2017年秋八年级数学上册 专题复习(十四)分式的运算技巧 (新版)新人教版
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
人教版八年级上册分式的乘除
人教版八年级上册分式的乘除知识点包括：
1. 分式的乘法法则：分式相乘，分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母，能
约分先约分。
2. 分式的除法法则：分式相除，把除式分子分母颠倒，并与被除式相乘。
3. 分式的乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。
4. 分式的混合运算：按运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），从左至右依次进
行。
5. 分式约分的意义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
6. 分式约分的方法：先确定公因式，再约去公因式。
通常选择分子和分母中的最高次项的
公因式约分。
7. 最简分式的概念：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
8. 分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式转化为同分母的分式，叫
做分式的通分。
9. 最小公倍数：两个或几个数公有的倍数叫做这几个数的最小公倍数。
10. 约分的依据：分式的基本性质。
11. 约分的方法：用分子和分母的公因式去除分子和分母，得到最简分式或一般分式的过程
叫做约分。
12. 通分的依据：分式的基本性质。
13. 通分的方法：根据两个分式的最小公倍数，将一个分式的分子与另一个分式的分母都乘
以适当的同一个非零整式，使两个分式的分母相同，这样的过程叫做通分。
(完整版)八年级上册《分式》知识点归纳与总结,推荐文档
八年级上册《分式》知识点归纳与总结主讲 王老师一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B 0≠）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0,0B ≠）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
初中数学专题——分式运算的几种技巧，很实用！
（一）合理运用逐项通分我是一个标题
例1:
常规策略：一次通分，然后化简。
巧妙解法：
画龙点睛：对分母应用平方差公式，依次合并两个分式，比全部通分要简便。
练习题：
（二）恰当利用拆项解题
例2：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：
画龙点睛：化分式为部分分式，其实质就是把分母较复杂的分式拆成几个分母较简单的分式的代数和，能达到化繁为简的目的。
练习题：
（三）巧用换元法解题
例3：
常规策略：全部通分求解。
巧妙解法：设x－y＝a，y－z＝b,z－x＝c.
画龙点睛：通过观察发现，
x＋y－2z＝(y－z)－(z－x),
x＋z－2y＝(x－y)－(y－z),
y＋z－2x＝(z－x)－(x－y),
从而考虑用换元法。
练习题：
常规策略：可先解出方程的根，然后代入计算。
巧妙解法：将x4＋x3－4x2＋x＋1＝0方程两边除以x2，得
画龙点睛：注意x≠0时，方程两边才能同时除以x2.
练习题：
（五）设辅助参数
左边＝[a2＋(ak)2＋(ak2)2]
[(ak)2＋(ak2)2＋(ak3)2]＝
a4k2(1＋k2＋k4)2,
右边＝（a2k＋a2k3＋a2k5）2＝
a4k2(1＋k2＋k4)2
所以原式成立。
画龙点睛：遇到连比，可设辅助参数解题。
练习题：。
分式的运算技巧
分式的运算技巧分式概念形如 (A、B就是整式,B中含有字母)得式⼦叫做分式。
其中A叫做分式得分⼦,B叫做分式得分母。
且当分式得分⼦得次数低于分母得次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式得分⼦得次数⾼于分母得次数时,我们把这个分式叫做假分式。
注意:判断⼀个式⼦就是否就是分式,不要瞧式⼦就是否就是得形式,关键要满⾜:分式得分母中必须含有字母,分⼦分母均为整式。
⽆需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。
由于字母可以表⽰不同得数,所以分式⽐分数更具有⼀般性。
⽅法:数瞧结果,式瞧形。
分式条件:1、分式有意义条件:分母不为0。
2、分式值为0条件:分⼦为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件:分⼦分母同号得正,异号得负。
4、分式值为1得条件:分⼦=分母≠0。
5、分式值为1得条件:分⼦分母互为相反数,且都不为0。
代数式分类整式与分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母得式⼦叫做⽆理式。
⽆理式与有理式统称代数式。
分式得基本性质分式得分⼦与分母同时乘以(或除以)同⼀个不为0得整式,分式得值不变。
⽤式⼦表⽰为:(A,B,C为整式,且B、C≠0)运算法则约分根据分式基本性质,可以把⼀个分式得分⼦与分母得公因式约去,这种变形称为分式得约分。
约分得关键就是确定分式中分⼦与分母得公因式。
约分步骤:1、如果分式得分⼦与分母都就是单项式或者就是⼏个因式乘积得形式,将它们得公因式约去。
2、分式得分⼦与分母都就是多项式,将分⼦与分母分别分解因式,再将公因式约去。
公因式得提取⽅法:系数取分⼦与分母系数得最⼤公约数,字母取分⼦与分母共有得字母,指数取公共字母得最⼩指数,即为它们得公因式。
最简分式:⼀个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。
约分时,⼀般将⼀个分式化为最简分式。
通分:异分母得分式可以化成同分母得分式,这⼀过程叫做通分。
分式得乘法法则:(1)两个分式相乘,把分⼦相乘得积作为积得分⼦,把分母相乘得积作为积得分母。
（2）两个分式相除,把除式得分⼦与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法：分数的乘法：分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。
例如，计算2/3*4/5，可以直接计算出8/15分数的除法：分数的除法可以转化为乘法的逆运算。
例如，计算2/3÷4/5，可以将除法转化为乘法，即2/3*5/4=10/12，再进行约分得到5/62.分数的加法和减法：分数的加法：对于相同分母的分数，直接将分子相加即可；对于不同分母的分数，需要先进行通分，然后再进行相加。
例如，计算2/3+4/5，需要先找到两个分数的最小公倍数（如15），然后进行通分，计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法：分数的减法可以转化为加法的逆运算。
例如，计算2/3-4/5，可以将减法转化为加法，即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简：分数的化简即将分数表示成最简形式。
最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子，即它们的最大公约数为1、例如，将4/6化简成最简形式，找到最大公约数（如2），然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法，将分子和分母分别进行质因数分解，然后约去公共的质因数。
例如，将20/30化简成最简形式，将分子和分母分别进行质因数分解（20=2*2*5，30=2*3*5），然后约去公共的质因数2和5，得到2/34.分数的比较：分数的比较可以通过交叉相乘的方法。
对于两个分数a/b和c/d，可以将它们转换为分数的乘法形式，即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。
然后，将乘积进行比较，即比较a*d和b*c的大小。
例如，比较2/3和3/5的大小，可以计算2*5和3*3的大小，得到10和9，所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数：分数的倒数是指分子和分母互换位置，例如，分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号，例如，分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。
八年级数学上册解题技巧专题分式运算中的技巧(新版)新人教版
x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ． 化简 ： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ． 先 化 简 ， 再 求 值 ：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1 11．计算 －2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二 先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三 混合运算中灵活运用分配 律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入x1－ 的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋ －2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ． 解 ：原 式 ＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1） － a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－ 时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－ ＝ ＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝ － － ＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ． 解 ： 原式 ＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。
2017-2018学年八年级上册数学(人教版)专题训练分式的运算技巧
分式的运算技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．► 技巧一 整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二 倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三 转化法 利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1的值．二、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一 约分10．计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y.13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二 运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a15．先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.16．先化简，再求值：(x2－16x2＋8x＋16＋xx－4)÷1x2－16，其中x＝3.17．化简并求值：12a －1a－b·(a－b2a－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.详解详析1．[解析] B 原式＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0. 4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1＝－23. 5．[答案] 123[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x ＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x ＝23，即x 4＋1x ＝23，∴x 2x ＋1＝123. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34， 以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2a 2＋（ab ）2. ∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2）1＋a 2＝3.9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc a 2bc ＋abc ＋ab . ∵abc ＝1，∴原式＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1＝1. 10．[解析] A 原式＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）2＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.故选A. 11．[答案] 2[解析] 原式＝x （x ＋9）x （x ＋3）＋（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2＝x ＋9x ＋3＋x －3x ＋3＝2（x ＋3）x ＋3＝2. 12．解：原式＝（x ＋y ）（x －y ）x ＋y －（2x －y ）22x －y＝x －y －(2x －y )＝－x . 13．解：原式＝[（a －2）（a ＋2）（a －2）2－12－a ]÷2a 2－2a ＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝12(a 2＋3a )． ∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，∴原式＝12×(－1)＝－12. 14．[解析] A 原式＝a a －2·4－a 2a －a a ＋2·4－a 2a ＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A. 15．解：原式＝a 2－1a ·3a a －1－a 2－1a ·a a ＋1＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)． 当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[（x －4）（x ＋4）（x ＋4）2＋x x －4]÷1x 2－16＝(x －4x ＋4＋x x －4)·(x ＋4)(x －4)＝(x －4)2＋x (x ＋4)＝2x 2－4x ＋16.当x ＝3时，原式＝22.17．解：原式＝12a －1a －b ·a －b 2a ＋a 2－b 2a －b＝12a －12a ＋a ＋b ＝a ＋b .当a ＝10，b ＝5时，原式＝10＋5＝15.。
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10．(2016·张家界)先化简，再求值：(x－x 2－x2－4 2x)÷xx2＋－2x， 其中 x 满足(x－2)(x＋1)＝0.
解：原式＝x－1，又∵(x－2)(x＋1)＝0， ∴x＝2或x＝－1，当x＝2时，分式无意义，∴x＝－1时，原式＝－2
11．(2016·河南)先，其中
5．(阿凡题 1070282)已知 x2－4x＋1＝0，求 x2＋x12及(x－1x)2 的值． 解：x＋1x＝x2＋x 1＝4xx＝4，∴x2＋x12＝(x＋1x)2－2＝42－2＝14， (x－1x)2＝x2＋x12－2＝14－2＝12
技法 5 倒数变换法 已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分， 然后将三个已知式相加，这样解非常简捷． 6．(阿凡题 1070283)已知 x＋1x＝3，求x4＋xx22＋1的值．
技法 3 主元代换法 若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数， 联立解方程组，思路清晰，解法简洁．
3．(阿凡题 1070280)已知 3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求xxy2＋＋yyz2＋＋2zx2z的值． 解：以 x，y 为主元，解方程组32xx－＋4yy－－8zz＝＝00，，得xy＝＝32zz.， ∴原式＝3（z·3z2）z＋2＋2z（·z2＋z）2×2＋3zz·2z＝1144zz22＝1
技法 2 设 k 代换法 在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数 k，往往立即可解． 2．(阿凡题 1070279)已知2a＝b3＝4c，求3aa－＋2bb＋＋c5c的值．
解：令2a＝b3＝4c＝k，则 a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入原式， 原式＝3×2k2－k＋2×3k3＋k＋4k5×4k＝290kk＝290
五章 分式
专题(十四) 分式的运算技巧
类型一：条件分式求值技法 技法 1 整体代入法 将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值． 1．(阿凡题 1070278)已知1x－1y＝5，求3yx－＋35xxyy－－x3y的值．
解：显然 xy≠0.将待求式的分子、分母同时除以 xy，
得3yx－＋35xxyy－－x3y＝－3（1x－1x－1y－1y）3 ＋5＝－35×－53＋5＝－5
解：2a－4
(4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋4xx＋4. 解：x＋x 2
类型三：化简求值 8．(2016·益阳)先化简，再求值：(x＋1 1－1－1 x)÷1－x2x2，其中 x＝－12.
解：原式＝－2x，当 x＝－12时，原式＝4
9．(2016·娄底)先化简，再求值：(1－x－2 1)·x2－x2－6xx＋9， 其中 x 是从 1，2，3 中选取一个合适的数． 解：原式＝x－x 3，易知 x＝1 或 3 时无意义，当 x＝2 时，原式＝－2
x
－x≤1， 的值从不等式组2x－1＜4的整数解中选取．
解：原式＝1－x x，解不等式组－2xx－≤11＜，4， 得－1≤x＜52，当 x＝2 时，原式＝1－2 2＝－2
12．(阿凡题 1070284)先化简，再求值：(1－x＋3 2)÷xx2＋－21x－x＋x 1， 其中 x 满足 x2－x－1＝0.
解：∵x4＋xx22＋1＝(x＋1x)2－1＝32－1＝8，∴x4＋xx22＋1＝18
类型二：分式的混合运算 7．计算： (1)(a2－a b2－a＋1 b)÷b－b a；
(3)(2016·泸州)(a＋1－a－3 1)·2aa＋－22；
解：－a＋1 b (2)(x＋1)÷(2＋1＋xx2)； 解：x＋x 1
技法 4 互倒式代入法 构造 x2＋x12＝(x±1x)2∓2 迅速求解，收到事半功倍之效． 4．(阿凡题 1070281)已知 m2＋m12＝4，求 m＋m1 和 m－m1 的值． 解：在 m2＋m12＝4 的两边都加上 2，得(m＋m1 )2＝6，故 m＋m1 ＝± 6. 同理(两边都减 2)，可得 m－m1 ＝± 2
解：原式＝x＋x21，∵x2－x－1＝0，∴x2＝1＋x，∴原式＝1