名师面对面数学高考一轮总复习理科课件：第5章数列 第3讲
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高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件 文 北师大版
【解析】 设数列{an}的公比为 q，由已知条件可得
aa121＋ q3＝a1q83，＝9，
a1＝8， 解得q＝12
或aq1＝＝21，，
因为{an}是递增的等比数列，所以aq1＝＝21。， 所以{an}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 Sn＝2n－1。
(2)已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，
解析 ∵an＋1＝2an，即aan＋n1＝2， ∴{an}是以 2 为公比的等比数列。 又 a1＝2，∴Sn＝211－－22n＝126。
∴2n＝64。∴n＝6。
R 热点命题 深度剖析
考点一 等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝ 9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于_2_n_－__1___。
(ห้องสมุดไป่ตู้)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_G____叫做a与b的等比 中项。即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒_G_2＝__a_b_____。
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_q_n_－_1 ______。
_n_a_1，q＝1， (2)前 n 项和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1。
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
等
比
数
列
{an}
为
递
增
数
列
的
充
要
条
件
为
a1>0， q>1
或
a01<<q0<，1。 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件。
高三理科数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列课件
an=Sn-Sn-1=bn+r-bn-1-r=(b-1)bn-1,
由于 an 为等比数列,a1=b+r 也适合上式,因此 a1=(b-1)·b0=b+r,解得 r=-1,故 r 的值是-1.
9
考点 1 等比数列的基本量的运算
典例 1 (1)(2016·辽宁五校联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,12a3,a1 成
������������1 (������ = 1),
(2)求和:利用条件求出首项 a1 与末项 an,再利用公式 Sn= ������1(1-������������)
1-������
(������ ≠ 1)求解,但要注意
对 q 的分类讨论.
13
【变式训练】
1.(2015·广东仲元中学月考)若等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a·3n-2,则 a2=
1,
又S3
=
a1
+
a2
+
a3
=
1 q2
+
1 q
+
1
=
7,
得到
6q2
−
q
−
1
=
0,
解得
q
=
1 2
或
q
=
−
1 3
(舍),
所以a������
=
a3
×
q������ −3
=
【参考答案】 B
1 2
n-3
, 则a1
=
4, S5
=
4
1-215 1-12
= 341.
18
【变式训练】
已知数列{an}是等比数列,且 Sm=15,S2m=40,则 S3m=
高考数学一轮复习第五章数列53等比数列课件文aa高三全册数学课件
【变式训练】 已知数列{an}的首项 a1>0，an＋1＝2a3na＋n 1(n∈N*)，且 a1
＝23。
(1)求证：a1n－1是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列a1n的前
解
(1) 记
bn
＝
1 an
n 项和 Tn。
－
1
，
则
bn＋1 bn
＝
an1＋1－1 a1n－1
＝
2a3na＋n 1－1 a1n－1
2021/12/11
第二十页，共四十七页。
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中 有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可 迎刃而解。
2．等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时， {an}的前 n 项和 Sn＝na1；当 q≠1 时，{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq。
n，a＝1， 答案 a11－－aan，a≠0，a≠1
2021/12/11
第十六页，共四十七页。
7．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a10a11＋a9a12＝2e5，则 lna1＋lna2 ＋…＋lna20＝________。
解析 因为数列{an}为等比数列，且 a10a11＋a9a12＝2e5，所以 a10a11＋ a9a12 ＝ 2a10a11 ＝ 2e5 ， 所 以 a10a11 ＝ e5 ， 所 以 lna1 ＋ lna2 ＋ … ＋ lna20 ＝ ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。
＝
2an＋1－3an 3－3an
一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各
年高三一轮总复习理科数学课件51数列的概念与简单表示法
(2)已知数列{an}满足 a1＝0，an＋1＝ a3n－an＋31(n∈N*)，则 a2 017 等于________．
33
【解析】 (1)解法一：因为 an＝3nn＋－116，所以数列{an}的最小项必为 an<0，即
n＋1 3n－16<0.
3n－16<0，从而
16 n< 3 .
∴当 n 取最大值 5 时，an 的值最小．
28
典型的递推数列及处理方法
29
[自 主 演 练] 根据下列条件，求数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝12，an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)． 解：(1)由题意知 an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝11－－22n ＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
19
[自 主 演 练]
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝( )
A．2n－1
B．32n－1
C.23n－1
D．2n1－1
20
解析：解法一：由已知 Sn＝2an＋1，得 Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即 2Sn＋1＝3Sn，SSn＋n 1＝32， 而 S1＝a1＝1，所以 Sn＝32n－1.故选 B.
30
(2)因为 an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)， 所以当 n≥2 时，aan－n 1＝nn－ ＋11， 所以aan－n 1＝nn－ ＋11，aann－ －12＝n－n 2，…，aa32＝42，aa21＝13， 以上 n－1 个式子相乘得aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21＝nn－ ＋11·n－n 2·…·24·13，
33
【解析】 (1)解法一：因为 an＝3nn＋－116，所以数列{an}的最小项必为 an<0，即
n＋1 3n－16<0.
3n－16<0，从而
16 n< 3 .
∴当 n 取最大值 5 时，an 的值最小．
28
典型的递推数列及处理方法
29
[自 主 演 练] 根据下列条件，求数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝12，an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)． 解：(1)由题意知 an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝11－－22n ＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
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[自 主 演 练]
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn＝( )
A．2n－1
B．32n－1
C.23n－1
D．2n1－1
20
解析：解法一：由已知 Sn＝2an＋1，得 Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即 2Sn＋1＝3Sn，SSn＋n 1＝32， 而 S1＝a1＝1，所以 Sn＝32n－1.故选 B.
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(2)因为 an＝nn－ ＋11an－1(n≥2)， 所以当 n≥2 时，aan－n 1＝nn－ ＋11， 所以aan－n 1＝nn－ ＋11，aann－ －12＝n－n 2，…，aa32＝42，aa21＝13， 以上 n－1 个式子相乘得aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21＝nn－ ＋11·n－n 2·…·24·13，
高考数学一轮复习 数列的求和 理优秀PPT
高考考点总 3 复裂习项数相3学消a（法n理＋求科和3）n＋31n－＋12n＋1－2n－an－3n 2n＝1,
考点3 裂项相消法求和
∴{b }为等差数列．又 b ＝0，∴b ＝n－1. 高考总复习数学（理科）
掌高握考等 数差学数一列轮、复等习比数数n列列的的求前和n课项件和公理式，能把某些不是等1差和等比数列的求n和问题转化为等差、等比数列来解决；
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝25(12＋22＋…＋n2)－32(1＋2＋…＋n)＝
52·n（n＋1）6（2n＋1）－32·n（n2＋1）＝16n(n＋1)(5n－2)．
考点探究
高考总复习数学（理科）
高考总复习数学（点理科评） ：通过对原数列通项结构特点的分析研究，将数列分解为若
考点1 分组后，可用公式求和 掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；
考点探究
①当
x≠±1
时
，
Sn
＝
x2（x2n－1） x2－1
＋
x－2（x－2n－1） x－2－1
＋
2n
＝
（x2n－x2n1（）x（2－x21n）＋2＋1）＋2n；
②当 x＝±1 时，Sn＝4n. (3)∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)] ＝k[（2k－1）2＋（3k－2）]＝52k2－32k，
高考数学一轮复习 数 列的求和课件 理
高考总复习数学（理科）
第五章 数 列
第五节 数列的求和
考纲要求
掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是 等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决； 掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法， 并能灵活地运用这些方法解决相应问题．
高考数学一轮总复习第五章数列5数列的热点问题课件高三全册数学课件
第二十页，共二十七页。
考点四 数列中的新定义问题 【例 4】 若数列{an}满足an1＋1－a1n＝d(n∈N*，d 为常数)，则称数 列{an}为“调和数列”，已知正项数列b1n为“调和数列”，且 b1＋b2
＋…＋b2 019＝20 190，则 b2b2 018 的最大值是___1_0_0___．
第十五页，共二十七页。
考点三 数列中的数阵问题 【例 3】 观察如图所示的数表：
2 46 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……
设 2 018 是该数表第 m 行第 n 列的数，则 mn＝__4__9_8_0__.
第十六页，共二十七页。
【解析】 第 1 行有 1 个偶数，第 2 行有 2 个偶数，第 3 行 有 22 个偶数，以此类推，第 n 行有 2n－1 个偶数，∴前 n 行共有 1 ＋2＋22＋…＋2n－1＝11－－22n＝2n－1(个)偶数，第 n 行最后一个偶数 是(2n－1)×2＝2n＋1－2，令 2n＋1－2≥2 018，得 2n＋1≥2 020，∴ 2n≥1 010，∴n≥10，∴第 10 行最后一个数是 2 046，第 10 行有 512 个偶数，∴2 018 是第 10 行第 498 列的数，∴m＝10，n＝498， ∴mn＝4 980.
第二十七页，共二十七页。
第四页，共二十七页。
(2)∵(3n－5)·2n·m≥6n2－31n＋35(n≥2，n∈N*)恒成立， ∴m≥6n23－n－315n＋·2n35＝3n－3n5－52n·2－n 7＝2n2－n 7，即 m≥2n2－n 7对 任意 n≥2，n∈N*恒成立．
设 kn＝2n2－n 7，则 kn＋1－kn＝22nn－＋15－2n2－n 7＝92－n＋21n， 当 n≤4 时，kn＋1>kn； 当 n≥5 时，kn＋1<kn. ∴(kn)max＝k5＝235＝332，∴m≥332.
考点四 数列中的新定义问题 【例 4】 若数列{an}满足an1＋1－a1n＝d(n∈N*，d 为常数)，则称数 列{an}为“调和数列”，已知正项数列b1n为“调和数列”，且 b1＋b2
＋…＋b2 019＝20 190，则 b2b2 018 的最大值是___1_0_0___．
第十五页，共二十七页。
考点三 数列中的数阵问题 【例 3】 观察如图所示的数表：
2 46 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 ……
设 2 018 是该数表第 m 行第 n 列的数，则 mn＝__4__9_8_0__.
第十六页，共二十七页。
【解析】 第 1 行有 1 个偶数，第 2 行有 2 个偶数，第 3 行 有 22 个偶数，以此类推，第 n 行有 2n－1 个偶数，∴前 n 行共有 1 ＋2＋22＋…＋2n－1＝11－－22n＝2n－1(个)偶数，第 n 行最后一个偶数 是(2n－1)×2＝2n＋1－2，令 2n＋1－2≥2 018，得 2n＋1≥2 020，∴ 2n≥1 010，∴n≥10，∴第 10 行最后一个数是 2 046，第 10 行有 512 个偶数，∴2 018 是第 10 行第 498 列的数，∴m＝10，n＝498， ∴mn＝4 980.
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第四页，共二十七页。
(2)∵(3n－5)·2n·m≥6n2－31n＋35(n≥2，n∈N*)恒成立， ∴m≥6n23－n－315n＋·2n35＝3n－3n5－52n·2－n 7＝2n2－n 7，即 m≥2n2－n 7对 任意 n≥2，n∈N*恒成立．
设 kn＝2n2－n 7，则 kn＋1－kn＝22nn－＋15－2n2－n 7＝92－n＋21n， 当 n≤4 时，kn＋1>kn； 当 n≥5 时，kn＋1<kn. ∴(kn)max＝k5＝235＝332，∴m≥332.
高考数学一轮复习第五章数列3等比数列课件理高三全册数学课件
2021/12/11
第二十八页，共四十一页。
(2)由(1)知 an＝2n－1，所以 n(an＋1)＝n×2n， Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n①， 2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1②， ①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝211－－22n－ n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.所以 Tn＝(n－1)2n＋1 ＋2.
(1)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比
数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．( × )
2021/12/11
第十八页，共四十一页。
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列 中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程 组便可迎刃而解.
2021/12/11
第十九页，共四十一页。
(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和．已知 a2a4
等于12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( D )
3 A. 2f
3 B.
22f
12 C.
25f
12 D.
27f
2021/12/11
第十一页，共四十一页。
解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单 音的频率的比都等于12 2，第一个单音的频率为 f，由等比数列 的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为 f，公比为12 2 的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为 a8＝f(12 2)8－1＝ 12 27f，故选 D.
2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第3讲 等比数列【课件】
√
2.已知数列 满足 ， ，设 .
（1）证明：数列 是等比数列；
解：证明：当 时， ，则 .由 ，得 ，即 ,又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）求 Hale Waihona Puke .解： 由（1）得 ，所以 .
已知数列 满足 ， ，设 .
考点三 等比数列的性质及应用（多维探究）
2
解析：由题意，得 解得 所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 等比数列的基本量运算（自主练透）
1.(2022·高考全国卷乙)已知等比数列 的前3项和为168， ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.设等比数列 的首项为 ,公比为 ，由题意可得 即 解得 所以 ,故选D.
第3讲 等比数列
课标要求
考情分析
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 项和公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点考法：高考以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前 项和为考查重点，将等比数列的通项、前 项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查，题目以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模
[注意] （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
【对点训练】
1.(2023·广东广州高三阶段训练)已知数列 满足 ，若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由 可知，数列 为等比数列，则 ,设 的公比为 ,因为 ,且 ，所以 ，所以 .故选C.
2.已知数列 满足 ， ，设 .
（1）证明：数列 是等比数列；
解：证明：当 时， ，则 .由 ，得 ，即 ,又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）求 Hale Waihona Puke .解： 由（1）得 ，所以 .
已知数列 满足 ， ，设 .
考点三 等比数列的性质及应用（多维探究）
2
解析：由题意，得 解得 所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 等比数列的基本量运算（自主练透）
1.(2022·高考全国卷乙)已知等比数列 的前3项和为168， ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.设等比数列 的首项为 ,公比为 ，由题意可得 即 解得 所以 ,故选D.
第3讲 等比数列
课标要求
考情分析
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 项和公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
考点考法：高考以等比数列的通项公式及其性质、等比数列的前 项和为考查重点，将等比数列的通项、前 项和及性质综合考查，此外，还可能会与等差数列综合考查，题目以客观题或解答题的形式呈现，属中档题型.核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模
[注意] （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法；（2）如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
【对点训练】
1.(2023·广东广州高三阶段训练)已知数列 满足 ，若 , ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由 可知，数列 为等比数列，则 ,设 的公比为 ,因为 ,且 ，所以 ，所以 .故选C.
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第五章 数 列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
6．等比数列的单调性 (1)若 (2)若
q>1，则{an}是递 增 数列， a1>0， 0<q<1，则{an}是递 减 数列；
减 数列， q>1，则{an}是递 a1<0， 0<q<1，则{an}是递 增 数列；
摆动 数列． (3)若 q<0，则{an}是______
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
7．等比数列中的数学思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，
一般是“知三求二”，通过方程(组)求关键量a1和q，问题可迎 刃而解； (2)数形结合思想：将等比数列的通项公式和前 n 项和公式 与指数型函数对比； (3)分类讨论思想：求等比数列的前 n项和时，要分q＝1和 q≠1的情况讨论； (4)累乘法(通项公式推导法)；
a 解得 q ＝6＝ ＝(－1)(1－43)＝63. 1－q
第五章 数 列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
5．(2014年广东)等比数列{an}的各项均为正数且a1a5＝4， 则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】5
特别提醒：若数列{an}为等比数列，则通项公式可以写成
关于 n 的指数型函数形式： an ＝ aqn(a ， q 是非零常数 ) ，反之亦 然．
第五章
数
列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
3．等比数列的前 n 项和公式 Sn＝a1＋a2＋„＋an. na1q＝1， Sn＝ a11－qn 1－q
(5) 错位相消法 ( 前 n 项和公式的推导方法 ) ，适用于由一个
等差数列乘以一个等比数列的求和情况，具体做法是Sn－qSn.
第五章 数 列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
1 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4，则公比 q＝( 1 A．－2 C．2
【答案】D
a5 1 1 【解析】由题意知 q ＝a ＝8，∴q＝2，故选 D． 2
2
×2＝n(n＋1)．
第五章 数 列
高三一轮总复习 ·数学(理科)
4．(2014年全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3， S4＝15，则S6＝( )
A．31
C．63 【答案】C
B．32
D．64
【解析】 设等比数列{an}的首项为 a， 公比为 q， 易知 q≠1，
2 a 1 － q ＝3， 1－q 根据题意可得 4 a 1 － q ＝15， 1 － q
第五章 数 列
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3．(2014 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4， a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( A．n(n＋1) nn＋1 C． 2 B．n(n－1) nn－1 D． 2 )
【答案】A
【解析】由题意，得 a2，a2＋4，a2＋12 成等比数列，即(a2 nn－1 ＋4) ＝a2(a2＋12)， 解得 a2＝4， 即 a1＝2， 所以 Sn＝2n＋ 2
考情分析 从广东高考试题来看，数 列的客观题突出“小而 巧”．复习时注意等比数 列定义，通项公式，前n项 和公式，题目新颖.
第五章
数
列
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1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项
比等于同一常数 的_____________________ ，那么这个数列叫做等比数列，这个
3
)
B．－2 1 D．2
第五章
数
列
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2．(2014 年宣城联考)设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项 S4 和为 Sn，则a 的值为( 3 15 A． 4 7 C．4 ) 15 B． 2 7 D．2
【答案】A
a11－q4 a11－24 【解析】 ∵S4＝ ＝ ＝15a1， a3＝a1q2＝4a1， 1－q 1－2 S4 15 ∴a ＝ 4 . 3
误．
第五章 数 列
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4．等比中项 如果在两个数 a 与 b 中间插入一个数 G，使得 a，G，b 构
等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，则 G＝± ab. 成__________
5．等比数列的判定方法 an＋1 (1)定义法： a ＝q(a1≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列； n (2)通项公式法：an＝aqn(a≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列； (3)等比中项法：a2 an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列； n＋1＝an· a1 n a1 (4)前 n 项和公式法： Sn＝ q－ ＝kqn－k(q≠0， q≠1) q－1 q－1 ⇔{an}是等比数列．
a1－anq 或 1－q
q≠1.
注：等比数列的前 n 项和可变形为 a1 n a1 Sn ＝ q－ ＝kqn－k(q≠0，q≠1)． q－1 q－1 易错警示：(1)特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对 q＝1与
q≠1 分类讨论，防止因忽略 q ＝ 1 这一特殊情形而导致解题失
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第五章 数 列
第五章
数
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第 3讲
等比数列
第五章
数
列
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考纲要求 理解等比数列的概念，掌握等比 数列的通项公式与前n项和公式， 能在具体的问题情境中，识别数 列的等比关系，并能用有关知识 解决相应的问题，了解等比数列 与指数函数的关系.
常数叫等比数列的公比(常用 q 表示)． (1)公比 q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项 来求； an (2)对于数列{an}，若 ＝q(q≠0，是与 n 无关的常数或字 an－1 母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等比数列，q 为公比．
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n －1 a q 1 2．等比数列的通项公式an＝__________. n －m a q m 等比数列通项公式的变形a ＝___________. n
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6．等比数列的单调性 (1)若 (2)若
q>1，则{an}是递 增 数列， a1>0， 0<q<1，则{an}是递 减 数列；
减 数列， q>1，则{an}是递 a1<0， 0<q<1，则{an}是递 增 数列；
摆动 数列． (3)若 q<0，则{an}是______
第五章
数
列
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7．等比数列中的数学思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，
一般是“知三求二”，通过方程(组)求关键量a1和q，问题可迎 刃而解； (2)数形结合思想：将等比数列的通项公式和前 n 项和公式 与指数型函数对比； (3)分类讨论思想：求等比数列的前 n项和时，要分q＝1和 q≠1的情况讨论； (4)累乘法(通项公式推导法)；
a 解得 q ＝6＝ ＝(－1)(1－43)＝63. 1－q
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5．(2014年广东)等比数列{an}的各项均为正数且a1a5＝4， 则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】5
特别提醒：若数列{an}为等比数列，则通项公式可以写成
关于 n 的指数型函数形式： an ＝ aqn(a ， q 是非零常数 ) ，反之亦 然．
第五章
数
列
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3．等比数列的前 n 项和公式 Sn＝a1＋a2＋„＋an. na1q＝1， Sn＝ a11－qn 1－q
(5) 错位相消法 ( 前 n 项和公式的推导方法 ) ，适用于由一个
等差数列乘以一个等比数列的求和情况，具体做法是Sn－qSn.
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1 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4，则公比 q＝( 1 A．－2 C．2
【答案】D
a5 1 1 【解析】由题意知 q ＝a ＝8，∴q＝2，故选 D． 2
2
×2＝n(n＋1)．
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4．(2014年全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3， S4＝15，则S6＝( )
A．31
C．63 【答案】C
B．32
D．64
【解析】 设等比数列{an}的首项为 a， 公比为 q， 易知 q≠1，
2 a 1 － q ＝3， 1－q 根据题意可得 4 a 1 － q ＝15， 1 － q
第五章 数 列
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3．(2014 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2，若 a2，a4， a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( A．n(n＋1) nn＋1 C． 2 B．n(n－1) nn－1 D． 2 )
【答案】A
【解析】由题意，得 a2，a2＋4，a2＋12 成等比数列，即(a2 nn－1 ＋4) ＝a2(a2＋12)， 解得 a2＝4， 即 a1＝2， 所以 Sn＝2n＋ 2
考情分析 从广东高考试题来看，数 列的客观题突出“小而 巧”．复习时注意等比数 列定义，通项公式，前n项 和公式，题目新颖.
第五章
数
列
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1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项
比等于同一常数 的_____________________ ，那么这个数列叫做等比数列，这个
3
)
B．－2 1 D．2
第五章
数
列
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2．(2014 年宣城联考)设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项 S4 和为 Sn，则a 的值为( 3 15 A． 4 7 C．4 ) 15 B． 2 7 D．2
【答案】A
a11－q4 a11－24 【解析】 ∵S4＝ ＝ ＝15a1， a3＝a1q2＝4a1， 1－q 1－2 S4 15 ∴a ＝ 4 . 3
误．
第五章 数 列
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4．等比中项 如果在两个数 a 与 b 中间插入一个数 G，使得 a，G，b 构
等比数列 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，则 G＝± ab. 成__________
5．等比数列的判定方法 an＋1 (1)定义法： a ＝q(a1≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列； n (2)通项公式法：an＝aqn(a≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列； (3)等比中项法：a2 an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列； n＋1＝an· a1 n a1 (4)前 n 项和公式法： Sn＝ q－ ＝kqn－k(q≠0， q≠1) q－1 q－1 ⇔{an}是等比数列．
a1－anq 或 1－q
q≠1.
注：等比数列的前 n 项和可变形为 a1 n a1 Sn ＝ q－ ＝kqn－k(q≠0，q≠1)． q－1 q－1 易错警示：(1)特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对 q＝1与
q≠1 分类讨论，防止因忽略 q ＝ 1 这一特殊情形而导致解题失
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等比数列
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考纲要求 理解等比数列的概念，掌握等比 数列的通项公式与前n项和公式， 能在具体的问题情境中，识别数 列的等比关系，并能用有关知识 解决相应的问题，了解等比数列 与指数函数的关系.
常数叫等比数列的公比(常用 q 表示)． (1)公比 q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项 来求； an (2)对于数列{an}，若 ＝q(q≠0，是与 n 无关的常数或字 an－1 母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等比数列，q 为公比．
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n －1 a q 1 2．等比数列的通项公式an＝__________. n －m a q m 等比数列通项公式的变形a ＝___________. n