第3章 连续时间信号与系统的频域分析
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第3章连续信号与系统的频域分析
8
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
9
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
11
2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
2013年8月13日8时10分
3.0 引言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应
来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可
分析LTI系统的特性。
连续时间信号分解为一系列完备正交信号集， 再根据线性叠加原理求解系统的零状态响应。
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2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 1 、正交矢量（2维空间）
3.1.2 信号的正交分解 2、正交函数的两个重要定理 定理2：若 则：
f (t ) c1 g1 (t ) cr gr (t ) cn gn (t ) ci gi (t )
i 1
n
t2
t1
f (t ) dt ci gi (t ) dt
t2 i 1 t1
完备正交函 数集
1,cos t,cos 2t,,sin t,sin 2t,
17
2013年8月13日8时10分
3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数
一般地，若 即有：
则有：
f ( t ) 在区间(-∞，+
∞)内，每隔周期T重复，
f (t ) f (t kT )
T 2 T 2
V1 V2 0
V1 V3 0
V2 V3 0
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2013年8月13日8时10分
3.1信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 3 、正交矢量（n维空间）
c3 V3 V3 o V2 c2 V2 V1
V cV1 crVr cnVn 1
V c1 V1
cr
V cos r Vr
3.7 连续信号的抽样定理
信号与系统第三章
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
即
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
第三章 信号与系统的频域分析
余弦形式的傅氏级数
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
其中：
2 2 An a n bn
第n次谐波的振幅
bn n arctg( ) an
第n次谐波的初相角
三角频谱：余弦形式的傅氏级数的振幅An随n0变化的规律，称为振幅频
谱，习惯上简称频谱；相位n随n0变化的规律，称为相位频谱。
三角傅氏级数总有 n 0 ,谱线只出现在n0～An或者n0～n平 面的右半平面，故称作单边频谱。
直流系数
利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解 偶函数fe(t)的傅立叶级数只含有直流分量和余弦分量；
奇函数fo(t)的傅立叶级数只含有正弦分量；
奇半波对称信号只含有奇次谐波，又称奇谐函数 偶半波对称信号只含有偶次谐波，又称偶谐函数
2、余弦形式的傅氏级数
三角函数变换公式
其中，
An a b
F n F n
*
总是成对出现
负频率的出现只是数学形式，实际并不存在
Fn Fn e j n
F n F n e j n Fn e j n
F n Fn
偶函数
n n
奇函数
(2) 与三角形式的傅氏级数的关系
a0 A0 F0 2 2 an jbn Fn 2 an jbn * F n Fn 2 An | Fn | 2
一般周期信号都满足这些条件余弦分量系数正弦分量系数称为傅里叶系数基波角频率直流系数直流分量基波分量n周期信号可以分解为各次谐波分量的代数和利用信号的对称性简化傅立叶系数的求解偶半波对称信号只含有偶次谐波又称偶谐函数2余弦形式的傅氏级数其中为第n次谐波的振幅为第n次谐波的初相角三角函数变换公式二指数型傅里叶级数在时间区间tt内基波角频率的正交虚指数函数集是完备的对于周期为t的周期信号ft当它在该时间区间内有定义时可以由上述虚指数函数的线性组合来表示即
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve
o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o
2
3
4 5
6
(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为
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lim e at u (t ) a 0 0
t 0 t0
u (t )
F ( )
1
( )
0
t
0
（a）单位阶跃函数
（b）单位阶跃函数的频谱
图3-14 单位阶跃函数及其频谱
表3-3 典型信号的傅里叶变换及频谱图
续表
返回本节
3.4 傅里叶变换的基本性质
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8
根据傅里叶变换的定义，并应用单位冲激函 数的抽样性质，得：
F (t )
(t ) e
jt
dt e
0
(t )dt 1
（3-36）
即：
(t ) 1
图3-12给出了单位冲激函数及其频谱。
(t )
(1) t
1
F ( )
0
（a）单位冲激函数
0
线性 对称性 尺度变换 时移特性 频移特性 卷积定理 时域微分和时域积分 频域微分和频域积分
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3.4.1 线性
若 f 1 (t ) F1 ( ) ， f 2 (t ) F2 ( ) ，则对于任意 常数 a1 和 a2 ，有：
a1 f 1 (t ) a 2 f 2 (t ) a1 F1 ( ) a 2 F2 ( )
3.1 周期信号的傅里叶级数
3.1.1 三角函数形式的傅里叶级数 3.1.2 指数形式的傅里叶级数
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3.1.1
三角函数形式的傅里叶级数
若一个连续时间信号 f(t)是周期的，则它可以
表示为：
f (t ) f (t nT1 )
n 0 , 1, 2 ,
（3-1）
当f(t) 满足狄里赫利条件时，周期信号f(t) 才 能展开成傅里叶级数。实际上，在电子、通信、 控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这 一条件，故以后一般不再特别注明此条件。则：
F ( )
2 2
2
0
2
t
0
（a）
1 f ( t) 2 1
0 2
2 F (2 )
t
0
（b）
f (2t ) 1 4
2 0
1 F( ) 2 2 4
0
4
t
4
（ c）
图3-16 尺度变换性质的说明
返回本节
3.4.4 时移特性
2．单边指数函数
设单边指数函数的表示式为：
at
(a>0)
f (t ) Ae u(t )
其波形如图3-11（a）所示，其频谱函数为：
F ( )
0
Ae e
at jt
dt
0
Ae
( a j )t
A dt a j
即：
A Ae u(t ) a j
代入式（3-2），可得：
an jbn jn 1t an jbn jn 1t f (t ) a0 e e 2 2 n 1
（3-9）
返回本节
3.2 周期信号的频谱
3.2.1 周期信号的频谱 3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度
第3章 连续时间信号与系统的频域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质 周期信号的傅里叶变换 频域系统函数 连续系统的频域分析 抽样定理
本章学习目标
通过本章的学习，应达到以下要求： （1）掌握周期信号和非周期信号频谱的概念 及信号频带宽度的概念。 （2）熟悉傅里叶变换的主要性质。 （3）熟悉系统函数和频域分析法。 （4）掌握抽样定理。 （5）了解信号无失真传输和信号通过理想滤 波器的概念。
f (t ) a 0 a1 cos1t b1 sin1t a 2 cos 21t b2 sin 21t a n cos n1t bn sin n1t
a 0 (a n cos n 1t bn sin n 1t )
n 1
（3-2）
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3.2.1
周期信号的频谱
1．单边频谱 2．双边频谱
1．单边频谱
若周期信号
f (t ) 的傅里叶展开式为：
f (t ) c 0 c n cos(n 1t n )
n 1
则对应的幅度频谱 c n 和相位频谱 n 称为单 边频谱，如图3-3所示。
cn
n
E T1
Fn
2
0 1
2
4
n1
图3-6 周期矩形脉冲信号的频谱
f (t )
E
2E 5
cn
T1
t 2T1
0 1
2
4
n1
f (t ) E E 5
cn
T1
t
0
2
4
n1
图3-7 不同值下周期矩形脉冲信号的频谱
f (t ) E
2E 5
cn
T1
T2
t
0 1 2
1．门函数（矩形脉冲）
1．门函数（矩形脉冲） 幅度为，宽度为的单个矩形脉冲称为门函数， 记为g(t)。它可以表示为：
A g (t ) 0
t t
2 2
其波形如图3-10（a）所示。 由式（3-23）可得g(t)的傅里叶变换为：
G( )
g (t ) e
（3-41）
返回本节
3.4.2 对称性
若 f (t ) F ( ) ，则：
F (t ) 2f ( )
（3-42）
证明 由傅里叶反变换式得：
1 f (t ) 2
F ( ) e jt d
即：
2f ( )
F (t ) e jt dt
F (t ) 2f ( )
dt Fn e
j n
Fn 4 2 2 4
51 0 1
51
101
101
n1
（a）双边幅度频谱
2
n
1
101 51 0 2
51
101
n1
（b）双边相位频谱 图3-4 周期信号的双边频谱 返回本节
3.2.2 周期信号频谱的特点及频带宽度
1 2
1 g 2 (t ) 2
Sa( ) 1
1
0
1
t
0
（a）门函数及其频谱
1
Sa(t )
g 2 (t )
0
t
1
0
1
（b）抽样函数及其频谱
图3-15 例3-4图 返回本节
3.4.3 尺度变换
若
f (t ) F ( )
，则：
（为非零的实常数）
（3-44）
1 f (at) F a a
at
其幅度频谱和相位频谱分别为：
F ( ) A a2 2
( ) arctan
a
f (t ) A
A
2 0 F ( )
0
t
2
( )
（a）单边指数函数
（b）单边指数函数的频谱
图3-11 单边指数函数及其频谱
3．单位冲激函数
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3.3.1
傅里叶变换
1．从傅里叶级数到傅里叶变换 2．傅里叶变换存在的条件
1．从傅里叶级数到傅里叶变换
式（3-21）可以改写为：
Fn T
2Fn
1
T 2 T 2
f (t )e
jn 1t
dt
2．傅里叶变换存在的条件
在上面推导傅里叶变换时并未遵循数学上的 严格步骤。从理论上讲，f (t ) 应满足一定的条 件才可存在傅里叶变换。一般来说，傅里叶变 换存在的充分条件是：
1．周期信号频谱的特点 2．周期信号的频带宽度 3．典型周期信号的傅里叶级数和频谱特点
1．周期信号频谱的特点
（1）频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，即频谱具有离散性。 （2）频谱的每条谱线都只能出现在基波频率 的整数倍的频率上，即频谱具有谐波性。 （3）频谱的各条谱线的高度，即各次谐波的 振幅总是随着谐波次数的增大而逐渐减小；当 谐波次数无限增大时，谐波分量的振幅也就无 限趋小，即频谱具有收敛性。
0
2
1
51
101
n1
0 1 51
4
101
n1
2
（a）单边幅度频谱
（b）单边相位频谱
图3-3 周期信号的单边频谱
2．双边频谱
若 f (t ) 周期信号的傅里叶展开式为：
f (t )
1 Fn T
n
F e
n
jn 1t
T 0
f (t )e
jn 1t
式中，若a>0，表明被f(t)压缩；若0<a<1，表明f(t)被展宽。 如果a<0，则f(t)被反褶并被压缩或被展宽，如图3-16所示。 证明 若，则的变换式为：