2020-2021学年高一数学课时同步练习 第5课 全集,补集及综合应用

2020-2021学年高一数学课时同步练习
第一单元集合与常用逻辑用语
第5课全集，补集及综合应用
一、基础巩固
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝() A．{2，6}B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【答案】A
【解析】由题知A∪B＝{1，3，4，5}，
所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.
2．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝()
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
【答案】B
【解析】由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．
3. 若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()
A．3个B．5个
C．7个D．8个
【答案】C
【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．
4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()
A．{x|－2≤x<1}
B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1<x≤2}
D．{x|x<2}
【答案】A
【解析】阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.
5．设全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1，2}，则实数m＝________．【答案】－3
【解析】由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，
所以m＝－3.
6．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________．
【答案】2
【解析】因为∁U A＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.
7．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)
①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.
【答案】①
【解析】结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.
8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．
【答案】见解析
【解析】如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．
故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，
∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
二、拓展提升
9．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.
【答案】{2}
【解析】[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．
故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}．
10. 已知集合M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ＝{x |x －a ≤0}，若N ∩∁R M ≠∅(R 为实数集)，则a 的取值范围是________．
【答案】a ≥－2
【解析】由题意知∁R M ＝{x |－2≤x ＜3}，N ＝{x |x ≤a }．
因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2.
11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．
【答案】a ＝87，b ＝－127
【解析】由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4
分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－127
即为所求． 12．已知全集U ＝{不大于20的质数}，若M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )＝{3，5}，(∁U M )∩N ＝{7，19}，(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，则M ＝________，N ＝________．
【答案】{3，5，11，13} {7，11，13，19}
【解析】法一：U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图所示，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．
法二：因为M ∩(∁U N )＝{3，5}，
所以3∈M ，5∈M 且3∉N ，5∉N .
又因为(∁U M )∩N ＝{7，19}，
所以7∈N ，19∈N 且7∉M ，19∉M .
又因为(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，
所以∁U (M ∪N )＝{2，17}，
所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．。