典型例题一
一元一次不等式典型例题
一元一次不等式典型例题（一）类型一：一元一次不等式的解集问题1.若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是．2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是．3.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为________4.若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是_______ 类型二：一元一次不等式组无解的情况1.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是．2.已知不等式组无解，则a的取值范围是3.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围1.若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是2.若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是．3.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是________4.若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于5.已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2008=类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围1.若有解，则a的取值范围是2.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是3._______类型五：一元一次不等式组有整数解求范围1.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．2．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是．4.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是．5.关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______6.已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．7.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．类型六：一元一次不等式（组）应用题1.分配问题（1）学校现有若干个房间分配给初三（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是多少人．2.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若每人分4件，则最后一人最多分3件，问小朋友的人数至少有多少人。
环形行程问题1
典型例题1甲、乙两人同时从同一地址出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米，过了 4 分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米贯通融会11、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80 米，小兰每分钟跑 50米，过了20 分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米2、王叔叔和李叔叔同时从体育场的同一地址出发，同向绕体育场跑道赛跑，王叔叔每分钟跑 300 米，李叔叔每分钟跑 280 米，过了 20 分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道一周长多少米3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000 米的环形广场竞走，已知第一位运动员每分钟走125 米，第二位运动员的速度是第一位运动员的 2 倍。
第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟典型例题2兄妹二人在周长60 米的圆形水池边玩，从同一地址同时背向绕水池行走，兄每秒走米，妹每秒走米。
他们第 10 次相遇时需要多长时间贯通融会21、姐弟二人在周长 420 米的圆形花园边玩，从同一地址同时背向绕水池行走，姐姐每分钟走 60 米，弟弟每分钟走 40 米。
他们第五次相遇时需要多长时间2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。
她们从同一地址背向绕水池行进。
小红每分钟行 200 米，小玲每分钟行 160 米。
已知环形跑道一周的长为 1080 米。
他们第 8 次相遇小红走了多少米3、甲、乙二人绕圆形场所跑步。
场所一周的长是而行。
甲每分钟行80 米，乙每分钟行70 米，他们第300 米，他们从同一地址出发背向6 次相遇时甲比乙一共多走多少米典型例题3一个圆形荷花池的周长为 400 米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。
甲每分钟跑 250，乙每分钟跑 200 米，此刻甲在此后边 50 米，甲第二次追上乙需要多少分钟贯通融会31、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600 米，甲每分钟跑米，乙每分钟跑280 米，此刻甲在乙后边40 米，甲第二次追上乙需要多少分钟3002、绕湖一周的长是 500 米，小许和小张顺时针绕湖竞走。
小学数学鸡兔同笼问题典型例题
小学数学鸡兔同笼问题典型例题例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。
我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数×兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
机械原理第1章典型例题
2）计算其机构自由度。由机构运动简图可知，该机构具有三个活动构件 ）计算其机构自由度。由机构运动简图可知， 1、3、4三个转动副 、B、C、一个移动副和一个高副，没有局部自由度 三个转动副A、 、 、一个移动副和一个高副， 、 、 三个转动副 和虚约束，故此机构的自由度为： 和虚约束，故此机构的自由度为：
2）高副低代 用附加杆DB GK及转动副 DB和 及转动副B 用附加杆DB和GK及转动副B和D 、G和K来代 替两高副，代换后的机构为仅含低副的机构。 替两高副，代换后的机构为仅含低副的机构。
n = 9, p5 = 13, p5 = 0 F = 3n－2p5－ p4 = 3×9－2×13－0 = 1
第1章典型例题
绘制图示机构运动简图， 例9 绘制图示机构运动简图，并计算其自由度
第1章典型例题
绘制图示机构运动简图， 例9 绘制图示机构运动简图，并计算其自由度
第1章典型例题
绘制图示机构运动简图， 例10 绘制图示机构运动简图，并计算其0 绘制图示机构运动简图，并计算其自由度
第1章典型例题
例14 计算图示机构的自由度，作出仅含低副的替代机构。 计算图示机构的自由度，作出仅含低副的替代机构。
1）计算机构的自由度 处为复合铰链， 处为局部自由度， F 处为复合铰链，G 处为局部自由度，则
n = 7, p5 = 9, p4 = 2 F = 3n－2p5－ p4 = 3×7－2×9－2 = 1
F = 3n − 2 P5 − P4 = 3 × 6 − 2 × 8 − 1 = 1
第1章典型例题
计算图示运动链的自由度，判断是否能称为机构。 例15 计算图示运动链的自由度，判断是否能称为机构。
n = 5 , p5 = 7 , p4 = 1
北师大版五年级数学上册典型例题系列之第一单元：行程问题专项练习(解析版)
五年级数学上册典型例题系列之第一单元：行程问题专项练习（解析版）1．甲乙两地相距600千米，一列客车和一列货车同时从甲地开往乙地，客车比货车早到2小时，客车到达乙地时，货车行了440千米，客车行完全程需要多少小时？【答案】5.5小时【分析】根据题意，货车2小时可以行驶（600－440）千米，据此先利用除法求出货车的速度，再用总路程600千米除以货车速度，求出货车行完全程需要的时间。
最后，用货车行完全程的时间减去2小时，即可求出客车行完全程要多少小时。
【详解】货车速度：（600－440）÷2＝160÷2＝80（千米／时）货车时间：600÷80＝7.5（小时）客车时间：7.5－2＝5.5（小时）答：客车行完全程需要5.5小时。
【点睛】本题考查了行程问题，灵活运用“速度×时间＝路程”是解题的关键。
2．一列货车前往疫区运送抗疫物资，2小时行驶160km。
从出发地到疫区有1000km，按照这样的速度，全程需要多少小时？【答案】12.5小时【分析】根据题意可得出货车速度，运用路程＝速度×时间，进行计算可得出答案。
【详解】全程需要的时间为：÷÷1000(1602)=÷100080=（小时）。
12.5答：全程需要12.5小时。
【点睛】本题主要考查的是路程问题及小数运算，解题的关键是熟练运用小数相关运算，进而得出答案。
3．随着旅游景区公路的改造。
从市区到景区的路程由原来的28.8千米缩短到22.4千米。
现在小明和小刚骑车到景区的速度比原来快了多少？【答案】7千米/时【分析】根据“速度＝路程÷时间”分别求出现在和原来的速度，再求差即可。
【详解】22.4÷1.4－28.8÷3.2＝16－9＝7（千米/时）答：现在小明和小刚骑车到景区的速度比原来快7千米/时。
【点睛】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
高考数学一轮经典例题 棱柱 理
典型例题一例1 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，如图所示，平行六面体1111-D C B A ABCD 中所有对角线相等，对角面11BDD B 是平行四边形，对角线D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是矩形，即BD BB ⊥1，同理四边形11ACC A 是矩形，所以AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ，即该平行六面体是直平行六面体．故选A ．说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表表 平行四边形 平行六面体 ①对边平行且相等①相对的侧面平行且全等 ②对角线交于一点，且在这一点互相平分 ②对角线交于一点且在这一点互相平分 ③四条边的平方和等于两条对角线的平方和③十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为 30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD 、1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式．解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11，∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即 3011=∠BC D ．∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ，∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ，⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角，在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ， ∴22cos 11==∠BD BD BD D ，∴451=∠BD D ，即1BD 与底面ABCD 所成角为 45．（2）∵11//D A AD ，∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角（或补角）．∵⊥11A D 平面B B AA 11，∴ B A A D 111⊥，Rt △B D A 11中，411=D A ，81=BD ， ∴21cos 11=∠B D A ，∴ 6011=∠B D A ，即异面直线AD 与1BD 所成角为 60．（3）Rt △11C BB 中，411=C B ，341=BC ． ∴241=BB ， ∴ ()()12232244244442+=⨯+⨯+⨯=全S ． 说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件．典型例题三例3 如图，已知长方体1111-D C B A ABCD 中，棱长51=AA ，12=AB ，求直线11C B 与平面11BCD A 的距离．分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有⊥CB 平面11BB AA ，这样，只要作B A H B 11⊥，又有CB H B ⊥1，得到⊥H B 1平面11A BCD ．解：长方体1AC 中，有⊥BC 平面11BB AA ，过1B 作B A H B 11⊥于H ，又有H B BC 1⊥， ∴ ⊥H B 1平11A BCD ，即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离．在Rt △11A BB 中，由已知可得，51=BB ，1211=B A ，∴ 131=B A ，∴13601=H B ．即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为1360．说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体1AC 中，11C A 与面BD C 1所成角．这里，要找11C A 与BD C 1所成角，必须找1A 到平面BD C 1的垂线，因为⊥BD 面C C AA 11，在对角面1AC 内，过1A 作11OC H A ⊥于H ，则H A BD 1⊥，所以⊥H A 1面BD C 1，可以得到O C A 11∠为11C A 与面BD C 1所成角，在对角面C C AA 11中可计算2arctan 11=∠O C A ．典型例题四例 4 如图，已知直三棱柱1111-D C B A ABCD 中，AC AB =，F 为侧棱1BB 上一点，a BC BF 2==，a FB =1．（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任一点，求证：1FC EF ⊥；（2）若a B A 311=，求1FC 与平面B B AA 11所成角的大小．分析：E 点在AD 上变化，EF 为平面ADF 内变化的一组相交直线（都过定点F ），要证明F C 1与EF 垂直，必有⊥F C 1平面ADF ．求1FC 与平面11A ABB 所成角的关键是找1C 到面11A ABB 的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱⊥1AA 平面111C B A 给找点1C 到面1AB 的垂线创造了方便的条件．解：（1）∵AC AB =，且D 是BC 的中点，∴BC AD ⊥，又∵ 直三棱柱中⊥1BB 平面ABC ，∴1BB AD ⊥，∴ ⊥AD 平面C C BB 11，∴F C AD 1⊥．在矩形C C BB 11中，a BC BF 2==，a F B =1， ∴a DF 5=，a FC 51=，a DC 101=，∴21212DC FC DF =+，∴ 901=∠DFC ，即DF FC ⊥1，∴⊥1FC 平面ADF ，∴EF FC ⊥1．（2）过1C 作111B A H C ⊥于H ，∵⊥1AA 平面C B A 11，∴H C AA 11⊥，∴⊥H C 1平面B B AA 11，连接FH ，FH C 1∠是F C 1与平面1AB 所成角．在等腰△ABC 中，a AC AB 3==，a BC 2=，∴a AD 22=，在等腰△111C B A 中，由面积相等可得，a a H C 22231⨯=⨯，∴a H C 3241=，又a F C 51=， 在Rt △HF C 1中，15104sin 1=∠FH C ，∴15104arcsin 1=∠FH C ，即F C 1与平面1AB 所成角为15104arcsin ． 说明：由于点E 在AD 上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了1CF 与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然E 在AD 上变化，但是由于⊥AD 平面C C BB 11，所以E 点在平面1BC 上的射影是定点D ，EF 在平面1BC 上射影为定直线DF ，使用三垂线定理，可由DF F C ⊥1，直接证明EF F C ⊥1．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，E 是11B A 上动点，F 是1DD 中点，求AF 与OE 所成角．我们取AD 中点G ，虽然E 点变化，但OE 在面1AD 上射影为定直线G A 1，在正方形D D AA 11中，易证AF B A ⊥1，所以，OE AF ⊥，即AF 与OE 所成角为 90．典型例题五例5 如图，正三棱柱111-C B A ABC 的底面边长为4，侧棱长为a ，过BC 的截面与底面成 30的二面角，分别就（1）3=a ；（2）1=a 计算截面的面积．分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成 30的二面角，如果a 较大，此时截面是三角形；但是如果a 较小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形．解：截面与侧棱1AA 所在直线交于D 点，取BC 中点E ，连AE 、DE ，△ABC 是等边三角形，∴BC AE ⊥，∵⊥1AA 平面ABC ，∴BC DE ⊥．∴DEA ∠为截面与底面所成二面角的平面角，∴ 30=∠DEA ．∵等边△ABC 边长为4，∴32=AE ． 在Rt △DAE 中，2tan =∠=DEA AE DA ．（1）当3=a 时，D 点在侧棱1AA 上，截面为△BCD ，在Rt △DAE 中，422=+=AE AD DE ，∴8442121=⨯⨯=⋅=∆DE BC S BCD ． （2）当1=a 时，D 点在1AA 延长线上，截面为梯形BCMN ，∵2=AD ，11=AA ∴MN 是△DBC 的中位线，∴684343=⨯==∆DBC BCMN S S 梯形．说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而改变截面形状．典型例题六例 6 斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面⊥C C AA 11底面ABC ，2=BC ，32=AC ， 90=∠ABC ，C A AA 11⊥，且C A AA 11=．（1）求1AA 与平面ABC 所成角；（2）求平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离．分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由C A A A 11=，取AC 的中点D ，连D A 1，则有AC D A ⊥1，从而有⊥D A 1平面ABC ，在此基础上，A A 1与底面所成角以及平面11ABB A 与底面所成二面角都能方便地找到，同时⊥D A 1底面ABC 也为寻找B 点到面C C AA 11的垂线创造了条件．解：（1）取AC 的中点D ，连接D A 1，∵C A A A 11=，∴AC D A ⊥1，∵平面⊥C C AA 11底面ABC ，∴⊥D A 1底面ABC ，∴AC A 1∠为A A 1与底面ABC 所成角．∵C A AA 11=且C A AA 11⊥，∴ 451=∠AC A ．（2）取AB 中点E ，则BC DE //，∵ 90=∠ABC ，∴AB CB ⊥，∴AB DE ⊥．连E A 1，∵⊥D A 1底面ABC ，∴E A 1在平面ABC 上射影为DE ，∴AB E A ⊥1，∴ED A 1∠为侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角．在等腰Rt △AC A 1中，32=AC ，∴31=D A ．在Rt △ABC 中，2=BC ，∴1=DE ．在Rt △DE A 1中，3tan 11==∠DE D A ED A ，∴ 601=∠ED A ，即侧面B B AA 11与底面ABC 所成二面角的大小为 60．（3）过B 作AC BH ⊥于H ，∵⊥D A 1底面ABC ，∴BH D A ⊥1，∴⊥BH 平面C C AA 11，在Rt △ABC 中，32=AC ，2=BC ，∴22=AB ，∴632=⋅=AD BC AB BH ，即1BB 到平面C C AA 11的距离为632．说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键．典型例题七例7 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，90=∠C ，cm 2=BC ，1B 在底面上的射影D 恰好是BC 的中点，侧棱与底面成60角，侧面B B AA 11与侧面C C BB 11所成角为 30，求斜棱柱的侧面积与体积．分析：1B 在底面ABC 上射影D 为BC 中点，提供了线面垂直⊥D B 1平面ABC ，另外又有 90=∠C ，即BC AC ⊥，又可以得到⊥AC 平面C C BB 11，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角．解：∵1B 在底面ABC 上，射影D 为BC 中点．∴⊥D B 1平面ABC ．∴BD B 1∠为侧棱B B 1与底面ABC 所成角，即 601=∠BD B ，∵ 90=∠C ，即BC AC ⊥，又D B AC 1⊥，∴⊥AC 平面C C BB 11，过A 作B B AE 1⊥于E ，连接CE ，则B B CE 1⊥．∴AEC ∠是侧面B B AA 11与侧面B B CC 11所成二面角的平面角，∴ 30=∠AEC ，在直角△CEB 中，∵ 60=∠CEB ，2=BC ，∴3=CE ， 在直角△ACE 中，∵ 30=∠CEA ，3=CE ，∴130tan ==EC AC ，22==AC AE ， 在直角△DB B 1中， 601=∠BD B ，121==BC BD ，∴221==BD BB ，360sin 11== BB D B ． ∴侧面积为111AA AC BB AE BB CE S ⋅+⋅+⋅=侧()()()2cm 3322332123+=⨯+=⨯++=． 体积为311cm 33212121=⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅=∆D B BC AC D B S V ABC ．说明：本例中△ACE 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长．典型例题八例8 如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，已知a AD AB 2==，a AA =1，又︒=∠=∠=∠6011AB A DAB AD A ．(1)求证：1AA ⊥截面C D B 11；(2)求对角面11ACC A 的面积．分析：(1)由题设易证111D B AA ⊥，再只需证C B AA 11⊥，即证11CD CC ⊥．而由对称性知，若C B CC 11⊥，则11CD CC ⊥，故不必证111D B AA ⊥．(2)关键在于求对角面的高．证明：(1)∵a AD C B 211==，a A A CC ==11，︒=∠=∠60111AD A C C B ，∴在C C B 11∆中，由余弦定理，得2213a C B =．再由勾股定理的逆定理，得C B C C 11⊥．同理可证：11CD C C ⊥．∴C C 1⊥平面C D B 11．又A A C C 11//，∴1AA ⊥平面C D B 11．解：(2)∵AD AB =，∴平行四边形ABCD 为菱形．AC 为BAD ∠的平分线．作O A 1∴⊥平面AC 于O ，由AB A AD A 11∠=∠，知AC O ∈．作AB M A ⊥1于M ，连OM ，则AB OM ⊥． 在AM A Rt 1∆中，a A A AM 2160cos 1=︒⋅=，在AOM Rt ∆中，330sec a AM AO =︒⋅=．在AO A Rt 1∆中，a AO A A O A 322211=-=． 又在ABC ∆中，由余弦定理，得a AC 32=． ∴212211a O A AC S ACC A =⋅=．说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线．如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线．另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上．典型例题九例9 如图所示，已知：直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，︒=∠30BAC ，1=BC ，61=AA ，M 是1CC 的中点．求证：M A AB 11⊥．分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M 点的位置都是确定的，故可通过计算求出M A 1与1AB 两异面直线所成的角．因为C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，所以11C B ⊥侧面C C AA 11．1AC 是斜线1AB 在平面C C AA 11的射影，设1AC 与M A 1的交点为D ，只需证得︒=∠901MDC 即可．证明：∵C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，C C 1与11C A 交于点1C ，∴11C B ⊥面C C AA 11．∵M 为1CC 的中点，∴262111==C C MC ． 在111B C A Rt ∆中，︒=∠30111C A B ，∴221111==C B B A ，311=C A ．在M C A Rt 11∆中， ()22332622211211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=C A MC M A ． 在11C AA Rt ∆中，33622211211=+=+=C A AA AC ．又1MDC ∆∽DA A 1∆且21=MC AA ∶，∴22122331311=⨯==M A MD ，13313111=⨯==AC D C ．在1MDC ∆中，23122122212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D C MD ， 2326221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M C ，∴︒=∠901DM C ，11AC M A ⊥，∴11AB M A ⊥．说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一．证明过程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视．本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧面C C AA 11的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移M A 1或1AB ，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明．典型例题十例10 长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长． 分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．解：设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：⎩⎨⎧=++=++②①24)(411)(2z y x zx yz xy由②得：6=++z y x ，从而由长方体对角线性质得：5116)(2)(22222=-=++-++=++=zx yz xy z y x z y x l ．∴长方体一条对角线长为5．说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把x 、y 、z 单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出222z y x ++，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性．(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作出整体处理．典型例题十一例11 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图．三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++bc c b a c b a 2)(22222+++=++ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ，∴0>>>bc ab ab ．故最短线路的长为bc c b a 2222+++． 说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线2221c b a AC ++=是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．典型例题十二例12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成︒60的二面角，面积为Q ，求直平行六面体的全面积．分析：如图，由于⊥'DD 面AC ．作出截面与底面所成的二面角的平面角HD D '∠后，因DH D Rt '∆中︒=∠60'HD D ，可分别求出D D '、DH 和H D '的值．又上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积．解：设平行六面体为''''D C B A ABCD -，过D 作AB DH ⊥，H 为垂足，连结H D '． ∵⊥'DD 平面ABCD ，∴AB H D ⊥'，︒=∠60'HD D ， ∴H D D D ''23=，H D DH '21=．又在菱形ABCD 中，有CD BC AB AD ===，∴截面''D ABC 的面积为：Q AB H D S =⋅='1． 侧面''DCC D 的面积为：Q AB H D AB D D DC D D S 2323'''2=⋅=⋅=⋅=底面ABCD 的面积为：Q AB H D AB DH S 2121'3=⋅=⋅=． 所以Q S S S )132(2432+=+=全．典型例题十三例13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面； 丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形．∴应选B ．说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质． 典型例题十四例14 如图，ABC C B A -111是直三棱柱，︒=∠90BCA ，点1D 、1F 分别是11B A 、11C A 的中点．若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）．A ．1030B ．21C ．1530D ．1015解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC 的中点E ，并连结1EF 、EA ． ∵11F D BC 21BE =，∴11//BD EF ，∴A EF 1∠是1BD 与1AF 所成角．设a BC 2=，则a CC 21=，a CA 2=．∴a AB 22=，a AF 51=，a AE 5=，a D B B B BD EF 62112111=+==．∴1030652)5()6()5(2cos 22211221211=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠a a a a a EF AF AE EF AF A EF ∴应选A ．说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求．典型例题十五例15 如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 的中点．(1)证明：//1AB 平面1DBC ；(2)假设11BC AB ⊥，求以1BC 为棱，1DBC 与1CBC 为面的二面角α的度数．(1)证明：∵ABC C B A -111是正三棱柱，∴四边形11BCC B 是矩形．连结C B 1交1BC 于E ，则E 是C B 1的中点．连结DE ．∵D 、E 分别是AC 、C B 1的中点，∴1//AB DE ．又⊄1AB 平面1DBC ，⊂DE 平面1DBC ，．∴//1AB 平面1DBC ．(2)解：作BC DF ⊥于F ，则⊥DF 平面C C BB 11，连结EF 则EF 是ED 在平面C C BB 11上的射影．∵11BC AB ⊥又ED AB //1．∴1BC ED ⊥．根据三垂线定理的逆定理，得1BC EF ⊥．从而DEF ∠是二面角C BC D --1的平面角，即α=∠DEF ，设1=AC ，则21=DC ∵ABC ∆是正三角形，∴在DCF Rt ∆中，有4360sin =︒=DC DF ，4160cos =︒=DC CF取BC 的中点G ， ∵EC EB =，∴BC EG ⊥．在BEF Rt ∆中，FG BF EF ⋅=2而43=-=FC BC BF ，41=GF ，∴41432⋅=EF ，∴43=EF ， ∴在DEF Rt ∆中，14343tan ===∠EF DF DEF ．∴︒=∠45DEF ，即︒=45α．从而所求二面角的大小为︒45．说明：(1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻．今后要引以为戒．(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查；在解答过程中，必须添加适当的辅助线，不仅考查了识图，而且考查了作图．本题是一道综合性试题，较深入和全面地考查了各种数学能力，正确解答本题，要求同学们有较高的数学素质．。
第一章 集合典型例题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练
专题01 集合中的典型题（1）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 153.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 13⩽m<32B. m⩾0C. m⩾32D. 13<m<324.设M，P是两个非空集合，规定M−P={x|x∈M，且x∉P}，根据这一规定，M−(M−P)等于()A. MB. PC. M∪PD. M∩P5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23二、多选题7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集∈A，则称集合8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．13.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.已知全集，集合M={x|−2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．(Ⅰ)若a=2，求；(Ⅱ)若M∪N=M，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a−12<x<a2}，B={x|0<x<1}(Ⅰ)若a=12，求A⋃(∁R B)．(Ⅱ)若A⋂B=⌀，求实数a的取值范围．一、选择题：1.下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查元素与集合、集合与集合之间的基本关系，特别要注意空集这一概念在题中的特殊性，根据集合中的相关概念，对每个命题进行一一判断．【解答】解：对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，由于两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0,1}是数集，含有2个元素，集合{(0,1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确．故选B．2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(ⅰ)A∪B={1,2，3，4，5，6}，A⋂B=⌀；(ⅰ)若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对(A,B)的个数为()A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查交集、并集及其运算，考查了学生理解问题的能力．分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．【解答】解：若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有5个元素，则A 可以为{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，有5种； 若集合A 中只有2个元素，则集合B 中有4个元素，则A 可以为{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,5}，有6种；若集合A 中只有3个元素，则集合B 中有3个元素，则A 只能是{1,3，5}，只有1种，则共有有序集合对(A,B)12个，故选A ．3. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 13⩽m <32B. m ⩾0C. m ⩾32D. 13<m <32【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,解得0≤m <13，综合可得m ≥0，∴实数m 的取值范围是m ≥0．故选B ．4. 设M ，P 是两个非空集合，规定M −P ={x|x ∈M ，且x ∉P}，根据这一规定，M −(M −P)等于() A. M B. P C. M ∪P D. M ∩P【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合新定义问题，属于较难题．分M ∩P =⌀与M ∩P ≠⌀讨论，可证明M −(M −P)=M ∩P ．解：当M∩P=⌀时，∵任意x∈M都有x∉P，∴M−P=M，∴M−(M−P)=⌀=M∩P；当M∩P≠⌀时，M−P表示了在M中但不在P中的元素，M−(M−P)表示了在M中但不在M−P中的元素，∵M−P中的元素都不在P中，所以M−(M−P)中的元素都在P中，∴M−(M−P)中的元素都在M∩P中，∴M−(M−P)=M∩P．故选D．5.若集合M={x|x≤6}，a=2√2，则下面结论中正确的是A. {a}⫋MB. a⫋MC. {a}∈MD. a∉M【答案】A【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，由a=2√2<6即可求解．【解答】解：因为集合M={x|x≤6}，a=2√2<6，所以{a}⫋M.故选A．6.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知A={x|x=3n+2,n∈N∗}, B={x|x=5n+3,n∈N∗},C={x|x=7n+2,n∈N∗},若x∈A∩B∩C，则整数x的最小值为()A. 128B. 127C. 37D. 23【解析】【分析】本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系．先从四个选择中最小的数开始进行检验是否满足x∈A∩B∩C，即x属于A，B，C中每一个集合，找出最小的一个即可．【解答】解：∵23=3×7+2=5×4+3=7×3+2，∴23∈A，23∈B，23∈C，∴23∈A∩B∩C，所以23是四个答案中最小的一个，故选：D．二、多选题∈P(除数b≠0)则7.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab 称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A. 数域必含有0，1两个数B. 整数集是数域C. 若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D. 数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验．本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对∈P(除数b≠0)则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即任意a、b∈P，都有a+b、a−b、ab、ab可等到正确的结果．解：当a=b时，a−b=0、ab=1∈P，故可知A正确．当a=1，b=2，12∉Z不满足条件，故可知B不正确．当M中多一个元素复数i则会出现1+i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确．根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．故选AD．8.若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)x，y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A，则称集合A是“完美集”，给出以下结论，其中正确结论的序号是()A. 集合B={−1,0，1}是“完美集”；B. 有理数集Q是“完美集”；C. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；D. 设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A；【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力，根据“完美集”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：A.∵1，−1∈B，1−(−1)=2∉B，不满足性质(2)，∴A不正确；B.∵0∈Q，1∈Q，x、y∈Q，∴0−y=−y∈Q，∴x+y=x−(−y)∈Q，且x≠0时，1x∈Q，∴B正确；C.∵0∈A，x、y∈A，∴0−y=−y∈A，∴x+y=x−(−y)∈A，故C正确；D.x，y∈A时，①若x=0，或1，则x2∈A；②若x≠0，且x≠1，则x−1，1x−1,1x∈A，∴1x−1−1x=1x2−x∈A；∴x2−x∈A，x2−x+x=x2∈A；∴x∈A得到x2∈A；∴同理可得y2∈A，x2+y2∈A，(x+y)2∈A；∴2xy=(x+y)2−(x2+y2)∈A；若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：1 xy =12xy+12xy∈A，∴xy∈A；∴x∈A，y∈A，能得到xy∈A，故D正确．故选BCD．9.对任意A,B⊆R，记AⅰB= { x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称AⅰB为集合A,B的对称差.例如，若A={1,2,3},B={2,3,4}，则AⅰB={1,4}.下列命题中，正确的是()A. 若A,B⊆R,且AⅰB=B,则A=⌀B. 若A,B⊆R,且AⅰB=⌀,则A=BC. 若A,B⊆R,且AⅰB⊆A,则A⊆BD. 存在A,B⊆R,使得AⅰB=(∁R A)ⅰ(∁R B)【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查新定义，属于较难题．根据新定义，逐一判断即可．【解答】解：由题意可得：，故正确；，所以正确；若A,B⊆R,且A⊕B⊆A,则B⊆A，故不正确；存在A,B⊆R,使得A⊕B=(∁R A)⊕(∁R B,)如A=B，故正确．故答案为ABD．三、单空题10.已知集合M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，那么M∪N的子集有______ 个．【答案】16【解析】解：∵M={a2,0}，N={1,a，2}，且M∩N={1}，∴a=−1，∴M∪N={−1,0，1，2}，故M∪N的子集有24=16个．故答案为：16．由题意先确定集合M，N，再求M∪N={−1,0，1，2}，从而求子集的个数．本题考查了集合的运算及集合的化简，同时考查了集合的子集个数问题，11.已知集合M={x|x2−2x−8=0}，N={x|ax+4=0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是_________．【答案】{0,−1,2}【解析】【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，根据集合M={x|x2+x−8=0}写出集合M最简单的形式，然后再根据N⊆M，求出a的值，【解答】解：∵集合M={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，∵N⊆M，N={x|ax+4=0}，∴N=⌀，或N={−2}或N={4}三种情况，当N=⌀时，可得a=0，此时N=⌀；当N={−2}时，−2a+4=0，可得a=2；当N={4}时，4a+4=0，可得a=−1．∴a的可能值组成的集合为{0,−1,2}．故答案为{0,−1,2}．12.已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2−3x+2=0}，若A⊆B，则a的取值集合为_______．【答案】{−1,0，−12}.【解析】【分析】本题考查集合的包含关系及应用．根据A⊆B，利用分类讨论思想求解即可，特别要注意A=⌀不可忽略.【解答】解：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B；当a≠0时，A={−1a }⊆B，−1a=1或−1a=2，解得a=−12或−1，}.综上实数a的所有可能取值的集合为{−1,0，−12}.故答案为{−1,0，−1213.设集合A={1,a2−3}，B={−4,a−1}，若A⋃B中恰有3个元素，则a=________．【答案】−1【解析】【分析】本题考查了并集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．由A，B，以及A与B的交集恰有3个元素，确定出a的值即可．【解答】解：因为a2−3≥−3>−4，所以由题意得a2−3=a−1或a−1=1，解得a=2或a=−1．当a=2时，集合A中的两个元素重合，舍去，所以a=−1．四、解答题14.已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围．(1)A=⌀；(2)A恰有两个子集；．【答案】解：(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，且△=4−4m<0，所以m>1；(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，，满足题意；讨论：①当m=0时，x=12②当m≠0时，△=4−4m，所以m=1．综上所述，m=0或m=1；,2)≠⌀，(3)若A∩(12,2)内有解，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12这等价于当x∈(12,2)时，求m=2x−1x2=1−(1x−1)2的值域，∴m∈(0,1]．【解析】本题考查空集的概念、子集的个数问题以及含参数的集合运算问题，综合性较强，属于拔高题．(1)若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．(2)若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．(3)若A∩(12,2)≠⌀，则关于x的方程mx2=2x−1在区间(12,2)内有解，这等价于求m=2x−1x2，x∈(12,2)时的值域．15.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由题意得A={x|x2−3x+2=0}={1,2}∵A∩B={2}，∴2∈B∴22+(a−1)×2+a2−5=0，即4+2a−2+a2−5=0化简得：a2+2a−3=0，所以(a+3)(a−1)=0，解得：a=−3或a=1．检验：当a=−3时，B={x|x2−4x+4=0}={2}，满足A∩B={2}，当a=1时，B={x|x2−4=0}={−2,2}，满足A∩B={2}，∴a=−3或a=1;(2)∵A∪B=A，故B⊆A，①当B=⌀，则(a−1)2−4(a2−5)<0，即a2−2a+1−4a2+20<0，即−3a2−2a+21<0，即3a2+2a−21>0，即(3a−7)(a+3)>0，解得：a>73或a<−3，②当B为单元素集，则，即(a−1)2−4(a2−5)=0，得a=73或a=−3当a =73时，B ={−23}⊄A ，舍当a =−3时， B ={2}⊆A 符合，③当B 为双元素集，则B =A ={1,2}则有{1+2=1−a 1×2=a 2−5无解， 综上：a >73或a ≤−3【解析】本题主要查了交集、并集以及一元二次方程的解法，考查了学生分类讨论的思想，培养了学生的综合能力．(1)由A ∩B ={2}，知2∈B ，将2代入求出a ，进而进行检验，得出集合B ，得出结论．(2)由A ∪B =A ，知B ⊆A ，再根据一元二次方程根的情况讨论B 的情况，得出a 的取值范围．16. 已知全集，集合M ={x|−2≤x ≤5}，N ={x|a +1≤x ≤2a +1}． (Ⅰ)若a =2，求；(Ⅱ)若M ∪N =M ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)若a =2，则N ={x|3≤x ≤5}，则或x <3}； 则；(Ⅱ)若M ∪N =M ，则N ⊆M ，①若N =⌀，即a +1>2a +1，得a <0，此时满足条件；②当N ≠⌀，则满足{a +1≤2a +12a +1≤5a +1≥−2，得0≤a ≤2，综上a ≤2，故a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题．(Ⅰ)根据集合的基本运算进行求解即可；(Ⅱ)根据M ∪N =M ，得N ⊆M ，讨论N 是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．17. 已知集合A ={x |a −12<x <a 2}，B ={x |0<x <1}(Ⅰ)若a =12，求A⋃(∁R B )．(Ⅱ)若A⋂B =⌀，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)当a =12时A ={x|0<x <14}，C R B ={x|x ≤0或x ≥1}，∴A ∪(∁R B)={x|x <14或x ≥1};(Ⅱ)当A =ϕ时，即a −12⩾a 2解得a ⩾1，当A ≠ϕ时，需满足{a <1a −12⩾1或{a <1a 2⩽0，解得a ⩽0，综上a ⩽0或a ⩾1 ．【解析】本题考查集合的运算以及集合的关系(1)当a =12时，得到集合A ，C R B 利用并集概念即可求出A ∪(∁R B)； (2)分A =Φ和A ≠Φ两种情况即可求解，然后再求并集．。
第一章概率论典型例题
典型例题：一．排列1．特殊排列相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？2．重复排列和非重复排列（有序）例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？3．对立事件例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？4．顺序问题例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）二．概率1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。
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例01 选择题：对n np mp m 22+++运用分组分解法分解因式，分组正确的是（） （A ）mp np n m +++)22(（B ）)2()2(mp n np m +++（C ）)()22(nm mp n m +++ （D ）np mp n m +++)22(分析 本组题目用来判断分组是否适当.（A ）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A ）不正确；（B ）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B ）不正确；（D ）中两组也无公因式可提，故（D ）不正确.（C ）中第一组可提取公因式2，剩下因式)(n m +；第二组可提取p ，剩下因式)(n m +，这样组间可提公因式)(n m +，故（C ）正确.典型例题二 例02 用分组分解法分解因式：（1）x xy y x 21372-+-；（2）22441y xy x -+-.分析 本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的.解 ⑴x xy y x 21372-+-)3()217(2xy y x x +-+-=（合理分组）)3()3(7-+-=x y x x （组内提公因式） )7)(3(y x x +-=（组间提公因式）⑵22441y xy x -+-)44(122y xy x +--=（注意符号）2)2(1y x --=（组内运用公式）[][])2(1)2(1y x y x ---+=（组间运用公式）)21)(21(y x y x +--+=说明 分组分解法应用较为灵活，分组时要有预见性，可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的. 另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归. ②分组时要添加带“－”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步.例03 分解因式：315523+--x x x分析 本题按字母x 的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，15-，1-，3.系数比相等的有31155-=-或31515-=-，因而可分组为)5(3x x -、)315(2+-x 或)155(23x x -、)3(+-x . 解法一 315523+--x x x)3()155(23+-+-=x x x （学会分组的技巧） )3()3(52---=x x x )15)(3(2--=x x解法二 315523+--x x x)315()5(23+-+-=x x x )15(3)15(22---=x x x )3)(15(2--=x x说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四例04 分解因式：x xy y x 21372-+-分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解.见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一 x xy y x 21372-+-)3()217(2xy y x x +-+-=)3()3(7-+-=x y x x )7)(3(y x x +-=解法二 x xy y x 21372-+-)213()7(2x y xy x --++=)7(3)7(y x y x x +-+= )7)(3(y x x +-=说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解.本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例题五例05 把下列各式分解因式： （1）222z yz y xz xy -+--； （2）122222+----a bc c b a ； （3）1424422+--++y x y xy x .分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解. 解法 （1）222z yz y xz xy -+--)2()(22z yz y xz xy +---=2)()(z y z y x ---=))((z y x z y +--=（2）122222+----a bc c b a)2()12(222c bc b a a ++-+-= 22)()1(c b a +--=)1)(1(c b a c b a ---++-=（3）1424422+--++y x y xy x1)42()44(22++-++=y x y xy x 1)2(2)2(2++-+=y x y x 2)12(-+=y x说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.如⑴中，“交叉项”为yz 2，相应的平方项为2y 、2z ；⑵中，“交叉项”为bc 2，相应的平方项为2b 、2c .典型例题六例06 分解因式：（1）652+-a a ；（2）1032-+m m .分析 本题两例属于pq x q p x +++)(2型的二次三项式，可用规律公式来加以分解. 解 （1）Θ)3()2(6-⨯-=，5)3()2(-=-+-，∴)3()2()32(6522-⨯-++-=+-a a a a（2）Θ5210⨯-=-，352=+-，∴=-+1032m m [])2()5()2(52-⨯++-++m m)2)(5(-+=n m .说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.典型例题七例07 分解因式：（1）4)(5)(2++++b a b a ； （2）22127q pq p +-.分析 对（1），利用整体思想，将)(b a +看作一个字母，则运用pq x q p x +++)(2型分解；对（2），将其看作关于p 的二次三项式，则一次项系数为p 7-，常数项为212q ，仍可用pq x q p x +++)(2型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.解 （1）4)(5)(2++++b a b a)4)(1(++++=b a b a（2）Θ)4()3(122q q q -⋅-=，q q q 7)4(3-=-+-，∴22127q pq p +-22127q pq p +-=)4)(3(q p q p --=.典型例题八例08 分解因式：⑴134-+-x x x ；⑵q p q pq p 36522++++；)3)(2(--=a a⑶)1)(1()1)(1(-+--+b b b a a a ； ⑷c c bc b a b a --+++-222424.分析 本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解. 解 ⑴法一：134-+-x x x)1()(34-+-=x x x )1()1(3-+-=x x x)1)(1(3+-=x x （13+x 可继续分解，方法很简单：)1()(3++-x x x ，对于13-x 方法类似，可以自己探索）)1)(1)(1(2+-+-=x x x x法二：134-+-x x x)()1(34x x x +-+-=)1()1)(1(222--+-=x x x x )1)(1(22x x x -+-= )1)(1)(1(2+--+=x x x x法三：134-+-x x x)1()(34--++=x x x )1()1(33+-+=x x x )1)(1(3-+=x x)1)(1)(1(2-+-+=x x x x⑵q p q pq p 36522++++)3()65(22q p q pq p ++++=（看作ab x b a x +++)(2型式子分解）)3()3)(2(q p q p q p ++++= )12)(3(+++=q p q p⑶)1)(1()1)(1(-+--+b b b a a a)1()1(22---=b b a ab b a a +--=33 )()(33b a b a ---=)())((22b a b ab a b a --++-= )1)((22-++-=b ab a b a⑷c c bc b a b a --+++-222424)2()44(222c b a c bc b a -+++--= )2()2(22c b a c b a -++--=[][])2()2()2(c b a c b a c b a -++---+=)2()2)(2(c b a c b a c b a -+++--+= )12)(2(++--+=c b a c b a说明 ⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度.⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了ab x b a x +++)(2型二次三项式的因式分解.将2265q pq p ++看做关于p 的二次三项式q q q 3262⋅=，2265q qp p ++q q p q q p 32)32(2⋅+++=.⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法.⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破.但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义.如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题中2265q pq p ++.典型例题九例09 分解因式：（1）6)2)(1(---x x x ；（2）)()1(222b a x x ab +++分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.解 ⑴6)2)(1(---x x x6)23(2-+-=x x x62323-+-=x x x （乘法运算，去括号） )62()3(23-+-=x x x （重新分组）)3(2)3(2-+-=x x x )2)(3(2+-=x x⑵)()1(222b a x x ab +++x b x a ab abx 222+++=（乘法运算去括号） )()(222x b ab x a abx +++=（重新分组）)()(a bx b a bx ax +++= ))((bx a b ax ++=说明 “先破后立，不破不立”.思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式.典型例题十例10分解因式673+-a a分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” .即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.解 7176733+--=+-a a a a)77()1(3---=a a)1(7)1)(1(2--++-=a a a a )71)(1(2-++-=a a a)6)(1(2-+-=a a a)3)(2)(1(+--=a a a说明 当1=a 时，多项式673+-a a 值为0，因而)1(-a 是673+-a a 的一个因式，因此，可从“凑因子” )1(-a 的角度考虑，把6拆成71+-，使分组可行，分解成功.运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法. 法二：673+-a a663+--=a a a)1(6)1()66()(23---=---=a a a a a a)1(6)1)(1(--+-=a a a a )6)(1(2-+-=a a a)3)(2)(1(+--=a a a法三：673+-a a14873+--=a a)147()8(3---=a a （凑立方项） )2(7)42)(2(2--++-=a a a a )742)(2(2-++-=a a a )32)(2(2-+-=a a a)3)(1)(2(+--=a a a法四：673+-a a212773-+-=a a （与3a 凑立方项） )217()27(3+-+=a a)3(7)93)(3(2+-+-+=a a a a （套用33b a +公式） )793)(3(2-+-+=a a a )23)(3(2+-+=a a a)2)(1)(3(--+=a a a法五：673+-a a6343+--=a a a （拆a 7项） )63()4(3---=a a a)2(3)4(2---=a a a)2(3)2)(2(---+=a a a a )32)(2(2-+-=a a a)3)(1)(2(+--=a a a法六：673+-a a6293++-=a a a （凑平方差公式变a 7-项） )62()9(3++-=a a a )3(2)9(2++-=a a a)3(2)3)(3(++-+=a a a a )23)(3(2+-+=a a a)2)(1)(3(--+=a a a法七：令1+=x a 则（1-a 为多项式一个因式，做变换1+=a x ）673+-a a 6)1(7)1(3++-+=x x67713323+--+++=x x x x （做乘法展开） x x x 4323-+=)4)(1()43(2+-=-+=x x x x x x)31)(21)(11(++-++-=x x x )3)(2)(1(+--=a a a （还原回a ）说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的.“凑”时，需思、需悟、触发灵感.第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.本题还可以如下变形：673+-a a ＝)6)(1()1()67()(2223--+-=+-+-a a a a a a a a ＝……典型例题十一例11若2542++kx x 是完全平方式，求k 的值.分析 原式为完全平方式，由22)2(4x x =，2525=即知为2)52(±x ，展开即得k 值.解 Θ2542++kx x 是完全平方式∴应为2)52(±x又Θ25204)52(22+±=±x x x ，故20±=k .说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k 值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的逆向思维类，运用222)(2b a b ab a ±=+±来求解.典型例题十二例11 把下列各式分解因式：（1）1682++x x ； （2）63244914b b a a +- （3）1)2(6)2(92+---b a b a解：（1）由于16可以看作24，于是有222442168+⋅⋅+=++x x x x2)4(+=x ；（2）由幂的乘方公式，4a 可以看作22)(a ，649b 可以看作23)7(b ，于是有2332226324)7(72)(4914b b a a b b a a +⋅⋅-=+-232)7(b a -=；（3）由积的乘方公式，2)2(9b a -可以看作2)]2(3[b a -，于是有1)2(6)2(92+---b a b a 11)2(32)]2(3[2+⋅-⋅--=b a b a2]1)2(3[--=b a2)136(--=b a说明（1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的2倍，或这两数乘积2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同.（2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.典型例题十三例12 求证：对于任意自然数n ，1322323+++-+-n n n n 一定是10的倍数.分析 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.证明 1322323+++-+-n n n n)22()33(132++++-+=n n n n)22(2)13(332+-+=n n102103⨯-⨯=n n)23(10n n -=Θ)23(10n n -是10的倍数，∴1322323+++-+-n n n n 一定是10的倍数.典型例题十四例13 因式分解（1）y b x b y a x a 2222+++； （2）nx n mx mx --+2解：（1）)()(22222222y b x b b a x a y b x b y a x a +++=+++)()(22y x b y x a +++=))((22b a y x ++=或 )()(22222222y b y a x b x a y b x b y a x a +++=+++)()(2222b a y b a x +++=))((22y x b a ++=；（2）)()(22nx n mx mx nx n mx mx +-+=--+)1()1(x n x mx +-+=))(1(n mx x -+=或)()(22n nx nx mx nx n mx mx -+-=--+)()(n mx n mx x -+-=)1)((+-=x n mx说明：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。