求反函数的步骤ppt课件
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反函数课件ppt
05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。
反函数课件
利用微分方程研究反函数的性质
反函数的单调性
通过微分方程，我们可以研究反 函数的单调性。例如，如果一个 函数f(x)是单调递增的，那么它 的反函数g(x)也是单调递增的。
反函数的极值
利用微分方程，我们可以找出反 函数的极值点，并研究这些极值
点的性质。
反函数的曲线形状
通过求解微分方程，我们可以描 绘出反函数的曲线形状，进而研
02
利用对数函数性质，通过原函数 中的x和y互换位置，得到反函数
利用反函数的性质求反函数
原函数和反函数具有 相同的单调性
原函数和反函数具有 相同的值域和定义域
原函数和反函数具有 相同的奇偶性
反函数的应用
03
在解方程中的应用
01
定义域和值域的求解
在求解方程时，通过反函数可以方便地求出定义域和值 域，从而解决方程的求解问题。
最优化问题
利用反函数，可以求解一 些最优化问题，如最小成 本、最大利润等。
在实际问题中的应用
交通流量问题
通过反函数，可以求解交通流量 问题，如最短路径、最少时间等
。
人口流动问题
利用反函数，可以求解人口流动问 题，如最多人口、最少人口等。
经济问题
通过反函数，可以求解一些经济问 题，如最大利润、最小成本等。
04 反函数与导数的关系
导数与反函数的关系
导数表示函数在某一点的斜率，而反函数则表示函数在某一区间内的单 调性。导数可以用来研究函数的局部性质，而反函数则可以用来研究函 数的整体性质。
导数的存在意味着函数在某一点处具有切线，而反函数的定义域是原函 数的值域，因此反函数在某一点的导数可能不存在。
对于单调函数，其导数和反函数的导数互为相反数。
反函数(一)精选教学PPT课件
我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢……
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊；
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
中小学优质课件反函数图像课件.ppt
…
…
1
1
x2
4y
-2
-8
…
…
x y2
3
思考：
1.下列函数是否具有反函数？并由此 归纳具有什么条件的函数有反函数？
（1） y=x2 ； （2）y=x2 (x≤0)。
2.互为反函数的两个函数的解析式是 否一定不同？试举例说明。
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点；交点都在直线y=x上吗？
作业与练习：
(1)练习：已知函数f (x) kx b的图像 过点（1，2），它的反函数的图像过 点（4，0）试求f (x)的解析式。
（2） 作业：p64 4, 5. (3) 金版名卷：反函数A卷
y 3x 2的反函数是
y x 2 (x R) 3
B(-2,0)
图像关于直线
A(0,-2)
y=x对称
例2 求函数y x3(x R)的反函数; 在同一坐标系中画出原函数 和它的反函数的图像。
解： y x3 x 3 y y x3的反函数为y 3 x(x R)
结论：(1)函数y f (x)的图像和他的反函数 y f 1(x)的图像关于直线y x对称
结论（2）原函数的单调性与 其反函数的单调性相同。
结论3：若y f (x)有反函数y f 1(x) 则y f (x)与y f （ 1 x）互为反函数。
思考：函数y 3x 2与x y 2图像 3
关于直线y x对称吗？
答：重合；在同一坐标系 中横轴表示 自变量。
一 一对应
R y=3x-2 R
互为反函数图像间的关系
一。知识回顾：
反函数的求法:
①反解→②互换→③注明定义域
原函数
反函数
求反函数的步骤课件
原函数
反函数
表达式： y=f(x)
y=f –1(x)
定义域：
A
C
值域：
C
A
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R);
(3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且x 1) x1
解:(1)由 y=3x-1 ，解得 x y 1 3
x1
解:(3)由 y x 1 ，解得 x ( y 1)2
而函数 y x 1(x 0) 的值域是 {y y 1}
所以，函数 y x 1(x 0) 的反函
数是
y (x 1)2 (x 1)
例1.求下列函数的反函数： (1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R);
x y, x在R上有_两___个_值和它对应，故x不___是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
小结：
1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记
为
y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出
x=f –1(y);
(2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其 定义域（即原函数的值域 )。
解: (2)由 y x3 1 ，解得 x 3 y 1
而函数 y x3 1(x R) 的值域是 R，
所以，函数 y x3 1(x R) 的反函
数是
y 3 x 1 (x R)
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R); (3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且, 1)
反函数第二节课件
反函数与映射的关系
反函数是映射的逆过程
映射是从一个集合到另一个集合的规则，而反函数是将这个规则逆转，从值域回到定义域。
映射和反函数都涉及到集合之间的对应关系
映射定义了两个集合之间的对应关系，而反函数则是在这个对应关系的基础上，将一个集合中的元素映射回另一 个集合中。
05
反函数的注意事项
反函数与函数图像的对称性
这意味着原函数和反函数在各自的定义域和值域内具有相 反的对应关系。
反函数与复合函数的关系
反函数可以视为复合函数的逆过程
复合函数是将一个函数的值作为另一个函数的自变量，而反函数则是将一个函数 的值作为另一个函数的因变量。
复合函数和反函数都涉及到多个函数的组合
通过复合函数可以将多个函数组合成一个更复杂的函数，而通过反函数可以将一 个复杂的函数分解成多个简单的函数。
反函数与函数奇偶性的关系
奇函数的反函数也是奇函数
如果一个函数是奇函数，那么它的反函数也是奇函数。这是 因为奇函数的定义是f(-x)=-f(x)，而反函数的定义是将原函数 的自变量和因变量互换，所以奇函数的反函数也是奇函数。
偶函数的反函数可能是奇函数
如果一个函数是偶函数，那么它的反函数可能是奇函数。这 是因为偶函数的定义是f(-x)=f(x)，而反函数的定义是将原函 数的自变量和因变量互换，所以偶函数的反函数可能是奇函 数。
反函数第二节ppt课件
CONTENTS
• 反函数的定义与性质 • 反函数的求法 • 反函数的应用 • 反函数与其他概念的联系 • 反函数的注意事项
01
反函数的定义与性质
反函数的定义
反函数的定义
如果对于函数y=f(x)，存在一个函数 x=f^(-1)(y)，使得对于每一个y值， 都存在一个x值满足y=f(x)，则称 x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
反函数Microsoft PowerPoint 演示文稿
专题四
1.
一、反函数的定义：
设函数 y f ( x)的定义域为 A，值域为 C ，由
y f ( x)求出 x ( y ) .如果对于 C 中每个
y 值，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么 x ( y) 为以 y 为自变量的函数，叫做y f ( x)
1
的反函数，记作 y f
，（ ）
( x) ，（ x C ）
二、反函数存在的条件：
从定义域到值域上的一一映射确定的 函数才有反函数；
三、互为反函数的两个函数的性质：
1.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、 定义域；
2.若 y f ( x)与 y f ( x) 互为反函数，函数 y f ( x) 的定义域为 A 、值域为 B ，则
在 y f ( x) 的图像上，则 b, a 在 y f ( x)图 像上。
1
y f 1 ( x)互为反函数， 若函数 y f ( x)与 1 若 f a b ，则 f b a
1
f [ f 1 ( x)] x( x B) ， f 1[ f ( x)] x( x A) ；
3.它们的图象关于 y x对称 ； 4.Hale Waihona Puke 为反函数的两个函数具有相同的单调性；
五、一些结论：
定义域上的单调函数必有反函数；奇 函数若存在反函数，则其反函数也是奇函 数；定义域为非单元素集的偶函数不存在 反函数.周期函数在整个定义域内不存在反 函数.
六 、求反函数的一般步骤：
1.求原函数的值域；
y f ( x) 解出 x f 1 ( y) 2.反解，由
3.写出反函数的解析式（互换 x, y ），并 注明反函数的定义域（即原函数的值域） 注：对于分段函数的反函数可以分别 求出各段函数的反函数再合成
1.
一、反函数的定义：
设函数 y f ( x)的定义域为 A，值域为 C ，由
y f ( x)求出 x ( y ) .如果对于 C 中每个
y 值，在 A 中都有唯一的值和它对应，那么 x ( y) 为以 y 为自变量的函数，叫做y f ( x)
1
的反函数，记作 y f
，（ ）
( x) ，（ x C ）
二、反函数存在的条件：
从定义域到值域上的一一映射确定的 函数才有反函数；
三、互为反函数的两个函数的性质：
1.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、 定义域；
2.若 y f ( x)与 y f ( x) 互为反函数，函数 y f ( x) 的定义域为 A 、值域为 B ，则
在 y f ( x) 的图像上，则 b, a 在 y f ( x)图 像上。
1
y f 1 ( x)互为反函数， 若函数 y f ( x)与 1 若 f a b ，则 f b a
1
f [ f 1 ( x)] x( x B) ， f 1[ f ( x)] x( x A) ；
3.它们的图象关于 y x对称 ； 4.Hale Waihona Puke 为反函数的两个函数具有相同的单调性；
五、一些结论：
定义域上的单调函数必有反函数；奇 函数若存在反函数，则其反函数也是奇函 数；定义域为非单元素集的偶函数不存在 反函数.周期函数在整个定义域内不存在反 函数.
六 、求反函数的一般步骤：
1.求原函数的值域；
y f ( x) 解出 x f 1 ( y) 2.反解，由
3.写出反函数的解析式（互换 x, y ），并 注明反函数的定义域（即原函数的值域） 注：对于分段函数的反函数可以分别 求出各段函数的反函数再合成
反函数教程课件
欢迎光临指导
一、问题的引入
我们知道，物体作匀速直线运动的位 移S是时间t的函数，即s=vt,其中v是常量。 在实际问题中常常需要求时间t，即 t=s/v，这时，时间t是位移s的函数.我们 把t=s/v叫s=vt的反函数。 这一节课我们就来研究反函数。
问题1：函数s=vt的定义域，值域分别是 什么？ 问题2：函数t=s/v中谁是谁的函数？ 问题3：函数s=vt与函数t=s/v之间有什么 关系
（4)
2x 3 y ( x R x 1 , 且 ) x 1
x3 y ( x R x 2 , 且 ) x2
八、求函数反函数的步骤:
1 求原函数的值域。
2 由y=f(x)反解出x = f 1(y)。
3 把 x = f 1(y)中 x与y互换得y = f 1(x).
三、反函数定义：
函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C。 我们根据这个函数中x,y的关系， 用 y 把 x 表示出来，得到 x = (y) 。
如果对于y在C中的任何一个值，通过x = (y) ，x在A中都有唯一的值和它对应，
那么, x = (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数。这样的函数 x = (y)(y ∈C)叫做 函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
二.问题的研究
函数y=2x+6的定义域为：A=R， 值域C=R，建立了如下的映射 。 问题：能否建立C到A的对应，让y 与x对应？这个新的对应是函数吗？ A x x=?
f
?
C y 2x 6 y
函数 y 2 x 6( x R)中，x是自变量，
y是x的函数， 从函数 y 2 x 6 中解出x, y 得到 x 3( y R) 2 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子 y x 3, x在R中都有唯一的值和它对应。 2 这时 y 为自变量，x 作为 y 的函数 这样的函数称为原函数的反函数 怎么给反函数下定义呢？
一、问题的引入
我们知道，物体作匀速直线运动的位 移S是时间t的函数，即s=vt,其中v是常量。 在实际问题中常常需要求时间t，即 t=s/v，这时，时间t是位移s的函数.我们 把t=s/v叫s=vt的反函数。 这一节课我们就来研究反函数。
问题1：函数s=vt的定义域，值域分别是 什么？ 问题2：函数t=s/v中谁是谁的函数？ 问题3：函数s=vt与函数t=s/v之间有什么 关系
（4)
2x 3 y ( x R x 1 , 且 ) x 1
x3 y ( x R x 2 , 且 ) x2
八、求函数反函数的步骤:
1 求原函数的值域。
2 由y=f(x)反解出x = f 1(y)。
3 把 x = f 1(y)中 x与y互换得y = f 1(x).
三、反函数定义：
函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C。 我们根据这个函数中x,y的关系， 用 y 把 x 表示出来，得到 x = (y) 。
如果对于y在C中的任何一个值，通过x = (y) ，x在A中都有唯一的值和它对应，
那么, x = (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数。这样的函数 x = (y)(y ∈C)叫做 函数y=f(x)(x∈A)的反函数.
二.问题的研究
函数y=2x+6的定义域为：A=R， 值域C=R，建立了如下的映射 。 问题：能否建立C到A的对应，让y 与x对应？这个新的对应是函数吗？ A x x=?
f
?
C y 2x 6 y
函数 y 2 x 6( x R)中，x是自变量，
y是x的函数， 从函数 y 2 x 6 中解出x, y 得到 x 3( y R) 2 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子 y x 3, x在R中都有唯一的值和它对应。 2 这时 y 为自变量，x 作为 y 的函数 这样的函数称为原函数的反函数 怎么给反函数下定义呢？
高中数学《反函数》 PPT课件 图文
3 y x 1 x 0
4
y
2x3 x1
xR, x 1
解析：①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射？ ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标：（1）对反函数概念的理解 （2）学会求函数的反函数
能力目标： （1）通过概念的学习，培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 （2）通过在反函数的求解过程中，把握函数与方程的思想
德育、情感目标： （1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 （2）在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学 生，在提供素材的环节中，鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与，逐步提升思维能力；对于 平时抽象思维较好的学生，应积极引导他们学 会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力，并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法， 逐步练就“会学”的本领，从而使人人都能有 所收获，整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别； 2、函数的三要素是什么？
创设情境，揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射？是不是
一一映射？是不是函数？
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢？如
反函数PPT教学课件
学习要求： 1. 掌握反函数的概念 2. 会求一些简单函数的反函数
设A=R，B=R，映射 f : x y 2x 6
A x
f
?
x=?
B y 2x6
y
函数 y 2x 6( x R) 中，x是自变量，
y是x的函数，从函数 y 2x 6 中解出x,
得到 x y 3( y R)
2
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
函数 ,并指明定义域。
小结： 反函数的定义： 反函数的求法： 注意点：
1.反函数的定义域为原函数的值域；
2.反函数的值域为原函数的定义域。
作业：
P68-69习题2.4
1，2
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+b2
如果对于y在C中的任何一个值，通过x =
设A=R，B=R，映射 f : x y 2x 6
A x
f
?
x=?
B y 2x6
y
函数 y 2x 6( x R) 中，x是自变量，
y是x的函数，从函数 y 2x 6 中解出x,
得到 x y 3( y R)
2
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
④l1与l2重合 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
函数 ,并指明定义域。
小结： 反函数的定义： 反函数的求法： 注意点：
1.反函数的定义域为原函数的值域；
2.反函数的值域为原函数的定义域。
作业：
P68-69习题2.4
1，2
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+b2
如果对于y在C中的任何一个值，通过x =
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（1）函数y=2x的定义域是____R__,值域是____R___。如果由
xy=2x1解y出，xx=在__R_12上__y有__唯_, _这一__样确__对定__于的y值在和R它上对任应一，个故值x，是通__过y__式的子函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
（ x ? A ），记作
x f 1 ( y) 按照习惯，对换x,y 改写成 y=f-1(x)
.
如： 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是_f__1(_x_)___12_x_(x___R_)_. 函数 f(x) x1(x1)的反函数是
f-1(x)=x2-1 (x≥0)
.
反函数与原函数的关系：
表达式：
x 1
所以，函数 y2x3(xR, 且 x 1)
x1
的反函数是
y x3(xR, x. 2
且
x 2)
求反函数的步骤：
y f( x ) x f 1 (y ) y f 1 ( x )
(1)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y);
(2)互换： 将x,y互换得y=f –1(x),并注明其定义域
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x1
定义域： [-1,+) 值域： [0,+)
.
新函数：
xy2 1
[0,+) [-1,+)
在(1)中，我们称新函数
x
1 2
y
(y∈R)
为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数.
同样，在(2)中，也把新函数 xy2 1(y≥0）
称为原函数 y x1 (x≥-1) 的反函数.
y x 1 (xR)
3
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R);
(3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 ,1, ) x1
解: (2)由 y x3 1 ，解得 x 3 y 1
而函数 yx31(xR) 的值域是 R，
所以，函数 yx31(xR) 的反函
（即原函数的值域 )。
注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
.
课堂练习：
P68. Ex.1 ---- 4.
例2.求函数 y11x2(1x0) 的反函数
例3. (1)求函数y=x2-1 (x≤0)的反函数； (2)求函数y=x2-2x-1 (x≤1)的反函数.
.
是否任何一个函数都有反函数？
（3）函数y=x2的定义域是___R__，值域是__[0__,+___)__。如果由
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出
x=f –1(y);
(2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其 定义域（即原函数的值域 )。
.
3.若y=f(x)的反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x) 的反函数就是y=f(x)，它们是互为反函数。 4.并非所有的函数都有反函数[如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系：
原函数
y=f(x)
反函数
y=f –1(x)
定义域：
A
C
值域：
C
A
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R); (3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 x ,1)
x1
解:(1)由 y=3x-1 ，解得 x y 1 3
而函数 y3x1(xR) 的值域是R， 所以，函数 y3x1(xR) 的反函数是
y=x2解出x=______y___,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子
x y, x在R上有_两___个_值和它对应，故x不___是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
.
小结：
1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记
为
y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
数是
y 3 x1 (xR)
.
例1.求下列函数的反函数：
(1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R); (3 )yx1(x 0()4 ; )2 y x3(x R且 ,1, )
x1
解:(3)由 y x 1 ，解得 x(y1)2
而函数 y x1(x0)的值域是 {y y 1}
所以，函数 y x1(x0) 的反函
数是
y(x1)2 (x 1)
.
例1.求下列函数的反函数： (1 )3y x1( x R()2; )xy31( x R);
(3 )yx1(x 0()4 ; )2 2x 3 ，解得 x y 3
x 1
y2
而函数 y 2x 3 的值域是 {yRy2}
.
反函数的概念
函数 y f (x) （ x ? A ）中，设它的值域为C 。我们根据这个函
….. 数中的 x ， y 的关系，用y 把 x 表示出，得到x j ( y) 。如果对 于…y 在…C 中…的任…何一…个值…，通…过…x j…(y)…， x…在 A…中都…有唯. 一 的…值和…它对…应，…那么…，x… j(…y) 就…表示…y 是…自变…量，…x 是…自变. 量 …… y 的函数。这样的函数x j ( y) （ y ? C ）叫做函数 y f (x)
2
1
4
2
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____，对应的函数值是___x____。
.
（2）函数 y x1的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是_[_0_,_+__)__。
如果由 y x1 解出x=__y_2___1___,则对于y在 [0，+)上 的任一个值，通过式子x=__y_2 __1____,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
.
完成下列填空：
作业： P.68---- 69. 1、2.
.
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