非机理模型在数学建模中的应用
非线性动力学模型在经济学中的应用
非线性动力学模型在经济学中的应用随着科学技术的进步，非线性动力学模型在经济学中的应用越来越广泛。
非线性动力学模型为经济学研究提供了新的视角和方法，使得我们可以更加深入地探讨经济现象的本质和规律。
本文将讨论非线性动力学模型在经济学中的应用及其意义。
一、什么是非线性动力学模型？非线性动力学模型是指能够描述非线性系统行为的数学模型。
与线性动力学模型相比，非线性动力学模型能够更加准确地模拟复杂的现象和行为。
在经济学中，我们面临的大多数问题都是非线性问题，例如市场的波动和多重均衡，这就要求我们使用非线性动力学模型来研究。
二、非线性动力学模型在金融市场中的应用在金融市场中，非线性动力学模型最为广泛地应用在股票价格的预测上。
传统的股票价格预测方法通常基于稳定的平衡状态假设，忽略了股票价格的震荡和波动。
而非线性动力学模型可以充分考虑股票价格的非线性行为，提高预测的准确性。
例如，非线性动力学模型可以将股票价格看作是一个动态系统，通过引入外部冲击或者内生机制，对股票价格进行预测。
这种方法不仅可以预测价格，还可以分析价格变动的原因和动力学过程。
此外，非线性动力学模型还可以用于分析金融市场的危机和周期性波动。
三、非线性动力学模型在经济增长中的应用经济增长是微观经济学和宏观经济学中的重要问题。
传统的经济增长模型通常基于线性假设，即经济增长是平衡增长，没有周期性的波动。
然而，实际上经济增长存在着波动和周期性。
非线性动力学模型能够更好地描述经济增长的非线性行为，如阶段性竞争，非线性反馈等。
非线性动力学模型在经济增长中的应用主要包括两种：一个是非线性扩散模型，另一个是非线性波动模型。
非线性扩散模型主要应用于描述经济增长的传播和扩散现象，例如产业集聚和技术创新。
非线性波动模型则更加注重预测和分析经济增长的波动和周期性。
四、意义和展望非线性动力学模型在经济学中的应用意义重大。
它不仅可以提高经济学分析的准确性和深度，还有助于我们更好地理解经济现象的本质和规律。
非线性动力学的建模与应用
非线性动力学的建模与应用随着科技的飞速发展，我们所能掌握的数据越来越多，而这些数据的规模呈现出爆炸式的增长，其背后所衍生的问题自然也日趋复杂。
为了更好地研究这些数据背后的规律与趋势，非线性动力学逐渐成为研究的焦点。
本文将从什么是非线性动力学、其建模原理及其应用三个角度，深入探寻非线性动力学的建模与应用。
一、什么是非线性动力学非线性动力学源于物理学，是描述自然界复杂系统非线性演化行为的数学模型和方法。
简单来说，就是在一个体系的内部没有受到任何外部因素的干扰的情况下，而这个体系却会出现非线性演化的行为。
非线性动力学一般被应用在宏观水平的复杂系统建模，如金融市场、群体行为等。
对于时间序列的建模而言，它相较于传统的线性建模方法可能更为适用。
二、非线性动力学的建模原理在非线性动力学中，我们可以把系统的动态演化建立在一个数学模型上，这个数学模型中所包含的方程式属于非线性方程式。
相较于线性方程式，非线性方程式描述的是非常复杂且不能被简单叠加的系统。
非线性方程式的一般形式如下：$\frac{dx}{dt} = f(x)$在这个方程式中，$x$代表着系统的状态，$\frac{dx}{dt}$ 则代表着 $x$ 随时间的变化量。
而函数 $f(x)$ 则代表着系统状态之间的关系，一般而言，这个关系都是非线性的。
因此，非线性建模要寻找一个最佳的状态变量、建立最优的非线性模型，不断求解演化状态，最终得到预测结果。
三、非线性动力学的应用非线性动力学最典型的应用可能就是金融领域。
金融市场很少出现线性演化的趋势，而非线性动力学建模可以精细地预测金融市场的走势。
比如我们可以通过建立一组方程来描述市场价格趋势的演化，这些方程能够基于市场价格运动的历史数据，准确刻画出后续的价格变化。
此外，非线性动力学在流行病学、气象预测、大地质运动等领域也有着很好的应用前景。
除此之外，非线性动力学还有其他优秀的特性。
相较于传统的线性动力学建模，非线性动力学可以识别到更复杂的系统行为，并能够更准确地捕捉到模型的异质性，因此可以更好地建模并预测真实世界中更为复杂的系统行为。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。
非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。
第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。
人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。
第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。
第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。
他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。
在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。
从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。
俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。
高等数学建模案例
高等数学建模案例
1. 水桶模型：用高等数学的积分和微分知识模拟水桶的溢出情况，以确定最大容量和最快的流出速度。
2. 热传导模型：通过热传导方程式和边界条件，建立热传导模型，研究热量在物体内的传递和分布。
3. 光学模型：运用高等数学的微积分和波动方程式，描述光线在介质中的传播和干涉现象，以及各种光学器件的工作原理。
4. 风电场建设模型：利用高等数学的多元函数、梯度和偏导数等知识，分析风电场建设的最佳布局、风能利用效率和风机数量等问题。
5. 市场建模：运用高等数学的统计学和概率论知识，对市场需求、供给、价格等因素进行建模，预测市场走向和未来的趋势。
6. 股票交易策略模型：通过高等数学的时间序列分析和随机过程模型，研究股票价格的波动规律和交易策略的制定。
7. 电力系统建模：利用高等数学的电路分析和微分方程式，建立电力系统的模型，预测电力系统的稳定性和故障情况。
8. 机器人运动模型：通过高等数学的向量和矩阵知识，描述机器人的运动轨迹和姿态变化，以及机器人的工作空间和运动范围。
9. 交通流模型：运用高等数学的微分方程式和概率论知识，建立交通流模型，分析交通拥堵的原因和解决方案。
10. 化学反应动力学模型：通过高等数学的微积分和差分方程式，建立化学反应动力学模型，研究反应速率、反应机理和反应过程中的状态变化。
非线性动力学在生态建模中的应用
非线性动力学在生态建模中的应用在当今的科学研究领域，生态建模成为了理解和预测生态系统行为的重要工具。
而非线性动力学的引入，则为生态建模带来了新的视角和方法，极大地提升了我们对复杂生态现象的理解和预测能力。
生态系统本身就是一个复杂的动态系统，其中包含了众多相互作用的生物和非生物因素。
这些因素之间的关系往往不是简单的线性关系，而是呈现出复杂的非线性特征。
例如，物种之间的竞争、捕食与被捕食关系，以及生态系统对环境变化的响应等，都不是简单的线性叠加，而是表现出丰富多样的非线性行为。
非线性动力学的一个核心概念是混沌。
混沌现象意味着在一个确定性的系统中，由于内在的非线性相互作用，初始条件的微小差异可能会导致系统未来状态的巨大差异。
在生态系统中，这一概念具有重要的意义。
比如，对于某个物种的种群数量变化，如果我们只考虑线性因素，可能会得出相对简单和可预测的结果。
但实际上，由于非线性因素的存在，种群数量可能会出现看似无序、难以预测的混沌波动。
另一个重要的非线性动力学概念是分岔。
分岔指的是系统在某些参数变化时，其行为模式会发生突然的改变。
在生态建模中，这可以帮助我们理解生态系统在面对环境变化（如气候变化、人类活动干扰等）时，如何从一种稳定状态转变为另一种稳定状态，或者进入不稳定甚至崩溃的状态。
通过运用非线性动力学的方法和理论，我们能够更准确地描述和预测生态系统中的一些关键现象。
例如，在研究物种的灭绝风险时，传统的线性模型可能无法捕捉到物种之间复杂的相互作用以及环境变化的非线性影响。
而非线性动力学模型则可以考虑这些因素，从而更准确地评估物种的生存状况和灭绝风险。
在生态系统的稳定性研究中，非线性动力学也发挥着关键作用。
传统的观点认为，生态系统的稳定性取决于物种的多样性和复杂性。
然而，非线性动力学的研究表明，即使是相对简单的生态系统，由于非线性相互作用的存在，也可能表现出复杂的稳定性特征。
例如，某些生态系统可能存在多个稳定状态，而系统在不同条件下可能会在这些稳定状态之间切换。
化学反应动力学的数学建模分析
化学反应动力学的数学建模分析化学反应是自然界中常见的过程之一，它涉及原子和分子之间的相互作用，由此而引起的能量和物质的转化。
对于化学反应的研究，化学反应动力学是一个非常重要的分支领域。
它主要研究反应的速率、化学反应速率与反应物浓度的关系、反应的气体动力学等方面，对于深入理解化学反应过程及其工业应用具有重要作用。
化学反应动力学是一个涉及多个学科知识的领域，其中重要的一部分就是数学建模分析。
数学建模是指根据已知的原理、概念和数据，利用数学方法，建立适当的模型，来描述所研究的现象或系统。
数学建模分析在化学反应动力学领域的应用，包括了多个方面，下面我们将逐一进行介绍。
一、手推式建模手推式建模是一种基本的方法，可以对于一些简单的化学反应模型进行模拟和分析。
手推式建模通常基于质量守恒和能量守恒原理，构建反应物浓度变化的微分方程。
比如，AB反应的模型可以写成以下形式：d[A]/dt = - k[A][B]d[B]/dt = - k[A][B]其中，k是反应的速率常数，[A]和[B]分别表示反应物A和B 的浓度。
从这个方程式中我们可以看出，当反应物A的浓度减少时，反应速率也会随之减小。
这种手推式建模方法对于一些简单的反应体系的分析非常有用，但是对于复杂体系而言，手推式建模则显得力不从心。
二、动态系统建模动态系统建模是一种可以描述化学反应中各个组分之间耦合关系的方法。
动态系统建模涉及到微分方程和控制论的知识，可通过建立反应动力学的微分方程，用数学的方法进行求解，来得到化学反应的动力学行为。
举个例子，对于单一组分分子总体达到平衡的一个反应体系，其化学反应的动态系统可以用以下控制方程来描述：dN/dt = C●N（1-N/K）其中，N是化学反应体系中分子的数目；K是达到最大平衡态时化学反应体系中分子的最大数目；C是最大化学反应速率的控制因子。
这个方程描述了组分数量随时间的变化，并考虑了反应速率与组分浓度之间的关系。
三、随机过程建模随机过程建模是一种更为复杂和跨学科的建模方法，适用于非线性或混沌系统的模拟。
非线性动力学模型与应用研究
非线性动力学模型与应用研究随着人类科学技术的发展，数学和物理学科也在不断推陈出新。
其中，非线性动力学模型在近年来的研究中备受关注。
本文将对非线性动力学模型做一简要介绍，并重点关注其应用研究，以及目前常见的几类非线性动力学模型。
一、非线性动力学模型简介动力学研究是物理科学的一个重要分支。
在物理学领域中，动力学研究的主要目的是描述物体运动的规律，这种规律与物体运动的初始条件、外加力的大小和方向等关系紧密。
近年来，随着人们对物理世界深入的认识和理解，非线性动力学模型逐渐成为研究的热点。
非线性动力学模型一般采用微分方程来描述，这类微分方程通常比较复杂，解析的解不容易得到。
因此，非线性动力学模型的研究一般通过数值模拟的方式进行。
在模拟中，可以使用计算机进行计算，通过编写程序对微分方程进行离散化，从而得到数值解。
在非线性动力学模型的研究中，常见的问题包括混沌现象、相图、分叉现象等。
在研究这些问题时，非线性动力学模型可以提供一个有力的数学工具。
二、非线性动力学模型的应用研究1. 混沌现象的模拟混沌现象是非线性动力学模型中的重要问题之一，它指的是具有确定初态，但在运动过程中产生随机性的现象。
在混沌现象的研究中，非线性动力学模型可以提供精确的数学描述。
通过对非线性动力学模型的数值模拟，可以得到对混沌现象的深入了解。
2. 生物医学领域非线性动力学模型在生物医学领域中也有广泛的应用。
比如，在神经元的研究中，可以利用非线性动力学模型模拟神经元的活动，并且通过模拟得到神经信号的时序间隔、频率等信息。
此外，在心血管方面，非线性动力学模型也可以描述人体的生理功能状态和心脏病变的动力学机制。
3. 社会学研究非线性动力学模型也逐渐被应用于社会学领域的研究中。
比如，通过对非线性动力学模型数值仿真，可以确定人类群体行为、物种竞争、市场变化等诸多社会现象的演化规律。
此外，对于经济领域，非线性动力学模型能够描述经济周期、金融市场的波动和崩溃等现象。
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某粒子分离器某参数由7个零件的参数决定， 经验公式为
x4 1 2.62 1 0.36 0.85 x2 x1 x3 y 174.42 x6 x7 x5 x2 x1
0.56 3 2
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从结果看：p=0.8387，并不是小概率事件， 且h=0，因此所提原假设（即H0: μ=μ0）成立， 2 结果表明：Y仍为正态分布，即： Y N ( y, y ) 其概率密度函数为：
f ( y)
1 2 y
( y y )2
2 2 y
e
因此，大批生产时平均每件产品的质量损失费用为：
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例2. 零件的参数设计
背景介绍
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的 某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定 值和容差。进行成批生产时，标定值表示一批零件参 数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许 范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期 望，在生产部门无特别要求时，容差通常规定为均方 差的3倍。
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非机理模型在数学建模 中的应用
主讲人：孙海义
2012年4月26日
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概率与统计思想在数学建模中的应用
当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关 系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立 数学模型，但如果由于客观事物内部规律的复杂性 及人们认识程度的限制，无法分析实际对象的内在 的因果关系、建立合乎机理规律的数学模型，那么 通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计 分析去建立模型。本部分将介绍概率统计的基本应 用描述与分析，以及用途最为广泛的两类数理统计 随机模型——统计回归模型和马氏链模型。
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这里采用MATLAB软件编程进行试验，然后使用 histfit(y)指令根据模拟y的样本画出的直方图及其正 态密度的拟合。
用上面的程序计算的结果，看来本问题将y视为 正态分布是合理的。
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（2） 对所提出的y为正态分布进行假设检验及参数
的相应估计
2 方法：皮尔逊 拟合检验法来检验y是否服从正态分布
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例3.
问 题
香皂的销售量
建立香皂销售量与价格、广告投入之间的模型; 预测在不同价格和广告费用下的香皂销售量. 收集了30个销售周期本公司香皂销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
本公司价 格 (元 ) 3.85 3.75 其他厂家 价格(元) 3.80 4.00 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 价格差 （元） -0.05 0.25 销售量 (百万块) 7.38 8.51
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55Fra bibliotek(3)
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5、模型解析表达式最终的确定
产品总费用＝零件总成本＋质量损失费用。 设cij为第i个参数取第j个容差等级时所需成本，第1， 2，3容差等级分别表示A，B，C等级。
设dij为0-1变量，如果第i个参数取第j个容差等级 则取值为1，否则取值为0。
生产一批1000件产品总费用的目标函数可写成
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1、问题的分析
目标函数为总费用，它由两部分组成：一是零件的 成本；二是由于产品的参数y偏离目标值y0造成的损失。 因此，原问题可归结为在一定约束条件下的非线性规划 问题。
2、关于零件参数的假设
由于零件在加工制造过程中存在多种随机因素， 如零件安装的误差，刀具的磨损，测量的误差等等， 因此，由中心极限定理知零件的参数可以看成是服从 正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的， 则七个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量， 即设X i N ( xi , i2 ), i 1, 2, , 7
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考虑当成批生产，每批产量1000个时，如原设计 7个零件参数的标定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1， x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜 的等级。 请综合考虑y偏离y0的损失和零件成本，重新设计 零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较， 总费用降低多少？
x1 x2 x3 X4 X5 X6 x7
标准值容许范围 [0.075, 0.125] C等 / B等 25 A等 /
[0.225, 0.375] 20 50 / [0.075, 0.125] 20 50 200 [0.075, 0.125] 50 100 500 [1.125, 1.875] 50 / / [12, 20] 10 25 100 [0.5625, 0.9375] / 25 100 表1 零件参数标定值容许范围及其成本
x 1.16 4 x2
y的目标值为y0=1.5。当y偏离y0±0.1时，产品 为次品，质量损失1000元；当y偏离y0±0.3时，产 品为废品，质量损失9000元。
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零件参数的标定值有一定容许变化范围，容差分 A、 B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等 为±1%，B等为±5%，C等为±10%。7个零件参数 标定的容许范围及不同容差等级的成本见表1 （符号“/”表示无此等级的零件）。
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3、模型的初步建立
由于产品的参数y为零件参数的函数，也是随机 变量，记l(y)为生产一件产品造成的损失，则l(y)是 随机函数，且可表达为：
其中 y0 1.5 .
0, y y0 0.1, l ( y ) 1000, 0.1 y y0 0.3, 9000, y y0 0.3.
n 0
f (r ) p(r )dr (概率密度）
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r )] p(r )dr (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 备
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
建 模
r n 售出r 赚(a b)r
1.6 y 1.2 y 1.8 y 9 1 . ( y, t ) ( y, t ) ( y, t )
(4)
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最终数学模型如下：
7 3 1.4 y 1.2 y 1.8 y 6 3 1000 ci (ri ) L 10 10 cij dij ( y , t ) ( y , t ) ( y , t ) i 1 i 1 j 1 7
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三、 统计回归模型
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型. 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型. 回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型. • 不涉及回归分析的数学原理和方法 . • 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 . • 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进.
7 3 1.4 y 1.2 y 3 min Z ( x0 , d ) 10 cij dij 8 ( y, t ) ( y, t ) i 1 j 1 1.6 y 1.8 y 8 9 (5) ( y, t ) ( y, t ) ai xi bi , i 1, 2, ,, 7 s.t. 3 dij 1, dij 0或1， i 1, 2, ,, 7，j 1, 2, 3 j 1
一、 概率论在建模中的应用
例1. 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
购进太多卖不完退回赔钱
每天购进多少份可使收入最大？
分 购进太少不够销售赚钱少 析
应根据需求确定购进量.
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
(1)
生产一件产品的平均损失费用 L El ( y ) 1000[P(1.2 y 1.4) P (1.6 y 1.8)]
9000[ P( y 1.2) P ( y 1.8)].
(2)
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4、模型中变量的分布及参数的求解
需要解决下面两个问题： 用什么分布描述y？ 估计出分布后，如何计算相应的参数？ （1） 首先估计y的分布 可采用模拟的办法产生一批X=(X1,X2,…X7)的样 本，这样就得到了y的模拟样本，由此可以对y的分 布进行统计分析。
1.4 y 1.2 y 1.8 y 1.6 y L 1000 ( y, t ) ( y, t ) ( y, t ) ( y, t ) 1.2 y 1.8 y 9000 1 . ( y, t ) ( y, t )
n
P a b 1 取 n使 P2 bc
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
p
P1 O