探究近15年高考数学压轴题之导数应用部分出题背景及典例解法归纳方法PDF

法则 1 若函数 f x 和 gx满足下列条件：
(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内， f x与 gx可导且 gx 0 ；
f x
(3) lim xa
gx
l
，
3
f x f x
那么
lim
xa
g
x
= lim xa
gx
l
。
备注：领域：
，并称点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 。通
2ax 2a(ex 1) ， f x ex 1 2a(ex 1) ex (ex 1)(ex 2a) ，
当 x (0,ln 2a) 时， f x 0 ，而 f 0 0 ，于是存在 x (0,ln 2a) ，
使得 f x f (0) 0 ，即 a 1 时， f x 0 在[0, ) 不恒成立，
f x = f x0 + f ' x0 (x - x0) + f'' x0 (x - x0)2 + +
2!
f
n
n!
x0
(x
-
x0)n
+
Rn
x
，
其中 Rn
x
f (n1)
(n 1)!
(x
x0 )n1
称为余项，上式称为
n 阶泰勒公式；
若 x0 0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，
（1） lim f (x) lim g(x) 0 ； （2）在 U (a) 内， f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
xa
xa
（3）
lim
xa
f (x) g ( x)
A
（
A
可为实数，也可以是
）.则 lim xa
f (x) g(x)
lim xa
f (x) g (x)
A
.
4
方法三（参变量分离法）：
（i）若 x 0 时， f x 0 成立时， a 是任意实数；
（ii）若
x
0
时，
f
x 0 等价于 a
ex x2
1 x
1 x2
，令
g x
ex
x x2
1，
令 K (x) ex x 1 1 x2 ， K x e x 1 x ，由于 ex x 1， K x 0 ，
因此，当 x 0 时， g x g 0 0 ，即 f x 0 ，且 f 0 0 ，
所以， f x f 0 0 ；由于 g x 0 只是“任意 x [0, ) ， f x 0 ”的充分条
件，同方法一一样也要求“任意 x [0, ) ， f x 0 ”的必要条件，以下同方法一．
2
时， f x 0 ，”是求的“任意 x [0, ) ， f x 0 ”的必要条件，即“若 x [0, ) ，
f x 0 ，则 a 1 ”等价于“若 a 1 时，则存在 x [0, ) ， f x 0 ”．
2
2
从同一解题思想方法出发，还可以选择两次求导数的方法来求“任意 x [0, ) ，f x 0 ”
，
即
法则 2 若函数 f x和 gx满足下列条件：
(1) lim f x 0 及 lim g x 0 ；
x
x
(2) A 0 ， f x和 gx 在 , A 与 A, 上可导，且 gx 0 ；
f x
(3) lim x
gx
l
，
f x f x
那么
lim
x
g
x=limx Nhomakorabeagx
l
。
法则 3 若函数 f x 和 gx满足下列条件：
cos x 1 x2 x4 +o x 4 2! 4!
1 1 x x2 x3 o x3
1- x
1 xa 1 a x aa 1 x2 aa 1a 2 x3 o x3
1!
2!
3!
备注：高考压轴题题设函数或者需构造的函数通常为展开式的前两或三项，构造函数求导证明不等式
近 15 年出题以泰勒定理为背景的导数压轴题（研究价值相对高） 2006 年全国卷 II22 题 2007 年辽宁卷理 22 题 2010 年全国大纲卷 22 题 2011 年全国卷新课标 II 文 21 题 2012 年辽宁卷理 21 题 2013 年辽宁卷理 21 题 2013 年全国卷新课标 II 理 21 题 2014 年全国卷新课标 III 理 22 题
2 综上所述：实数 a 的取值范围是 (, 1] ．
2 方法二（端点效应）：
f x ex 1 2ax ，令 g x f x ，则 g x e x 2a ，由于 x 0 时，ex 1 ，若 a 1
2
时， g x 0 （等号仅当 x 0 时成立），
所以， g x 在[0, ) 上单调递增，且 g 0 0 ，
连锁反应、定积分、变换主元、划归思想、图像法、最值法、假设反证法等，洛必
达法则法授课统考学生勿讲（超纲）
一、出题背景之高等数学知识回顾：
（1）、泰勒定理（部分）
设函数 f x 在点 x0 处的某邻域内具有 n 1阶导数，则对该邻域内异于 x0 的任意点 x ，在
x0 与 x 之间至少存在一点 ，使得：
(1) lim f x 及 lim g x ；
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域内， f x 与 gx 可导且 gx 0 ；
f x
(3) lim xa
gx
l
，
f x f x
那么
lim
xa
g
x
= lim xa
gx
l
。
若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
高考主要以 0 型命题，函数 f (x) 、 g(x) 满足： 0
2
K (x) 在 (0, ) 上是增函数，即在[0, ) 上是增函数，且 K (0) 0 ，
K (x)
K (0)
0
，即 ex
1
x
1 2
x2 ，而
g x
ex
x x2
1
1 x2 2 x2
1 2
，
即 a 1 ，综上所述：实数 a 的取值范围是 (, 1] ．
2
2
方法四（化归思想）：
6
当 x 0 时， ex x 1，令 h x ex 1 x 1 x2 （ x 0 ），则 h x ex 1 x 0 ，则
即 f x = f 0 + f ' 0 x + f'' 0 x2 + + f n 0 xn + 0(xn ) .
2!
n!
利用泰勒公式证明不等式：若函数 f (x) 在含有 x0 的某区间有定义,并且有直到 (n 1) 阶的
各阶导数,又在点 x0 处有 n 阶的导数 f (n) (x0 ) ,则有公式
2
h x 在区间[0, ) 上是增函数，且 h 0 0 ，
f '
f
b
f
a
.
ba
罗尔中值定理：如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a,b上连续； 2 在开区间 a,b内
可导；（3） f a f b,则在 a,b内至少存在一点 ,使得 f ' 0
近 15 年出题以拉格朗日中值定理和罗尔中值定理为背景的导数压轴题（研究价值相对高） 2004 年四川卷第 22 题 2OO6 年四川卷理第 22 题 2007 年高考全国卷 I 第 20 题 2007 年安徽卷 18 题 2008 年全国卷Ⅱ22 题 2009 年辽宁卷理 21 题 2010 年辽宁卷文 21 题 2010 年辽宁卷理 21 题 2010 年全国一卷 20 题 2010 年江苏卷 20 题 2011 湖南文 21 题 2013-2014 全国大幅度考察 （3）、洛必达定理 洛必达法则简介：
近 15 年出题以洛必达为背景的导数压轴题 2008 全国卷 2 理 22 题 2010 新课标 21 题 2010 大纲卷 21 题 2010 海南宁夏文 21 题 2011 新课标 21 题 2013 年新课标 1 第 21 题 2012 全国大纲卷 20 题 2012 天津卷 20 题 2014 陕西省理 21 题 2015 年山东理 21 题 2016 新课标 1 例 21 题 2016 四川卷例 21 题 2017 全国 2 理 21 题 2017 全国 3 理 21 题
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)(n)
或
f (x)
f (x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0 )(n)
1
泰勒展开式
1. ex 1 x x2 x3 xn xn1 e x ,
1! 2! 3!
n! (n 1)!
其中 (0 1) ；
2
2014 年全国卷新课标 I 理 21 题 2015 年福建卷理 20 题 2016 年全国 2 卷例 21 题 （2）、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理（部分）
拉格朗日中值定理：若函数 f 满足如下条件：
（i） f 在闭区间[a, b] 上连续；
（ii） f 在开区间 (a, b) 内可导；
则在 a, b 内至少存在一点 ，使得
探究近 15 年高考数学压轴题之导数应用部分出 题背景及典例解法归纳方法
【开题篇】高考导数应用部分压轴题常常以高等数学中泰勒定理、拉格朗日中值定 理、罗尔中值定理、洛必达“ 0 ”型恒成立问题及证明不等式问题为背景出题，通