复合函数求导学案
高二数学A §1.2.3导数的四则运算法则（二）
编号：14 编制： 纪登彪 审核：姜希青 时间：2012-2-27
班级： ；姓名： ；学号：
一、 学习目标
1、 能用求导法则及导数公式求某些简单函数的导数；
2、 会求简单复合函数（形如()y f ax b =+）的导数.
二、 重点难点：理解并应用求导法则.
三、 课前练习：求下列函数的导数
（1）7653y x x x =+- （2）3cos y x x =- （3）3sin y x x =
（4）()()35138y x x =-+ （5）y x
= （6）cos 1sin x y x =+
（7）(21
y x =+（8）sin x y x = （9）22ax bx y cx d +=+
四、典型例题
已知可导函数()y f u =，且(),0u ax b a b a =+≠为常数,，求
dy dx .
五、课堂练习
1、求下列函数的导数
（1）()1035y x =- （2）()2254y x =- （3）()8174y x =-
（4）()3435y x =- （5）y =（6）()5ln 57y x =+
（7）()ln 54y x =+ （8）21x y e
+= （9）213x y -=
（10）()cos 35y x =+ （11）cos3x y e x = （12）()
()232123y x x =--
（13）()32sin5y x x =+ （14）cos3sin 2y x x = （15）()()()123y x x x =+++
2、从时刻0t =开始()t s 内，通过某导体的电量（单位：库仑）可以由公式223q t t =+表示.求第5秒时和第7秒时的电流强度't q ，说明什么时刻电流强度达到43A ？
六、选做题：
设l 是1y x
=
图象的一条切线，证明l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
简单复合函数求导
简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=
函数导学案
函数 教学目标： 【知识目标】1、初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个 量的值。 3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。 【能力目标】1、通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。 2、经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。教学过程设计： 一、创设问题情境，导入新课 下图像车轮状的物体是什么 图6-1，每过6分钟摩天轮就转一圈，而且图中反映了给定的时间t与所对应的高度h之间的关系。下面根据图6－1进行填表：对于给定的时间t，相应的高度h确定吗 这个问题中的变量有几个，分别是什么 二、新课学习 1、做一做 （1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的 层数n12345… 物体总数y… t/分012345…… h/米…… 这个问题中的变量有几个，分别是什么
（2）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行 S 米，一般地有经验公式300 2 V S ,其中V 表示刹车前汽车的 速度（单位：千米/时） ①计算当V 为50，60，100时，相应的滑行距离S 是多少 ②给定一个V 值，你能求出相应的S 值吗 结论： 1. 上面三个问题。每个问题都研究了 个变量。 2. 函数的概念 一般地，在某个变化过程中，有两个变量 和 ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的 ，其中x 是 ，y 是 。 三、随堂练习 书100页 随堂练习 习题 四、本课小结 1、 初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数。 2、 在一个函数关系式中，能识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。 3、 函数的三种表达式： （1） 图象；（2）表格；（3）关系式。 五探究活动 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准： 每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨元；超过10吨时，超过的部分按每吨元收费，该市某户居民5月份用水x 吨（x >10），应交水费y 元，请用方程的知识来求有关x 和y 的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数
简单复合函数的导数
简单复合函数的导数 1. 函数f(x)=cos(?2x)的导函数是( ) A.2cos2x B.?2cos2x C.2sin2x D.?2sin2x 2. 已知函数f(x)=e2x+1?3x，则f′(0)=( ) A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3 3. 设函数f(x)=?cos x?x4的导函数为g(x)，则|g(x)|的图象大致是( ) A. B. C. D. 4. 设f(x)=sin x cos x，则f(x)在点(π 6,f(π 6 ))处的切线的斜率为( ) A.1 2B.√3 2 C.?1 2 D.?√3 2 5. 函数f(x)=ln x x ，则f′(e)值为( ) A.0 B.1 C.1 e D.1 e2 6. 若函数f(x)=(2x?x2)e x的导数为f′(x)，则f′(x)=（） A.2(x+1)e x B.(2?x2)e x C.(2+x?x2)e x D.2(x?1)e x 7. 已知函数f(x)=x3?2x2+x?3，则f′(2)=( ) A.?1 B.5 C.4 D.3 8. 已知函数，则的导函数() A. B. C. D. 9. 函数y=x2sin x的导函数为________. 10. 函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=x2+2f′(0)x+tan x，则f′(0)+f(0)=________. 11. 设函数f(x)=x2+1 e x . (1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程． 12. 求下列函数的导数： (1)f(x)=x3+6x?2 ； x (2)f(x)=cos x ； e x x. (3)f(x)=(x?1)2log 2 13. 已知函数f(x)=(2x?1)2+5x． (1)求f′(x)； (2)求曲线y=f(x)在点(2,19)处的切线方程．14. 分别求下列函数的导数. (1)y=e x ； x (2)y=(2x2?1)(2x+1)+2sin x?cos x.
《一次函数的应用》导学案
4.5《一次函数的应用》导学案 班级：组别：组名：姓名： 【学习目标】 1．学会用待定系数法确定一次函数解析式； 2．会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象； 3．能灵活运用一次函数及其图象解决简单的实际问题； 【学习重难点】 灵活运用有关知识解决相关问题 【学习过程】 一、自主学习 1．什么叫一次函数？ 2．一次函数有哪些性质？ 3．已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式。 分析：求一次函数y=k x＋b的解析式，关键是：求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b。 解：设这个一次函数的解析式为y=k x＋b 因为y=k x＋b的图象过点（，）与（，）， 所以 解方程组得： 这个一次函数的解析式为： 4．先设出函数解析式（其中含有未知常数系数）再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而具体写出这个式子的方法，叫做。知道两点坐标用此方法可求出函数解析式。 二、自主探究（B级） 5．作出分段函数 3x－5 （1≤x≤3） y= 4 (3＜x≤5) 的图象 14－2x （x＞5） 6．小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米/分，又
匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象。 〖思路点拔〗本题y随x变化的规律分成两段（前5分与后10分）写出y随x变化的函数关系式要分成两部分，画函数图象也要分成两段来画。 解：当0≤x＜5时，y= （0≤x＜5） 或y= 当5≤x≤时，y= (5≤x≤ ) 三、合作探究（C级） 7．课本134页例1 8．若直线y=k x＋b与直线y=－2x＋1平行，且经过点（3，4），求这条直线的解析式。 四、能力提升（D级） 9．已知一次函数y=k x＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y=4x－3的交点在x轴上， ①求这个一次函数的解析式；②此直线经过哪几个象限？③求直线与坐标轴围成三角形的面积。 五、归纳小结 六、学习反思 七、课堂检测：P134页、135页练习题
数学选择性必修二 第五章 5.2.3 简单复合函数的导数
5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 知识点复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成．(√) 2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cos 2x.(×) 3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.(√) 一、求复合函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝1 (1－3x)4 ； (2)y＝cos(x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x＋2. 解(1)令u＝1－3x，则y＝1 u4＝u －4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝ 12 (1－3x)5 .
(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(x 2). (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y x ′＝y u ′u x ′＝2u ln 2＝2 (2x ＋1)ln 2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2， 则y x ′＝(e u )′·(3x ＋2)′ ＝3e u ＝3e 3x ＋ 2. 反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝ 1 1－2x ； (2)y ＝5log 2(1－x )； (3)y ＝sin ????2x ＋π3. 解 (1)() 12 =12,y x -- 设y ＝12 u -，u ＝1－2x ， 则y ′x ＝()1212u 'x '?? - ???- ()32212u -?? -? ??? ＝－ ()32 =12x .- - (2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′ ＝ －5u ln 2＝5 (x －1)ln 2 .
3.1导数导学案
导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑
二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =
2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。
高中数学《函数的表示法》导学案
1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345
Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数 【高考要求】：简单复合函数的导数(B). 【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数. 2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征. 3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值. 【知识复习与自学质疑】 1.复合函数的求导法则是什么? 2.(1)若，则 ________.(2)若，则 _____.(3)若，则 ___________.(4)若，则 ___________. 3.函数在区间_____________________________上是增函数, 在区间__________________________上是减函数. 4.函数的单调性是_________________________________________. 5.函数的极大值是___________. 6.函数的值,最小值分别是______,_________. 【例题精讲】 1. 求下列函数的导数(1) ;(2) . 2.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,求的值. 【矫正反馈】 1.与曲线在点处的切线垂直的一条直线是___________________. 2.函数的极大值点是_______,极小值点是__________.
(不好解)3.设曲线在点处的切线斜率为 ,若 ,则函数的周期是 ____________. 4.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直, 为原点,且 ,则的面积为______________. 5.曲线上的点到直线的最短距离是___________. 【迁移应用】 1.设 , , 若存有 ,使得 ,求的取值范围. 2.已知 , ,若对任意都有 ,试求的取值范围.
待定系数法求一次函数解析式专题 导学案(教师版)
第2题图第3题图 3.“五一节”期间，一个家庭自驾游去了离家120km 的某地旅游，他们离家的距离y（单位：km）与汽车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则
变式练习 1. 一次函数的图象经过点A 和点B ，已知点A （1,0），点B 在y 轴负半轴上，且直线与两坐标轴所围成的三角形面积为1，求该一次函数的解析式. 2. 当弹簧原长度b （未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y （单位：cm ）是重物重量x （单位：kg ）的一次函数，即 y=kx+b （k 为任意正数）. 现已测得不挂重物时，弹簧长度是5cm ，挂2kg 质量的重物时，弹簧的长度是6cm. （1 ）求这个一次函数的解析式； （2）当弹簧悬挂4kg 的重物时，求弹簧的长度. 拓展提升 如图，过点A 的一次函数的图象与函数y=-x+4的图象相交于点B ，求这个一次函数的解析式. 当堂检测 （以下题目通过“神算子”进行检测） 1. 直线y=kx-2与x 轴的交点是（1,0），则k 的值是（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 2. 已知一次函数y=kx+1的图象过点（1，3），则k 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 2 3. 直线y=kx+b 经过A （0,2）和B （3，0）两点，那么这个一次函数关系式为（ ） A.32+=x y B.23 2 +-=x y C.23+=x y D.1+=x y 4. 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （-1,3）和点B （2，-3）. （1）求这个一次函数的表达式； （2）求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积.
123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案
1．2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)． 一、知识回顾 函数的和、差、积、商的求导法则 设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数 [C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x ) ]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究 1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数． cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成. 32 21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x y x x y x 思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？ 2．复合函数的求导法则 2 (2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？ 2(2)(31),6(31) (4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x 思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.
ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数． 三、知识应用 (1)ln(51)(2)cos(12) y x y x 例1：求下列函数的导数 31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数 四、当堂训练 1.指出下列函数的复合关系： (1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3； (3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)． 2.求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e －2x ； (3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 简单复合函数的导数习题 苏教版选修2-2
1.2.3 简单复合函数的导数 明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积． 探究点一复合函数的定义 思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？ 答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))． 思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？ 答A?B. 小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法． 例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的； (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；
求二次函数的解析式学案
求二次函数的解析式（一） 【学习目标】1．掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式； 2．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。 3．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。 【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。 【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。 【学习过程】 一、学习准备： 1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。 2．二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。 二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。 3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。 4．即时练习 已知抛物线经过A （-1，0），B （1，0），C （0，1）三点，求二次函数的解析式。 三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。 5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。 解：设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+。 把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为 2(2)3y a x =++ 再把（－1，7）代入上式为 27(12)3 a =-++ 解得4a = 所以函数解析式为 24(2)3y x =++ 即241619y x x =++ 6．即时练习 （1）抛物线经过点（0，－8），当1x =-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。
（2）已知二次函数 2()y a x h k =-+，当2x =时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。 四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。 7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。 解：设抛物线的解析式为12()()y a x x x x =-- 把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为： (1)(3)y a x x =+- 再把（2，6）带入上式为6(21)(3)a x =+- 解得2a =- 所以函数的解析式为 2(1)(3)y x x =-+- 即2246y x x =-++ 8．即时练习 已知抛物线经过A （-2，0），B （4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。 五、反思小结——求二次函数解析式的方法 1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？ 2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。 3．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。 【达标测评】求下列二次函数的解析式： 1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。 2．当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）。
5.简单复合函数的求导法则导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数
（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】
确定一次函数解析式 精品导学案(无答案)新人教版
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 确定一次函数解析式 【学习目标】 1、 用待定系数法确定一次函数的解析式。 2、 了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数。 3、 在不同问题情境下，函数关系式的确定。 【重点难点】 学习重点：待定系数法确定一次函数解析式。 学习难点：不同问题情境下，函数关系式的确定。 【自主学习】 1．已知一次函数5+=kx y ， (1)若x =1时，y =7，则这个函数的解析式为_________. (2)若y =9时，x =1，则这个函数的解析式为_________. (3)若其图象经过点(3,11)，则其解析式为_________. 这3道小题解法的共同点是什么？ 【合作探究】 1、如果由图象给出一些信息，你能求出函数的表达式吗？ 出示习题，求下图中有直线的函数表达式。 2．已知一次函数b kx y +=，_________________； ____________________，请你在横线上补充两个已知条件，然后列出一个关于k ，b 的二元一次方程组，求出k 、b ，并写出一次函数解析式。 待定系数法: 归纳：如果已知或是判断出某函数是一次函数，可以先设出函数解析式，把解析式中未知的字母k 、b 暂作为“待定系数”，然后 这种方法叫做待定系数法。 2 2 3 1 1 -1 X 2 2 3 1 1 3 X y
《1.2.3 简单复合函数的导数》导学案1
《1.2.3简单复合函数的导数》导学案 一、教学目标 1．掌握简单复合函数的导数的推导 2．简单复合函数的导数的应用 二、教学重点:掌握简单复合函数的导数的推导 三、教学难点:简单复合函数的导数的应用 四、教学过程 【基础知识梳理】 1.复合函数的求导数公式 2.根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示 3.运算法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即： [()()]()().f x g x f x g x '''±=± 法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+ 法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[ ]()() f x f x g x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中 4.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ?= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量. 【问题探究】 问题1：求函数2(32)y x =-的导数 . 问题2：考察函数sin 2y x =的导数. 【建构数学】 一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u )，u =ax +b ，则'''x u x y y u =?，''x u y y a =?即： ? 对于一般的复合函数，结论也成立 . ? 复合函数的求导法则 ? 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =? 【数学运用】 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数： 31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31 y x y x y y x x =-=+= =--
5.2.3 简单复合函数的导数
5.2.3简单复合函数的导数 基础过关练 题组一复合函数的求导法则 1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=() A.3(2020-8x)2 B.-24x C.-24(2020-8x)2 D.24(2020-8x)2 2.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=() A.e x ln2x+e x 2x B.e x ln2x-e x x C.e x ln2x+e x x D.2e x·1 x 3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为() A.1 2B.2 3 C.3 4 D.1 4.若函数f(x)=√4x-3,则f'(x)=. 5.函数f(x)=cos2x e x 的导函数f'(x)=. 6.求下列函数的导数. (1)y=x 2 (2x+1) ; (2)y=e-x sin2x; (3)y=ln√2x+1-1; (4)y=cos(-2x)+32x+1. 深度解析
题组二复合函数求导的综合运用 7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是() A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=√10t,则在时刻t=40min的降雨强度为() A.20mm/min B.400mm/min C.1 2mm/min D.1 4 mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δx→0f(1-2Δx)-f(1) Δx 的值为() A.10 B.-10 C.-20 D.20 10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=x+1 x ,则 f(0) f'(0) =() A.2 B.-2 C.1 D.e+1 12.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则 a=. 13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为. 14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a的值.
用待定系数法求一次函数的解析式导学案
用待定系数法求一次函数的解析式学案 姓名：______________ 班别： ________________ 日期：_________________ 学习目标： 1.了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数，并会根据条件确定 一次函数的表达式 2.通过函数图象确定一次函数的表达式，掌握利用待定系数法求一次函数表达式的方法， 并会解决相关现实问题 学习重点、难点：利用待定系数法求一次函数表达式 一、知识回顾： 1、若正比例函数y= k x的图象经过点（1,—2）,求这个函数的解析式. 知识总结：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。 2、一次函数的一般式是：y= _____________ 其中k，b为常数且______________ 通常我们通过 用待定系数法求出一般式中的k和b,进而求出一次函数的解析式. 二、自主探究：（常见的求一次函数解析式的题型） 例1：（点斜型）已知一次函数y = kx - 3的图像过点（2，—1），求这个函数的解析式。
变式冋 已知一次函数y = kx-3，当x=2，y=-1时，求这个函数的解析式.法：
例2:（两点型）已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（一2, 0）、（0，4）,求这个函数的解析式. 解：设一次函数解析式为, 将A （-2, 0）, B （0, 4）代入得 k= _____
所以一次函数解析式为_______________________ 例3:（图像型）已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数解析式 例4：（平移型）把直线y = 2x + 1向下平移2个单位得到的图像解析式为__________ 例5：（斜截型）已知直线y = kx ? b与直线与直线y二-2x平行，且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为________________ . 三、学习评价： 1、已知一次函数y=kx-1，当x = 5时，y = 4,求这个一次函数解析式. 2、已知直线y = kx十b经过点（9, 0）和点（24, 20）,求这条直线的函数解析式 3、已知一次函数y=kx+b中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7。求这个函数的解析式 4、已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式 \y2
导数导学案
-可编辑修改- §3.1 变化率与导数（１） 学习目标 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率； 学习过程 一、新课导学 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知：平均变化率：_______________=_______ 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就 表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变 化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它 们的比值y x ??，则上式就表示为 ， 此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量 与 的增量的比值. ※ 典型例题 例1已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2] 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点 (1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 小结 1.函数()f x 的平均变化率是 2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题3：计算运动员在49 65 0≤ ≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什 么问题吗？ 新知： 1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念
高二数学学案：《复合函数求导》(人教版选修)
学习目标 复合函数的分解，求复合函数的导数. 重点：求复合函数的导数 难点：复合函数的分解 学习过程 一、课前准备 复习教材1617P P -后，疑惑之处： 复习1：求)4(23-=x x y 的导数 复习2：求函数2(23)y x =+的导数 二、新课导学 学习探究 探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=? 解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos 2x x '= 这个解答正确吗? 新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则： 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=g ， 其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 试试：(sin 2)x '= 反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 典型例题 例1 求下列函数的导数：
（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=； （3）sin()y x π?=+（其中π，?均为常数） 变式：求下列函数的导数： （1）cos 3 x y =； （2）y = 小结：复合函数的求导不仅可以推广到三重，还可推广到四重、五重. 动手试试 练1. 函数()r V = ?求()r V ' 练2. 一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2GMm F r =给出，其中M 为地球队质量，G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率.