天津市第一中学高二数学下学期期中试题
天津一中09-10学年高二下学期期中检测试卷(数学文)
天津一中09-10学年高二下学期期中考试数学文科试卷一、选择题：1．“0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .不充分不必要条件2．如果复数ibi212+-的实部与虚部相同，则实数b 等于（ ） A ．32 B ．32- C ．6 D ．－53．ii－13的共轭复数是（ ） A ．－23＋23i B ．23－23i C ．23＋23i D ．－23－23i 4．已知函数()y f x =，对于任意两个不相等的实数1x 、2x ，都有1212()()()f x x f x f x +=成立，且(0)0f ≠，则 (2009)(2008)(2008)(2009)f f f f -⋅-⋅⋅⋅的值是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 5．当=n 1，2，3，4，5，6时，比较n2和2n 的大小并猜想（ ）A 、1≥n 时，22n n >B 、3≥n 时，22n n >C 、4≥n 时，22n n >D 、5≥n 时，22n n >6．某市质量监督局计量认证审查流程图如图，可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有（ ）处（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+8．某市政府调查市民收入增减与旅游欲望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K 2=6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入培养与旅游欲望有关系的可信程度是（ ） A. 90% B. 95%C. 97.5%D. 99.5%9．两相关变量满足如下关系：D两变量回归直线方程（ ）A ．4.997ˆ56.0ˆ+=k yB ．2.231ˆ63.0ˆ-=k yC ．4.501ˆ2.50ˆ+=k yD ．7.400ˆ4.60ˆ+=k y10．如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13B .14C .4-D .3二、填空题11．如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =，3AB BC ==。
天津市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷一、选择题：1. 已知、、是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程，，至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）A. 三个方程都没有两个相异实根B. 一个方程没有两个相异实根C. 至多两个方程没有两个相异实根D. 三个方程不都没有两个相异实根【答案】A【解析】试题分析：“至少有一个”的反面是“一个都没有”，因此本题选C．考点：反证法．2. 已知复数，则对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先计算出z,再代入计算得到对应点所在的象限.详解：由题得所以=，所以对应的点为，在第二象限.故答案为：B3. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数后再求切线的斜率，从而求出切线方程，再求该切线的横截距和纵截距可得三角形的面积.详解：，所以，切线方程为：即.令，则；令，则，故面积为，故选A.点睛：本题考查曲线在某点处切线的求法，属于基础题.4. 下列函数中，在上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：考虑4个函数在上的导数的符号即可.详解：对于A中的函数，有，当时，的符号有正有负，故在上不是增函数；对于B，，当时，，故在上不是增函数；对于C，，当时，，故在上不是增函数；对于D，，当时，，故在上是增函数；故选D.点睛：如果在区间内，有，则在上为单调增函数；如果在区间内，有，则在上为单调减函数.反之，若在上为单调增函数，则；若在上为单调减函数，则.5. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：构建新函数，由得到为上的增函数，结合得到不等式的解集为 .详解：令，则，从而为上的单调增函数，有，而即为，从而其解集为，故选B.点睛：注意依据原函数与其导函数的关系构建合适的新函数，再利用导数讨论该函数的单调性，从而求出不等式的解集.6. 若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．详解：令y=f（x）=ax2+3x﹣lnx，由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1，∴=1有解，∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴=1有正根，∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根∴2ax2+2x﹣1=0有正根∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根，最后分离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】分析：可设且到直线的距离最小，则曲线在该点处的切线必与已知直线平行，从而可求及点到已知直线的距离.详解：设且到直线的距离最小，又，令，则，故.此时到直线的距离为，故选B.点睛：曲线上的动点到定直线的最小距离可转化为曲线某点处的切线与已知直线平行的问题.8. 设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出 ，根据在处取极大值得到有零点且在的左侧附近为，在的右侧附近.分三种情况讨论即可得到的取值范围.详解：，因为在处取极大值，故且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负.当时，，此时，当时，， 当时，故在处取极大值. 当时，应为的较小的正根，故，故；当时，有一个正根和负根，因对应的二次函数开口向下，故正跟为即可，故时，总存在使得为的极大值点.综上，的取值范围为，故选A.点睛：对于上的可导函数， （1）若在处取极大值，则且在的左侧附近为正，在的右侧附近为负； （2）若在处取极小值，则且在的左侧附近为负，在的右侧附近为正.9. 函数的大致图象如图所示,则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的图像可以得到函数的三个不同的零点及为函数的两个不同的极值点，前者可以得到函数的解析式，后者为函数的导数的零点，从而利用韦达定理求出的值.详解：由图像可知有三个实数解，分别为，故，所以.注意到为的极值点，故它们也是的两个根.又，故C.点睛：题设中的函数图像隐含了函数的零点及其函数的极值点，解题时注意扑捉这些有用的信息.另外，当我们知道函数的零点后，可以类比二次函数的双根式得到三次函数的解析式的形式.10. 已知, ,若存在，，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：详解：，所以，，故在内存在零点，也就是在内存在零点.令，故.当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故在上的值域为，故选B.点睛：本题为导数中的新定义题，其本质为含参数的函数在确定的范围上存在零点，可利用参变分离把零点问题转化为不含参数的函数的值域问题.二、填空题11. 已知，为虚数单位，为虚数单位，若为实数，则a的值为__________．【答案】【解析】为实数，则.【考点】复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，为纯虚数.12. 已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据导数的运算法则计算出和f(1),再计算出的值.详解：由题意f（1）=+2+2f（1），化简得f（1）=﹣﹣2，而=2x+2，所以=2+2，得=﹣2，故f（1）=0，所以f（x）=﹣2x2+2x，所以=﹣4x+2，所以=﹣6.点睛：(1)本题主要考查导数的运算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题的关键是找到关于和f(1)的方程，解答出它们的值.13. 设，若函数有大于零的极值点，则的范围为__________．【答案】【解析】分析：若函数有大于零的极值点，则导函数有大于零的零点，从而可以求出实数的取值范围．详解：，令，则方程有正根，即．又的值域为，故即．填．点睛：若函数在内可导，且在取极值，则，反之，若，则未必是的极值点．14. 观察下面一组等式，，，......根据上面等式猜测，则_________．【答案】25【解析】分析：利用所给等式，对猜测S2n﹣1=（4n﹣3）（an+b），进行赋值，即可得到结论．详解：当n=1时，S1=（4ו1﹣3）（a+b）=a+b=1，①当n=2时，S3=（4×2﹣3）（2a+b）=5（2a+b）=25，②由①②解得a=4，b=﹣3，∴a2+b2=16+9=25，故答案为：25点睛：（1）本题主要考查归纳推理和演绎推理等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是通过演绎推理赋值求出a=4，b=﹣3.15. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由函数f（x）在[t，t+1]不单调，得出在[t，t+1]有解，从而x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，进而求出t的范围．详解：∵=﹣x+4﹣且函数f（x）在[t，t+1]不单调，∴在[t，t+1]有解，∴=0在[t，t+1]有解，∴x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，令g（x）=x2﹣4x+3，∴g（t）g（t+1）≤0或，∴0＜t＜1，或2＜t＜3.点睛：（1）本题主要考查导数，考查方程有解问题，考查二次函数的图像和性质,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力、数形结合能力. (2)本题有三个关键，其一是转化为在[t，t+1]有解，其二是转化为x2﹣4x+3=0在[t，t+1]有解，其三是转化为g（t）g（t+1）≤0或，这里考虑要全面，不能漏掉.16. 设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】详解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（）有最小值2e，∵g（x）=，∴=，当x＜1时，＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e，∵不等式恒成立且k＞0，∴，∴k≥1.故答案为：k≥1点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就迎刃而解了.三、解答题17. 已知函数的极值点为2 ．（1）求实数的值；（2）求函数的极值；（3）求函数在区间上的最值．【答案】（1）；（2）极小值为；（3）【解析】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．详解：（1）∵,∴又函数的极值点为2，∴，解得．经验证得符合题意，∴.（2）由（1）得.∴，当时，，单调递减，当时，，单调递增.∴当时，有极小值，且极小值为（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴．点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.18. 已知函数（1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为，应为其子集，故可求实数的范围.（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ），因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.因为函数在上为增函数，所以，所以.（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故方程在区间内恰有两个相异的实根即方程在区间内恰有两个相异的实根.令，则，当时，，在为减函数；当时，，在为增函数.的图像如图所示：要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.19. 已知函数，且（1）求的解析式；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）证明函数的图象在图象的下方.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零.详解：（1）易知，所以，又∴.∴.（2）若对任意的，都有，即恒成立，即：恒成立.令，则，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；∴时，有最大值，∴，即的取值范围为.（3）要证明函数的图象在图象的下方，即证：恒成立，即：.由（2）可得：，所以，要证明，只要证明，即证：令中，则，当时，，所以单调递增，∴即，所以，从而得到，所以函数的图象在图象的下方.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.20. 已知函数．（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；（2）设，对于,都有求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.详解：（1），设切点为得得到，所以所以.（2）∵∴时，，所以，在上为增函数.不妨设则，，所以，可化为,即，设，则在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则∴∴所以在上为增函数，所以∴.点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.。
天津市重点高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于 ()32f x x ax b =-+()()1,1f 34πa A ．2 B ． C ．3D ．2-1-【答案】A【详解】，所以，解得，故选A.()232f x x ax '=-()1321f a =-=-'2a =2．如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y 关于x 的经验回归直x y ()0,1()1,3()2,5()3,7线必过点（ ） A ． B ． C ． D ．()2,2()1.5,2()1,2()1.5,4【答案】D【分析】求出得中心点，即为所求． ,x y 【详解】由已知，， 0123 1.54x +++==135744y +++==所以回归直线必过点． (1.5,4)故选：D ．3．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）()y f x =()'y f x =A ．在内是增函数B ．在内是增函数 ()3,1-()f x ()4,5()f xC ．在时取得极大值D ．在时取得极小值1x =()f x 2x =()f x 【答案】B【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.()'y f x =()f x ()f x 【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上()f x ()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()'0,f x f x <()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭递增.()()'0,f x f x >所以不是的极值点，是的极大值点.1x =()f x 2x =()f x所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ，则P (X ＝2)＝（ ）(14,2)A ．B ．C ．D ．323438316【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】. ()222411321228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：C5．函数的单调递减区间是（ ） 23()25ln 2f x x x x =-+A ．B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭C ． D ．()1,+∞()0,1【答案】D【分析】根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可. 【详解】函数的定义域为：， 23()25ln 2f x x x x =-+{}0x x >， 2'5(35)(1)()3(23)25ln 2x x f x x x xf x x x x +-⇒=-+=-=+当时，函数单调递减，因为，所以解得， '()0f x <0x >01x <<故选：D6．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 ()1nx +A ． B ．C ．D ．12211210292【答案】D【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式10n =1x =102=1x -系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案1091222⨯=D ．7．若函数在上为增函数，则m 的取值范围为（ ） ()ln mf x x x=-[]1,3A ． B ．C ．D ．(],1-∞-[)3,-+∞[)1,-+∞(],3-∞-【答案】C【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m 的范围即可. 0x m +≥[]1,3【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，()ln mf x x x=-[]1,3()2210m x m f x x x x '+=+=≥[]1,3即在恒成立，则，解得. 0x m +≥[]1,3()max m x ≥-1m ≥-故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．8．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()(22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.9．已知函数恒有零点，则实数k 的取值范围是（ ）()ln e xf x x x x k -=---A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,1e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦11,1e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦11,0e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件，利用导数求出的最大值即可求解作答.()f x 【详解】函数的定义域为，求导得：()ln e xf x x x x k -=---(0,)+∞， 1(1)(e )()1(1)e e x xxx x f x x x x ---'=---=令，，则，即在上单调递增，，()e x g x x =-0x >()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞()()01g x g >=因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在01x <<()0f x '>1x >()0f x '<()f x (0,1)上单调递减，(1,)+∞于是得当时，，函数的值域是，1x =max 1()1e f x k =---()f x 1(,1]ek -∞---而函数恒有零点，当且仅当，解得，()ln e xf x x x x k -=---110e k ---≥11e k ≤--所以实数k 的取值范围是.1(,1]e -∞--故选：B【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合求解.二、填空题10．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.11．展开式中的常数项为__________.62x ⎫⎪⎭【答案】60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求得参数r 的值，即可求得答案.【详解】由题意的展开式的通项为 ，62x ⎫⎪⎭33621662C ()(2)C ,0,1,2,,6rr r r r rr T x r x --+=-=-= 令， 330,22rr -=∴=故展开式中的常数项为，62x ⎫⎪⎭2260C (2)6-=故答案为：6012．某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 【答案】16【分析】将符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项的方法，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项的方法，再根据分类加法原理求解.【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法，第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛，故第二类方法共有种，由分类加法原理可得共有16种方法.2322C ´´故答案为：16.13．函数在上的极大值为，极小值为，则__________. ()cos f x x x =+()0,πM N M N +=【分析】直接求导，再判断函数单调性，进而求出极值即可．【详解】因为，令，解得或， ()sin (0)f x x x π'<<()0f x '=3x π=23x π=当时，，单调递增；(0,)3x π∈()0f x '>()f x 当时，，单调递减； (,)33x π2π∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增， 2(,)3x ππ∈()0f x '>()f x所以极大值， ()cos 333M f πππ==+极小值， 222()cos 333N f πππ==+则， M N +=． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．14．一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率___．【答案】【详解】试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.【解析】条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15．已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不()f x R ()20f =0x >()()'0xf x f x +>等式的取值范围是_________ . ()0f x <【答案】()(),20,2-∞- 【分析】令，然后根据条件可得在上单调递增，然后可解出答案.()()g x xf x =()g x ()0,+∞【详解】令，则，()()g x xf x =()()()'g x xf x f x '=+因为当时，，所以在上单调递增，0x >()()'0xfx f x +>()g x ()0,+∞因为，所以，()20f =()20g =所以时，，所以，()0,2x ∈()()20g x g <=()0f x <因为为定义在上的奇函数，所以不等式的取值范围是 ()f x R ()0f x <()(),20,2-∞- 故答案为：()(),20,2-∞-三、解答题 16．已知函数. ()232xf x x a-=+(1)若，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =()()1,1f(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值. ()f x 4x =()f x ()f x []2,3x ∈-【答案】(1)，450x y +-=(2)的增区间是，，减区间是，在上最大值是1，最小值是()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-()f x [2,3]-． 313-【分析】（1）求出导函数，计算出，，由点斜式得直线方程并化简；()f x '(1)f '(1)f （2）求出，由求得，然后由得增区间，得减区间，从而可得()f x '(4)0f '=a ()0f x '>()0f x '<在上的单调性，求出极值区间端点处的函数值，比较可得最值．()f x [2,3]-【详解】（1）时，，则， 0a =232()x f x x -=24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，又，所以切线方程为，即，(1)4f '=-(1)1f =14(1)y x -=--450x y +-=（2），由题意，， 222262()()x x a f x x a --'=+232242(4)0(16)a f a --'==+4a =所以，， 232()4xf x x -=+222268()(4)x x f x x --'=+222(1)(4)(4x x x +-=+）或时，，时，，1x <->4x ()0f x '>14x -<<()0f x '<所以的增区间是，，减区间是，由此也说明满足题意． ()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-4a =时，在上递增，在上递减， [2,3]x ∈-()f x [2,1)--(1,3)-，又，， ()11f -=7(2)8f -=3(3)13f =-所以在上最大值是1，最小值是． ()f x [2,3]-313-17．某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为. 99100p =（2）X 的分布列为：X 的期望为.【分析】(1) A 中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X 表示参赛的男生人数，X 的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望. 【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3. P(X ＝1)＝，P(X ＝2)＝，P(X ＝3)＝.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.【解析】1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.18．已知函数，()()2ln ln f x x x a =+()0a >(1)设是的导函数.若对任意的恒成立，求的取值范围； ()f x '()f x ()21f x x '≤0x >a (2)设函数，当时，求在区间上的最大值和最小值. ()ln x h x x x =-1b >()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 0a <≤(2)最小值为，最大值为-11ln b b b--【分析】（1）先得出，化简分离参数得恒成立，构造函()()2ln ln 12f x a x x x++'=2ln 12ln a x x +≤-数，求导得出其最小值计算即可；()()2ln 0g x x x x =->（2）利用导数判定的单调性，再构造函数在和中判定最小值即可.()h x 1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 【详解】（1）由已知可得：，()()()()2ln ln 2ln ln f x x x a f x x x a x '=+⇒=++()0x >所以原不等式等价于()()2212ln 12l ln ln 1n f x a x x x xx a ++'=≤⇒+≤-令，则，令，即在上单调递增，()()2ln 0g x x x x =->()2x g x x -'=()02g x x '>⇒>()g x ()2,+∞，即在上单调递减，故 ()002g x x '<⇒<<()g x ()0,2()()222ln 2g x g ≥=-即2ln 122ln 20a a +≤-⇒<≤（2），令， ()()22ln 1ln x x x h x x h x x x --'=-⇒=()()21ln 0u x x x x =-->则，即在上单调递减，而()120u x x x'=--<()u x ()0,∞+()10u =故时，，即在上单调递增，同理可得在上单调递减. ()0,1x ∈()0h x '>()h x ()0,1()h x ()1,+∞当时，有，所以在区间上的最大值为，最小值在和1b >101b b <<<()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11h =-1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 中取最小即可.令，()()1H b h b h b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1b >则，即在上单调递增，故()()()22111ln ln 0b H b b b b H b b b b b -⎛⎫'=+-+⇒=> ⎪⎝⎭()H b ()1,+∞，所以＜，即在区间上的最小值为.()()10H b H >=1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b ()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11ln h b b b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭综上：在区间上的最小值为，最大值为-1.()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln b b b --19．设函数．()()2ln f x ax x a =--∈R (1)若在点处的切线斜率为，求a 的值；()f x ()()e,e f 1e(2)当时，求的单调区间；0a >()f x (3)若，求证：在时，．()e xg x ax =-0x >()()f x g x >【答案】(1) 2ea =(2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，分、()1e ef '=a ()()10ax f x x x-'=>0a ≤两种情况讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即0a >()e ln 20xh x x =-->可，利用不等式，即可证明.e 1x x >+ln 1≤-x x 【详解】（1）解：函数，则， ()()2lnf x ax x a =--∈R ()'1f x a x=-因为在点处的切线斜率为，()f x ()()e,e f 1e所以，解得.()11e e ef a =-='2e a =（2）由（1）知：， ()()'10ax f x x x-=>当时，恒成立，所以在上单调递减；0a ≤()'0f x <()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()'0f x <10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x >1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3），()()()2ln e e ln 2x xf xg x ax x ax x -=----=--令，则，()e 1xh x x =--()'e 1x h x =-因为，所以，0x >()'0h x >则在上单调递增，又，所以恒成立，即；()h x ()0,∞+()00h =()0h x >e 1x x >+令，，时，，时，，所以()ln 1H x x x =-+()'11H x x=-()0,1x ∈()'0H x >()1,x ∈+∞()'0H x <在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即()H x ()0,1()1,+∞()()max 10H x H ==()0H x ≤，ln 1≤-x x 所以，得证.()()()()e ln 21120xf xg x x x x -=-->+---=。
天津市天津一中年高二下册第二学期期中考试数学(文)试题及答案【精校】.doc
一、选择题：
1．复数
5 =
2+ i
A． 2- i
B． 2 +
1 i
55
C． 10- 5i
D
2．“ m 1”是“复数 z = (1+ mi)(1 + i) ( m R， i 为虚数单位 ) 为纯虚数”的
10 5 ．-i
33
A．充分非必要条件
2
∴ 3x -2ax+3-2a ≥ 0 在（ 0， +∞）上恒成立
即 a 3x2 3 对 x>0 恒成立 2x 2
3x2 3 3( x 1)2 6( x 1) 6 3
3
∵
( x 1)
3
2x 2
2( x 1)
2
x1
3 而 ( x 1)
3
3 2 (当且仅当 x
2
x1
2 1时 , 等号成立 )
∴a 3 2 3
3 ,-
2
1 ú
2ú?
15． (0,1)è( 2,3)
4． C 9． A
16． 1 2
三、解答题：
17．解析： （ 1） f ￠(x) = ex - 1= 0
x= 0
f (x) 在 (- ? ,0) 上单调减，在 (0,+ ? ) 上单调增
fmin (x ) = f (0) = 0
（
2）
x
e
-
1-
12 x= x
6
4
D．
π
π
3f( )< f( )
6
3
二、填空题： 11 ． 观 察 下 列 等 式 : 13 23 32,13 23 33 62 ,13 23 33 4 3 102 , …，根 据 上 述 规 律 , 第 五 个 等 式 为
天津市第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)
数学科试卷(理科)一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）A. []0,1- B ． []8,2 C.[]2,1 D ．[]2,02.函数)(x f 的定义域为(,)a b ，其导函数),()(b a x f 在'内 的图象如图所示，则函数)(x f 在区间(,)a b 内极小值点的个数是（ ）A. 4B.3C.2D.13.若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是( )4.已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．12- C. 1eD ．1e-5.函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数6.用反证法证明命题“若0,,,0abc a b c =则中至少有一个为”时，假设正确的是（ ） A.假设,,a b c 中只有一个为0； B. 假设,,a b c 都不为0； C.假设,,a b c 都为0； D. 假设,,a b c 不都为07.数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需增乘的代数式( ）A. 21k + B ．2(21)k +C.211k k ++ D ．231k k ++8.如图，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为上下两部分面积比为1：7，则k 的值为 ( ).A. 1 B 1- C ．0.5 D ． 0.49.函数3()log (3)(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间(1)-内单调递减， a 的取值范围是（ ）A ．[2)+∞，B ．(1, C ．2[,1)3 D ．2[,1)[2,)3+∞ 10.对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=K x f K K x f x f x f K )()()()(，，，其中函数xe x xf 1ln )(+=，恒有)()(x f x f K =，则 （ ） A ．K 的最大值为e 1 B ．K 的最小值为e1C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2 二、填空题（每小题4分，共24分）11. 计算：⎰＝________.12. 已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为 ．13.已知向量2(,1),(1,)a x x b x t =+=-，若函数()f x a b =⋅在区间)1,1(-上是增函数，则t 的取值范围是 .14. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长为 cm 时，其体积最大.15. 观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=__________.16．已知函数a x x a x f x ln )(2-+=，对任意的]10[21，、∈x x ,不等式1)()(21-≤-a x f x f 恒成立，则a 的取值范围为_______________．天津一中2014-2015-2高二年级期中检测数学科试卷（理科）答题纸二、填空题（每小题4分，共24分）11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：（共4题，46分）17．已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)如果函数()x g 的单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-1,31,求函数()x g 的解析式； (Ⅱ) 对任意()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.18．已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> (I)求()f x 在区间[1,e]上的最小值;(Ⅱ)若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点,求a 的取值范围.19. 已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和n S 满足22n n S a n =+()*n N ∈.（Ⅰ）求123a a a ，，的值；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法．．．．．．加以证明； （Ⅲ）设0x >，0y >，且1x y +=+≤.20. 已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(Ⅰ)确定a 与b 的关系； (Ⅱ)试讨论函数()g x 的单调性； (Ⅲ)证明：对任意n N *∈，都有211ln(1)ni i n i=-+>∑成立.。
天津市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试卷
2020-2021学年天津一中高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3，1）2．如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（）A．B．1C．2D．03．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y＝f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．4．（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）A．120B．210C．252D．455．已知f（x）＝x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．6．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）7．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．120B．26C．340D．4209．将二项式（+）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（）种．A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝，若g（x）＝f（x）﹣a（x+2）的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，）二、填空题：11．编号为1，2，3，4，5，6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法.（用数字作答）．12．若（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为．13．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．14．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c＝．15．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx，若f（x）在（0，）上是减函数，则a 的取值范围为．16．若函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围．三、解答题：17．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．18．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．19．设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．20．已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数）．参考答案一、选择题（共10小题）.1．函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）D．（﹣3，1）解：求导函数得：y′＝（﹣x2﹣2x+3）e x令y′＝（﹣x2﹣2x+3）e x＞0，可得x2+2x﹣3＜0∴﹣3＜x＜1∴函数y＝（3﹣x2）e x的单调递增区间是（﹣3，1）故选：D．2．如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝（）A．B．1C．2D．0解：f′（5）＝﹣1将x＝5代入切线方程得f（5）＝﹣5+8＝3，所以f（5）+f′（5）＝3+（﹣1）＝2，故选：C．3．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y＝f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据题意得f′（x）≥则曲线y＝f（x）上任一点的切线的斜率k＝tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选：B．4．（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）A．120B．210C．252D．45解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n＝10，即n＝5，又展开式的通项为＝，令5﹣＝0解得k＝6，所以展开式的常数项为＝210；故选：B．5．已知f（x）＝x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．解：由f（x）＝x2+sin＝x2+cos x，∴f′（x）＝x﹣sin x，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）＝﹣cos x，当﹣＜x＜时，cos x＞，∴f″（x）＜0，故函数y＝f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．6．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．7．已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．解：求导数可得f′（x）＝x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2＝0有两不等实根，即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3＝9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P＝故选：D．8．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．120B．26C．340D．420解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种；故选：D．9．将二项式（+）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（）种．A．B．C．D．解：设二项式（+）8的展开式的通项为T r+1，则T r+1＝••＝•，∵0≤r≤8，∴﹣6≤﹣≤0，﹣2≤4﹣≤4，又r∈Z，∴当r＝0，4，8时，4﹣∈Z，∴二项式（+）8的展开式中的所有有理式项共三项，依题意，6项非有理式项自由排列，有种方法，它们产生7个空位，让三项有理式项插空排列有中方法，由分步乘法计数原理得：有理式不相邻的排法有种方法，故选：C．10．已知函数f（x）＝，若g（x）＝f（x）﹣a（x+2）的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，）D．[，）解：∵g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，∴y＝f（x）与y＝a（x+2）有3个不同交点，作y＝f（x）与y＝a（x+2）的图象如下，易知直线y＝a（x+2）过定点A（﹣2，0），斜率为a．当直线y＝a（x+2）与y＝ln（x+2）相切时是一个临界状态，设切点为（x0，y0），则，解得，x0＝e﹣2，a＝，又函数过点B（2，ln4），k AB＝＝，故≤a＜．故选：C．二、填空题：11．编号为1，2，3，4，5，6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法240.（用数字作答）．解：把3，4号同学看作一个元素，和其他4位同学进行排列，则共有A A＝240，故答案为：240．12．若（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2．解：∵（x2+1）（2x+1）9＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x＝﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2＝a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11＝﹣2故答案为：﹣213．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）．解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43＝144种不同的放法．故答案为144．14．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c＝6．解：∵f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c）＝3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，∴f′（2）＝0，即c2﹣8c+12＝0，解得c＝6或2．经检验c＝2时，函数f（x）在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6．故答案为6．15．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+1﹣lnx，若f（x）在（0，）上是减函数，则a 的取值范围为（﹣∞，3]．解：∵f（x）在（0，）上是减函数，∴f′（x）＜0在（0，）上恒成立．由f′（x）＝﹣2x+a﹣＝＜0，得﹣2x2+ax﹣1＜0，得a＜2x+．令g（x）＝2x+，0，则g′（x）＝2﹣，当0＜x＜时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，∴g（x）＞g（）＝3，∴a≤3．故答案为：（﹣∞，3]．16．若函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围[1，）．解：求导函数可得（x＞0），令f′（x）＝0，可得x＝∵函数在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴∴1≤k＜∴实数k的取值范围[1，）故答案为：[1，）三、解答题：17．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）由已知，有P（A）＝，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X1234P随机变量X的数学期望E（X）＝．18．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P＝＝（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝∴ξ的分布列是：ξ123P∴Eξ＝19．设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若函数，讨论g（x）的单调性．解：（Ⅰ）因f（x）＝ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）＝2ax+b又f（x）在x＝0处取得极值，故f'（0）＝0，从而b＝0，由曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1＝0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'（1）＝2，有2a＝2，从而a＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）知：、令g'（x）＝0，有x2﹣2x+k＝0（1）当△＝4﹣4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g （x）在R上为增函数（2）当△＝4﹣4k＝0，即当k＝1时，，k＝1时，g（x）在R上为增函数（3）△＝4﹣4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等实根当时g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数当时，g'（x）＜0，故g（x）在上为减函数当时，g'（x）＞0，故g（x）在上为增函数20．已知函数f（x）＝ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数）．解：（Ⅰ）当a＝﹣时，f（x）＝﹣x2+ln（x+1）（x＞﹣1），f′（x）＝﹣x+＝﹣（x＞﹣1），由f'（x）＞0，解得﹣1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）＝ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．由g′（x）＝2ax+﹣1＝，（ⅰ）当a＝0时，g′（x）＝，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）＝0成立．（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）＝＝0，因x∈[0，+∞），所以x＝﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当a＜0时，g′（x）＝，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g'（x）≤0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）＝0成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a＝0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，又＝2（﹣），∵ln{（1+）（1+）（1+）•…•[1+]}＝ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln[1+]＜+++…+＝2[（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2[（﹣）]＜1，∴（1+）（1+）（1+）•…•[1+]＜e．。
2020-2021学年天津一中高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年天津一中高二下学期期中数学复习卷1一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）(a,b∈R)与(2−i)2互为共轭复数，则a−b=()1.i为虚数单位，若a+biiA. 1B. −1C. 7D. −72.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)=xlnx−x的图象上的动点，该曲线在点P处的的范围是()切线l交y轴于点M(0,y M)，过点P作l的垂线交y轴于点N(0,y N).则y N yMA. (−∞,−1]∪[3,+∞)B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,−3]3.已知函数f(x)=e sinx−x，现给出如下四个结论：①f(x)是奇函数；②f(x)是偶函数；③f(x)在R上是增函数；④f(x)在R上是减函数．其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3)=2e，则f(x)()4.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且xf(x)+x2f′(x)=e2x，f(12A. 在定义域上单调递减B. 在定义域上单调递增C. 在定义域上有极大值D. 在定义域上有极小值n(n−3)条时，第一步验证n等于()5.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12A. 1B. 2C. 3D. 06.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.曲线y=x3−x+2在点(1,2)处的切线方程为()A. y=2xB. y=x+1C. y=2x+1D. y=−2x+48. 如图所示是的导数的图像，下列四个结论：①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极小值点．其中正确的结论是A. ①②③B. ②③C. ③④D. ①③④9. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)的可导函数，f′(x)为其导函数，当x >0且x ≠1时，2f(x)+xf′(x)x−1>0，若曲线y =f(x)在x =1处的切线的斜率为−1，则f(1)=( )A. −12B. 0C. 12D. 110. 已知函数f(x)={lnx,x >12−x+1,x ≤1，若方程f(x)−ax =52有3个不同的解，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−52]B. (−52,−32]C. [−52,−32]D. (−32,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，则f′(1)= ______ ． 12. ∫(e1x 2+1x )dx = ______ ．13. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a[x 2+(1−a)x −a](a ≠0)，若函数f(x)在x =a 处取到极大值，则实数a 的取值范围是______ ．14. 由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R 2”按类比推理关于球的相应命题为“半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”据此可求得此最大值为______． 15. 函数在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_____16.已知f(x)=xlnx−ax，若∀x1∈[e,e2]，∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.用数学归纳法证明：1√2√3+⋯√n<2√n(n∈N+).18.设函数f(x)=12x2−3ln(x+2)(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[1e−2,e−2]的最大值和最小值．19.函数f(x)=13x3−4x+4．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)设函数g(x)=x+m，对∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+1．(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)在点(−2,f(−2))处的切线方程．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．解：∵a+bii =(a+bi)(−i)−i=b−ai，(2−i)2=4−4i−1=3−4i，又a+bii(a,b∈R)与(2−i)2互为共轭复数，∴b=3，a=−4，则a−b=−7．故选：D．2.答案：A解析：解：设P(a,alna−a)，则∵f(x)=xlnx−x，∴f′(x)=lnx，∴曲线在点P处的切线l的方程为y−alna+a=lna(x−a)，即y=−a+xlna．令x=0，可得y M=−a，过点P作l的垂线的方程为y−alna+a=−1lna(x−a)，令x=0，可得y N=alna−a+alna，∴y Ny M =−lna+1−1lna，∵lna+1lna ≥2或lna+1lna≤−2，∴−(lna+1lna )≤−2或−(lna+1lna)≥2，∴y Ny M =−lna+1−1lna的范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)．故选A．设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x−0，可得y M =−a ，y N =alna −a +a lna，进而可求y Ny M=−lna +1−1lna ，利用基本不等式，即可求出yN y M的范围．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，属于中档题．3.答案：B解析：解：f(−x)=1e sinx−x ；显然f(−x)≠−f(x)，f(−x)≠f(x)； ∴f(x)为非奇非偶函数； f′(x)=(cosx −1)⋅e sinx−x ； cosx ≤1，∴f′(x)≤0； ∴f(x)在R 上为减函数；∴只有④正确，即正确结论的个数为1． 故选B ． 分析：根据奇函数，偶函数的定义，求出f(−x)，判断f(−x)和f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性，而求f′(x)，根据其符号即可判断f(x)在R 上的单调性，从而求出正确结论的个数．考查奇函数，偶函数的定义，以及判断奇偶性的方法，根据函数导数符号判断函数单调性的方法．4.答案：B解析：解：由条件有f(x)+xf′(x)=e 2x x；设g(x)=xf(x)，则 g′(x)=f(x)+xf′(x)=e 2x x；∴f(x)=g(x)x，则 f′(x)=xg′(x)−g(x)x 2=e 2x −g(x)x 2；设 ℎ(x)=e 2x −g(x)，则 ℎ′(x)=2e 2x −g′(x)=2e 2x −e 2x x=e 2x (2−1x)；所以ℎ(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增； 所以ℎ(x)>ℎ(12)=0； 则f′(x)>0； 所以f(x)在定义域上单调递增； 故选：B ．由条件构造g(x)=xf(x)，则f(x)=g(x)，求导讨论f(x)的单调性；在这个过程中将分子看成一个整x体，求导讨论其单调性，分析其符号．本题构造抽象函数求导讨论单调性，变形技巧要求较高，难度较大．5.答案：C解析：解：多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n等于3．故选：C．数学归纳法第一步应验证n的最小值时，命题是否成立．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立6.答案：C解析：本题主要考查导数的应用，熟悉导数求函数最值的步骤是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题．解：当时，当时，所以函数在区间时，有极小值又由解得所以函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是，故选C．7.答案：A解析：解：由y=x3−x+2，得y′=3x2−1，∴y′|x=1=3×12−1=2．∴曲线y=x3−x+2在点(1,2)处的切线方程为y−2=2×(x−1)．即y=2x．故选：A．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．8.答案：B解析：试题分析：由导函数图象可知：①在区间上是先减再增；②在左侧是减函数，右侧是增函数，所以是的极小值点；③在区间上是减函数，在区间上是增函数；④是的极大值点；故②③正确．考点：导函数的应用．9.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=x2f(x)，讨论x>1，0<x<1时，g(x)的单调区间和极值点，可得g′(1)=0，即有2f(1)+ f′(1)=0，由f′(1)=−1，即可得出．>0，解：当x>0且x≠1时，2f(x)+xf′(x)x−1可得x >1时，2f(x)+xf ′(x)>0； 0<x <1时，2f(x)+xf ′(x)<0， 令g(x)=x 2f(x)，x ∈(0,+∞)，∴g ′(x)=2xf(x)+x 2f ′(x)=x[2f(x)+xf ′(x)]，可得：x >1时，g ′(x)>0；0<x <1时，g ′(x)<0， 可得函数g(x)在x =1处取得极值， ∴g ′(1)=2f(1)+f ′(1)=0， 由f ′(1)=−1， 可得f(1)=12， 故选C ．10.答案：B解析：解：f(x)的图象如图所示，方程f(x)−ax =52有3个不同的解，即f(x)=ax +52有3个不同的解，等价于y =f(x)与y =ax +52的图象有3个不同的交点， 因为直线y =ax +52恒过(0, 52)，所以满足条件的直线应在图中的l 1与l 2之间，斜率分别是k 1=52−10−1=−32，k 2=52−00−1=−52，故a ∈(−52, −32],故选B ．方程f(x)−ax =52有3个不同的解，即f(x)=ax +52有3个不同的解，等价于y =f(x)与y =ax +52的图象有3个不同的交点，因为直线y =ax +52恒过(0, 52)，所以满足条件的直线应在图中的l 1与l 2之间，求出斜率，即可得出结论．本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．11.答案：1解析：解：f(x)=x⋅lnx，求导f′(x)=lnx+x×1x=lnx+1，∴f′(1)=1，故答案为：1．根据求导法则可知：f′(x)=lnx+x×1x=lnx+1，将x=1时，即可求得f′(1)．本题考查导数的运算，考查导数的运算法则，属于基础题．12.答案：13e3+23解析：解：∫(e1x2+1x)dx=(13x3+lnx)|1e=(13e3+lne)−(13+ln1)=13e3+23．故答案为：13e3+23．直接利用定积分运算法则求解即可．本题考查定积分的运算，微积分基本定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．13.答案：(−1,0)解析：解：由题意得，f′(x)=a[x2+(1−a)x−a]=a(x+1)(x−a)，∵f(x)在x=a处取到极大值，∴必有x<a时，f′(x)>0，且x>a时，f′(x)<0，(1)当a>0时，当−1<x<a时，f′(x)<0，当x>a时，f′(x)>0，则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；(2)当a=0时，函数f(x)无极值，不符合题意；(3)当−1<a<0时，当−1<x<a时，f′(x)>0，当x>a时，f′(x)<0，则f(x)在x=a处取到极大值，符合题意；(4)当a=−1时，f′(x)≤0，函数f(x)无极值，不符合题意；(5)当a<−1时，当x<a时，f′(x)<0，当a<x<−1时，f′(x)>0，则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述−1<a<0，故答案为：(−1,0)．先对f′(x)进行因式分解，再讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，确定是否在x=a处取到极大值，即可求出实数a的取值范围．本题考查了函数在某点取得极值的条件，以及导数与函数的单调性、极值的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．14.答案：8√3R39解析：解：设半径为R的圆的内接矩形的长，宽分别为：2a，2b，则有a2+b2=R2，又矩形的面积为4ab，由不等式的性质有ab≤a2+b22=R22，(当且仅当a=b时取等号)即“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”，类比推理关于球的相应命题为“半径为R的球的内接长方体中，设半径为R的球的内接长方体的长，宽，高分别为：2a，2b，2c，则a2+b2+c2=R2，内接长方体的体积为8abc，由不等式的性质有a2b2c2≤(a2+b2+c23)33=R627，(当且仅当a=b=c时取等号)，即“半径为R的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，”且最大值为8√3R39，故答案为：8√3R39由圆中有关问题类比推理到球中有关问题，结合重要不等式及取等条件可得解．本题考查了类比推理能力及重要不等式及取等条件，属中档题．15.答案：−37解析：试题分析：函数导数，得，最小值考点：函数在某一闭区间上的最值点评：函数在某一闭区间上的最大值最小值会出现在区间的端点处或极值点处16.答案：[4e−14e,+∞)解析：解：若∀x1∈[e,e2]，∃x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤f′(x)max+a”，当x∈[e,e2]时，lnx∈[1,2]，1lnx ∈[12,1]，f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2=−(1lnx−12)2+14−a，f′(x)max+a=14，问题等价于：“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤14”，①当−a≤−14，即a≥14时，f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2=−(1lnx−12)2+14−a<0，f(x)在[e,e2]上为减函数，则f(x)max=f(e)=e−ae=e(1−a)≤14，∴a≥1−14e =4e−14e，②当−14<−a<0，即0<a<14时，∵x∈[e,e2]，∴1lnx∈[12,1]，∵f′(x)=−a+lnx−1(lnx)2，由复合函数的单调性知f′(x)在[e,e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈(e,e2)，使f′(x0)=0且满足：f(x)在[e,x0)递减，在(x0,e2]递增，f(x)max=f(e)或f(e2)，而f(e2)=e22−ae2，故e22−ae2≤14，解得：a≥12−14e2，综上，实数a的取值范围为[4e−14e,+∞)，故答案为：[4e−14e,+∞)．问题等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)max≤f′(x)max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a的取值范围．本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．17.答案：证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(3分)(2)假设n=k时不等式成立，即1√2√3+⋯√k<2√k，…(5分)则当n=k+1时，1+√2√3+⋯√k√k+1<2√k+√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…(10分)即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…(12分)解析：直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．18.答案：解：(1)f(x)=12x2−3ln(x+2)，则其定义域为(−2,+∞)∴f′(x)=x−3x+2=x2+2x−3x+2，令f′(x)=0，解的x=1或x=−3(舍去)，当f′(x)>0时，即x>1时，函数单调递增，当f′(x)<0时，即−2<x<1时，函数单调递减，故f(x)在(−2,1)上单调递减，在(1,+∞)单调递增；(2)∵0<e−2<1，−2<1e−2<−1，由(1)可知，函数f(x)在[1e−2,e−2]单调递减，∴f(x)max=f(1e−2)=12(1e−2)2−3ln(1e−2+2)=12(1e−2)2+3，f(x)min=f(e−2)=12(e−2)2−3ln(e−2+2)=12(e−2)2−3．解析：(1)先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出；(2)由(1)可知，函数f(x)在[1e−2,e−2]单调递减，即可求出函数的最值．本题考查了函数的单调性和导数的关系，以及利用单调性求函数的最值，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=13x3−4x+4，所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，(1分)令f′(x)=0，解得x=−2，或x=2，列表讨论，得：(4分)故当x=−2时，f(x)有极大值，极大值为283，(5分)当x=2时，f(x)有极小值，极小值为−43.(6分)(Ⅱ)因为∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x)min≥g(x)max即可．(7分)由(Ⅰ)知：函数f(x)在区间[0,3]上的最小值f(x)min=f(2)=−43，(9分)函数g(x)在区间[0,3]上的最大值g(x)max=g(3)=m+3，(11分)由f(x)min≥g(x)max，即m+3≤−43，解得m≤−133，故实数m的取值范围是(−∞,−133].(12分)解析：(Ⅰ)由已知得f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0，解得x=−2，或x=2，列表讨论，能求出函数f(x)的极值．(Ⅱ)因为∀x1，x2∈[0,3]，都有f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x)min≥g(x)max即可，由此能求出实数m的取值范围．本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20.答案：解：(1)函数f(x)=−x3+3x2+9x+1的导数为f′(x)=−3x2+6x+9，令f′(x)<0，解得x<−1，或x>3，可得函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(3,+∞)；(2)f′(x)=−3x2+6x+9，可得f(x)在点(−2,f(−2))处的切线斜率为k=−3×4−12+9=−15，切点为(−2,3)，即有f(x)在点(−2,f(−2))处的切线方程为y−3=−15(x+2)，即为15x+y+27=0．解析：(1)求得f(x)的导数，再令导数小于0，解不等式即可得到所求区间；(2)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于中档题．。
天津一中09-10学年高二下学期期中检测试卷(数学理)
天津一中09-10学年高二下学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1. 命题“对任意的3210x x x ∈-+≤R ，”的否定是（ ）．A ．不存在3210R x x x ∈-+≤，B ．存在3210R x x x ∈-+≤，C ．存在3210R x x x ∈-+>，D ．对任意的3210R x x x ∈-+>， 2. 函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）.A. )2,(-∞B. ),2(+∞C.(1,4)D. (0,3)3. 曲线2x y e =在点()24e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）．A ．292eB ．24eC ．22eD ．2e4. 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时()()00f x g x ''>>，，则0x <时（ ）．A ．()()00f x g x ''>>，B ．()()00f x g x ''><，C ．()()00f x g x ''<>，D ．()()00f x g x ''<<， 5. 设a b <,函数2()()y x a x b =--的图象可能是（ ）.6. 已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程是 （ ）.A ．12-=x yB ．x y =C ．23-=x yD ．32+-=x y7. 若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）. A.32 B. 1 C. 2 D.129. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-*()n N ∈，从“n k =到1n k =+”，左端需增乘的代数式为 ( ).A. 231k k ++B. 211k k ++ C. 21k + D. 2(21)k + 10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
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天津市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。
第 I 卷第 1 页，第 II 卷第 2 页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!
一．选择题
第 I 卷
1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有
A．420 人B．480 人C．840 人D．960 人
2．函数 f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．无数个
3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于 x 的回归方程为yˆ= 0.7x +a ，则在这些样本中任取一点，该点落
在回
归直线下方的概率为
A．B．
4 2C．D．0 4
4．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是
A．频率分布直方图中 a 的值为 0.040
B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3
C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分
D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，
110）的频数相等
5．若A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则A、B 两位同学至少有一人站在两端的
概率是
1 3 3 7 A．B．C．D．
5 10 5 10
⎩
6．函数 f ( x ) = sin x ln( x + 2) 的图象可能是
A. B.
C.
D.
7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A ，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK ，比赛四局．除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为
2 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为 3
16 52 A ． B ． 27 81 ⎧ 20 7 C ． D ． 27 9
0 , 0 < x ≤ 1 8．函数 f ( x ) = | ln x |, g ( x ) = | x 2 4 | 2, x ，若关于 x 的方程 f (x ) + m = g (x ) 恰有 1 ⎨ - - > 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是 A ． [0, ln 2] B ． (-2 - ln 2, 0] C ． (-2 - ln 2, 0)
D ． [0, 2 + ln 2)
二．填空题
第 II 卷
9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m ，则方程 mx 2+y 2＝1 表示的是双曲线的概率
为 ．
10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+n ＝10（m ≥n ），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX ＝2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p ＝
11．已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a ) 相切，则 a 的值为
12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据
落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 ．
13．函数 f （x ）＝e x ﹣3x+2 的单调增区间为 ．
14．已知函数f（x）＝ax+lnx，若f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值范围为．。