1得证.情况2　若G中不含有弦的4-圈和有弦的6-圈.定义规则如下:R1对每个5-点v,v分值如下:(1)v分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值115给其邻接的每个4-点;(2)若v邻接5-点u,u与2-点x邻接,而v与x不邻接,则v分值118给u.R2每个3-点、4-点分值13给其关联的每个3-面.R3对每个度为3的面f,设x、y、z是f的3个不同顶点,且d(x)≤d(y)≤d(z).(1)若f是(2,5,5)-面,则y、z分别分值12给f;(2)若f的顶点的度至少为3,则x、y、z分别分值13给f.R4设f是度至少为5的面,则f分值d(f)-4d(f)给与其关联的每个顶点.假设f∈F(G),则d(f)≥3.如果d(f)=4,则ch(f)=0,取ch′(f)=0.如果d(f)≥5,则ch(f)=d(f)-4≥1,由R4,ch′(f)=d(f)-4-d(f)-4d(f)×d(f)=0.如果d(f)=3,则ch(f)=-1.由于Δ=5,根据引理1～3,f必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5, 5,5)-面.由R3(1)、R3(2),有ch′(f)=-1+1=0.对每个v∈V(G),有d(v)≥2.(1)设d(v)=2,则ch(v)=-2.由引理1,v与2个5-点相邻接.由R1(1),有ch′(v)=-2+1×2=0.(2)设d(v)=3,那么ch(v)=-1.由引理5(1),s≤1.由引理1,v至少邻接2个5-点,由R1(1),v至少得值12×2.当s=1时,由引理5(1)及R4,v至少得值13,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+13-1 3=0;当s=0时,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理5(2),有s≤2.由引理1,v至多与1个3-点、至少与2个5-点邻接,由R1(1),v至少得值115×2.所以,当s=0时,有ch′(v)≥115×2>0;当s=1时,由引理5(2)及R4,v至少得值15,再由R2,有ch′(v)≥115×2+15-13=0;当s=2时,由引理5(2)及R4,v至少得值13×2,再由R2,有ch′(v)≥115×2+13×2-13×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有1个2-点、至少有2个5-点与v邻接.由引理5(3),有s≤2.当d2(v)=1时,根据引理2,有d5(v)=4.若s=2,则由引理5(3)及R4,v至少得值13×2,由R1(2),v至少得值118×3,由R1(1)、R3(1)、R3(2),v至多分值1+12+13给其邻接的2-点及其关联22安徽大学学报(自然科学版)第34卷的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2+118×3-(1+12+13)=0.若s =1,并且v 关联(2,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值37+15,由R 1(1)、R 3(1),有ch ′(v )≥1+37+15-1+12>0;若s =1,并且v 关联(5,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15,由R 1(2),v 得值118×4,再由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15+118×4-1+13>0.若s =0,有ch ′(v )=1-1=0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}=3时,由引理1,v 至多与2个3-点,至少与3个5-点邻接.假如d 3(v )=2,由引理3,v 至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12×2+13>0;s =0时,由R 1(1),有ch ′(v )=1-12×2=0.假如d 3(v )=1,由R 1(1),v 至多分值12+115给其邻接的3-点和4-点.当s =2时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 3(2),有ch ′(v )≥1+13×2-12+115+13×2>0;s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再由R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12+115+13>0;s =0时,有ch ′(v )=1-12+115>0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}≥4时,由引理1,有d 5(v )≥2,d 4(v )≤3.若s =2,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),v 至多分值115×3+118×2+13×2给其邻接的4-点、邻接的5-点及其关联的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2-115×3+13×2+118×2>0;若s =1,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再根据R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-115×3+13+118×2>0;若s =0,则由R 1(1)、R 1(2),有ch ′(v )≥1-115×3+118×2>0.情况2得证.由情况1、2的证明可知,定理1成立.参考文献:[1]　V izing V G .On an esti m ate of the chr omatic index of a p 2graph[J ].D iskret A naliz,1964,3(1):25-30.[2]　V izing V G .Critical graphs with given chr omatic class[J ].D iskret A naliz,1965,5(1):9-17.[3]　Sanders D P,Zhao Y .Planar graphs of maxi m um degree seven are class 1[J ].J Co m bin Theory SerB ,2001,83(2):201-212.[4]　Zhang L.Every p lanar with maxi m u m degree 7is of class 1[J ].Graphs Co m bin,2000,16(4):467-495.[5]　Zhou G .A note on graphs of class 1[J ].D iscrete M ath,2003,262(1/3):339-345.[6]　Bu Y,W ang 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