2018年苏教版数学必修4 学业分层测评19
2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.4 Word版含解析
学业分层测评(十三) 三角函数的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为________．【解析】 最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期T ＝2π100π s ＝150 s.【答案】 150 s2．如图1-3-20所示，为一质点作简谐运动的图象，则下列判断错误的是________．①该简谐运动的振动周期为0.7 s ； ②该简谐运动的振幅为5 cm ；③该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大； ④该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零．图1-3-20【解析】 由图象知，振幅为5 cm ，T2＝(0.7－0.3)s ＝0.4 s ，故T ＝0.8 s ，故①错误；该质点在0.1 s 和0.5 s 离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故③错误；该质点在0.3 s 和0.7 s 时正好回到平衡位置，而不是加速度为零，故④错误．【答案】 ①③④3．如图1-3-21是一机械振动的传播图，图中甲、乙、丙、丁四点经半个周期后到最低点的是________．图1-3-21【解析】 半个周期后，丁由最高点到最低点． 【答案】 丁4．已知某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟. 【导学号：06460038】【解析】 依题意，即40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．【答案】 45．已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1-3-22所示，此图可以视为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象的一部分，此函数解析式是________．图1-3-22【解析】 由已知，信号最大、最小时的波动幅度分别为3和－3. ∴A ＝3.由图象知， T 2＝5π6－π3＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．由图象知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是第三个关键点，∴π3×2＋φ＝π，∴φ＝π3，∴所求函数解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.【答案】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 6．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．【解析】 由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为0,1]，7,12]． 【答案】 0,1]，7,12]7．如图1-3-23所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．图1-3-23【解析】 将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ，将(6,0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为： y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π＝－6sin π6x .【答案】 y ＝－6sin π6x8．(2016·南京高一检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图1-3-24所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为________．图1-3-24①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6；③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6；④y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3. 【解析】 由题意可得，sin φ＝12，∴函数的初相是φ＝π6，排除④.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针方向旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，ω＜0，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈4,16]， 所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈4,16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为：343－263＝83小时．能力提升]1．一个大风车的半径为8 m,12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图1-3-25所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (米)与时间t (分钟)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．图1-3-25【解析】 那么，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt △O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )8，y (t )＝－8cos θ＋8.而2π12＝θt ，所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋10. 【答案】 h (t )＝－8cos π6t ＋102．下表是某地某年月平均气温(单位：华氏).(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，最适合这些数据的是． ①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6；③y －46－A＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x .【解】 (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为73.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得yA＝26.025.8＞1≠cosπ6，∴①错误；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8＜0≠cosπ6，∴②错误；同理④错误，③正确．。
苏教版高中数学必修4版学业分层测评18
学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________.【解析】 如图所示，AD →与AB →为不共线向量，可以作为基底.CA →与DC →为不共线向量，可以作为基底.DA →与BC →，OD →与OB →均为共线向量，不能作为基底.【答案】 ①③2.已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________.【解析】 由平面向量基本定理得⎩⎨⎧2x －y ＝5，4＝x －2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴x ＋y＝1.【答案】 13.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.【解析】 ∵AD →＝2DB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →.又∵CD →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23.【答案】23 4.若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为________.【解析】 易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨⎧3＝6λ，－4＝k λ，∴k ＝－8.【答案】 －85.如图237所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，b ________0.(填“＞”或“＜”)图237【解析】 由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】 ＜ ＞6.设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则n m＝________. 【解析】 由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得m λ＝1且n λ＝2， ∴n m＝2. 【答案】 27.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【导学号：48582093】图238【解析】 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，① BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2＝9|DF →|2－|BD →|2＝4.② 由①②得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →) ＝4DF →2－BD →2＝4|DF →|2－|BD →|2＝4×58－138＝78.【答案】788.如图239，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中点依次为D ，E ，F ，则AD →＋BE →＋CF →＝________.图239【解析】 原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋12(CB →＋CA →)＝0.【答案】 0 二、解答题9.如图239，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝13DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →.图2310【解】 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →＝a ＋12b .EG →＝EA →＋AD →＋DG →＝－12AB →＋AD →＋13DC →＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .10.设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .【导学号：48582094】【解】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则 －e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎨⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c .[能力提升]1.如图2311，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.图2311【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】34b ＋14a2.如图2312，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为________.图2312【解析】 设NP →＝λNB →，NP →＝AP →－AN →＝m AB →＋29AC →－14AC →＝m AB →－136AC →，λNB →＝λ(AB →－AN →)＝＝λAB →－λ4AC →，∴⎩⎨⎧m ＝λ，－136＝－λ4，∴m ＝λ＝19.【答案】193.点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC的面积之比为________.【解析】 如图，分别在AB →，AC →上取点E ，F ，使AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC →上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →，∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14.【答案】 144.如图2313，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，试问：1x ＋1y是否为定值？【导学号：48582095】图2313【解】 设AB →＝a ，AC →＝b ， 则AM →＝x a ，AN →＝y b ， AG →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝14(a ＋b )，∴MG →＝AG →－AM →＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ，MN →＝AN →－AM →＝y b －x a ＝－x a ＋y b .∵MG →与MN →共线，∴存在实数λ，使MG →＝λMN →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14－x ＝－λx ，14＝λy ，消去λ，得1x ＋1y＝4，∴1x ＋1y为定值.。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 222．若x ∈0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________． 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈0，π]∴x ＝π2.【答案】 π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________． 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45 ∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513. cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45 ＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形．【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】 32 二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255. ∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22.∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π4.能力提升]1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33，cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】3＋662. (2016·南通高一检测)如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665.【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14 ∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
(江苏专用版)2018_2019学年高中数学全一册学业分层测评(打包13套)苏教版选修4_4
学业分层测评(一) 直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点， 因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积． 【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米． 即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】 A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我船直行到点C 与不明船只相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵两船速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．[能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图412，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图412(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．学业分层测评(二) 极坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点． 又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB＝4＋16－5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．[能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋32－2×5×434π3－π2＝133， AC ＝52＋32－2×5×432π3＋π6＝133，∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.学业分层测评(三) 球坐标系与柱坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523，z ＝5cos2π3＝－52， 点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－922. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)． 4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴． 5．在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324， z ＝3cos π6＝332， ∴P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324， y ＝3sin π6·sin3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332.∴|PQ |＝[342－－3242＋324－3242＋332－3322＝322，即PQ 的距离为322. 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－32＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．[能力提升]8．如图4110建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4110【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)． 学业分层测评(四) 曲线的极坐标方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ， 得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0， ∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝5cos θ；(2)ρ2＝tan θ.【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5.(2)x 2＋y 2＝y x(x ≠0)，即x (x 2＋y 2)－y ＝0(x ≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x (x 2＋y 2)－y ＝0.3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【导学号：98990011】【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ；曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2.4．求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－2的距离．【解】 A (2，π3)的直角坐标为(1，3)，l ：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12cos θ)＝－2. 即： x －3y －4＝0.故A (1，3)到l ：x －3y －4＝0的距离为|1－3－4|12＋32＝3.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1， 即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)∵M 的直角坐标为(2,0)，N 的直角坐标为(0，233)． ∴P 的直角坐标为(1，33)， P 的极坐标为(233，π6)． 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．6．在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹方程．【解】 以圆心O 为极点，x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)． 因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP .即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ ＝12·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝32cos θ.7．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解】 分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)；直线l ：3x －4y －30＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3，所以AB ＝225－d 2＝8.[能力提升]8．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36. ∴PQ 的最大值为6＋6＋32＋32＝18.学业分层测评(五) 直线和圆的极坐标方程(建议用时：45分钟)[学业达标]1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．【解】 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的直角坐标方程分别为x ＋y ＝1和y －x ＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，π2)．3．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离．【解】 极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.4．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，则点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】 将极坐标方程ρ＝3cos θ转化成直角坐标方程：x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.ρcos θ＝1即x ＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4235．如图423，点A 在直线x ＝5上移动，等腰三角形OPA 的顶角∠OPA ＝120°(O 、P 、A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．【解】 取O 为极点，x 轴正半轴为极轴正方向建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.设P 、A 的坐标依次为(ρ，θ)，(ρ0，θ0)， 则ρ0＝3ρ，θ0＝θ－30°.代入直线的极坐标方程ρcos θ＝5，得3ρcos(θ－30°)＝5，即为点P 的轨迹方程．6．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝3.(1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．【导学号：98990014】【解】 (1)圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35ρ，θ，因为点Q 在圆C 上运动，所以35ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即ρ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，故点P 的轨迹方程为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.7．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值．【解】 原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0. 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0 ∴圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0， 圆心M (2,2)，半径为2， ∴ρmax＝OM ＋2＝22＋2＝3 2.[能力提升]8．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解】 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.学业分层测评(六) 圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．过椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A 、B 两点，若FA ＝2FB ，求直线l 的斜率．【解】 椭圆x 225＋y 29＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝45，p ＝b 2c ＝94.取椭圆的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝45×941－45cos θ＝95－4cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是95－4cos θ＝2×95＋4cos θ，解得cos θ＝512，所以tan θ＝1195，即直线l 的斜率为1195.2．已知椭圆方程为ρ＝165－3cos θ，过左焦点引弦AB ，已知AB ＝8，求△AOB 的面积．【解】 如图，设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝165－3cos θ＋165＋3cos θ＝16025－9cos 2θ. 因为AB ＝8， 所以16025－9cos 2θ＝8， 所以cos 2θ＝59，sin θ＝23.由椭圆方程知e ＝c a ＝35，b 2c ＝163，则c ＝3. S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12OF ·ρ1·sin θ＋12OF ·ρ2·sin θ＝8.3．如图424，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的弦AB 与x 轴斜交，M 为AB 的中点，MN ⊥AB ，并交对称轴于N .图424求证：MN 2＝AF ·BF .【证明】 取F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)，则AF ·BF ＝p1－cos θ·p1＋cos θ＝p 2sin 2θ.不妨设0＜θ＜π2，则MF ＝12(ρ1－ρ2)＝12(p 1－cos θ－p 1＋cos θ)＝p cos θsin 2θ. 所以MN ＝MF ·tan θ ＝p cos θsin 2θtan θ＝psin θ. 所以MN 2＝AF ·BF .4．如图425，已知圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0，抛物线G 的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F ，过圆心且倾斜角为θ的直线l 与抛物线G 、圆F 从上至下顺次交于A 、B 、C 、D 四点．图425(1)当直线的斜率为2时，求AB ＋CD ；(2)当θ为何值时，AB ＋CD 有最小值？并求这个最小值．【解】 圆F ：x 2＋y 2－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F 为极点，Fx 为极轴建立极坐标系．则圆F 的坐标方程为ρ＝2，抛物线G 的极坐标方程为ρ＝41－cos θ.设A (ρ1，θ)、D (ρ2，θ＋π)，所以AB ＝AF －2，CD ＝FD －2，即AB ＋CD ＝AF ＋FD －4＝ρ1＋ρ2－4＝41－cos θ＋41－θ＋π－4＝41－cos θ＋41＋cos θ－4＝81－cos 2θ－4＝8sin 2θ－4. (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin 2θ＝45.所以AB ＋CD ＝8sin 2θ－4＝6.(2)AB ＋CD ＝8sin 2θ－4，当sin 2θ＝1，即θ＝π2时△ABF 2的面积取到最小值4.5．已知抛物线ρ＝p1－cos θ，过焦点作互相垂直的极径FA 、FB ，求△FAB 的面积的最小值．【解】 设A (ρ1，θ)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，则 ρ1＝p 1－cos θ，ρ2＝p 1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝p1＋sin θ.△FAB 的面积为S ＝12ρ1ρ2＝12·p 1－cos θ·p1＋sin θ＝p 2－cos θ＋sinθ＝p 2－cos θ＋sin θ－sin θcos θ.设t ＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝1－t22.所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t －1－t 22＝12(t ＋1)2.又t ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[－2，2]，所以当t ＝2，即θ＝3π4时，△FAB 的面积S 有最小值p 2＋22.6．已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆短轴的一个顶点，且∠F 1PF 2＝90°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，且△ABF 2的面积的最大值为12，求椭圆C 的方程．【导学号：98990017】【解】 (1)因为∠F 1PF 2＝90°，所以PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即a 2＋a 2＝4c 2.所以e ＝c a ＝22. (2)以椭圆的左焦点F 1为极点，Fx 为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为ρ＝22p 1－22cos θ＝p2－cos θ.设A (ρ1，θ)、B (ρ2，θ＋π)， 则AB ＝AF ＋FB ＝ρ1＋ρ2 ＝p2－cos θ＋p2－θ＋π＝p2－cos θ＋p2＋cos θ＝22p2－cos 2θ. 因为F 1F 2＝2c ，所以△ABF 2的边AB 上的高h 为2c |sin θ|，△ABF 2的面积S ＝12·AB ·h＝22pc |sin θ|2－cos 2θ＝22pc |sin θ|1＋sin 2θ＝22pc1|sin θ|＋|sin θ|.因为1|sin θ|＋|sin θ|≥2，所以当|sin θ|＝1，即θ＝π2或θ＝3π2时S 取到最大值．所以当l 过左焦点且垂直于极轴时，△ABF 2的面积取到最大值2pc ，所以2pc ＝12，即b 2＝6 2.故a 2－c 2＝6 2.又ca ＝22， 所以a 2＝122，c 2＝6 2. 所求椭圆的方程为 x 2122＋y 262＝1. 7．已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x 12＋y8＝1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】 如图，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，则： 椭圆的极坐标方程为ρ2＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 直线l 的极坐标方程ρ＝242cos θ＋3sin θ.由于点Q 、R 、P 在同一射线上，可设点Q 、R 、P 的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得ρ21＝482cos 2θ＋3sin 2θ，① ρ2＝242cos θ＋3sin θ.②由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρ·ρ2＝ρ21(ρ≠0)． 将①②代入，得ρ·242cos θ＋3sin θ＝482cos 2θ＋3sin 2θ， 则ρ＝4cos θ＋6sin θ2cos 2θ＋3sin 2θ(ρ≠0)． 这就是点Q 的轨迹的极坐标方程， 化为直角坐标方程，得2x 2＋3y 2＝4x ＋6y ， 即x －252＋y －253＝1(x 、y 不同时为0)．∴点Q 的轨迹为以(1,1)为中心，长轴平行于x 轴，长、短半轴长分别为102，153的椭圆(去掉坐标原点)．[能力提升]8．建立极坐标系证明：已知半圆直径|AB |＝2r (r ＞0)，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交于点T ，并且|AT |＝2a (2a ＜r2)．若半圆上相异两点M ，N 到l 的距离|MP |、|NQ |满足|MP |：|MA |＝|NQ |：|NA |＝1，则|MA |＋|NA |＝|AB |.【证明】 法一 以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则ρ1＝2r cos θ1，ρ2＝2r cos θ2，又|MP|＝2a＋ρ1cos θ1＝2a＋2r cos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cos θ2＝2a＋2r cos2θ2，∴|MP|＝2a＋2r cos2θ1＝2r cosθ1，|NQ|＝2a＋2r cos2θ2＝2r cos θ2，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cos θ上，∴2r cos θ＝2a1－cos θ，r cos2θ－r cos θ＋a＝0，∴cos θ1，cos θ2是方程r cos2θ－r cos θ＋a＝0的两个根，由韦达定理：cos θ1＋cos θ2＝1，得|MA|＋|NA|＝2r cos θ1＋2r cos θ2＝2r＝|AB|.学业分层测评(七) 平面直角坐标系中的平移变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为x ＋329＋y －24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【导学号：98990020】【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标． 【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －2a 2－x ＋2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －216－x ＋29＝1.[能力提升]8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．学业分层测评(八) 平面直角坐标系中的伸缩变换(建议用时：45分钟)[学业达标]1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22＋ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22＋y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【导学号：98990023】【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.[能力提升]8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：学业分层测评(九) 参数方程的意义(建议用时：45分钟)[学业达标]1．如图442，OB 是机器上的曲柄，长是r ，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA ＝a ，MB ＝b (2r ＜a ＋b )．当点A 在Ox 上做往返运动，点B 绕着O 做圆周运动时，求点M的轨迹方程．图442【解】 如题图，设点M (x ，y )，θ＝∠BAO ，由点B 作BC ⊥Ox ，交Ox 于点C ，由点M作MD ⊥Ox ，交Ox 于点D ，由点M 作ME ⊥BC ，交BC 于点E ，那么y ＝DM ＝a sin θ，x ＝OD ＝OC ＋CD ＝OC ＋EM＝±OB 2－CB 2＋EM ＝±r 2－a ＋b2sin 2θ＋b cos θ，得到点M (x ，y )的坐标满足方程组⎩⎨⎧x ＝b cos θ±r 2－a ＋b 2sin 2θ，y ＝a sin θ，即为点M 的轨迹方程．2．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向上的分速度分别为9 m/s 和12 m/s ，运动开始时，点M 位于A (1,1)，求点M 的轨迹方程．【解】 设t s 后点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t ≥0)．3．以椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 与椭圆上任意一点连线的斜率k 为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：98990028】【解】 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴的左端点A 的坐标为(－2,0)．设P (x ，y )为椭圆上任意一点(除点A )，则点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝k ，x24＋y 2＝1.将y x ＋2＝k 代入x 24＋y 2＝1，消去x ，得(1k 2＋4)y 2－4ky ＝0.解得y ＝0，或y ＝4k1＋4k 2.由y ＝4k1＋4k 2，解得x ＝－4k21＋4k2；由y ＝0，解得x ＝2.由于(2,0)满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k1＋4k 2，所以椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k21＋4k2，y ＝4k 1＋4k 2.4．△ABC 是圆x 2＋y 2＝1的内接三角形，已知A (1,0)，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解】 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°. 设B (cos θ，sin θ)(0°＜θ＜240°)，则有C (cos(θ＋120°)，sin(θ＋120°))．设重心坐标为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ＋θ＋3，y ＝sin θ＋θ＋3.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ－32sin θ3y ＝12sin θ＋32cos θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋θ＋3，y ＝θ＋3.消去θ＋60°，得(3x －1)2＋9y 2＝1， ∵0°＜θ＜240°，∴－1≤cos(θ＋60°)＜12，∴0≤1＋θ＋3＜12， 即0≤x ＜12.∴△ABC 的重心的轨迹方程为(x －13)2＋y 2＝19(0≤x <12)．5．如图443，过抛物线y 2＝4x 上任一点M 作MQ 垂直于准线l ，垂足为Q ，连接OM 和QF (F 为焦点)相交于点P ，当M 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程．图443【解】 设直线OM 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k2，y ＝4k ，所以M (4k 2，4k)，则Q (－1，4k)，于是直线QF 的方程为y ＝4k－1－1(x －1)，即y ＝－2k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝－2k x －，消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0.所以点P 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(y ≠0)．6．如图444所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程．图444【解】 设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．7．已知点P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋3sin θ上的任意一点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin(θ＋π3)，∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]．[能力提升]8．如图445，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x ＞0，y ＞0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 的坐标．图445【解】 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1(x ＞0，y ＞0)，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，π2)，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， 所以S ABCD ＝AB ·AD ＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ，则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以当t ＝2时，矩形面积最小，即t ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)＝2，此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是(322，2)．学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)．【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p2·2p ＝x ，即y 2＝2px ， 这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x－2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝2.3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k29k 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝kx －＝－4k 9k 2＋4，∴x y ＝－94k ， 即k ＝－4x 9y，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即x －12214＋y 219＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为x －12214＋y 219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆． 5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.3 Word版含解析
学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列正确命题的序号为________．①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω；③在x ∈－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 【解析】 函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．【答案】 ④2．比较大小：tan π5________tan 13π10.【解析】 tan 13π10＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋3π10＝tan 3π10. ∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2， ∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10.【答案】 ＜3．函数f (x )＝tan 2x tan x的定义域为________． 【解析】 函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2＋k π，x ≠k π，2x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠k π2且x ≠k π2＋π4，∴x ≠k π4，k ∈Z .【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z 4．函数y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x 的对称中心为________． 【解析】 y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x ＝－6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π8， 由6x －π8＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π12＋π48，k ∈Z ，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0，k ∈Z . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0(k ∈Z ) 5．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域为________． 【解析】 ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴－1≤tan x ≤1且tan x ≠0，∴1tan x ≥1或1tan x≤－1， 故所求函数的值域为(－∞，－1]∪1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪1，＋∞)6．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 【解析】 由π|ω|＝π2，可知ω＝±2.【答案】 ±27．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 【解析】 ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， ∴T ＝π|ω|≥π，∴|ω|≤1.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数，∴ω<0，∴－1≤ω<0.【答案】 －1≤ω<08．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，试比较f (－1)，f (0)，f (1)，并按从小到大的顺序排列：________.【解析】 ∵f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上单调递增， 且T ＝π，∴f (1)＝f (1－π)，又－3π4＜1－π＜－1＜0＜π4，∴f (1－π)＜f (－1)＜f (0)，即f (1)＜f (－1)＜f (0)．【答案】 f (1)＜f (－1)＜f (0)二、解答题9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【导学号：06460029】【解】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z . ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π，k ∈Z 得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间是－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π，k ∈Z ，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式． 【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π2π，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )．∵0＜φ＜π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 能力提升]1．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan x 2，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x ＝0；②周期是2π且有一条对称轴x ＝0；③周期是2π且有一条对称轴x ＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．【解析】 如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．【答案】 ②③2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．【解析】 T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 【答案】 03．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)图1-3-6【解析】 当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0；当x ＝π时，y ＝0；当π＜x ＜32π时， tan x ＞sin x ，y ＝2sin x .故填④.【答案】 ④4．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间－1，3]上是单调函数．【解】 函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π21.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.2.2 Word版含解析
学业分层测评(九)正弦、余弦的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝2cos x －1的最大值是________，最小值是________．【解析】 ∵cos x ∈－1,1]，∴y ＝2cos x －1∈－3,1]．∴最大值为1，最小值为－3.【答案】 1 －32．函数y ＝cos x 在区间－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．【解析】 y ＝cos x 在－π，0]上为增函数，在0，π]上为减函数，所以a ∈(－π，0]．【答案】 (－π，0]3．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是________(填“奇函数”或“偶函数”)． 【解析】 f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2 ＝－7cos 23x ，∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数4．y ＝sin x 的定义域为________，单调递增区间为________．【解析】 ∵sin x ≥0，∴2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .当x ∈0，π]时，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增， ∴其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z . 【答案】 2k π，π＋2k π]，k ∈Z ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈Z5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ＝________.【解析】 由题意，当x ＝π8时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1， 故π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 k π＋π4(k ∈Z )6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(只填序号) 【导学号：06460026】①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，则y ＝－cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．【答案】 ④7．(2016·南京高一检测)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】 因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数， 即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.【答案】 328．(2016·连云港高一检测)函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为________．【解析】 令t ＝cos x ，由于x ∈R ，故－1≤t ≤1.y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10；当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10]．【答案】 2,10]二、解答题9．比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9；(3)sin 11°，cos 10°，sin 168°.【解】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°＜250°＜260°＜270°，∴sin 250°＞sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在0，π]上单调递减，且0＜π8＜4π9＜π，∴cos π8＞cos 4π9，∴cos 15π8＞cos 14π9.(3)sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.又因为y ＝sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数， 所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.10．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2cos3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间．(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值．【解】 (1)令2k π－π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z )，解得2k π3－5π12≤x ≤2k π3－π12(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3－5π12，2k π3－π12(k ∈Z )． (2)当3x ＋π4＝2k π－π(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.即x ＝2k π3－5π12(k ∈Z )时，f (x )取最小值－2.能力提升]1．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 【解析】 由题意知0≤x ≤π3时，0≤ωx ≤ωπ3＜π3，f (x )取最大值2sinωπ3＝2时，sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，ω＝34. 【答案】 342．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈0,2π])是偶函数，则φ＝________.【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又∵φ∈0,2π]，∴φ＝3π2.【答案】 3π23．(2016·南通高一检测)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为________．【解析】 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) 4．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．【解】 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。
苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.1
学业分层测评(三)任意角的三角函数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限．【解析】由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】二2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α的值为________．【解析】设P(a，－a)是角α上任意一点，若a>0，P点在第四象限，tan α＝－aa＝－1，若a<0，P点在第二象限，tan α＝－aa＝－1.【答案】－13．有三个结论：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC是________三角形．【解析】∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A＞0.∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，∴cos B和tan C中必有一个小于0，即B ，C 中必有一个钝角，故△ABC 是钝角三角形．【答案】 钝角5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．【解析】 ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 【答案】 －326．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】 如图所示，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，恒有MP ＞OM ，而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π时，则是MP ＜OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 7．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.【解析】 由已知sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α(－cos α)＝1＋1＝2. 【答案】 28．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．【解析】 因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上．因为α的终边过点(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3. 【答案】 (－2,3]二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角). 【导学号：06460008】 【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，∴sin 340°cos 265°＞0.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜π2，－π2＜－1＜cos θ＜0，∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴sin (cos θ)cos (sin θ)＜0. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.能力提升]1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)①sin α2；②cos α2；③tan α2；④cos 2α.【解析】 由α为第四象限角，得2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4＜α2＜k π＋π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4，2n π＋π， 此时，α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋7π4，2n π＋2π，此时，α2是第四象限角． 故无论α2落在第二还是第四象限，tan α2＜0恒成立．又4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，(k ∈Z )．故cos 2α有可能为正也有可能为负．【答案】 ③2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝3m ＜0，m 2＋n 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 【答案】 23．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．【解析】 设Q (cos α，sin α)，由2π3＝α·1可知α＝2π3，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 4．已知：cos α＜0，tan α＜0.(1)求角α的集合； (2)试判断角α2是第几象限角；(3)试判断sin α2，cos α2，tan α2的符号．【解】 (1)因为cos α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上．因为tan α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . (2)因为π2＋2k π＜α＜π＋2k π(k ∈Z )，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时， π4＋2n π＜α2＜π2＋2n π(n ∈Z )．所以α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )， 5π4＋2n π＜α2＜3π2＋2n π(n ∈Z )，所以α2是第三象限角． (3)当α2为第一象限角时， sin α2＞0，cos α2＞0，tan α2＞0. 当α2为第三象限角时，sin α2＜0，cos α2＜0，tan α2＞0.。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.2 Word版含解析
学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________.【解析】 ∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ＝45.【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________.【解析】 ∵sin α＝55，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35.【答案】 －354．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.【导学号：06460011】【解析】∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α.又sin2α＋cos2α＝1，∴54cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－255.【答案】－25 55．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos2 4＝________. 【解析】1－cos2 4＝sin2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4.【答案】－sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos xsin x－1＝12，则1＋sin xcos x等于________．【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得1＋sin xcos x＝－cos xsin x－1＝－12.【答案】－1 27．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝2. 【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】 ∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.【答案】 1713二、解答题9．已知tan x ＝2，求：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．【解】 (1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3. (2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 10．已知tan 2 α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.【证明】 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 【解析】 ∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α.又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________. 【解析】 原式＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°| ＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】 －13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0，∵A∈(0，π)，∴sin A>0，cos A<0，∴(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝289169，∴sin A－cos A＝1713，∴sin A＝1213，cos A＝－513，故5sin A＋4cos A15sin A－7cos A＝843.【答案】8 434．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ.(3)方程的两根及此时θ的值．【解】(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m.②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋1 2.(3)因为已求得m＝34，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。
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学业分层测评(十九) 平面向量的坐标
运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若点P 的坐标为(2 016，2)，向量PQ →
＝(1，－3)，则点Q 的坐标为________. 【解析】 ∵PQ →＝OQ →－OP →， ∴OQ →＝OP →＋PQ → ＝(2 016，2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1). 【答案】 (2 017，－1)
2.若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →
＝________. 【解析】 BC →＝BA →＋AC →
＝BA →－CA → ＝(2，3)－(4，7) ＝(－2，－4). 【答案】 (－2，－4)
3.已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →
＝3a ，则点B 的坐标为________. 【解析】 设B 点坐标为(x ，y )， 则AB →
＝(x ＋1，y －5)， ∵AB →
＝3a ，
∴(x ＋1，y －5)＝3(2，3)＝(6，9)，
∴⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，∴⎩⎨⎧
x ＝5，y ＝14. 【答案】 (5，14)
4.若向量a ＝(x ＋3，y －4)与AB →
相等，已知A (1，2)和B (3，2)，则x ，y 的值分别为________.
【解析】 ∵AB →
＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)＝(x ＋3，y －4)， ∴⎩⎨⎧ x ＋3＝2，y －4＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－1，y ＝4.
【答案】 －1，4
5.已知a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 由a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(5，7)， ∴2a ＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，∴a ＝(3，5)， 2b ＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，∴b ＝(－2，－2). 【答案】 (3，5) (－2，－2)
6.如图2-3-17，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →
的坐标为________.
图2-3-17
【解析】 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →
|cos 150°＝－3，
y ＝|OA →
|sin 150°＝1. 所以OA →
的坐标为(－3，1). 【答案】 (－3，1)
7.已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝1
2MN →
，则P 点的坐标为________. 【导学号：48582098】
【解析】 设P (x ，y )，则 MP →
＝(x －3，y ＋2)， 12MN →
＝12(－8，1)＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－4，12，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－4，y ＋2＝1
2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－3
2，
∴P 点的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－32.
【答案】 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－32
8.已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →
的坐标为________.
【解析】 ∵AB →＝(1，0)，BC →
＝(0，1)， AC →＝AB →＋BC →
＝(1，1)， ∴2AB →＋3BC →＋AC →
＝2(1，0)＋3(0，1)＋(1，1)＝(3，4). 【答案】 (3，4) 二、解答题
9.(1)已知向量a ＝(x ＋3，x 2
－3x －4)与AB →
相等，其中A (1，2)，B (3，2)，求
x 的值；
(2)已知点P 1(2，－1)，P 2(0，5)，点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→
|，求P 点的坐标.
【解】 (1)∵AB →＝(2，0)，又∵a ＝AB →，∴⎩⎨⎧
x ＋3＝2，
x 2－3x －4＝0，
∴x ＝－1.
(2)设P (x ，y )，则P 1P →
＝(x －2，y ＋1)， PP 2→
＝(－x ，5－y )，
∵点P 在线段P 1P 2上且|P 1P →|＝2|PP 2→
|， ∴P 1P →＝2PP 2→，
∴⎩⎨⎧
x －2＝－2x ，
y ＋1＝2(5－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝23，y ＝3，
∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，3.
10.已知△ABC 中，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →
. 【导学号：48582099】
【解】 因为A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →
＝(－3，－5).
又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →
)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－72，－4，而M ，N 分别为
AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，
故有DF →＝12DA →＝－12AD →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
74，2.
[能力提升]
1.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2，4)，AC →
＝(1，3)，则BD →
＝________.
【解析】 由向量的平行四边形法则可知 AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB → ＝(1，3)－(2，4) ＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB → ＝(－1，－1)－(2，4) ＝(－3，－5). 【答案】 (－3，－5)
2.已知P 1(5，－1)，P 2(－3，1)，点P (x ，2)分P 1P 2→
所成的比为λ，则x 的值为________.
【解析】 ∵y ＝y 1＋λy 2
1＋λ，
∴2＝－1＋λ1＋λ，
解得λ＝－3. 所以x ＝x 1＋λx 21＋λ＝5＋(－3)×(－3)1＋(－3)
＝－14
2 ＝－7. 【答案】 －7
3.已知向量集合M ＝{a|a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R }，则M ∩N 等于________.
【解析】 令(1，2)＋λ1(3，4) ＝(－2，－2)＋λ2(4，5)， 即(1＋3λ1，2＋4λ1) ＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)， ∴⎩⎨⎧
1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，
解得⎩⎨⎧
λ1＝－1，λ2＝0，
故M 与N 只有一个公共元素是(－2，－2). 【答案】 {(－2，－2)}
4.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-3-18所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，求λ
μ的值.
【导学号：48582100】
图2-3-18
【解】 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λ
μ＝4.。