凸模糊函数判别法

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模糊模式识别

模糊模式识别1 模糊模式识别的原则(1) 最大隶属原则当模式是模糊的，被识别对象是明确的，问题可以描述如下：设有n 个模式，它们分别表示成某论域X （X 可以是多个集合的笛卡儿乘积集）的n 个模糊子集12,,,n A A A，而0x X ∈是一个具体被识别的对象，若有},2,1{n i ∈，使得12()m ax{(),(),,()}inA o A o A o A o x x x x μμμμ=则认为0x 相对属于模式i A。

对事物进行直接识别时，所依据的是最大隶属原则。

这种方法适合处理具有如下特点的问题：a 用作比较的模式是模糊的；b 被识别的对象本身是确定的。

(2) 贴近度原则当模式及被识别对象都是模糊的，问题可以描述如下：设论域X 的模糊子集12,,,n A A A代表n 个模糊模式，被识别的对象可以表示成X 的子集B，若有},2,1{n i ∈，使得12(,)max{(,),(,),,(,)}i n B A B A B A B A σσσσ=则认为B相对合于模式A。

在模糊模式识别的具体应用中，关键是模式或被识别对象的模糊集合的构造，即如何建立刻画模式或对象的模糊集合。

根据实际应用来看，通常有三种主要方法，简单模式的识别方法，语言模式的识别方法和统计模式的识别方法。

2 模糊模式识别方法（一）简单模式的模糊模式识别具体的模糊模式识别工作可分为如下三个步骤：1）选取模式的特征因子集合},,,{21n X X X =X，被识别的对象表示为nni i XXX X ⨯⨯⨯∆∏= 211上的向量（),,,21n x x x ，,1,2,,,i i x X i n ∈= 或者表示为∏=ni i X 1上的模糊子集；2）建立模糊模式的隶属函数()A X μ,1()ni i A F X =∈∏；3）利用最大隶属度原则或贴近度原则对被识别的对象进行归属判决。

特征因子(1,2,,)i X i n = 的选取直接影响识别的效果，它取决于识别者的知识和技巧，很难做一般性讨论，而模式识别中最困难的是建立模式的隶属函数，人们还没有从理论上彻底解决隶属函数的确定问题。

凸函数与严格凸函数的几个新判别准则

第35卷第1期2018年 2月贵州大学学报（自然科学版）J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)Vol.35 No.1Feb.2018文早编号1000-5269 ( 2018 # 01-0015-06 D O I ：10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.04凸函数与严格凸函数的几个新判别准则杨丹，旷华(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)摘要:在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准则，所获结果比一些相应已知结果更具一般性。

关键词：A函数;严格A函数;判别准则中图分类号:〇175 文献标识码：A凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析及其应用中的一个重要研究内容，这个研究内容可简述为$在一定条件下，如何判断一个函数是凸函数或特定类型的广义凸函数？一般地，设N是拓扑线性空间，=4N是一个非空凸子集，以下函数类定义见[1-7]。

定义1如果V7V" =，#"" [0，1]，都有 /(入7 + (1 - A)y)&A/(7)+ (1 - A)/(y)，贝I J称 /(7为=上的凸函数。

定义 2 如果 V7V" =，7$V，V A" (〇，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7)+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的严格凸函数。

定义 3 如果 V7V " =，/(7$/(V)，V A" (0，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的半严格凸函数。

定义4 如果V7V" =，VA" (0，1)，都有 /(A7 + (1 - A)v)&m ax j/(7)，/(v) +，则称/(7)为=上的拟凸函数。

凸函数的判别和应用

文（设计）成绩评定表二
学号：2004104509 姓名：林庆年级：2004 级专业：数学与应用数学
专业答辩小组意见：
林庆同学在论文答辩过程中，回答问题较准确，
流畅，概念清晰，反映出该同学数学基础较好，论文写
作态度认真，准备较充分，并能了解新问题和解决问题
的方法，能充分利用所学知识解决问题.该同学所写论文
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字：签字：
年月日年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆年级：2004 级专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义，文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮助和实用价值.
例如判别函数2fxx?的凸性则可在其定义域????上任取123xxx且123xxx??由该定理得222321132213xxxxxxxxx?????22232112232213xxxxxxxxxxx????????222232122132xxxxxxxx??????321212213232xxxxxxxxxxxx????????32121223xxxxxxxx??????3221310xxxxxx?????
例如判别函数 f (x) ex 的凸性，在其定义域 (, ) 上，可取 x1 x2 x3 ，则
f (x2 ) f (x1) x2 x1
ex2 ex1 x2 x1

模糊集合

精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同一空间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8

判断函数凸性的若干方法

JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA （SCIENCE AND TECHNOLOGY ）中国传媒大学学报（自然科学版）第27卷，第6期Vol 27，No 62020年12月Dec ，2020判断函数凸性的若干方法吴菁菁，朱永贵（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京100024）摘要：凸函数和严格凸函数是线性规划和非线性规划都要涉及的基本概念，关于凸函数和严格凸函数的一些定理在凸分析以及最优化问题的理论证明中具有重要作用。

本文分别利用不等式方法及求解Hesse 矩阵方法判断多元二次函数的凸性。

关键词：凸函数；严格凸函数；Hesse 矩阵中图分类号：O174．13文献标识码：A文章编号：1673－4793（2020）06－0079－05Several methods for determining the convexity of a functionWU Jing-jing ，ZHU Yong-gui（College of Data Science and Intelligent Media ，Communication University of China ，Beijing 100024，China ）Abstract ：convex function and strictly convex function are the basic concepts involved in linear program-ming and nonlinear programming．Some theorems about convex function and strictly convex function play an important role in the theoretical proof of convex analysis and optimization problems．In this paper ，we use inequality method and Hesse matrix method to judge the convexity of quadratic functions．Key words ：convex function ；strictly convex functions ；Hesse matrix1引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用。

凸函数的性质与应用

摘要本文首先给出了凸函数的几种定义,然后给出了凸函数的几个重要性质,最后举例说明了凸函数在微积分和不等式证明中的应用.关键词: 凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractIn this paper,firstly we list several kinds of definition for convex functions, then we give several important properties about convex functions, finally we discuss the applications of convex function in differential calculus and the proof of inequality.Keywords: integral properties of convex functions ; inequality of convex functions目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)0引言 (1)1 凸函数的概念 (1)2 凸函数的判定 (2)3 凸函数的性质 (4)4凸函数的应用 (10)4.1 凸函数在数学分析中的应用 (10)4.2 利用凸函数的性质证明不等式 (13)5小结 (15)参考文献 (16)0 引言凸函数是一类非常重要的函数,其概念最早出现在Jensen [1905]编写的文献中.自20世纪初建立凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在数学等其他领域获得广泛应用.诸如模具设计、运筹与控制理论等方面具有重要的理论和实践意义.同时它在基础数学和应用数学的众多领域中被广泛应用,现已成为数学规划、对策论、数理经济等学科的理论基础和有力工具.文献[]9,作者给出了凸函数的8种定义，其次,凸函数也是一种性质特殊的函数[1][16],截止目前,对凸函数的研究已经从定义的研究[9-12]到凸性的研究[16],再到凸性应用方面的研究.对函数凸凹性的研究,在数学中的多个分支都有用处,于是研究凸函数的一些性质就显得十分必要了.1 凸函数的概念函数2()f x x =图象的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的线段下方. 一般地，设函数()f x 在区间[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧段总位于两点连线段的下方,则称函数()f x 是凸函数.图行表示如下(见图1),即可知213l l l k k k <<图1以上定义仅对凸函数作了直观描述,下面我们给出精确定义.定义1 设()f x 在区间I 上有定义,()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,(0,1)x x I λ∀∈∀∈,有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-上式中“≤”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当12,,x x I ∀∈有1212()().22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭定义3 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 上为凸函数当且仅当1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭定义4 ()f x 在区间I 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线下方,则()f x 凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则曲线()f x 是严格凸的.注1：定义2与定义3等价.注2：若()f x 连续,则定义1,2,3都是等价的.2 凸函数的判定下面介绍凸函数的判定定理.定理1 函数()f x 是区间(),m n 上的凸函数的充要条件为对于(),m n 上的任意三点1x ,2x ,3x 123()x x x <<,总有()()()()21322132f x f x f x f x x x x x --≤--. 定理2 设()f x 在区间I 上可导,则下述论断互相等价:1）()f x 是区间I 上的凸函数; 2）()f x '是区间I 上的增函数;3）对区间I 上的任意两点1x ,2x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-.证明：1)2)⇒在区间I 上任取两点1x ,2x ()12x x ＜,对充分小的正数h ,由于1122x h x x x h -+＜＜＜,所以由定理1得()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h ---+-≤≤-,因()f x 是区间I 上的可导函数,令0h +→可得()()211221()()f x f x f x f x x x -''≤≤-,所以()f x '是区间I 上的增函数.2)3)⇒在以1x ,2x ()12x x ＜为端点的区间上,由Langrange 中值定理和()f x '是区间I 上的增函数得()()()2121121()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后得()21121()()()f x f x f x x x '≥+-,且当12x x ＞时仍可得到相应的结论.3)1)⇒任取区间I 上的任意两点1x ,2x ()12x x ＜,()3121x x x λλ=+-,其中 01＜＜λ,由3）并利用()()13121x x x x λ-=--与()2321x x x x λ-=-得()()()()()()()133133312()1f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--()()()()()()233233321()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-分别用λ和1λ-乘以上述两式并相加,便得()()()()()12312()11f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-则()f x 是区间I 上的凸函数.定理3 设()f x 是区间I 上的二阶可导函数,则在区间I 上()f x 是凸函数的充要条件为()0f x ''≥,x I ∈.3 凸函数的性质下面我们将看到凸函数的一些性质性质1 若()f x 是区间I 上的凸函数,则 a.若0β≥,则()y f x β=在I 上为凸函数； b.若0β<,则称()y f x β=在I 上为凹函数.性质2 若()f x ,()g x 是区间I 上的凸函数,则(){}max (),()M x f x g x =在I 上为凸函数.证明：因()f x ,()g x 为I 上的凸函数,则在I 上任意两点1x ,2x 和正数(0,1)λ∈,总有121212((1))()(1)()()(1)()f x x f x f x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+- 121212((1))()(1)()()(1)()g x x g x g x M x M x λλλλλλ+-≤+-≤+-,{}121212((1))max ((1)),((1))M x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-12()(1)()M x M x λλ≤+-.因此,(){}max (),()M x f x g x =为I 凸函数.推论1 若()i f x 1,2,,i n （）=为凸函数,则()()()(){}12max ,,,n F x f x f x f x =为凸函数.性质3 若()f x ,()g x 为区间I 上的凸函数,则()()()F x f x g x =+为凸函数.推论2 若()i f x 是I 上的凸函数,则()()1ni i F x f x ==∑ (1,2,,i n =)为I 上的凸函数.性质4设()f x ,()g x 都为区间I 上非负单调递增(递减)的凸函数,则()()()F x f x g x =在区间I 上是凸函数.证明因()f x ,()g x 都是I 上的非负单调递增(递减)的凸函数,则对I 上任意两点1x ,2x 有[][]2121()()()()0f x f x g x g x --≥,12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+,又因为()f x ,()g x 是非负的凸函数,即对I 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, 1212((1))()(1)()g x x g x g x λλλλ+-≤+-.所以121212((1))((1))((1))F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-[][][][]12122222112211222112221111221()(1)()()(1)()=()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()()()(1)()()=+()()(1)(1)()()()f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x F x （1-）λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤+-+-+-++-≤+-++-+-+-=2(1)()F x λ+-即证.注：非负不能少.性质5 a.若()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凹函数(凸函数).b.若()f x 是偶函数,且当0x ≥时,()f x 是凸函数(凹函数),那么当0x ≤时,()f x 是凸函数(凹函数).性质6 若()y f x =是(),m n 上的连续递增的凸函数,则()1x f y -=是递增的凹函数.证明因()f x 是(),m n 上的凸函数,所以对(),m n 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又()y f x =在(),m n 上连续单调递增,故反函数单调性不变,则有11121212(()(1)())(((1))(1)f f x f x f f x x x x λλλλλλ--+-≥+-=+-,所以()1x f y -=是递增的凹函数.性质7 若()f x 为区间H 上的凸函数,11:g R R →为单调增加的凸函数,则()()g f x 亦为凸函数.证明因()f x 为凸函数,即对H 上任意两点1x ,2x 和()0,1λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.又11:g R R →为单调增加的凸函数,所以121212(((1)))(()(1)())(())(1)(())g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-. 即()()g f x 亦为凸函数.下面我们将看到有关凸函数的几个定理定理4设()f x 在区间I 上有定义,则下列四个条件等价（其中各不等式要求对任意123,,,x x x I ∈123x x x <<恒成立）：（i ）()f x 在I 上为凸函数；（ii ）31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--； (iii)31323132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--；(iv)32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--.推论3若()f x 在区间I 上为凸函数,则I 上任意三点123x x x <<,有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---. 注：几何意义是分别连接曲线()f x 上的两点()()111,A x f x ,()()222,A x f x 的弦的斜率2121()()f x f x x x --不超过()()333,A x f x 与()()111,A x f x 的弦的斜率3131()()f x f x x x --,不超过()()333,A x f x 与()()222,A x f x 的弦的斜率3232()()f x f x x x --.推论4 若()f x 在区间I 上的凸函数,则0,x I ∀∈过0x 的弦的斜率()k x =00()()f x f x x x --是关于x 的增函数（若f 为严格凸的,则()k x 严格增）.推论5 若()f x 为区间I 上的凸函数,则I 上任意四点s t u v <<<有()()()()f t f s f v f u t s v u--≤--推论6 若()f x 为区间I 上的凸函数,则对I 上的任一内点x ,单侧导数(),()f x f x +-''皆存在,皆为增函数,且()()f x f x -+''≤ 0()x I ∀∈这里0I 表示I 的全体内点组成之集合.（若f 为严格凸的,则'f +与'f -为严格递增的）.证明因为x 是内点,故12,,x x I ∃∈使得12x x x <<,从而（利用推论3）,1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--.再由推论4所述,当1x 递增时,11()()f x f x x x --也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且10'1212()()()()()=limx x f x f x f x f x f x x x x x--→--≤--. 同理,在此式中,令2x x →时,可知'()f x +存在,且''()()f x f x -+≤.最后由推论5中的不等式重新取相应的极限,可知'f +与'f -皆为增函数.推论7 若()f x 在区间I 上为凸的,则f 在任一内点x ∈0I 上连续.事实上推论6知f +'与f -'存在,所以f 在x 处左右都是连续的.定理5 设函数()f x 在区间I 上有定义,则()f x 为凸函数的充要条件为00,x I ∈α∃,使得x I ∀∈,有()f x 00()()x x f x α≥-+.证明（必要性）因()f x 为凸函数,由上面的推论6知,0'00,()x I f x -∀∈存在且'000()()()f x f x f x x x --→-.由此任取一'0(),f x α-≥则0x x <时有00()()()f x x x f x α≥-+因''00()f x f x -+≤(),所以对任一α:''00()(),f x f x x I α-+≤≤∀∈恒有()f x 00()()x x f x α≥-+.(充分性)设123x x x <<是区间I 上的任意三点,由已知条件可知222,,()()()x f x x x f x αα∀∃≥-+()x I ∀∈,由此令1x x =和3x x =,可以得到32123212()()()()f x f x f x f x x x x x α--≥≥--, 由定理1可知()f x 为凸的.定理6 设()f x 在区间I 上有导数,则()f x 在I 上为凸函数的充要条件是()()f x I '∈x 递增.证明（充分性）12,x x I ∀∈,不妨设12x x <及λ∈（0,1）,记12(1)x x x λλ≡+-,则1212()[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ≡+-≤+-或12()()(1)()0f x f x f x λλ---≤ （1）由于()()(1)()f x f x f x λλ=+-则（1）是等价于12[()()](1)[()()]0f x f x f x f x λλ-+--≤ （2）应用Largrange 定理,12,:,x x εηεη∃<<<使得''1212[()()](1)[()()]()()(1)()()f x f x f x f x f x x f x x λλλελη-+--=-+--,但112121[(1)](1)()x x x x x x x λλλ-=+--=--, 212212[(1)]()x x x x x x x λλλ-=+--=-.故（2）式左端12''22121[()()](1)[()()]()(1)()(1)()()(1)()[()()]f x f x f x f x f x x f x x x x f f λλλελληλλλεη=-+--=--+--''=--- 按已知条件()()f x I '∈x 递增,得知()()f f εη''≤,从而上式≤0,(2)式获证. （必要性）由定理1的推论6,()f x +'在0I 内为递增的,因()f x '存在,故()()f x f x +''=亦在0I 内为递增的,若I 有右端点b ,按照已知条件f 在b 点有左导数,0x I ∀∈易知''''()()()()()()f x f b f x f x f b f b x b+--=≤≤=-同理,若I 有左端点a ,则()(),f a f x ''≤即()f x '在I 上为递增的.定理7 （Jensen 不等式）若()f x 为[a,b]上的凸函数,则[,]i x a b ∀∈ ,0i λ>(1,2,...,)i n =,11,ni i λ==∑,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.证明应用数学归纳法.当n=2时,由定义1命题显然成立.设n=k 时命题成立,即对任何12,,...,[,]k x x x a b ∈与10,1,2,...,,1ni i i i k αα=>==∑都有11()()k ki i i i i i f x f x αα==≤∑∑现设121,,...,,[,]k k x x x x a b +∈及0i λ>(1,2,,1)i k =+,111k i i λ+==∑.令1,1ii k （1,2，k)λαλ+=- 则11ki i α==∑,由数学归纳法假设可推得1111111()[(1)]1ki ik i i i k k k i k xf x f x λλλλλ+=+++=+=-+-∑∑111111111111111(1)()(1)()()=(1)()()1=()kk i i k k i kk i i k k i kik i k k i k k i i i x f x f x f x f x f x f x λαλλαλλλλλλ+++=+++=+++=++=≤-+≤-+-+-∑∑∑∑即对任何正整数n(n 2)≥,上述不等式成立.推论8设()f x 在区间I 上是凸函数,则对于任意的12,,...,m x x x I ∈和120m βββ>，，...,都有1122111212...()...()()......m m m m m mx x x f x f x f βββββββββββ+++++≤++++++.4 凸函数的应用接下来将我们介绍凸函数在数学分析、不等式中的应用.4.1 凸函数在数学分析中的应用例1 设函数()f x 在区间I 上是凸函数,试证：()f x 在I 上的任一闭子区间上有界.证明设[,]a b I ⊂为任一闭子区间， ①（证明()f x 在[,]a b 上有上界）[,],x a b ∀∈取[0,1],x ab aλ-=∈-(1)x b a λλ=+-. 因()f x 为凸函数,所以()[(1)]()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+-≤+-≤+-=其中max{(),()}M f a f b =.故在[,]a b 上有上界M ； ②（证明()f x 在[,]a b 上有下界）记2a bc +=为,a b 的中点,则[,]x a b ∀∈,有关于c 的对称点x ',因为()f x 为凸函数,所以()()11()()222f x f x f c f x M '+≤≤+,从而有()2()f x f c M m ≥-≡,即m 是()f x 在[,]a b 上的下界.例2 设()f x 是区间(,)a b 内的凸函数,试证：()f x 在I 上的任一内闭区间[,][,]a b αβ⊂上满足Lipschitz 条件.证明要证明()f x 在区间[,]αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明：0,L ∃>使得12,[,]x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤- （3）因为[,][,]a b αβ⊂, >0h ",使得[,](,)h h a b αβ-+⊂,12,[,],x x αβ∀∈若12,x x <取32x x h =+.由凹函数的性质,有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 其中M,m 分别表示()f x 在[,]h h αβ-+上的上下界,从而2121()()M mf x f x x x h--≤- （4）若21,x x <可取32,x x h =-由()f x 的凸性,有()23122312()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 从而()21322132()()()f x f x f x f x M mx x x x h---≤≤-- 由此可知(4)式成立.若12x x =,则（4）式明显成立.这就证明了（4）式对一切12,[,]x x αβ∈皆成立.因此（4）式当1x 与2x 互换位置也成立,故有2121()()M mf x f x x x h--≤-,令,M mL h-=则（3）式也获证. 例3 设()f x 为区间(,)a b 内的凸函数,并且有界,试证明极限 lim ()x af x +→与lim ()x b f x -→存在.证明设(,)x a b ∈时10x ≤>>f(x)M,x x 为(,)a b 内任意三点,根据()f x 的凸性当x 递增时00()()f x f x x x --也递增.又因为0010010()()()()f x f x M f x x x x x x x x --≤∀>>--,根据单调有界原理,有极限00()()limx b f x f x A x x →--=-,从而000000()()lim ()lim ()()()()x b x b f x f x f x x x f x A b x f x x x --→→⎡⎤-=-+=-+⎢⎥-⎣⎦亦存在.例4设()f x 是区间[,]a b 上连续的凸函数.试证:1212,[,],x x a b x x ∀∈<,有21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≤≤-⎰. 证明令 121(),(0,1),t x x x λλ=+-∈则2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰ (5) 同理,令221()t x x x λ=--,亦有2111210211()[()]x x f t dt f x x x d x x λλ=+--⎰⎰从而21112122102111(){[()][()]}2x x f t dt f x x x f x x x d x x λλλ=+-+---⎰⎰ （6) 其中121()x x x λ+-与221()x x x λ--关于中点122x x +对称.由于()f x 是凸函数, 故由（6）式得2112211()()2x x x x f t dt f x x +≥-⎰另外,由（5）式,应用()f x 的凸性211210211()[(1))]x x f t dt f x x d x x λλλ=+--⎰⎰ 12101122122100()(1)()]()()(1)()()222f x f x d f x f x f x f x λλλλλ≤+-⎡⎤⎡⎤+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰4.2 利用凸函数的性质证明不等式例 5 设111,1,1αβαβ>>+=及0,0(1,2,...,)i i a b i n >>=则有Holder 不等式成立：11111()()n nni iiii i i a b a b αββα===≤∑∑∑当且仅当i a α与i b β成正比例时等号成立.证明取()(1,0)f x x x αα=><<+∞,因为2()(1)0f x x ααα-''=->,所以()f x x α=在(0,)+∞上为凸函数,由定理7的推论9得:112211221212......()......n n n n n nt x t x t x t x t x t x t t t t t t αααα+++++≤++++++ 即1111()()()nnni i i i i i i i t x t x t ααα-===≤∑∑∑,亦即11111()()nnni ii i i i i i t xt x t αααα-===≤∑∑∑令,1αβα=-则有11111ααβαα-+=+=,于是有 11111()()n nni i i ii i i i t x t xt αβα===≤∑∑∑令1,i i i i i t b x t a βα-==,则有11111()()n nni i ii i i i a b ab αββα===≤∑∑∑当i a α与i b β成正比例时,即i i a kb αβ= (k 为正常数,1,21,i n n =-)111111111111()()()nnnnni i i i i i i i i i i i i a b k b k b a b a b ββαββββαβαααα+-==========∑∑∑∑∑∑当i a α与i b β不成正比例时,i t 不全相等,又因为()f x x α=在(0,)+∞为严格凸函数,故严格不等式成立.例6应用Jensen 不等式证明：设0(1,2,....)i i n >=a ,有1212111n n a a a a a a n n++≤≤++⋅⋅⋅+ 证明取函数()ln f x x =,(0,)x ∈+∞.由21()0,f x x''=-<f 是区间(0,)+∞上严格凹函数,则对12,,...(0,)n a a a ∀∈+∞及1(1,2,...),i i n n N nλ+==∈ 1. 12...n a a a ===,则上式等号成立； 2.若1,2,...,n a a a 不全相等,则由Jensen 不等式11()()n ni i i i i i f a f a λλ==≥∑∑（7）即12121211ln(...)[ln ln ...ln ]ln(...)n n n a a a a a a a a a n n n n n+++≥+++= 1111n ni i i i i i f f a a λλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ （8）即121212*********ln(...)(ln ln ...ln )ln ...n n nna na na n a a a n a a a +++≥+++= 12111111ln(...)ln ln ...n n n a a a a a a n⇒++-≥- 因为f 在(0,)+∞上单调递增,综合（7）（8）结论得1212111...nn a a a a a a n n ++≤≤++, 命题成立.5 小结凸函数的性质及其应用还有很多方面值得探讨,例如利用凸函数的性质验证级数的敛散性,广义凸函数求极值等问题,由于篇幅有限没能一一介绍,在以后的研究中还需不断探索和完善.致谢本文是在彭定忠老师的指导和帮助下完成的, 谢谢老师,老师您辛苦了!参考文献[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1980.[2] 裘兆泰. 数学分析学习指导[M]. 北京: 科学出版社,2004.[3] 徐利治. 大学数学解题法诠释第一版[M]. 安徽：教育出版社,1999.[4] 徐利治. 数学分析的方法和例题选讲[M]. 北京:高等教育出版社,1984.[5] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M]. 北京:高等教育出版社,1988.[6] 张从军. 数学分析[M]. 安徽:安徽大学出版社, 2000.[7] 欧阳光中,姚允龙. 数学分析概要二十讲[M]. 上海：复旦大学出版社,1999.[8] 张筑生. 数学分析新讲[M]. 北京：北京大学出版社,1991.[9] 华东师范大学数学系. 数学分析第三版[M]. 北京:高等教育出版社,2001.[10]刘国华等, 关于凸函数的八个等价定义[J]. 河北建筑科技学院学报, 2003,20(3):82-83.[11]俞文辉, 凸函数不同定义间的关系及其应用[J]. 南昌高专学报, 2005,60(5):112-113.[12]郭素霞, 关于凸函数定义的讨论[J]. 衡水师专学报, 2000, 2(4):49-52.[13]钟伟等, 凸函数的几种不同定义及应用[J]. 九江学院学报, 2007, 11(3):74-77.[14]刘鸿基, 关于凸函数的两个充分必要条件[J]. 菏泽学院学报, 2005, 19(9):78-79.[15]周科, 凸函数等价性命题证明[J]. 渝州大学学报, 2000, 17(4):18-21.[16]刘仁义, 关于凸函数的判定[J]. 九江师专学报, 1999, 18(3):1-8.[17]向日光, 对函数凸性定义的诠释[J]. 遵义师范学院学报, 2005, 7(4):49-50.[18]周翠莲, 凸函数定义的进一步研究[J]. 山东工程学院学报, 1996, 10(3):26-31.。

02-凸函数

02-凸函数02-凸函数⽬录⼀、基本性质和例⼦[凸函数] ⼀个函数 f:R n→R 是凸的，如果定义域 dom f 是凸集，并且对于所有 x,y∈f,θ≤1 ，我们有 f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y).注：如果不能理解，从⼆维⾓度去理解⼏何解释：点 (x,f(x)) 和 (y,f(y)) 之间的线段在f对应的图像上⽅。

函数f是严格凸的，如果以上不等式在x≠y，且 0<θ<1 时也成⽴.函数f是凹的，当 −f是凸的，严格凹，当 −f是严格凸的。

仿射函数既是凸的也是凹的，反过来，既凹⼜凸的函数是仿射的。

⼀个函数是凸的当且仅当对任意x∈dom f和任意v，函数g(t)=f(x+tv) 是凸的， {t|x+tv∈dom f}.注：其实只是修改了⾃变量的表⽰，⼜由于⾃变量的集合是凸集，线性表⽰后仍然是凸集˜f:R n→R∪{∞} ,[扩展值] 将凸函数扩展到整个 R n ，通常令它在定义域之外取 ∞ 。

如果 f 是凸函数那么它的拓展为{˜f(x)=f(x)x∈domf∞x∉domf[⼀阶条件] 令函数 f 是可微的（也就是它的梯度 ∇f 在开集 domf 的每个点上都存在）。

那么 f 是凸的，当且仅当 domf 是凸的，并且对所有的 x,y∈domf 有：f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x).注：其实同样可以从⼆维⾓度的考虑，⽆⾮就是 dy，也就是函数图像永远在某⼀点的切上上，同时 f(x)+∇f(x)T(y−x) 相当于 f 在 x 的⼀阶泰勒近似，如果你对泰勒展开公式熟悉，更好理解，因为泰勒展开是⽆穷阶的，只不过此处做了省略在每个点上，函数图像都⾼于在该点的切线。

解释：y的仿射函数f(x)+∇f(x)T(y−x) 是f在靠近x处的⼀阶泰勒近似。

上述不等式表达了这个⼀阶泰勒近似是函数的全局下限（globalunderestimator），反过来，如果函数的⼀阶泰勒近似总是函数的全局下限，那么这个函数是凸的。

凸函数的判定条件

凸函数的判定条件在数学分析中，凸函数是一个非常重要的概念。

它具有很多优良的性质和应用，如优化、最小化、最大化等等。

因此，凸函数的研究是数学分析研究的一个重要方向。

本文将介绍凸函数的判定条件。

一、凸函数的定义在正式介绍凸函数的判定条件之前，先回顾一下凸函数的定义。

设$f$是定义在区间$I$上的实值函数，若对于$I$中的任意两个点$x_1$和$x_2$以及任意的$\lambda\in [0,1]$，都满足$$f(\lambda x_1+ (1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1) +(1-\lambda)f(x_2)$$则称函数$f$是$I$上的凸函数。

二、一阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有一阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f'$在$I$上单调不减。

也就是说，如果在$I$上$f''(x)\geq 0$，则$f$是$I$上的凸函数。

这个结论的证明可以使用割线法，即对$f$的两个点$x_1$和$x_2$，连结它们之间的割线。

由于$f$是凸函数，故割线上每一点的函数值都小于等于$f$在该点处的切线函数值。

利用切线的定义，即$f(x_2)-f(x_1) =f'(x_1)(x_2-x_1)+o(x_2-x_1)$，得到$f(x_2)-f(x_1)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)$，即$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq f'(x_1)$。

因此，如果$f'$在$I$上单调不减，则$f$是凸函数。

反之亦然。

三、二阶导数的判别法如果函数$f$在区间$I$上具有二阶导数，则$f$是$I$上的凸函数的充分必要条件是$f''(x)\geq 0$。

这个结论的证明可以使用Taylor公式。

设$x_0$为$I$上的任意一点，则对于$x\ne x_0$，有$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(c)$$其中$c$在$x$和$x_0$之间。

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≠X2
, 恒有
f
～
(
X2)
≥f ～
(
X1)
+
f(
～
X1)
T(
X2
-
X1) .
(4)
证明 (1) 必要性
设 f ( X) 为 D上的凸模糊函数 ,则对任何 λ∈[0 ,1 ] ,有
～
～
f
～
[λX2
+
(1 - λ)
X1
]
≤λf ～
(
X2)
+
(1
-
λ)
f
～
(
X1)
=
f
～
(
X1)
+λ[ f ～
(
X2)
-
f
文章编号 :100128220 (2001) 0320274204
凸模糊函数判别法
曾林泽1 ,敬加强2 ,肖芳淳2
(11 川北医学院基础部 ,四川南充 637007 ; 21 西南石油学院基础部 ,四川南充 637001)
摘要 :介绍了在工程与电子网络优化等领域中因客观事物的模糊性而自然存在的凸模糊集与凸模糊函数的相
Abstract :Convex fuzzy sets and function exists naturally in the scopes such as engineering and electronic network opti2 mum because of the fuzzy properties of impersonal things. Their correlative concepts and properties are expounded. The sufficient and necessary conditions of two kinds of convesx functions are demonstrated. A discrimination Method of Conv2 sex Fuzzy Function is proposed. Its applied method is illustrated. And the results show the validity and reliability. This method is the extension of convex analysis and has a wide application fields such as mathematical programming and opti2 mizing control theory.
第 22 卷第 3 期
曾林泽 ,等 :凸模糊函数判别法
275
212 凸模糊函数
设 D为 Rn中的一个凸模糊集 , f ( X) 为定义在 D上的函数 , 若对任意实数 λ∈[0 , 1 ] , 以及 D中任意两
～
～
～
～
点 X1与 X2 ,恒有
f
～
[λX1
+
(1 - λ)
X2 ]
≤λf ～
(
集.
凸模糊集具有下列性质 :
性质 1 设 A ∈f ( X) , A是凸模糊集的充要条件为 Πλ∈[0 ,1 ] , A (λ) 是区间.
～
～
～
性质 2 若 A与 B是凸模糊集 ,则 A ∩B也是凸模糊集.
～
～
～～
收稿日期 :2001 - 04 - 25 作者简介 :曾林泽 (1964 - ) ,男 ,四川蓬溪人 ,川北医学院基础部讲师 ,主要从事物理学教学与科研工作.
f ( X +λZ) = f ( X) +λ f ( X) T Z + (λ2/ 2) ZTH ( X) Z + 0 (λ2) .
(12)
～
～
～
～
其中 lim 0 (λ2) / λ2 = 0. λ→0
由以上两式得
f ( X) +λ f ( X) T Z + (λ2/ 2) ZTH( X) Z + 0 (λ2) ≥f ( X) +λ f ( X) TZ.
参考文献 :
[1 ] 肖芳淳 ,张效羽 ,张鹏 ,等. 模糊分析设计在石油工业中的应用[M] . 北京 :石油工业出版社 ,1993. [2 ] 冯德兴. 凸分析基础[M] . 北京 :科学出版社 ,1995. [3 ] 刘光中. 凸分析与极值问题[M] . 北京 :高等教育出版社 ,1991. [4 ] 刘育骥 ,耿新宇 ,肖辞源. 石油工程模糊数[M] . 成都 :成都科技大学出版社 ,1994. [5 ] TOM M. Apostol (Calculus Vol. 1) [M] . John Wiley & Sons , Inc. New York. Santa Barbara. London. Sydney. Toronto , 1967.
～
92 X1
= 6 > 0.
9f ( X)
92 f ( X)
～
9X2
= 4 X2 - 1 ;
～
92 X2
= 4 > 0.
92 f ( X) 92 f ( X)
～
～
9X1 9X2 = 9X2 9X1 = 0.
故海赛矩阵的行列式为
6 0
H=
～
0 4
= 24 > 0.
因而海赛矩阵处处正定 ,由定理 2 推论得知 f ( X) 为严格正定凸模糊函数 ,结果与文献 (3) 完全相同 , 证～
+
f(
～
X)
T(
X1
-
X) ] + (1 - λ) [ f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X2
-
X) ] =
f ( X) =
～
f
～
[λX1
+
(1
-
λ)
X2 ].
(8)
从而得知 f ( X) 为 D上的凸模糊函数.
～
～
定理 2 (二阶条件) 设定义在 n 维欧氏空间中某一开凸模糊集 D上的函数 f ( X) 具有连续二阶导数 ,
～
～
27 6 四川师范学院学报(自然科学版) 2001 年
则 f ( X) 在 D上是凸模糊函数的充分必要条件为 f ( X) 的海赛矩阵 H( X) 在 D上是半正定.
～
～
～
～
～
证明 (1) 充分性
设 f ( X) 表示在 D上的模糊函数 ,则由台劳公式[5]得
2 凸模糊集与凸模糊函数
211 凸模糊集
设 D 为 Rn中的一个集合 ,若对任意两点 X1与 X2 ,具有 X1 ∈D , X2 ∈D ,并且连接这两点所构成的线段仍在集合 D 中 ,即对任意实数 λ∈[0 ,1 ] ,使连线有如下关系
λX1 + (1 - λ) X2 ∈D.
则称集合 D 为凸集 ,否则为非凸集[3] .
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
.
(2)
则称 f ( X) 定义在 D上的凸模糊函数.
～
～
若对每一个 λ(0 ≤λ≤1) 和 X1 ≠X2 ∈R ,恒有
f
～
[λX1
+
(1 - λ)
X2 ]
<λf ～
(
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
.
(3)
则称 f ( X) 定义在 D上的严格凸模糊函数.
～
～
3 凸模糊函数的判别
实了本法的有效性和可靠性.
第 22 卷第 3 期
曾林泽 ,等 :凸模糊函数判别法
277
由以上理论分析与实例运算结果可见 ,凸模糊函数系凸分析[2]的延拓 ,它将同凸分析一样 ,在数学规划、对策论、数理经济学、电子网络优化及最优控制理论等众多领域中发挥越来越大的作用 , 并有可能发展成为凸模糊分析的体系 ,正待开拓创新 ,使其更加完美.
X1 ,即得
f
～
(
X1)
≥f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X1
-
X) ,
f
～
(
X2)
≥f ( X) ～
+
f(
～
X)
T(
X2
-
X) .
(7)
在 (7) 式中 ,用 λ 乘第一个不等式 ,用 1 - λ 乘第二个不等式 ,然后相加 ,并联系 (6) 式得
λf
～
(
X1)
+
(1 -
λ)
f
～
(
X2)
≥λ[ f ( X) ～
Discrimination Method of Convex Fuzzy Function
ZENG Lin-ze1 ,J ING Jia- qiang2 ,XIAO Fang-chun2
(1. Dept. of Basic Courses , Northern Sichuan Medical Institute , Nanchong 637007 ,China ; 2. Dept. of Basic Courses , Southwest Petroleum Institute , Nanchong 637001 ,China)
～
～
f ( X)
～
=
f
～
(
X0)
+
f
～
(
X0)