【学案】 函数的表示方法
中等教育数学(基础模块上)3.1.2 函数的表示方法 (二)(学案)
(3) f(a)与 f(－a)相等吗？有怎样的关系？
(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
如果有问题，赶紧记下来，做为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！ 1
高 一
年级
数学
学科
导学案
使用时间：
2014 年
主编：
李晓霏
审核:
职高二备课组
【探究学习三】 例 3 作出函数 y=|x|+1 的图像。
【知识拓展】作出下列函数的图像 1、y=-x
3
2、y= x 1
思考：函数图象的图像特征？
1 3、y= 2 x +1
【探究学习四】 例 4
作出下列函数 f(x)=
1, x 1,0 的图象。 2, x 0,1
(三)、总结提升
(四)、课后作业 思考:函数的图像特征？ 1、y=-3x+4 3、y=|x|
作出下列函数图像 2、y=2x -5 4、y= x
2
如果有问题，赶紧记下来，做为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！
2
3 2
（2）函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？
（3）f(a)与 f(－a)相等吗？有怎样的关系？
（4）函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？
1 【探究学习二】 例 2 作函数 y＝ 2 的图象． x
1 (1) 函数 y＝ 2 的定义域、值域是什么？ x
(2) 在第一象限中， 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？
高 一
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数学
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导学案
使用时间：
2014 年
主编：
李晓霏
审核:
职高二备课组
第01课函数的概念及其表示(学案)(原卷版)
第01课 函数的概念及其表示-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案 考试要求：1. 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3. 了解简单的分段函数，并能简单应用.一、【考点逐点突破】【考点1】概念：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.【典例】下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )【考点2】同一个函数：(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.【典例】(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0 D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x【考点3】函数的表示方法：解析法、图象法和列表法.【典例】将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各作一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x 属于正整数集)的函数关系.【考点4】分段函数：(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( ) A ．－12B ．2C ．4D ．11【考点5】 分式型函数定义域，分母不为零的实数集合.【典例】函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 【考点6】偶次方根型函数定义域，被开方式非负的实数集合.【典例】函数f (x )＝3x x －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]【考点7】f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.【典例】函数f (x )＝3－x lg x 的定义域是( )A.(0，3)B.(0，1)∪(1，3)C.(0，3]D.(0，1)∪(1，3]【考点8】若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}.【典例】函数f (x )＝(x ＋1)02－x的定义域为________. 【考点9】抽象函数定义域【典例】“若函数f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数f (x －1)的定义域为________. 【考点10】已知函数定义域求参数的范围【典例】若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．【考点11】换元法求函数解析式 【典例】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________． 【考点12】用待定系数法求函数的解析式【典例】已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.【考点13】用解方程组的方法求函数的解析式【典例】已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.【考点14】用配凑法求函数的解析式【典例】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________. 【考点15】求分段函数的函数值【典例】设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－m ＝________． 【考点16】分段函数与方程问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【考点17】分段函数与不等式问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ≥1，11－x，x <1，则不等式f (x )≤1的解集为( ) A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]【考点18】分段函数求参数问题【典例】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________． 【考点19】求初等函数在特定区间上的值域【典例】求函数y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3)的值域【考点20】用分离常数法求值域【典例】求函数y ＝2x ＋1x －3的值域 【考点21】用换元法求值域【典例】y ＝2x －x －1【考点22】用单调性求值域【典例】y ＝x ＋1＋x －1【考点23】函数的新定义问题【典例】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为“n 阶整点函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③C ．①④D ．④二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第73页第15题】如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2 km , 从点P 沿海岸正东12 km 处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h , 步行的速度是5 km/h,t (单位: h ）表示他从小岛到城镇的时间, x （单位: km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离. 请将t 表示为x 的函数.（2）如果将船停在距点P4 km 处, 那么从小岛到城镇要多长时间 (精确到 1 h )?【典例2】【教材第74页第16题】给定数集 A =R,B =(−∞,0], 方程u 2+2v =0，(1) 任给 u ∈A , 对应关系f 使方程(1)的解v 与u 对应, 判断 v =f (u ) 是否为函数;(2) 任给 v ∈B , 对应关系g 使方程(1)的解u 与v 对应, 判断 u =g (v ) 是否为函数.【典例3】【教材第74页第17题】探究是否存在函数f (x ),g (x ) 满足条件:(1) 定义域相同, 值域相同，但对应关系不同;(2) 值域相同，对应关系相同，但定义域不同.【典例4】【教材第74页第18题】在一个展现人脑智力的综艺节目中, 一位参加节目的少年能将圆周率 π 准确地记忆到小数点后面 200 位, 更神奇的是, 当主持人说出小数点后面的位数时, 这位少年都能准确地说出该数位上的数字. 如果记圆周率π小数点后第n 位上的数字为y , 那么你认为y 是n 的函数吗? 如果是, 请写出函数的定义域、值域与对应关系; 如果不是, 请说明理由.三、【考点真题回归】【典例1】【2022·北京卷】函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是________.【典例2】【2018·高考全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【典例3】【2023·扬州调研】已知g (x )＝f (2x －1)＋1，且g (x )的定义域为(1，4]，值域为[3，＋∞)，设函数f (x )的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝( )A.∅B.[4，7]C.[2，7]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52【典例4】【2023·长沙调考】(多选)下列说法中正确的是( )A.式子y ＝x －1＋－x －1可表示自变量为x 、因变量为y 的函数B.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个C.若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 D.f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数【典例5】【2023·长春检测】函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为________.【典例6】【2023·百校联盟联考】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________.【典例7】【2023·重庆质检】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________． 【典例8】【2023·安徽江淮十校联考】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( )A.12B.34 C ．1 D ．2。
人教B版高中数学必修一【学案8】函数的表示方法
学案八 函数的表示方法一、三维目标：知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并初步感知处理函数问题的方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学数学用数学的意识。
二、学习重、难点：重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。
学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：1、函数的三种表示方法（1）列表法：__________________________________________________。
举例： 如：人口普查表（见课本P38） 优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。
举例：___________________________________________________________。
优点： ⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（3）图象法：__________________________________________________________。
优点：___________________________________________________________。
说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。
函数的几种表示方法
DCBA1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法【教学目标】1．掌握函数的三种主要表示方法2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高125135140156138172167158169用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示变式练习1 设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )]。
高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册
3.1 函数的概念与性质 3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔 对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二 同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3 同一函数例3 下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4 求函数的值域[经典例题]状元随笔 求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4 求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4 求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章 函数3．1 函数的概念与性质3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0} R {y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1 解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B (2)①是函数②不是函数例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】 D跟踪训练3 解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一 因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二 设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4 解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。
函数的概念与图象,函数的表示方法,函数的单调性(一) (学案)机构绝密资料
精锐教育学科教师辅导学案学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 T 函数的概念与图象（4） T函数的表示方法T函数的单调性（一）授课日期及时段教学内容函数的概念与图象（4）[学习目标]1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力． [知识要点]1．函数图象的概念将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()0,0x f x ．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数图象的画法画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．3．会作图，会读（用）图[例题讲解]例1．画出下列函数的图象，并求值域：(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x,∈x {0,1,2,3}； (3)y =x ； 变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x例2．直线y =3与函数y =|x 2-6x |图象的交点个数为 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。
离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ） A B离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ）C D(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学； (2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。
函数的表示法学案(新课标)
函数的表示法学案
1．学习目标：掌握函数的表示方法；
通过函数的各种表示及其相互之间的转换来加深对函数概念的理解，同时为
今后学习数形结合打好基础。
2．自学内容：通读教材19页至21页，约用10分钟。
3．思考并回答以下问题：
(1)函数常用哪些方法来表示？
(2)函数的各种表示方法各有什么优缺点？
4．知识点小结：
5．例题思考：
例1：某种笔记本每个5元,买x(x {1,2,3,4,})个笔记本的钱数记为y(元).试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
例2：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,
信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,
但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.
设一封x g(0<x≤200)的信函应付的邮资为y(单位:分),试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.。
北师大版高中数学必修一函数的表示方法学案
函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1 （1）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ； （ 2）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ； （3）已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f 思路剖析 根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解. 解题示范 （1）（待定系数法）设0,)(≠+=k b kx x f ， 则 14)(-=++x b b kx k ，即14)1(2-=++x b k x k .比较系数，得⎩⎨⎧-=+=1)1(42b k k ，解得，⎪⎩⎪⎨⎧-==312b k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k .∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f .（2）法1（换元法）：令t =1+x （ t ≥1），则2)1(-=t x ,∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）法2（配凑法）：∵1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，又 ∵1+x ≥1， ∴1)(2-=x x f (x ≥1).（3）（方程法）∵x xf x f 3)1()(2=+ ---①，将①中x 换成x1，得 x x f x f 3)()1(2=+---②，①×2-②，得 xx x f 36)(3-=，∴xx x f 12)(-=.回顾反思 求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数))((x g f 的表达式，求)(x f 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量)(x g t =的取值范围；（3）方程法：只已知关于)(x f 及)1(xf 的一个条件要求)(x f ，可通过条件再寻找关于)(x f 及)1(x f 的另一个方程，利用解方程组求出)(x f .请思考：若本题中把x1换成x -，你能求)(x f 的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时， 常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A .设x 表示P 点的行程，y 表示P A 的长，求y 关于x 的函数关系式.思路剖析 视P 点所处的正方形边的位置分别计算PA 的长.解题示范 如图 ，当P 在AB 边上运动，即10≤≤x 时, P A =x ； 当P 在BC 边上运动，即21≤<x 时， P A =2)1(1-+x ＝222+-x x ；当P 在CD 边上运动，即32≤<x 时，P A =2)3(1x -+＝1062+-x x ；当P 在DA 边上运动，即43≤<x 时， P A =4-x .DA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x x 回顾反思 由于y 表示的是线段PA 的长度，而x 表示的是P 点从A 点出发后所走的路程，从而计算PA 长度的方式应随着P 点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA 时需对P 点的位置进行分类讨论， 故y 不可能用关于x 的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例3 作出函数（1）y =|122--x x |；（2）y =|x |2-2|x |-1的图象.思路剖析 找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范 （1） 当122--x x ≥0时， y =122--x x当122--x x <0时，y =-（122--x x ) 作图步骤：①作出函数y =122--x x 的图象②将上述图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方（原在x 轴上方的部分保留不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象（如图）. （2）当x ≥0时 y =122--x x 当x <0时 y =122-+x x即 y =(-x )2-2(-x )-1 作图步骤：①作出y =122--x x 的图象；②保留所得图象在y 轴右方的部分，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分的图象翻折到y 轴的左方（翻折过程中保留y 轴右方的图象），即得y =|x |2-2|x |-1的图象 （如图）.回顾反思 1、常见的图象变换有：（1）平移变换：用于研究函数)(x f y =的图象与b a x f y ++=)(的图象之间的联系： ①将函数)(x f y =的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得)(k x f y +=图象；P②将函数)(x f y =的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得k x f y +=)(图象.（2）对称变换： 用于研究函数的图象)(x f y =与)(x f y -=、)(x f y -=及)(x f y --=的图象之间的联系：①函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称； ②函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称； ③函数)(x f y =的图象与)(x f y --=的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数)(x f y =的图象与|)(|x f y =与|)(|x f y =的图象之间的联系：①将)(x f y =的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得|)(|x f y =的图象；②将)(x f y =的图象在y 轴右方的部分保留不变，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得|)(|x f y =的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x )=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4 对于任意的实数x ，规定y 取4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值. （1）求y 与x 的函数关系式，并画出此函数的图象. （2）x 为何值时，y 最大？最大值是多少？思路剖析 所谓y 是4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值，是对于同一个x 值而言的，从图象上反映应是三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象中处于最下方的那一个.解题示范 （1）在同一坐标系中作出三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象.设函数y ＝)5(21x -的图象分别与函数 ABy ＝x +1，y ＝4-x 的图象交于A 、B 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1)5(21x y x y 解得A (1, 2)； 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y －4)5(21解得B (3, 1). ∴y 与x 的函数关系式是⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤+=3431)5(2111x xx x x x y ，其图象为实线部分.（2）由图象可知，当x = 1时, y 最大，其最大值为m ax y = 2 .回顾反思 求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5 已知函数 3222)(a b x a ax x f -++= .（1） 当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负，求a , b 的值及f (x )的表达式； （2） 设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ，k 为何值时，函数F (x )的值恒为负值？思路剖析 利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解. 解题示范 （1）显然0≠a .当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负,∴-2,6是方程02322＝a b x a ax -++的两个根，∴ ⎩⎨⎧=-++=-+-0263602243232a b a a a b a a 解得 a = - 4 ，b = - 8 ∴48164)(2++-=x x x f（2） 24)16(2)1(4)48164(4)(22-+=-+++++--=x kx k x k x x kx F 欲使函数F (x )的值恒为负值，显然0≠k,故 ⎩⎨⎧<+=∆<08160k k ，解得 k < - 2∴当k < - 2时，函数F (x )的值恒为负值.回顾反思 1、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系： 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a )，则（1）方程c bx ax ++2＝0的两根即为)(x f =c bx ax ++2的图象与x 轴两交点的横坐标；（2）不等式c bx ax ++2>0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴上方部分的横坐标x 的取值范围 ；不等式c bx ax ++2<0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴下方部分的横坐标x 的取值范围 ；（3）若不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或，则21,x x 是方程c bx ax ++2＝0的两个根；若21,x x ）（21x x < 是方程c bx ax ++2＝0的两个根，则不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或.2、 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a ),由二次函数的图象可直观地得到：当⎩⎨⎧<->0402ac b a 时，0)(>x f 恒成立；当⎩⎨⎧<-<0402ac b a 时，0)(<x f 恒成立，反之也成立. 【能力训练】一、 选择题1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ）A 、11+xB 、x x +1C 、1+x xD 、x +12、在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %),0,(b a b a ≠>， 则x 与y 的函数关系式是 （ ） A 、x b c a c y --= B 、x c b ac y --= C 、x c b c a y --= D 、x ac cb y --=3、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （ ）A 、B 、C 、D 、4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到.A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都不对二、填空题6、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .7、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .8、已知x x x f 2)1(+=-，则___________)(=x f .9、将长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长为x ，则面积y 关于x 的函数关系式是 _______ ，其定义域是 ______.10、已知f (x )=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f (x )=10，则x = .三、解答题11、（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )；（2）设二次函数f (x )满足f (x +2)= f (2-x )，且方程f (x )=0的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.12、已知[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21(f .13、(1) 已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .(2)设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )].14、作出下列函数的图象：(1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f )20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ；(3)xx x y -+=||)21(015、讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系. 【素质提高】16、已知函数f (x )满足f (a b )= f (a )+ f (b )且f (2)=p ，f (3)= q ，则f (36)= .17、讨论关于x 的方程)(|34|2R a a x x ∈=+-的实数解的个数.18、设函数f (x )=x 2-4x -4的定义域为[t -2, t -1]，对任意t ∈R ，求函数f (x )的最小值ϕ(t )的解析式，并画出)(t ϕ的图象.2.2 函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、1+π7、3842++x x 8、)1(342-≥++x x x 9、y = 221x ax -,定义域是(0, 2a ) 10、－3 11、（1）f (x )=2x +7； （2）f (x )=x 2-4x +312、15 13、(1)41)(+-=x x f (2) f [g (x )]=296246-+-x x x 14、略 15、273++=x x y 的图象可由xy 1=的图象先向左平移两个单位，再向上平移三个单位得到 16、2(p +q ) 17、当)0,(-∞∈a 时，没有解；当0=a 或),1(+∞∈a 时，两解；当1=a 时，三解；当)1,0(∈a 时，四解18、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t t ϕ ，图略。
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函数的表示方法
一、教学目标
１．总结函数三种表示方法．
２．了解三种表示方法的优缺点．
３．会根据具体情况选择适当方法．
4．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．
二、重点难点：
重点:
１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．
２．能按具体情况选用适当方法．
难点
函数表示方法的应用．
三、合作探究
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？
这就是我们这节课要研究的内容．
从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
四、精讲精练
例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t•（时）变化的函数
解析式，并画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
解：１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，•这样的规律可以表示为： y=0．05t+10（0≤t≤7）
这个函数的图象如下图所示：
２．再过2小时的水位高度，就是
t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解
析式容易算出：y=0．05×7+10=10．35
从函数图象也能得出这个值数．
2小时后，预计水位高10．35米．
就上面的例子中提几个问题大家思考：
１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？
２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？
３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？
１．从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，•且估计这种上涨情况还会持续2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，•情况将难以预计．
２．2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．•就这个题目来说，2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，•我认为还是通过解析式求出较好．
３．从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以我认为可以相互转化．
练习：
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．
五、课堂小结
通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决
相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数
做好了准备．
六．作业P108 8、9、10。