角平分线定理、垂直平分线定理
中考专题垂直平分线与角平分线
线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质〔1〕垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设点C 在直线m 上，那么AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 〔2〕线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理〔1〕线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，假设AC ＝BC ，那么点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理〔1〕关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，假设直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，那么直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.〔2〕三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：假设三角形是锐角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形内部；假设三角形是直角三角形，那么它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；假设三角形是钝角三角形，那么它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，那么该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，那么该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么该三角形是钝角三角形.经典例题：m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，那么AC 的长等于〔 〕 A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 A E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是例2. ：如下图，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
角平分线和线垂直平分线
O
B
C
EF
4.如图,有一内地城市A和两个沿海城市B 和C,现决定在三个城市间建一个机场,使 得机场到A和B两城市的距离相等,而且使 C市到机场的距离最近,试确定机场的位置.
A．
B．
．C
5.数学课上,老师出了这样一道题:在等边 三角形ABC所在的平面上找一点P,使 △PAB、 △PBC 、△PAC均为等腰三角 形,问具有这种性质的点P共有多少个?MDGFra bibliotekF N
B
C
E
例1.已知:△ABC中，D为BC的中 点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E, EF⊥AB于F, EG⊥AC交AC的延长线于 G.求证:BF=CG.
A
FD B
C
G
E
1.已知:△ABC中，AD是它的角平分线, D为BC的中点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于 F,.求证:BE=CF.
BDC
(二)线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三
边的垂直平分线. A 求证:DE、FG、MN交于一点.
A
E
F
BD C
2.如图,已知∠AOB=300,P是∠AOB的平分 线上的一点,过点P作PC∥OB交OA于C,作 OD⊥OB于D,已知OC=4厘米,求PD的长.
A
C O
P DB
3.已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的 平分线交于O点, OB的垂直平分线交BC 于E, OC的垂直平分线交BC于F.
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质定理解析
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质
定理解析
垂直平分线
性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如何判定：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：
三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
相关方法总结：
出现一点到两点距离相等的题型，一般要用到垂直平分线；
题中看到线段垂直平分线，要想到垂直平分线垂直且平分线段，垂直平分线上点到线段两端点距离相等，相等边所对应角相等；
翻折题型中常用到垂直平分线、勾股定理。
角平分线
性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：
到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
角平分线通常用于求点到直线距离、三角形面积角度。
拓展三个概念：
重心：
三角形中线的交点，重心分中线上下比为2:1。
内心：
三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等。
外心：
三角形垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。
角平分线常见的四种辅助线做法：
①由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；
②以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；
③当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；
④过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形
——“角平分线+平行，必出等腰”。
2、垂直平分线与角平分线
第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。
垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。
2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。
典型例题1．如图，点D，E分别在△A B C的边A C、B C上，∠A B D：∠A：∠C＝2：6：5，若D E垂直平分B C，则∠B D E＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△A B C边A B、A C的垂直平分线D M、E N相交于O，M、N在B C边上，若∠M A N＝20°，则∠B A C 的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°4．如图，在△A B C中，边A C的垂直平分线交A C于点M，交B C于点N，若A B＝3，B C＝13．那么△A B N的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△A B C中，∠C＝30°，点D是A C的中点，D E⊥A C交B C于E；点O在D E上，O A＝O B，O D＝1，O E＝2，则B E的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，O P平分∠M O N，P A⊥O N于点A，点Q是射线O M上的一个动点，若∠M O N＝60°，O P ＝4，则P Q的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△A B C的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线C E相交于点P，若点P到直线A C的距离为4，则点P到直线A B的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在△A B C中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于M N长为半径画弧，两弧交于点O，作射线A O，交B C于点E．已知C E＝3，B E＝5，则A C的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△A B C中，∠C＝90°，点O为△A B C的三条角平分线的交点，O D⊥B C，O E⊥A C，O F ⊥A B，点D，E，F分别是垂足，且A B＝5，B C＝4，C A＝3，则点O到三边A B，A C和B C的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于M N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线A P交边B C于点D，若C D＝5，A B＝12，则△A B D的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A C，D F⊥A B，E，F分别是垂足，若B D＝2C D，A B＝6，则A C的长为（）A．3B．6C．9D．1212．如图，△A B C中，A D⊥B C交B C于D，A E平分∠B A C交B C于E，F为B C的延长线上一点，F G⊥A E交A D的延长线于G，A C的延长线交F G于H，连接B G，下列结论：①∠D A E＝∠F；②∠A G H＝∠B A E+∠A C B；③S△A E B：S△A E C＝A B：A C，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△A B C中，∠A B C＝30°，∠A C B＝50°，D E、F G分别为A B、A C的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠D A F的度数；（2）若△D A F的周长为10，求B C的长．14．如图，A B垂直平分线段C D（A B＞C D），点E是线段C D延长线上的一点，且B E＝A B，连接A C，过点D作D G⊥A C于点G，交A E的延长线与点F．（1）若∠C A B＝α，则∠A F G＝（用α的代数式表示）；（2）线段A C与线段D F相等吗？为什么？（3）若C D＝6，求E F的长．15．如图，D E⊥A B于E，D F⊥A C于F，若B D＝C D，B E＝C F求证：A D平分∠B A C．16．如图，D是∠E A F平分线上的一点，若∠A C D+∠A B D＝180°，请说明C D＝D B的理由．17．如图，A D∥B C，∠D＝90°．如图，若∠D A B的平分线与∠C B A的平分线交于点P，试问：点P是线段C D的中点吗？为什么？课后作业1．如图，在△A B C中，A B边的中垂线D E，分别与A B边和A C边交于点D和点E，B C边的中垂线F G，分别与B C边和A C边交于点F和点G，又△B E G周长为16，且G E＝1，则A C的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△A B C中，∠C＝90°，E D垂直平分A B，若A C＝12，E C＝5，且△A C E的周长为30，则B E的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△A B C中，A B，A C的垂直平分线D F，E G交于点M，点F，G在B C上．若∠G A F＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A B，垂足为E，A B＝20，C D＝6，若∠C＝90°，则△A B D面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，B M是∠A B C的平分线，点D是B M上一点，点P为直线B C上的一个动点．若△A B D的面积为9，A B＝6，则线段D P的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△A B C中，∠B＝90°，点O是∠C A B、∠A C B平分线的交点，且B C＝4c m，A C＝5c m，则点O到边A B的距离为（）A．1c m B．2c m C．3c m D．4c m7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，R t△A C B中，∠A C B＝90°，∠A B C的平分线B E和∠B A C的外角平分线A D相交于点P，分别交A C和B C的延长线于E，D．过P作P F⊥A D交A C的延长线于点H，交B C的延长线于点F，连接A F交D H于点G．则下列结论：①∠A P B＝45°；②P F＝P A；③B D﹣A H＝A B；④D G＝A P+G H．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共2小题）9．如图，在△A B C中，∠B A C＝90°，B E平分∠A B C，A M⊥B C于点M交B E于点G，A D平分∠M A C，交B C于点D，交B E于点F．求证：线段B F垂直平分线段A D．10．△A B C中，∠C＝90°，∠B A C的平分线交B C于D，且C D＝15，A C＝30，求A B的长．。
平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理
平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理在数学中，平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是关于平面向量的重要性质。
这两个定理在解决几何问题以及证明定理时起到了重要的推动作用。
在本文中，我们将探讨平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理的定义、性质以及应用。
1. 平面向量的垂直平分线定理平面向量的垂直平分线定理是指，对于一个平面内的两个不共线的向量a和b，垂直于向量a和向量b的直线称为向量a和向量b的垂直平分线。
具体而言，垂直平分线经过向量a的起点、向量b的终点以及二者的中点。
垂直平分线的性质如下：- 垂直平分线上的任意一点到向量a和向量b起点的距离相等。
- 垂直平分线将平面分成两个相等的部分。
- 垂直平分线上的任意一点与向量a和向量b之间的夹角都是45度。
垂直平分线定理的应用之一是解决平面三角形的问题。
通过构造垂直平分线，可以求解三角形的内切圆、外接圆、重心以及其他重要性质。
此外，垂直平分线还可以用于证明定理和性质，为进一步的数学推导提供基础。
2. 角平分线定理角平分线定理是指，对于一个平面内的两个相邻角，在它们共有的边上存在一条直线，称为角平分线。
具体而言，角平分线经过相邻角的顶点以及它们共有的边的中点。
角平分线的性质如下：- 角平分线将平面分成两个相等的部分。
- 角平分线上的任意一点到相邻角的两条边的距离相等。
- 角平分线将相邻角划分成相等的两个角。
角平分线定理的应用之一是解决几何问题中与角度相关的计算。
通过构造角平分线，可以帮助我们求解角的大小、证明定理以及推导几何性质。
角平分线在三角形、四边形以及其他多边形的研究中具有重要作用。
总结：平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是数学中关于平面向量的重要性质。
垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用使得我们能够更好地理解向量的性质和几何问题。
通过应用垂直平分线和角平分线定理，我们能够解决一些与平面向量和角度相关的问题，证明数学定理以及推导几何性质，为数学研究和实际应用提供了有力的工具。
三角形中的角平分线与垂直平分线
三角形中的角平分线与垂直平分线在数学几何学中，三角形是一个非常重要的概念。
从三条边的长度关系到三条角的关系，三角形的性质被广泛地研究和应用。
本文将讨论三角形中的两个重要概念：角平分线与垂直平分线。
角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在任意三角形中，每个角都存在一个角平分线。
设三角形的顶点为A，边AB和AC为两条边，角BAC为所给角，其角平分线为AD。
根据角平分线的性质，角BAD与角DAC相等，并且AD与BC相交于一点D。
这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，角平分线将对边分成两个相等的线段。
即BD=DC。
垂直平分线是指将一条线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直相交的线段。
在三角形中，每条边都存在一个垂直平分线。
设三角形的边BC为所给边，垂直平分线为AD。
根据垂直平分线的性质，AD与BC相交于一点D，并且BD=DC。
此外，AD与BC垂直相交，即AD⊥BC。
这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，垂直平分线将对边分成两个相等的线段，并且垂直于对边。
角平分线和垂直平分线在三角形的性质和应用中起着重要的作用。
下面，我们将讨论它们的几个重要性质。
性质一：一个三角形中的三条角的角平分线交于一点，该点称为该三角形的内心。
内心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。
性质二：一个三角形中的三条边的垂直平分线交于一点，该点称为该三角形的垂心。
垂心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。
性质三：一个三角形中，内心、垂心和重心是共线的。
重心是三角形中心的一种，它是三条中线的交点。
性质四：角平分线和垂直平分线可以相互垂直平分。
即角平分线同时也是对应角的垂直平分线，垂直平分线同时也是对应边的角平分线。
这个性质对于解决一些数学几何题目具有很大的帮助。
通过以上的论述，我们了解到了角平分线和垂直平分线在三角形中的重要性质和作用。
它们为我们解决三角形相关问题提供了很大的便利。
在实际中，我们可以利用这些性质来求解三角形的面积、边长、角度等。
角平分线和线段垂直平分线的性质
角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。
5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
人教新版数学初二(八年级)上册垂直角平分线和角平分线综合题型归纳总结
线段的垂直平分线与角平分线1 知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。
4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB于点D ， ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.图1图2图4定理的数学表示：如图5，∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图8BCD APBF2 垂直平分线题型例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=_________;（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是______;（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC=___.(如果BC=BE) Tip:求周长与角度变型：在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
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要点、考点聚焦
(3) 角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合. (4)互逆命题与互逆定理.
2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1) 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等. (2) 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上. (3) 用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理.如图4-4-2所示.
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3.如图所示，在△ ABC中， P为BC上一点，PR⊥AB于 R，PS⊥AC 于 S，AQ=PQ，PR=PS， 下 面 三 个 结 论 ： (1)AS=AR(2)QP∥AR(3)△BRP≌△CSP，正确的是 ( A ) A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.全对.
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1.(2004· 四川)如图，已知点C是∠AOB平分线上一点， 点P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP' ，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果 ①或②或④ 的序号 。 ① ∠ OCP= ∠OCP' ;② ∠ OPC= ∠OP' C ; ③PC=PC ' ;④PP' ⊥OC
典型例题解析
【例4】 (2003· 黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示， BD、CE 分别是△ ABC 的外角平分线，过点 A 作 AF⊥BD， AG⊥CE，垂足分别为 F、G.连接 FG，延长 AF、AG、与 直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若BD· CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2) 所示). (2)BD 为△ ABC 的内角平分线， CE 为△ ABC 的外角平 分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此 两种情况下，线段 FG 与△ ABC 三边又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
要点、考点聚焦
性质定理：∵PC是线段AB的中垂线 ∴PA=PB 逆定理：∵PA=PB ∴点P在AB的中垂线上. 【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线. (4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.
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1.下列说法正确的是( C ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题. 图4-4-3 2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有( D ) A．1处 B.2处 C.3处 D. 4处
要点、考点聚焦
1.角平分线的性质定理和逆定理
性质定理 (1)点在角平分线上 点到这个角的两边的距 判定定理 离相等. (2) 用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理 . 如 图4-4-1所示. 性质定理：∵P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 逆定理：∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上.
2
2
1 ∴ AD DC 2来自图4-4-10(1)图4-4-10(3)
图4-4-10(2)
1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍 . 2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论——过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.
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2.(2004· 河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意 图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果 一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射）， 那么该球最后将落入的球袋是 ( ) B A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋
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3.(2004· 广州)如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角 △ABC的中线，且 AC=AB ，给出下列结论①AE=2AC ；② CE=2CD；③ ∠ACD=∠BCE； ④CB平分∠DCE。请写出 正确结论的序号 ①②④ 。
典型例题解析
【例 1 】 如图所示，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC， BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等 于第三条线段，并证明你的猜想的正确性 ( 证明你的猜想 需用题中所有的条件)
AB+AD=BC
典型例题解析
【例2】 (2003· 河南省)已知：如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足 为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.
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4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的 垂 直 平 分 线 交 BC 于 D， 交 AB 于 E，DB=10cm， 则 AC=( C ) A.6 B.8 C.5 D.10
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5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分 线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= 36° .
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4.(2004· 呼和浩特 ) 如图，在△ ABC 中， BA=BC ，∠ B 1 ＝120°，AB的垂直平分线交AC于D，求证： AD DC
证：连接BD。 ∵AB的垂直平分线交AC于D，∴DA=DB。 ∵AB=BC， ∠B＝120°， ∴ ∠A＝∠C＝30°, ∴ ∠A＝∠ABD＝30°, ∴ ∠DBC＝90°, 1 ∵ Rt△DBC中,有DB DC
典型例题解析
【例3】 (2003· 浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的 设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中 A、B、C、D 均为焊接点，且 AB=AC、D 为 BC 的中点， 现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出 BC的中点 D. 如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快 速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( C ) A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AD和BC，焊接点D D.AB和AD，焊接点A