一类亚纯p叶函数的领域与部分和
与线性算子相关的亚纯多叶函数的包含关系和辐角估计
２０ ０ ４年 ， ｈ Ｃ ｏ等将 算子 （ ，） 用 于多 叶 函数 ， ａ ｃ作 定义 了 函数类 Ｓ （ ； ） 并 研 究 了该 函数 类 的包 含 ７ Ｐ； ， ／ 关 系［ ． １ 之后 ， 金林 等 也研 究 了与该 算子 相关 的一些性 质 ， 到 了一些 有意 义 的结 果 ］ 但 是 这些 文 章基 ］ 刘 得 ． 本 上都 是 将 （ ｃ 作 用 于多 叶 函数 ． 此启 发 ， ｎ，） 受 考虑 能否 将算 子 （ ，） 用 于另 一 类 函数 ， 到更 新 的结 ｎ ｃ作 得
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：ｍｅ ｏ ｒ ｈ ｃ ｌｆ ｎ ｔ ｎ ｒ ｍｏ ｐ ｉａ ｕ ｃ ｉ ；Ｈ ａ ａ ｒ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｏ ｄ ｍａ ｄ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ；ｌ ｅ ｒｏ ｅ ａ ｏ ；ｉ ｃ ｕ ｉ ｎ ｒ ｌｔｏ ｓ ｉ ｉ ａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｎ ｌ ｓｏ ｅａ ｉｎ ｈ ｐ ｎ
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收 稿 １ ： ０ 卜Ｏ 一７ ３期 ２ １ ３Ｏ 作者 简 介 ： 礼 翠 ， 邵 硕士 研 究 生 ．
引 文 格 式 ： 礼 翠 ， 燕 ． 线 性 算 子 相 关 的亚 纯 多 叶 函数 的包 含 关 系 和 辐 角 估 计 ． 州 师 范 大 学 学 报 ： 邵 朱 与 徐 自然 科 学 版 ，０ １ ２ （ ） ２ — ２ ． ２ １ ，９ ２ ：４ ７
Ｓｈ ｏ Ｌｉ ｕ ， ｈｕ Ｙａ ． ｎ ｌ ｓｏ ｅａ ｉ ｎ ｈｉ ｓａ ｄ ａ ｇ ｍ ｅ ｔ ｅ ｔｍ ａ ｅ ｏ ｅ ｔ ｉ ｒ ｍｏ ｐ ｅ ｌｙ ｍｕｌｉ ａ ｅ ｔｆ ｎ ｔ ｎｓａ ｓ ｃ ａ ｅ ｔ ｉ ｅ ａ ｅ ｉ Ｚ ｎ Ｉ ｃ ｕ ｉ ｎ ｒ ｌ ｔｏ ｓ ｐ ｎ ｒ ｕ ｎ ｓ ｉ ｔ ｓｆ ｒｃ ｒ ａ ｎ ｍｅ ｏ ｒ ｈｉａ ｌ ｔｖ ｌ ｎ ｕ ｃ ｉ ｓ ｏ ｉｔ ｄ ｗｉｈ ａ ｌｎ — ｏ
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.mm m c c z c zc +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0nnn f z czz ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===，故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) R e (),f z R e (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C≡，即2()()Cf z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.nnn f z czz ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个nc 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),M f a R '≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得R e ()(),f z MF z ee =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()nn n p z a z a za -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于10lim ()lim (),nn nz z a a p z z a zz→∞→∞=+++=∞1lim0,()z p z →∞=故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设1()Mp z ≤(正常数)，从而，在z 平面上11,()M p z <+于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),nn g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11ze -是一个超越亚纯函数．证11ze -有无穷多个极点：2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b=+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=-都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b=+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),nn f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).nn n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
两类p叶亚纯函数的性质
∑ （） （，， ｃ 卢 ）
｛ ，， ｝ ， ｌ２ … ）
（） １
用 （ ）－ ｋ ，） Ｓ ｐ （ ， 卢 表示满足下面条件 的式 。 （） ２ 中的函数 （） 所成的函数族
（） ：１ 十
。 ”
ａ ≥０ ， （ ） ｓ ） ２
；
ｉ ｚ ） ＜ ｆ （／ ２Ｐ ） （ ｚ ） ＋一 （ ａｌ
（ ） （ ， ｓ ｔ ， 卢）及
（） ， ， 这２ 数 的系 不等 ， 定 函 族∑Ｇ（唧） 利 数 （ （ 卢 ｃ （，ｆ 得到 个函 族 数 式 并 义了 数 １ ） ｃ ． 用函 族 ｓ ， ） ， ）
和∑（） ， 的 数 征 到 论： 个∑（）。 ，， 中 数与 个∑（） ， 中函 ｃ （，卢 系 特 得 结 有限 ） （ 卢 函 有限 ） ｃ （，卢 ） 数
可类似定义多个亚纯 函数 的卷积． 对式 （ ） １ 中函数 ） 定义算子 如下 ：
ｚ＝ （ ， ） ， ） ｚ ｚ ）＝ｆ （）＋ ，
（） （）。 ，， ＝ （）。 ， 为Ｐ ２ ∑ ．０（ 卢 ∑ ｓ （ ｓ ０ ） ）
叶 （ ＜Ｐ ０≤ ）阶 卢 （ ＜卢 ≤ １ ０ ）型 亚纯 函数 ，
２ …，） 那么卷积（ ａ ａ 乘积） ， ｑ， Ｈｍ ｒ ｄ
； ｌ ＝
１ ２
引理 １ 设 （ ） Ｕ ｚ 是 中的正则且单 叶的 函
：… ： ｌ ｝ ＝ ：
ｇｌ ｇ２Ｉ 。：… ｇ。 ） ｃ ∈ （
数 由 ２给 ￣ｆ ｚ∈ ｜ 后 ／ ） （ 式（） 出， ｓ ） ∑（） ，， ） ｌ（ Ｓ （ Ｏ３ ／
收 稿 日期 ： ０ ０—０ ２１ ６一ｏ ４
基金项 目： 教育部博士点基金项 目（ ０ ５５ ４ ０ ） ２０ ０ ７ ０ ２ ｝ 通讯作 者 ，ｕ ｓ＠ｓ ｕ ｅ ｕ ｃ ｌ ｍ ｈ ｃ ．ｄ ．ａ ｉ ｎ
第4节 整函数与亚纯函数
e , sin z , cos z 都是超越整函数.
注1 整函数按唯一奇点z 的不同类型而被分成三类.
z
注2 定理5.10(1)与刘维尔定理一致.
二 亚纯函数的概念及其与有理函数的关系
1 定义5.6 在z平面上除极点外无其它类型奇 点的单值解析函数,称为亚纯函数.
e 如f ( z ) z 1 为亚纯函数.
第四节 整函数与亚纯函数
Department of Mathematics
一 整函数的概念及其分类
1 整函数 在整个z平面上解析的函数.
显然每一个整函数f ( z )都以z 为唯一孤立奇点, 故它在无穷远点的去心邻域0 z 内Laurent展式, 就是它在原点邻域0 z 内的Taylor展式, 即可设
(2) z 为f ( z)的m阶极点 f ( z)是一个m次多项式, m 即f ( z ) c0 c1 z cm z , (cm 0); ( f ( z )在z 的主要部分为c1 z cm z m , cm 0);
(3) z 为f ( z)的本质奇点 展开式(5.14)有无限项. 此时f(z)称为超越整函数. ( f ( z)在z 的主要部分有无穷多项正幂不等于零).
故f ( z)的奇点zk (2k 1) i (k 0, 1, )为极点; 因为(e 1) e 0, 故zk为f ( z)的一阶极点;
z ' z
因为zk ,
故是f ( z)的非孤立奇点,
即f ( z)为超越亚纯函数.
3 例2 考察函数f ( z ) sin z, g ( z ) z 2 z 1 的类型. z
至多以z 为极点, 而在z平面解析; 故g ( z)必为多项式(或常数), 从而为f ( z)有理函数.
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等．关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理The Discussion of Integral Functionand Meromorphic FunctionsAbstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ．Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphicfunction;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem1 整函数的概念定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数．设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑定理1 设()f z 为一整函数，则(1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ，(2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式()010.m m m c c z c z c +++≠(3)z =∞为()f z 的本质奇点的充要条件为展式()0()0n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑有无穷多个n c 不等于零．由此可见，整函数族按唯一奇点z =∞的不同类型而被分为了三类． 例1 设()f z 为一整函数，试证()()()(0),00,0f z f z g z zf z -⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩也是一个整函数．证 显然，()g z 在0z ≠的点上解析．在0z =点，由()f z 为一整函数知，()f z 在这一点解析，又有()(0)lim ()lim(0)(0)x ax af z fg z f g z→→-'===， 故()g z 在0z =这一点也解析．例2 ()f z 为一整函数，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数． (1) ()0f z '=;(2) ()f z 在z 平面上解析; (3) ()f z 为常数;(4) Re (),f z Re (),Im (),,,f z f z M a n 或Im ()f z 为常数．证 (1) 对,z x iy ∀=+有0()x x y y f z u iv v iu '==+=-，从而0y y v u ==，故()f z 为常数．(2) 设(),f z u iv =+则()f z u iv =-解析，易知0x y x y u u v v ====从而,u v 为常数，故()f z 为常数．(3) 若()0f z C ≡=，则显然()0f z ≡．若()0f z C ≡≠，则此时有()0f z ≠，且2()()f z f z C ≡，即2()()C f z f z ≡也是解析函数，则利用（2）即得()0f z =．(4) 设(),f z u iv =+若(),u x y C ≡，则0,0x y u u ≡≡．由C ．--R ．条件得0,0x y y x v u v u =-≡=≡，因此1212,,()u C v C f z C iC ≡≡=+为常数．若Im ()f z 为常数，同理可得()f z 为常数．1．1 超越整函数设()f z 为一整函数，则有()0()0.n n n f z c z z ∞==≤<+∞∑若其中有无穷多个n c 不等于零，则()f z 为超越整函数．例如，z e ，sin z ，cos z 等都是超越整函数． 1．2 刘维尔定理有界整函数()f z 必为常数．证 设()f z 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有()M R M ≤．于是令1n =，有(),Mf a R'≤上式对一切R 均成立，令R →+∞，即知()0f a '=，而a 是z 平面上任一点，故()f z 在z 平面上的导数为零，从而()f z 必为常数．刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函数的值不能全含于一圆之内．它的逆命题为真，即：常数为有界整函数．;它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界． 1．3 刘维尔定理的扩充定理在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数．证 ()f z 在z 平面上解析，则()f z 必为整函数，而整函数只以∞点为孤立奇点，而()f z 在∞点解析，故∞点只能是()f z 的可去奇点，从而()f z 必为常数．推论1 实部有界的整函数(),f z z =∞必为常数．证 令()(),f z F z e =则()F z 为整函数．由于()f z 实部有界，则存在0M >，使得Re ()(),f z M F z e e =<从而有界，由刘维尔定理可见()F z 是常数，因此()f z 为常数．推论2 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证 设()w f z =为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在0ω及00ε>，使得对任何z ，恒有00()f z ωε->，则有非常数整函数()01()g z f z ω=-(因00()f z ωε->)．所以在z 平面上任何点z ，分母0()0f z ω-≠，从而()g z 在z 平面上解析，即为整函数．又因()f z 非常数，所以()g z 非常数，其值全含于一圆()01g z ε<之内，与刘维尔定理矛盾．从而非常数整函数的值不能全含于一圆之外． 1．4 代数学基本定理在z 平面上，n 次多项式101()n n n p z a z a z a -=+++ 0(0)a ≠至少有一个零点．证 反证法，设()p z 在z 平面上无零点．由于()p z 在z 平面上是解析的，1()p z 在z 平面上也解析．下面我们证明1()p z 在z 平面上有界．由于 10lim ()lim (),n n n z z a a p z z a z z→∞→∞=+++=∞ 1lim0,()z p z →∞= 故存在充分大的正数R ，使得当z R >时，11()p z <．又因1()p z 在闭圆z R ≤上连续，故可设 1()M p z ≤(正常数)， 从而，在z 平面上11,()M p z <+ 于是，1()p z 在z 平面上是解析而有界的．由刘维尔定理知，1()p z 必为常数，即()p z 必为常数．这与定理的假设矛盾．故定理得证．2．亚纯函数定义2 平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数． 亚纯函数族是较整函数族更一般的函数族，因此整函数可看成是亚纯函数的一种特例．定理2一函数()f z 为有理函数的充要条件是()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点．证 必要性 设有理函数()(),()P z f z Q z =其中()P z 与()Q z 分别为z 的m 次与n 次多项式，且彼此互质，则（1）当m n >时，z =∞必()f z 为的m n -阶级点； （2）当m n ≤时，z =∞必()f z 的可去奇点，只要置()()lim,()z P z f Q z →∞∞=z =∞就是()f z 的解析点；（3）()Q z 的零点必为()f z 的极点．充分性 若()f z 在扩充z 平面上除极点外无其他类型的奇点，则这些极点的个数只能是有限个．因为如果不是这样，这些极点在扩充z 平面上的聚点就是()f z 的非孤立奇点．与假设矛盾．今令()f z 在z 平面上的极点为12,,,n z z z 其阶分别为12,,,n λλλ 则函数()1212()()()(),n n g z z z z z z z f z λλλ=---至多以z =∞为极点，而在z 平面上解析．故()g z 必为一多项式（或常数）．即()f z 必为有理函数．推论 每一个有理函数必为亚纯函数． 2．1 超越亚纯函数不是有理函数的亚纯函数称为超越亚纯函数． 例3 11z e -是一个超越亚纯函数． 证11ze -有无穷多个极点： 2(0,1,2),z k i k π==±±其聚点z =∞是一个非孤立奇点．故此函数不可能是一有理函数．例4 证明()f z 是单叶整函数的充要条件是()f z az b =+ (0)a ≠．证 充分性 由于函数()w f z az b ==+(0)a ≠及其反函数1()z w b a=- 都是单值整函数（一次多项式），所以()f z az b =+ (0)a ≠．是单叶整函数．必要性 设()f z 是单叶整函数，则整函数分为三类：（1）()f z 为常数，这与单叶性假设矛盾; （2）()f z 为超越整函数，01(),n n f z c c z c z =++++ ()0z ≤<+∞它的唯一奇点是本质奇点z =∞．再由皮卡大定理，对每个,A ≠∞除掉可能的一个值0A A =外，必有趋于∞的无限点列{}n z 使()()1,2,.n f z A n == 这也与()f z 的单叶性假设矛盾;（3）()f z 为一多项式，01(),(0).n n n f z c c z c z c =+++≠对任意,A ≠∞由代数学基本定理，()f z A =必有且只有n 个根（是几重根就算作几个根），但由()f z 的单叶性假设，必有 1.n =即必有01()f z c c z =+1(0),c ≠也可写成()f z az b =+ (0)a ≠．参考文献：[1] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，2004．[2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983． [3] 菲赫金哥尔兹．微积分学教程[M]．北京:人民教育出版社，1955． [4] 吉米多维奇．数学分习题集题解[M]．济南：山东科学技术出版社，198学年论文成绩评定表。
Dziok-Srivastava算子的应用
５ ・ ９
维普资讯
１ ± 墨 鞲 罘 茂 具 址 明
要证 明后 面 的结果需 用 下面 的引理 。
引理 １ ： ｕ ｕ ＋ ｕ ，＝ 。 ， 设 ＝ 。 ｉ ＋ 复值函数 ｕ ） Ｄ ， ， ： —ｃＤＣｃ ｃ满足 ： ） （ ，） Ｄ内连续 ； ×， １ ｕ 在
Ｄ ＋一 （ ）＝ ｐ ＾ ｚ 兰
ｌ几 十 ｐ — ｌ Ｊ！
（） ５
（ ∈∑ ， ｎ＝一 ， ｐ＋ ， ） ｐ＋ 一 ２ …
‘
（） ６
在式 （ ） ， ｑ＝１ｓ ４中 让 ，＝１且 Ｏ ＝ｒ＋ ． Ｌ ｇ ｐ， ＝１时 ， ． 我们 可 得 ：
日 （ ｐ；） ｚ ＝Ｄ 一 ｚ ｎ＋ １ ） 。 ） （） ７
关 键词 ：ＤｉｋＳｉ ｓ ｖ ｚ —ｒａｔ ａ算子 ； ｏ ｖ ａ 多叶 函数 ｉ 纯 函数 。 亚
中图 分类 号 ： Ｎ ２ Ｔ ９ ０ 引言 文献标 识码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０ －１８ ２ ０ ）４０ ５ －３ ０ ８８ ４ （ ０ ６ ０ －０ ９０
本文设 Ｅ＝｛： ＜ ｝ ＝｛： ＜ ｝ １， ０＜ １， Ｐ为任意正整数。 ∑ 表示 内解析且形为
Ｄｉｋ和 Ｓｉａｔｖ ｚ ｏ ｒ ｓ ａ利用 Ｈ ｄｍａｄ卷积定 义 了线性 算子 ¨ ： ｖ ａ ａａ ｒ ］
（Ｌ， ，口卢 ， ， ） ｚ ＝ｈ （Ｌ， ， 口 ， ， ｚ Ｏ … Ｏ ；Ｉ … ） Ｐ Ｏ … Ｏ ； … 卢 ；） Ｉ Ｌ Ｉ Ｌ 卢Ｉ ｚ ） （） ３
为简便起见 ， 我们记 ： （ 一 Ｏ ； 一 ） Ｏ Ｌ ， Ｌ卢 ， ＝ 若函数 ∈∑ 如式（ ） １ 定义， 则有 ：
ｚ ｚ ＋∑ Ｉ ｚ ）＝ 叩 （） １
一类p叶解析函数的邻域与部分和
一类p叶解析函数的邻域与部分和首先，从数学的角度来讲，p叶解析函数是指在某种参数上具有叶结构的函数，它拥有特殊的行为，具有许多有趣的数学性质。
本文将从几个方面来研究一类p叶解析函数的邻域和部分和的关系。
首先，从定义来看，在n维Euclidean空间的上, 一个连续可微的p叶解析函数可被定义如下：假设将E空间分成n个连续的区域，即O_i，i=1,2,…,n，这n个区域构成了一个n维的网格结构，对每一个区域O_i,都有一个正实值函数f_i(x)，其中x=(x_1，x_2，…,x_n)。
定义下式称为一个p叶解析函数：F(x)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+...+f_n(x_n)以上所述就是一类p叶解析函数的定义。
现在，让我们来看一类p叶解析函数的邻域与部分和。
当p叶解析函数被限制在某一区域时，它的邻域则是它的边界函数的集合，即所有跨越边界的函数的集合。
我们可以使用边界函数的集合来定义一个p叶解析函数的邻域。
在一个n维的p叶解析函数上，邻域的结构是由n个边界函数的集合组成的，每个集合都包含着它的边界函数。
相对的，部分和是指在一个具有叶结构的函数中，将它分成两个部分，可以用一个函数来表示其中一部分。
在一个n维Euclidean空间上，可以将一类p叶解析函数分成n个部分，每个部分都可以用一个函数f_i来表示，即f_i (x_1,x_2,...,x_n)，其中x_1,x_2,...,x_n是E空间的参数。
接下来，我们将来讨论一类p叶解析函数的邻域与部分和的关系。
首先需要明确的是，p叶解析函数是由它的邻域函数集合所确定的，当改变这些邻域函数集合时，则这个函数也会发生变化。
在讨论部分和与邻域的关系时，必须考虑到部分和是如何被形成的。
例如，在一个二维Euclidean空间上，如果我们将一个p叶解析函数分成两个部分，则这两部分的邻域函数会有所不同。
因此，在改变部分和的同时，也会改变邻域的形状。
此外，在讨论p叶解析函数的邻域与部分和的关系时，也需要考虑到函数的性质，例如，函数的空间分布特性对函数的部分和的形成是否有影响，这也是一个值得深入研究的问题.从以上所述来看，可以看出，一类p叶解析函数的邻域与部分和之间是有着密切联系的，它们之间存在着复杂的关系，需要进一步研究和深入讨论才能完全理解它们之间的联系。
亚纯函数的正规族与正规函数
早在1907年, P.Montel({82])就引入了正规族的概念．一族亚纯函数称为正规的，如果族中任一列函数都含有一个按球面 距离局部一致收敛的子列。最近一二十年中，由于在复解析动力系统中的重要地位，正规族理论焕发了勃勃机．
在正规族理论中，著名的Bloch原理和最近由W.Bergweiler和L.Zal-cman(参{17})建议的变形说，如果有某个性质使得在 全平面上只有常数函数所具有，或者稍广一点，如果有某个性质使得在全平面上具有这个性质的亚纯函数(整函数)形成一个正 规族，那么在某—个区域上具有该性质的亚纯函数(全纯函数)族就是一个正规族．尽管Bloch原理—般而言并不成立 ([96])，本论文§2.6和§3.6中的反例说明它的变形一般也不成立，但在正规族理论的研究中Bloch原理及其变形仍然起着重 要的指导作用．可以说，本论文中所有正规族的结果均与Bloch原理及其变形相关．
（１９８９），７８２－７９１．
５】ｐ戢埠Ｘｕｅｃｈｅｎｇ＆Ｚａｌｃｍａｎ，Ｌ．，Ｓｈａｒｉｎｇ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ瞬，Ａｖｋｉ”歹拇Ｍａｔｈ８撒８ｔ魄 ３８：１（２０００），１７１ １８２．
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’
（ １ ５ ）
由（ １ ４ ）与 （ １ ５ ）得 ：
设 （ ） ： ｚ － Ｐ ＋ 壹 ∈ Ｎ ｓ （ ｆ ） ，
则 Ｉ ＝ｌ （
壹 Ｐ （ Ａ — Ｂ ） （ ｃ ） ～ ｌ ≤
Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ积 （ 卷积） ：
则称 ｆ （ ）在 类 ． 。 （ Ａ， Ｂ） 中 ，即 ｆ （ ）∈
Ｈ …（ Ａ， Ｂ） ．
（ ２ ）
另外 ， 若 ｆ（ ）∈Ｈａ ． （ Ａ， Ｂ） ， 且
及 （ ｚ ） ∈∑ 形如（ １ ） 定义／ （ ｚ ） 与ｇ （ ｚ ） 的
第３ Ｏ卷 第 ５期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ Ｕ ＲＡＬ Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＣ Ｅ Ｓ Ｊ ＯＵＲＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ ＨＡＲ ＢＩ Ｎ Ｎ ＯＲＭＡＬ Ｕ ＮＩ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
一
类 亚 纯 Ｐ叶 函数 的领 域 与 部 分 和
赵 媛 媛
（ 江苏联合职业技术学院 ）
∈ ８ ＞０ ） ，
（
） （
＜６ ， （ １ ０ ）
且
（ ） ： ＝｛ ｇ （ ） ： ｇ （ ）＝ ＋∑ Ｉ ｂ Ｉ ｚ
则 （ ｆ）ｃ Ｈａ ． （ Ａ， Ｂ） ． 证 明 由 （ ８ ）知若 ｇ （ ｚ ）∈Ｈ ａ ． （ Ａ， Ｂ）当且 仅 当
定义 函数 。 （ ｎ ， ｃ ； ） ：
＋
一
１ 主 要 结论
定义 １ 若 ６≥０， 一１≤ Ｂ ＜Ａｌ ，
（ ４ ）
∑ 且形 如（ １ ） ， ｆ （ ） 的６ 领 域 定义为
（ 厂 ） ： ：｛ ｇ （ ｚ ） ： ｇ （ ＝ ）＝ｚ － Ｐ ＋∑ｂ ｚ ∈
２ ， …） ，
对于 （ ｚ ） ∈∑ ， 利 用函 数 （ 。 ， ｃ ； ｚ ） ， 定
义线性算子Ｌ ｐ （ ａ ， ｃ ） ： ∑ 一 ∑
Ｌ 。 （ 口， ｃ ） ｆ（ ｚ ）＝ （ ０ ， ｃ ； ｚ ） （ ｚ ） ， （ ５ ）
∑ 且
６ ｛ ．
同 样， 令ｇ （ ）＝ 呻＋∑ Ｉ ｂ Ｉ Ｚ ｋ ∈
联（ ／） （ ６ ） ，
ｆ 互 （ ｚ ） ＋ ｘ ｚ － ｐ ：
≠ 。
由定 义 （ １ ３ ）有
Ｐ （ Ａ —Ｂ ） （ ｃ ） 一 。 ～ …
，
即有 等价于 Ｉ
≠ 一占 ， Ｉ Ｉ ＞ ８ （ ８ ＞０ ， ∈观
【 摘
要 】用 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ积 （ 或卷 积 ） 定 义 线性 算子 Ｌ Ｐ （ 口 ， ｃ ） ， 并利 用算 子
（ Ａ， Ｂ） 中的 函数 建立 了准确 的偏 差定理．
Ｌ ｐ （ ａ ， ｃ ） 研 究在 单 位 圆盘 内 解 析 的 亚 纯 Ｐ 叶 函 数 类 Ｈａ ， （ Ａ， 日） ， 研 究 了ｆ （ ）
等 价 于
≠ ０（ 。∈ Ｄ）
（ １ １ ）
结 论是 精确 的 ， ６不 能再大 ． 证 明 由 于 － 厂（ ｚ ）∈ （ ， Ｂ）且 形 如 （ ８ ） ， 则 由定 理 ３得
其中 （ ｚ ） ＝ｚ 一 ＋ ∑Ｃ ｋ （ ｃ ：＝
＝１
ｐ ｅ ｒ （ Ｂ —Ａ） （ ｃ ）
－ ≤
（ ９ ）
对 于－ 厂（ ）形如 （ １ ） ， 则 由（ ４ ）与 （ ５ ）可得 ：
定理１ 令，（ ）∈∑ 且形如（ １ ） ， 若
收稿 日期 ： ２ ０ｔ ４— ０ ６一ｌ １
第 ５期
一类亚 纯 Ｐ叶函数的领域与部分和
３ ５
ｆ（ ｚ ）满 足
且彤 如 （ ８）√ （ ）的 占邻 域 足 义 为
Ｂ＜ Ａ ≤１ ） ， Ｐ∈ Ｎ ， 若， （ ｚ ） ∈∑ 且在Ｄ内 满
（ １ ）
足不 等式
・
且 在 Ｄ：＝ ｛ ｚ ： ０ ＜Ｉ ｚ Ｉ ＜１ ｝内解析 的亚纯 函数
。
－ Ｌ “（ （ 。 ， ｃ ） ｆ （ ） ） ＋却
ｐ
㈩ 、
若ｇ （ ｚ ）∈∑ 且 ｇ （ 。 ）： ＋∑ｂ ｋ （ ｐ∈Ⅳ ）
（ Ｉ 厂∈∑ 的邻 域 与部分 和 ，对 类
【 关键词 】 Ｐ叶解析函数 ； 线性算子 ； 解析函数邻域 ； 部分和
０ 引 言
）
） ＝ｚ － ｐ＋
Ｐ ，（ ６ ）
设ｐ 为正 整数， ∑ 表 示 形如 ／ （ ）＝ ＋∑
类．
利用算 子 Ｌ ｐ （ ｏ ， ｃ ） ， 对 于 固定 的参 数 Ａ， Ｂ（ 一１≤
（ ） ＝ 叩＋∑ ｌ ｏ ，
则 称 ｆ（ ｚ ）在 类 ． （ Ａ， Ｂ）中 ， 即
Ａ， Ｂ ） ． 厂（ ｚ ）∈ Ｕ ａ ＋（
．
（ ８ ）
（ ／ ｇ ） （ 。 ） ： ＝ ＋∑ａ ｋ ｂ ＝ ：
（ ｇ ） （ ） （ ∈Ｄ） （ ３ ）
所 以 － 一－
，
’
ｕ ＼上 Ｊ 一 Ｐ ， ０／
（ １ ２ ）
・≤
ｋ ＝ｐ
妻 ｐ （ Ａ—Ｂ） （ ｃ ）
厶
。 …
Ｉ ≤ １ ， ’
一 ≤
（ １ ４ ）
脯
± ！ 里！
± 竺
ｐ （ Ａ —Ｂ） （ Ｃ ）
由于ｆ（ ｚ ）满 足 （ １ ０ ） ， 由（ １ １ ）可得 ：
（ １ ３ ）
定理２ 设 一 １ ≤Ｂ＜ Ｏ ， 若厂 （ ） ∈彤， （ Ａ ， Ｂ ） ，
则 ’ Ｎ ｓ （ ｆ）ｃ ， （ Ａ， Ｂ） （ ６ ： ）
Ｂ ｚ ｐ ＋ １ （ 。 （ ０， ｃ ） （ ｇ ） ） ＋ Ａ ｐ Ｉ Ｏ ｒ ＂ Ｉ＝ １ ， ｚ∈ Ｄ） ，