学案8函数的表示法一

【学案八】1．2．2 函数的表示法（一）：解析法
一、知识导学：1、明确函数的三种表示方法，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；2、掌握求函数解析式常用的六种方法；3、通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
二、基础知识：
1、表示函数的三种常用方法：________、_________、_________．
2、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
3、求函数解析式的常用方法：
（1）代入法：
例1、已知f（x）＝x2－1，求f（2x+1）．
（2）待定系数法：已知f（x）的函数类型，要求f（x）的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．
例2、已知f（x）是二次函数，且f（0）＝2，f（x+1）－f（x）＝x－1，求f（x）；
（3）配凑法：已知f [g（x）]的解析式，要求f（x）时，
可从f [g（x）]的解析式中拼凑出“g（x）”，即用g（x）来
表示，再将解析式的两边的g（x）用x代替即可．
例3
、已知1)
f x
=+f（x），f（x+1），f（x2）；
注意：解析法表示函数必须注明定义域（定义域优先考虑的原则）．（4）换元法：令t＝g（x），再求出f（t）的解析式，
然后用x代替f [g（x）]解析式中的所有的t即可．
例4、已知
2
2
111
()
x x
f
x x x
++
=+，求f（x）；
（5）方程组法：已知f（x）与f [g(x)]满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边的所有的x，得到关于f（x）及f [g(x)]的
方程组，解之即可得出f（x）．
例5、已知3f（x）+2f（－x）＝x+3，求f（x）．
（6）赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．
例6、已知(0)1
f=，()()(21)
f a b f a b a b
-=--+,求f（x）．
4、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值
范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．注意：（1）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个函数或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．
（2）画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．
例7、求函数y=2|x－1|－3|x|的值域．
例8、已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，若f （a ）=3，求实数a 的值．
例9、已知()f x 21x =-，{
2,(0)()1,(0)
x x g x x ≥=-<，求[()]f g x 和[()]g f x 的表达式．
三、达标训练：
1、已知1
()1f x x =-，当0x ≠时，下列各式中与[()]f f x 相等的是（ ）
A ．1()xf x
B ．1()x f x +
C ．1()xf x -
D ．1
()
x f x -
2、已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =， 则(36)f 等于（ ）
A ．2pq
B ．2()p q +
C ．22p q
D ．22p q +
3、{
21,0()2,0
x x f x x x +≤=
->，若()10f x =，则x =____________. 4、某种笔记本的单价是5元，买x （x ∈{1，2，3，4，5}）个笔记本 需要y 元，试用解析法表示函数y ＝f （x ）是_________________． 5
、若2()f x ax =，a
为一个正的常数，且[f f = 那么a 的值为_________________．
6、已知a 、b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++， 则5a b -=_______________。

7、已知11
()1
f x x =+，则()f x ＝_____________．
8、已知定义域为{|x x R ∈，且1}x ≠的函数()f x
满足11()112
f f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则(3)f =_______________。

9、已知2
2()1
x f x x =+，那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++＝____．
10、已知1,0
()1,0
x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集为_______．
11、已知()12g x x =-，2
21[()](0)x f g x x x
-=≠，求1()2f 的值．
12、已知1
()2()21f x f x x
+=+，求()f x ．
13、已知2211
()f x x x x
-=+，（0x ≠），求()f x ．
14、已知21
,(,0)
(),[0,)
x f x x x x ⎧⎪∈-∞=⎨⎪∈+∞⎩，求(1)f x +．
15、已知[()]43f f x x =+，求()f x ．[提示：仅一次函数复合后仍为一次函数]。