高二下学期期中选择题复习
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题(解析版)
山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。
2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题含答案
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。
2020-2021学年江西省南昌市洪都中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年江西省南昌市洪都中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）(a∈R)是纯虚数，则a=()1.设i是虚数单位，若复数a+1+i1−iA. −2B. −1C. 0D. 12.某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：广告费用x(万元)345销售额y(万元)2228m若已知回归直线方程为ŷ=9x−6，则表中m的值为()A. 40B. 39C. 38D. 373.给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.设a是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出a//α的是()A. 存在一条直线b，a//b，b⊂αB. 存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC. 存在一个平面β，a⊂β，α//βD. 存在一个平面β，a⊥β，α⊥β5.一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为()A. 24πB. 15πC. 15D. 246.在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC−A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为()A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π7.若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为()A. 15B. 25C. 35D. 458.一个长方体，过同一个顶点的三个面的面积分别是√6，√3，√2，则长方体的对角线长为()A. 2√3B. 3√2C. 6D. √69.棱长为2√3的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为()A. √2B. √22C. √24D. √2610.通过随机询问11名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：参照附表，得到的正确结论是()A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”11.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n+1)与f(n)之间的关系为()A. f(n+1)=f(n)+nB. f(n+1)=f(n)+2nC. f(n+1)=f(n)+n+1D. f(n+1)=f(n)+n−112.如图，在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①三棱锥D−BPC1的体积为定值；②异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；③二面角P−BC1−D的大小为定值；④AP⊥平面A1B1CD．其中真命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若m，n∈{1,2，3，4，5}，且m≠n，则函数f(x)=mx2−nx+2在(−∞,1]上是减函数的概率是______ ．14.16.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在时，记为，则.试对双曲线写出类似的结论15.观察下列等式据此规律，第n个等式可为______ ．16.如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号)．①当时，S为四边形;②当时，S为等腰梯形;③当时，S与的交点R满足;④当时，S为六边形;⑤当时，S的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，BC=3，AD=DC=1.把△ACD沿着AC翻折至△ACD1的位置，D1∉平面ABC，连结BD1，如图2．(1)当BD1=2√2时，证明：平面ACD1⊥平面ABD1；(2)当三棱锥D1−ABC的体积最大时，求点B到平面ACD1的距离，18.在复平面内，复数1−i对应的点在第几象限？i19.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，BC=6，AD=4，∠ABC=∠DCB=60°，O为AD的中点．(1)求证：AB⊥平面POC；(2)过点O作平面α//平面PCD，平面α与棱PB交于点Q，求三棱锥P−COQ的体积．20.为推行“高中新课程改革”，某数学老师分别用“传统教学”和“新课程”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果．期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于120分者为“成绩优良”．分数[100,109)[110,119)[120,129)[130,139)[140,150]甲班频数75431乙班频数12557(1)从以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否犯错误的频率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计P(K2≥k0)0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635，其中n=a+b+c+d.临界值表如上表：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．21.如图，PA垂直矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，点E，F分别是AB，PD的中点．求证：AF//平面PCE．求证：平面PCE⊥平面PCD．求四面体PECF的体积．22.某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元)之间有如下对应数据：245683040605070(1)求回归直线方程；(2)试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．(参考数据：参考公式：线性回归方程系数：，)【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵a+1+i1−i =a+(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=a+i，若复数a+1+i1−i(a∈R)是纯虚数，则a=0，故选：C．利用复数的运算法则与纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则与纯虚数的定义，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查了线性回归方程，属于基础题．根据回归直线过样本中心点，易得x=4，代入回归方程得y，从而可得m的值．解：回归方程ŷ=9x−6过样本点的中心(x,y)，可求出x=4，代入得：y=36−6=30，则30=22+28+m3，∴m=40．故选A．3.答案：B解析：本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题，对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法，属于基础题．解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lg x求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a ，b ，c 中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数f(x)={x −1,x ≥0x +2,x <0的函数值，必须对所给的x 进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个． 故选B ．4.答案：C解析：解：由线面平行的判定定理，必须指明直线a 在平面α外，故排除A ，a ⊥b ，b ⊥α，则a 可能在平面α内，故排除B ，由面面平行的定义可知若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C 正确；垂直于同一平面的一条直线与一个平面可能在一个面内，故排除D ， 故选：C ．若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线平行于这个平面，特别注意此直线为“平面外直线”，由此即可排除ABD 三个选项，若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，这也是证明线面平行的常用结论本题考察了线面平行的判定定理的准确应用，以及由面面平行证明线面平行的方法，解题时要对定理准确理解，避免出错5.答案：A解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面圆的直径为6，母线长为5的圆锥体，该圆锥的表面积为S 表面积=π×32+π×3×5=24π．故选：A ．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥，求出它的表面积即可．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．6.答案：A解析：本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键，属于中档题．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴AC=√3．∵AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=12×1×√3⋅CC1=3，得CC1=2√3，∴三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径R=12√1+(√3)2+(2√3)2=2，∴S表=4π×22=16π．故选：A．7.答案：D解析：解：从4名男生、2名女生中选出3人，有C63=20种方法；其中至少选出2名男生的选法有C43+C42×C21=16种方法，∴1620=45．故选D．求出从4名男生、2名女生中选出3人的选法数，再求出至少选出2名男生的选法数，代入古典概型概率公式计算．本题考查了古典概型的概率计算及排列组合的应用，关键是利用分类计算原理求至少选出2名男生的选法种数．8.答案：D解析：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．设出长方体的三边，利用面积公式求出三边，然后求出对角线的长．解：设长方体三度为x，y，z，则xy=√6，yz=√3，xz=√2，∴x=√2，y=√3，z=1．∴长方体的对角线长为√2+3+1=√6故选：D．9.答案：C解析：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为2√3的正四面体，故四个面的面积都是12×2√3×2√3sin∠60°=3√3又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的23倍，又高为2√3sin∠60°=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2由此知顶点A到底面BCD的距离是√(2√3)2−22=2√2此正四面体的体积是13×2√2×3√3=2√6，又此正四面体的体积是13×r×3√3×4，故有r=√64√3=√22．上面的三棱锥的高为√2，原正四面体的高为2√2，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，a √2=√222√2，∴a=√24．故选C．棱长为2√3的正四面体内切一球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．10.答案：A解析：解：由题意知本题所给的观测值，k2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8∵7.8>6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：A．根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力．11.答案：B解析：解：∵一个圆将平面分为2份两个圆相交将平面分为4=2+2份，三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，…平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)=2+(n−1)n=n2−n+2∴f(n+1)=f(n)+2n，故选：B我们由两个圆相交将平面分为4分，三个圆相交将平面分为8分，四个圆相交将平面分为14部分，我们进行归纳推理，易得到结论．本题主要考查了进行简单的合情推理．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．12.答案：D解析：本题考查了异面直线所成角以及直线与平面和二面角的应用问题，也考查了三棱锥的体积计算问题，是综合题．根据线、面的位置关系及二面角的计算逐个进行判断即可．解：对于①，由V D−BPC1=V P−DBC1知，S△DBC1面积一定，且P∈AD1，AD1//平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，①正确；对于②，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为定值90°，②正确；对于③，二面角P−BC1−D的大小，是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，③正确；对于④，点P在线段AD1上运动，AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，∴AP⊥平面A1B1CD，④正确；综上，正确的命题序号是①②③④．故选：D．13.答案：310解析：由二次函数的性质得n≥2m，先求出基本事件总数，再求出满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f(x)=mx2−nx+2在(−∞,1]上是减函数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和二次函数的性质的合理运用．解：∵函数f(x)=mx2−nx+2在(−∞,1]上是减函数，∴n2m≥1，即n≥2m，∵m，n∈{1,2，3，4，5}，且m≠n，∴基本事件总数为5×4=20，满足条件的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，共6个，∴函数f(x)=mx2−nx+2在(−∞,1]上是减函数的概率p=620=310．故答案为：310．14.答案：解析：由椭圆到双曲线进行类比，不难写出关于双曲线的结论：若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，证明如下：15.答案：1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n解析：解：根据等式，左边有2n项，右边第一项分母为n+1，最后一项分母为n+n=2n．据此规律，第n个等式可为1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n．故答案为：1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=1n+1+1n+2+⋯+12n．根据等式，左边有2n项，右边第一项分母为n+1，最后一项分母为n+n=2n，即可得出结论．本题是规律探究题，考查观察与归纳推理的能力，比较基础．16.答案：①②③⑤解析：试题分析：当时，截面为等腰梯形，②正确；当向移动时，，在上取，使，可知①正确；当时，延长使，连结交于，连接交于，连接，，③正确，由③可知时，点上移，截面为五边形，④错误；⑤中当时与重合，取中点，连接，截面为菱形，所以正确考点：1.命题真假；2.正方体截面问题17.答案：(1)证明：在图1中，∠ADC=90°，则图2中，CD1⊥AD1，在△BD1C中，∵BD1=2√2，CD1=1BC=3，∴BD12+CD12=BC2，可得CD1⊥BD1，又AD1∩BD1=D1，∴CD1⊥平面ABD1，∵CD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面ABD1；(2)解：当三棱锥D1−ABC的体积最大时，平面AD1C⊥平面ABC，过D1作D1E⊥AC，则D1E⊥平面ABC，并求得D1E=√22．S△ABC=12×3×1=32，S△AD1C=12×1×1=12．设点B到平面ACD1的距离为h，由V D1−ABC =V B−AD1C，得13×32×√22=13×12ℎ，即ℎ=3√22．故点B到平面ACD1的距离为3√22．解析：(1)由已知可得CD1⊥AD1，求解三角形证明CD1⊥BD1，由线面垂直的判定可得CD1⊥平面ABD1，进一步得到平面ACD1⊥平面ABD1；(2)当三棱锥D1−ABC的体积最大时，平面AD1C⊥平面ABC，过D1作D1E⊥AC，则D1E⊥平面ABC，并求得D1E=√22，然后利用等积法求B到平面ACD1的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．18.答案：解：1−ii =i−i2i2=−1−i，其对应的点(−1,−1)在第三象限．解析：直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．19.答案：(1)证明：过O作OE//AB交BC于E，则四边形ABEO为是平行四边形，∴BE=AO=OD=2，OE=AB=CD=6−42cos60∘=2，CE=6−2=4，OC=√4+4−2⋅2⋅2⋅cos120°=2√3，满足OC2+OE2=CE2，∴OE⊥OC，则AB⊥OC，∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，则PO⊥AB，又PO∩OC=O，∴AB⊥平面POC；(2)解：过O作OF//CD交BC于F，过F作FQ//PC交PB于点Q，则平面OFQ即为平面α，得CF=DO=2，∴PQPB =CFCB=26=13，由(1)可得点Q到平面POC的距离为点B到平面POC的距离的13，∴V P−COQ=V Q−POC=13V B−POC=13V P−BOC=13⋅13S△BOC⋅OP=19×12×6×√3×2√3=2．解析：(1)过O作OE//AB交BC于E，则四边形ABEO为是平行四边形，求解三角形可得OE⊥OC，则AB⊥OC，再由△PAD是等边三角形，O为AD的中点，得PO⊥AD，结合平面PAD⊥平面ABCD，可得PO⊥平面ABCD，则PO⊥AB，由线面垂直的判定得AB⊥平面POC；(2)过O作OF//CD交BC于F，过F作FQ//PC交PB于点Q，可得平面OFQ即为平面α，得到点Q到平面POC的距离为点B到平面POC的距离的13，再由等积法求三棱锥P−COQ的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(1)由统计数据得2×2列联表：根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为K2=40(8×3−12×17)220×20×25×15=8.64>6.635，所以能在犯错概率不超过0.01的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．(2)由表可知，8人中成绩不优良的人数为7+5+1+240×8=3，则X的可能取值为0，1，2，3．40人中，成绩不优良的人数共有15人，其中甲班12人，乙班3人，P(X=0)=C123C153=4491；P(X=1)=C122C31C153=198455；P(X=2)=C121C32C153=36455；P(X=3)=C33C153=1455．所以X的分布列为：所以E(X)=0×4491+1×198455+2×36455+3×1455=273455．解析：(1)先根据频数分布表填写2×2列联表，然后利用K2的公式即可得解；(2)40人中，成绩不优良的人数共有15人，其中甲班12人，乙班3人，由此求得8人中成绩不优良的人数为3人，于是X的可能取值为0，1，2，3，再分别求出每个X取值对应的概率即可得解．本题考查统计和概率，涉及统计案例中的独立性检验，超几何分布的分布列与期望，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于基础题．21.答案：【小题1】见解析【小题2】见解析【小题3】V=S △PCF·EG=解析：【小题1】试题分析：设G为PC的中点，连接FG，EG．因为F为PD的中点，E为AB的中点，所以FG CD，AE CD，所以FG AE，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AF//GE．因为GE平面PEC，AF⊄平面PEC，所以AF//平面PCE．【小题2】试题分析：因为PA=AD=2，所以AF⊥PD．又因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因为AF平面PAD，所以AF⊥CD，因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD，所以GE⊥平面PCD．因为GE平面PEC，所以平面PCE⊥平面PCD．【小题3】试题分析：由(2)知GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PECF的高，又EG=AF=，CD=2，S△PCF=PF·CD=2，所以四面体PECF的体积V=S△PCF·EG=．22.答案：(1)(2)销售收入大约为82.5万元(3)解析：试题分析：(1)首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．(2)当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字，它与真实值之间有误差．(3)利用列举法计算基本事件数及事件发生的概率.本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目，解此类题，关键是理解线性回归分析意义，这种题目是新课标的大纲要求掌握的题型，是一个典型的题目，在近年的高考中频率有增高的趋势，此类题运算量大，解题时要严谨防止运算出错．试题解析：(1)解：，[2分]又已知，于是可得：，[4分]因此，所求回归直线方程为：[6分] (2)解：根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，(万元)即这种产品的销售收入大约为82.5万元.[9分](3)解：24568304060507030.543.55056.569.5基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：(60,50)[12分]所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为[14分]考点：1.回归分析的初步应用；2.列举法计算基本事件数及事件发生的概率。
南京市第二十九中学2022-2023学年高二下学期期中考试化学试题含答案
2022-2023学年南京市第二十九中学高二下期中试卷一．选择题（共14小题，每题3分，共42分）1．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行。
下列叙述错误的是（）A．火箭箭体采用的高强度新型钛合金结构属于金属材料B．航天员航天服上的橡胶属于有机高分子材料C．二氧化硅是飞船搭载的太阳能电池板的核心材料D．航天员手臂“延长器”——操纵棒中的碳纤维材料属于新型材料2．下列说法错误的是（）A．羊毛织品洗后易变形，与氢键有关B．基态Fe原子中，两种自旋状态的电子数之比为11：15﹣＞NH4+＞NH3＞PH3＞PC．键角：NO34D．46g二甲醚（CH3OCH3）中sp3杂化的原子数为2N A3．下列说法正确的是（）A．由分子组成的物质中一定存在共价键B．共价化合物一定含共价键，也可能含离子键C．由非金属元素组成的化合物一定是共价化合物D．离子化合物一定含离子键，也可能含极性键或非极性键4．7N、8O、11Na、17Cl是周期表中的短周期主族元素。
下列有关说法不正确的是（）A．离子半径：r（Na+）＜r（O2﹣）＜r（Cl﹣）B．第一电离能：I1（Na）＜I1（N）＜I1（O）C．氢化物对应的稳定性：NH3＜H2OD．最高价氧化物的水化物的酸性：HNO3＜HClO45．X、Y、Z、Q、W原子序数依次增大。
X的电子只有一种自旋取向，Y和Z的某同位素测定可用于分析古代人类的食物结构，Q单质可用于自来水消毒，W为第4周期金属元素，基态原子无未成对电子且内层电子全满。
下列说法一定正确的是（A．Z、Y的氢化物稳定性：Z＜）YB ．Q 与Y 原子形成的分子空间结构为四面体型C ．Q 单质可从Z 的简单气态氢化物中置换出ZD ．[W （ZX 3）4]2+中σ键数为126．某化合物X 结构如图所示，下列说法不正确的是（ ） A ．X 中含有4种含氧官能团B ．1molX 最多能与5molNaOH 反应C ．X 水解后的产物都存在顺反异构体D ．X 中含有1个手性碳原子7．废旧锌锰电池处理后的废料[含MnO 2、MnOOH 、Zn （OH ）2、Fe 等]制备Zn 和MnO 2的一种工艺流程如图：已知：Mn 的金属活动性强于Fe ，Mn 2+在pH 大于5.5时易被氧化。
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷(含部分解析)
长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数 学时量：120分钟满分：150分得分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（其中i 为虚数单位），则1z=A ．1122i +B ．1122i -+ C ．1122i --D ．1122i - 2．已知()22x x f x a -=+⋅为奇函数，则()1f 的值为 A ．32-B ．1C ．32D ．523．已知{}n a 是等比数列，且20a >．若354a a =，则4a = A ．±2B ．2C ．－2D ．44．已知圆锥的侧面积为1S ，底面积为2S ，底面半径为r ，且122S S =，若底面半径同为r 且体积与圆锥相等的圆柱高为h ，则h r=A ．12B ．3CD ．25．已知P 是边长为2的菱形ABCD 内一点，若120BAD ︒∠=，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,4-B ．()2,2-C ．()2,4D ．()4,2-6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 2.71828e ≈．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为 A ．30B ．32C ．36D ．487．如图，直线x t =与函数()4log f x x =和()4log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则t 的值为A 3B 33C 3D 338．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22132x y +=；②()2222x y ++=；③22y x =；④221x y -=中，存在两个不同的点M ，N ，使得MA MB =且NA NB =的曲线是A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有A ．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8B ．线性回归模型中，相关系数r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强C ．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据计算得到23.218χ=，依据0.05α=的独立性检验（0.05 3.841x =），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X 与Y 独立10．已知O 是平面直角坐标系的原点，抛物线C ：214y x =的焦点为F ，()11,P x y ，()22,Q x y 两点在抛物线C 上，下列说法中正确的是 A ．抛物线C 的焦点坐标为1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．若5PF =，则42OP =C ．若点P 的坐标为()4,4，则抛物线C 在点P 处的切线方程为4y x =-D ．若P ，F ，Q 三点共线，则124x x =-11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下述结论正确是 A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的周期是πC ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x的值域为⎡-⎣12．已知函数()1ln f x x x x=-+，则下列说法正确的是 A ．()f x 在()0,+∞上单调递减B ．()f x 恰有2个零点C ．若12x x ≠，()()120f x f x -=，则121x x -≤D ．若120x x >>，()()120f x f x +=，则121x x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()()ln 1f x x =+-的定义域为 ． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1111A B C D 和面11AA D D 的中心，则EF 和CD 所成角的大小是 ．15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行12100+++的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项1220222202222023n n a a a a n -=+++=- ．16．已知函数()()()22,0,0xa x x x f x e ax x ⎧-+=⎨->⎩≤．（1）若0a =，则()1f x >的解集为 ； （2）若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 满足26a =，4527a a +=．等比数列{}n b 为递增数列，且1b ，2b ，{}32,3,4,5,8b ∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）删去数列{}n b 中的k a b 项（其中1k =，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前10项和10T ． 18．（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，AB CD ∥，1AD BD CD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠． 19．（本小题满分12分）受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率．（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； （2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()25.5,X N σ～．现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y ，求随机变量Y 的期望． 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥D -ABC 中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M ，N 分别是线段AD ，BD 的中点，2MC =，2AB =，23BD =，二面角D -BA -C 的大小为60°．（1）证明：△ABC 为直角三角形；（2）求直线BM 和平面MNC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分） 已知函数()cos x f x e x mx =+-，()0,x ∈+∞．（1）若函数()f x 在()0,π上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若21e m e ππ-<<，求证：函数()f x 有两个零点．（参考数据：2 4.81e π≈，23.14e π≈） 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，()3,0M -，()3,0N ，P 为曲线E 上一点，直线MP ，NP 的斜率之积为59-． （1）求曲线E 的标准方程；（2）过点()2,0F 作直线l 交曲线E 于A ，B 两点，且点A 位于x 轴的上方，记直线MB ，NA 的斜率分别为1k ，2k ． （ⅰ）证明：12k k 为定值； （ⅱ）过点B 作BC 垂直x 轴交曲线E 于不同于点A 的点C ，直线AC 与x 轴交于点D ，求△ADF 面积的最大值．长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、二、选择题1．D 解析：()()111111111222i i i z i i i --====-++-，故选D ． 2．A解析：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，所以1a =-，所以()22x x f x -=-．故()131222f =-=-．故选A ． 3．B解析：由等比数列的性质知23544a a a ==，故42a =+，且2420a a q =>，所以42a =．故选B ． 4．B解析：设圆锥母线长为l ，高为0h ，则1222S rl lS r rππ===，所以2l r =，所以0h ==因为圆锥和圆柱体积相同，所以2203h r h r ππ=，解得3h r =．故选B ． 5．A解析：AB 的模为2，根据菱形ABCD 的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是()1,2-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AE ⋅的取值范围是()2,4-，故选A ． 6．C解析：分类，若8排第一位，则两个8占第一、二位，再从四个位置中选两个位置给2，最后排7和1，共224212C A =种；若8不排第一位，则7或者1排第一位，两个8捆绑，与两个2，以及7和1剩的数排列，共1421242C A =种，因此共36种，故选C ． 7．C解析：由题意()4g ,lo A t t ，()4,log 1B t t -，1AB =．设()4,log C x x ，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB则t x -=，x t =-．根据中点坐标公式可得4444log log 11log log 22t t t t ⎛+--==- ⎝⎭，所以2t t -=，所以2t =t =．故选C ． 8．D解析：因为MA MB =且NA NB =，所以MN 是AB 的中垂线，又()2,0A ，()0,2B ，所以AB 中点为()1,1，20102AB k -==--，故MN 所在直线为11y x -=-，即0x y -=， 根据题意，若直线0x y -=与所给曲线有两个交点则存在M ，N 满足题意．因为0x y -=过原点，而原点在椭圆22132x y +=内部，故直线与椭圆必有两个交点，①符合题意；因为()2222x y ++=的圆心为()2,0-，r =，所以圆心到直线0x y -=的距离d r ===，所以直线0x y -=与圆相切，只有一个交点，②不符合题意；把0x y -=代入22y x =，可得22x x =，显然方程有两非负解，③符合题意；因为双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以直线0x y -=与双曲线221x y -=无交点，故④不符合题意．综上，②④错误，①③正确，故选D ．9．ABD解析：A 选项，数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个数，由870% 5.6⨯=可得第70百分位数为第6个数，即为8，故A 正确；B 选项，线性回归模型中，相关系数r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，故B 正确；C 选项，回归分析中残差平方和越小，决定系数越接近于1，拟合效果越好，故C 错误；D 选项，由独立性检验23.218 3.841χ=<可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为X 与Y 独立，即D 正确．故选ABD ． 10．BD 解析：对于A ，由C ：214y x =，得24x y =，则焦点为()0,1F ，故A 错误； 对于B ，设(),P x y ，由抛物线的定义得，15y +=，解得4y =，则点P 的坐标为()4,4或()4,4-，所以OP =，故B 正确；对于C ，在点P 处的切线方程为()424y x -=-，∴24y x =-，故C 错误； 对于D ，抛物线24x y =焦点为()0,1F ，易知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为1y kx =+．由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，则124x x k +=，124x x =-，故D 正确．故选BD ． 11．ACD解析：∵()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴()f x 为偶函数，故A 正确；∵()01f =，()1f π=-，∴()f x 的周期不是π，故B 错误； ∵()()()()()()sin cos sin cos sin cos sin cos f x x x x f x x x x xππππππ-=-+-=-+=+++=-，∴()()f x f x ππ-=+，所以函数()f x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；当0x π≤≤时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，5444x πππ+≤≤，()12f x -≤≤，又由C 选项知函数()f x 的图象关于直线x π=对称，故可知函数()f x ）在区间[]0,2π上的值域为1,2-⎡⎤⎣⎦，∵()()2f x f x π+=，故函数()f x 的值域为1,2-⎡⎤⎣⎦．故D 正确．故选ACD ． 12．ABD 解析：对于A ，()2211113'1024f x x x x ⎛⎫=--=---< ⎪⎝⎭，故()f x 在区间()0,+∞，(),0-∞上单调递减，但在定义域上不递减，又()()110f f =-=，故A 正确，B 正确； 对于C ，不妨设12x x <，结合()f x 的简图如右，由()()12f x f x =知110x -<<，21x >或者11x <-，201x <<或者11x =-，21x = 而()()()21212211211ln x x x f x f x x x x x x +=⇔-⋅=，且210x x ->，120x x <， 但当11x <-，201x <<时21ln0x x <，从而此时1210x x +>，故C 错误； 对于D ，()()1221f x f x f x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因为()f x 在()0,+∞上单调递减， 所以121x x =，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题13．()1,3解析：由题意知1030x x ->⎧⎨->⎩，所以13x <<，所以函数的定义域为()1,3．14．4π解析：连接1A D ，1C D ，则点F 为1A D 的中点，如右图所示，易知点E 为11AC 的中点，又因为F 为1A D 的中点， 所以，1EF C D ∥，所以，EF 和CD 所成的角为14CDC π∠=．15．2022解析：因为()()2023220232022220224404622202322023202322023n nn n n a a n n n -----+=+==----， 所以1202222021101110122a a a a a a +=+==+=，因此122022*********a a a +++=⨯=．16．（1）()0,+∞ （2）20,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【注】第（1）空2分，第（2）空3分解析：（1）若0a =，则当0x ≤时()()2f x x x =-+在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，且()11f -=；当0x >时，()x f x e =，可知()f x 在()0,+∞上递增，由01e =知()1f x >的解集为()0,+∞；（2）由题意，当2x <-时()()20a x x -+<，当20x -≤≤时()()20a x x -+≥，从而0a ≥；当0x >时20xe ax -≥恒成立，即()2xe a g x x=≤恒成立，由()()32'x x e g x x -=知()g x 在()0,2上递减，在() 2,+∞上递增，故()()2min24e a g x g ==≤．综上20,4e a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．四、解答题17． 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由26a =，4527a a +=，可得1162727a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，故()()113313n a a n d n n =+-=+-=．又1b ，2b ，{}32,3,4,5,8b ∈，等比数列{}n b 为递增数列，故12b =，24b =，38b =． 所以，数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列． 因此2nn b =．（2）()()10123153691215T b b b b b b b b b =++++-++++()()5331532122121212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=--- ()()15158212217-=--()156217-=．18． 解析：（1）如图，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，22291134cos 324212AB AD BD A AB AD +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，由题得A ABD BDC ∠=∠=∠，所以3cos cos 4BDC A ∠=∠=在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，222312cos 11242BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯=，所以2BC =．（2）设22AB BC a ==，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，2222411cos 2221AB AD BD a A a AB AD a +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，22222112cos 22112BD CD BC a a BDC BD CD +-+--∠===⋅⋅⨯⨯，所以222a a -=，得：31a =或31a =-（舍）， 则cos cos 31BDC A a ∠=∠==-．19． 解析：（1）法一：记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A ，B ，C ，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E ． 则()920P A =，()620P B =，()520P C =， ()0.7P E A =，()0.65P E B =，()0.56P E C =．根据全概率公式，()()()()()()()()()()P E P AE P BE P CE P A P E A P B P E B P C P E C =++=++=965130.70.650.560.6520202020⨯+⨯+⨯==， 即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65．法二：三个年级的学生人数之比为9：6：5，设1份人数为a ， 所以高一年级每周运动总时间超过5小时的人数为：970% 6.3a a ⋅=， 高二年级每周运动总时间超过5小时的人数为：665% 3.9a a ⋅=， 高三年级每周运动总时间超过5小时的人数为：556% 2.8a a ⋅=， 因此该学生每周运动总时间超过5小时的概率为2.83.9 6.30.65569a a aa a a++=++．（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且()2~ 5.5,X N σ，所以()5.50.5P X >=，由（1）知，()50.65P X >=，有()5 5.50.650.50.15P X <<=-=， 所以()()5625 5.50.3P X P X <<=<<=，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，因此()~3,0.3Y B ， 所以()30.30.9E Y =⨯=． 20． 解析：（1）在Rt △BCD 中，N 是斜边BD 的中点，所以12NC BD == 因为M ，N 是AD ，BD 的中点， 所以112MN AB ==，且2MC =，所以222MN NC MC +=，MN NC ⊥， 又因为AB BD ⊥，MN AB ∥，所以MN BD ⊥， 且BDNC N =，BD ，NC ⊂平面BCD ，故MN ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以MN BC ⊥． 因为MN AB ∥，所以AB BC ⊥． 所以△ABC 为直角三角形．（2）由（1）AB BC ⊥，AB BD ⊥，所以∠CBD 即为二面角D -BA -C 的平面角，故60CBD ∠=︒，因此3BC =，3CD =，又由（1）AB DC ⊥，DC CB ⊥，AB CB B =，所以DC ⊥平面ABC ，以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系．因为()3,3D ，()2,0,0A ，所以AD 的中点332M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，332BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．()3,0C ，332N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以330,,22CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,0NM =．设平面NMC 的法向量(),,m x y z =，则00NM m CN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即03302x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取3y =()0,3,1m =，设直线BM 和平面MNC 所成角为θ，所以33322cos ,224BM m BM m BM m+⋅<>===⨯⋅， 所以3sin 4θ=， 因此直线B 和平面MNC 所成角的正弦值等34．21． 解析：（1）函数()f x 在()0,π上单调递减，所以()'sin 0x f x e x m =--≤在()0,π上恒成立， 又()''cos 1cos 0x f x e x x =->-≥，所以要使()'sin 0x f x e x m =--≤在()0,π上恒成立， 则()()max ''0f x f e m ππ==-≤，解得m e π≥，即所求实的取值范围为),e π⎡+∞⎣．（2）由（1）知()'sin x f x e x m =--在()0,x ∈+∞上单调递增， 且'02f π⎛⎫<⎪⎝⎭，()'0f π>， 故()'f x 在()0,x ∈+∞上存在唯一零点0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()000'sin 0x f x e x m =--=， 所以当()00,x x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()'0f x >，()f x 单调递增；所以()()()()00110000000000min cos cos sin 1cos sin x x x x f x f x e x mx e x x e x x e x x x ==+-=+--=-++，令()()1cos sin x g x x e x x x =-++，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 则()()'cos cos 0xxg x xe x x x e x =-+=--<，所以()g x 在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减， 所以()210222g x g e ππππ⎛⎫⎛⎫<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()00f x <．又()020f =>，()()222212120f em e e e e πππππππππ=-+>-+>->，所以存在()100,x x ∈，()20,2x x π∈使得()()120f x f x ==，10202x x x π<<<<， 即函数()f x 在()0,+∞上有两个零点． 22． 解析：（1）设动点P 的坐标为(),x y ，则5339y y x x ⋅=-+-，3x ≠±， 化简得()221395x y x +=≠±． （2）（ⅰ）设直线l ：2x ty =+，()11,A x y ，()22,x y ． 把直线与椭圆联立得()225920250t y ty ++-=． 则1222059t y y t -+=+，1222559y y t -=+． ∴()()()21121211211222211212112113135555y ty ty y y y y k y x ty y y k x y y ty ty y y ty y y --++--=⋅====++++． （ⅱ）设点()22,C x y -，则直线AC ：()121112y y y y x x x x +-=--，令21121212122922x y x y ty y x y y y y +==+=++．∴9,02D ⎛⎫⎪⎝⎭．当(A ，即位于椭圆上顶点时，△ADF．。
高二下期中真题精选(常考60题专练)(老师版)
高二下期中真题精选（常考60题专练）一．选择题（共16小题）1．（2022秋•普陀区期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m＝0可求得a1，再由通项公式及a m＝2可得m值．【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•＝+，即有0＝+，解得m＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1＝+＝0，解得m＝5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．2．（2022春•黄浦区校级期中）用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．【分析】直接利用数学归纳法写出n＝2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．【点评】在数学归纳法中，第一步是论证n＝1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．3．（2022春•闵行区校级期中）对于不等式＜n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1+1，不等式成立．（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k+1，则当n＝k+1时，＝＜＝＝（k+1）+1，∴当n＝k+1时，不等式成立．则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确【分析】此证明中，从推出P（k+1）成立中，并没有用到假设P（k）成立的形式，不是数学归纳法．【解答】解：在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确．故选：D．【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n 都成立4．（2022春•黄浦区校级期中）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱侧面的问题，因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；故选：B．【点评】本题考查平面与圆柱面的截面性质的判断，注意截面与圆柱的轴线的位置不同时，得到的截面形状也不同．5．（2022秋•闵行区校级期中）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A．2＜k＜6B．2＜k＜4C．4＜k＜6D．2＜k＜4或4＜k＜6【分析】由椭圆的方程和焦点在x轴可得，参数的关系，进而求出k的范围．【解答】解：∵表示焦点在x轴上的椭圆，故，解得2＜k＜4．故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，属于基础题．6．（2022春•杨浦区校级期中）已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（）象限．A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四【分析】先由已知分析可得ac＜0，然后分别令x＝0和y＝0求出直线与坐标轴的交点坐标，即可求解．【解答】解：由ab＜0，bc＞0可得：ac＜0，令x＝0，解得y＝﹣＜0，此时点（0，﹣）在y轴负半轴上，令y＝0，解得x＝﹣＞0，此时点（﹣，0）在x轴正半轴上，所以直线过第一，三，四象限，故选：C．【点评】本题考查了确定直线的位置的几何要素，属于基础题．7．（2022春•崇明区校级期中）圆O1：x2+y2﹣2x＝0与圆O2：x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】先利用配方法将两个圆的方程均化为标准方程，再写出圆心坐标和半径，然后比较两圆的圆心距与半径和、半径差的大小关系即可得解．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心O1（1，0），半径为r1＝1；圆O2：x2+y2+4y＝0化为标准方程为x2+（y+2）2＝4，圆心O2（0，﹣2），半径为r2＝2．所以圆心距|O1O2|＝，r1+r2＝3，r2﹣r1＝1，所以r2﹣r1＜|O1O2|＜r1+r2，即两圆的位置关系为相交．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定，考查学生的运算能力，属于基础题．8．（2022秋•杨浦区校级期中）抛物线y2＝x的准线方程为（）A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣【分析】直接利用抛物线的标准方程，求解即可．【解答】解：抛物线y2＝x，可得p＝，所以抛物线的准线方程为x＝．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9．（2022秋•徐汇区校级期中）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整+a2n＜0”的（）数n，a2n﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q＝﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）＝1＞0，+（﹣）＝＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（2022春•浦东新区校级期中）设数列{a n}（）A．若a n2＝4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n•a n+2＝a n+12，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m•a n＝2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n•a n+3＝a n+1•a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列【分析】利用等比数列的概念，通过特例法对A，B，C，D四个选项逐一判断排除即可．【解答】解：A中，＝4n，n∈N*，∴a n＝±2n，例如2，22，﹣23，﹣24，25，26，﹣27，﹣28，…不是等比数列，故A错误；B中，若a n＝0，满足a n•a n+2＝，n∈N*，但{a n}不是等比数列，故B错误；同理也排除D；对于C，∵a m•a n＝2m+n，m，n∈N*，∴＝＝2，即＝2，∴{a n}为等比数列，故C正确．故选：C．【点评】本题考查等比数列的概念与性质，考查举例排除法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．11．（2022秋•嘉定区校级期中）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+2（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣2＝0和l2：a2x+b2y﹣2＝0的交点情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点B．存在k，P1，P2使之有无穷多个交点C．无论k，P1，P2如何，总是无交点D．存在k，P1，P2使之无交点【分析】利用两点间斜率公式以及点在直线上进行化简，得到关系a2b1﹣a1b2＝2a2﹣2a1，联立两条直线的方程，研究方程组的解的个数，即可得到答案．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+2（k为常数）上两个不同的点，直线y＝kx+2的斜率存在，则，即a1≠a2，且b1＝ka1+2，b2＝ka2+2，所以a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+2a2﹣2a1＝2a2﹣2a1，联立方程组，解得（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即2（a1﹣a2）x＝b2﹣b1，所以方程有唯一解．故选：A．【点评】本题考查了直线方程的应用，直线与直线交点问题，两点间斜率公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．12．（2022春•黄浦区校级期中）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【分析】方法一：由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，根据等差数列的性质即可求出n＝9，再根据前n项和公式即可求出；方法二：设第n环天心石块数为a n，第一层共有n环，根据等差数列分段和为等差数列，即可求出．【解答】解：方法一：设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为a1＝9，且公差d＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，方法二：设第n环天心石块数为a n，第一层共有n环，则{a n}是以9为首项，9为公差的等差数列，a n＝9+（n﹣1）×9＝9n，设S n为{a n}的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n，∵下层比中层多729块，∴S3n﹣S2n＝S2n﹣S n+729，∴﹣＝﹣+729，∴9n2＝729，解得n＝9，∴S3n＝S27＝＝3402，故选：C．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．13．（2022春•金山区期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】过P（x0，y0）且与椭圆相切的直线方程为，利用这一结论分别设出过C 点和D点与椭圆相切的直线方程，分别代入A，B坐标，求出C，D的坐标，进而表示出直线AC和直线BD的斜率，再代入求出a，b的关系式，进而求出离心率．【解答】解：设内圈椭圆的方程为，外圈椭圆的方程为，其中m＞1，则A（﹣ma，0），B（0，mb），设C（x C，y C），D（x D，y D）．过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为，代入A点坐标，整理得，代入且y C＜0，解得，所以；过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为，代入B点坐标，整理得，代入且x D＞0，解得，所以．所以，．故选：D．【点评】本题考查椭圆的切线方程，几何性质，属于中档题．14．（2022秋•闵行区校级期中）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设出|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得m＝a，再通过∠F1PF2＝60°，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．【解答】解：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2，所以e＝＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想与运算求解能力，属于中档题．15．（2022秋•奉贤区校级期中）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法错误的是（）A．与不是共线向量B．与同向的单位向量是（，，0）C．和夹角的余弦值是D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）【分析】对于A，结合共线向量的性质，即可求解，对于B，结合共线单位向量的定义，即可求解，对于C，结合向量的夹角公式，即可求解，对于D，结合法向量的求法，即可求解．【解答】解：对于A，∵A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），∴，，∴不存在实数λ使得，，即与不是共线向量，故A正确，对于B，，则，即同向的单位向量为，故B正确，对于C，，，则＝＝，故C错误，对于D，设平面ABC的一个法向量为，∵，，∴，即，令x＝1，解得y＝﹣2，z＝5，故平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5），故D正确．故选：C．【点评】本题主要考查空间向量的应用，考查转化能力，属于中档题．16．（2022秋•闵行区校级期中）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA＝AB，∠OAB＝120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（）A．B．C．D．【分析】过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF ⊥OA，垂足为F，由已知证明∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，再证明PA⊥PH，可得点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外），设OA＝a（a＞0），由已知可得AB＝a，AH＝，PE＝，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，再由tanθ＝求得tanθ的最大值．【解答】解：如图，过B作BH⊥OA的延长线，垂足为H，连接PH，OP，取AH的中点E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α＝OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成角θ，即∠AOP＝θ，∵AP⊂α，∴PA⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH＝B，∴PA⊥平面PBH，则PA⊥PH．∴点P的轨迹是平面α内以线段AH为直径的圆（A点除外）．∵OA＝AB，且∠OAB＝120°，∴∠BAH＝60°，设OA＝a（a＞0），则AB＝a，从而AH＝AB•cos60°＝．∴PE＝，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值．tanθ的最大值为＝．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属难题．二．填空题（共31小题）17．（2022秋•宝山区校级期中）设等差数列{a n}的前n项之和为S n满足S10﹣S5＝20，那么a8＝4．【分析】根据数列前n项和的定义S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求．【解答】解：根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8＝20，a8＝4故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题．18．（2022秋•奉贤区期中）等差数列{a n}中，a1＝﹣3，11a5＝5a8，则其前n项和S n的最小值为﹣4．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由11a5＝5a8，得6a1+9d＝0，又a1＝﹣3，故d＝2．故a n＝﹣3+（n﹣1）2＝2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{a n}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）＝﹣4，故答案为﹣4．【点评】在等差数列中，当首项为正，公差为负时，其前n项和S n有最大值，是所有的正项相加最大；当首项为负，公差为正时，其前n项和S n有最小值，是所有的负项相加最小．19．（2022秋•虹口区校级期中）向量与夹角的大小为．【分析】利用向量夹角公式求解即可．【解答】解：向量，，设与的夹角为θ，则，∵0≤θ≤π，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量夹角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．20．（2022秋•静安区校级期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11＝55，则a6＝5．【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵S11＝＝55，∴a6＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．21．（2022秋•奉贤区校级期中）已知数列{a n}为等差数列，数列{a n}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝11．【分析】根据已知条件，运用等差数列的通项公式和前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴S5＝5a3＝20，∴a3＝4，∵a5＝6，a3＝4，∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2，即d＝1，∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故答案为：11．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用，属于基础题．22．（2022秋•徐汇区校级期中）设S n为等比数列{a n}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝﹣8，则等于﹣11．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，根据由a1a2a3＝a23＝﹣8，得a2＝﹣2，所以q＝＝﹣2，从而根据等比数列的前n项和公式即可求出的值．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1a2a3＝a23＝﹣8，得a2＝﹣2，所以q＝＝﹣2，所以S5＝＝＝11，S2＝a1+a2＝1+（﹣2）＝﹣1，则＝﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．23．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为4．【分析】建立空间直角坐标系，设棱柱的高为a，求出平面ACD1的一个法向量，令，求出a的值即可．【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，故，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，∴，解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的运用，考查计算能力，属于基础题．24．（2022秋•浦东新区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为arctan【分析】连接AC，AC∩BD＝O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角；【解答】解：连接AC，AC∩BD＝O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∴AO＝，∴tan∠A1OA＝＝；所以∠A1OA＝arctan．故答案为：arctan．【点评】本题考查面面角与线面角，解题的关键是确定线面角与面面角，属于基础题．25．（2022春•金山区期中）已知直线x+2y﹣2＝0与圆（x﹣a）2+y2＝4相交，且直线被圆所截得的弦长为，则实数a＝．【分析】根据题意，设圆心到直线x+2y﹣2＝0的距离为d，分析圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得d的值，进而可得d＝，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+y2＝4，圆心为（a，0），半径r＝2，设圆心到直线x+2y﹣2＝0的距离为d，又由直线被圆所截得的弦长为，则d＝＝1，则有d＝，解得．故答案为：2±【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．26．（2022秋•闵行区校级期中）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为2．【分析】设出点A的坐标，利用抛物线的方程以及定义即可求解．【解答】解：设A（m，n），由抛物线的方程可知：p＝2，则由抛物线的定义可得：|AF|＝m+＝m+1＝3，所以m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．27．（2022秋•浦东新区校级期中）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝80，则的值为8．【分析】利用等差数列项之间的关系，把握好等差数列的性质进行解题，建立已知与未知之间的关系进行整体之间的转化．【解答】解：由已知得：（a2+a10）+（a4+a8）+a6＝5a6＝80⇒a6＝16，又分别设等差数列首项为a1，公差为d，则．故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的基本性质的运用，考查项与项之间的关系，关键要建立未知与已知整体之间的联系，从而整体求出所求的结果．28．（2022秋•黄浦区校级期中）在无穷等比数列{a n}中，等于．【分析】由题设知，a2n＝21﹣2n，a2n2＝（21﹣2n）2＝22﹣4n，所以T n＝2﹣2+2﹣6+2﹣10+…+22﹣4n＝．由此能求出T n．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}中，a1＝1，，∴，a2n＝21﹣2n，a2n2＝（21﹣2n）2＝22﹣4n，∴T n＝2﹣2+2﹣6+2﹣10+…+22﹣4n＝．∴T n＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的灵活运用．29．（2022秋•徐汇区校级期中）若向量＝（4，2，﹣4），＝（6，﹣3，2），则（2﹣3）•（+2）＝﹣212．【分析】利用向量的坐标形式的四则运算法则、利用向量的数量积公式求出数量积．【解答】解：∵，∴＝﹣10×16+13×（﹣4）＝﹣212故答案为﹣212【点评】本题考查向量的四则运算法则、考查向量的数量积公式：对应坐标乘积的和．30．（2022秋•闵行区校级期中）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x 等于4．【分析】由与垂直，得到＝﹣3+2x﹣5＝0，由此能求出x的值．【解答】解：向量＝（﹣3，2，5），＝（1．x，﹣1），且与垂直，∴＝﹣3+2x﹣5＝0，解得x＝4．故选：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．31．（2022春•金山区期中）已知两点A（3，2），B（﹣1，5），直线l：y＝kx﹣1与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[1，+∞）【分析】直线y＝kx﹣1恒经过定点P（0，﹣1），由直线的斜率公式，求出PA和PB的斜率，数形结合能求出直线l的斜率的取值范围．【解答】解：由题意，直线y＝kx﹣1恒经过定点P（0，﹣1），由直线的斜率公式，可得，要使直线l：y＝kx﹣1与线段AB有公共点，k≥1或k≤﹣6．∴直线l的斜率的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[1，+∞）．【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查直线的斜率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．32．（2022秋•宝山区校级期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为﹣6．【分析】由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a．【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，∴a+6＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．33．（2022春•杨浦区校级期中）直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则a的值为﹣1．【分析】由于l 2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3＝0，解得a＝3或﹣1．当a＝3时，l1与l2重合，应舍去．因此a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题．34．（2022春•杨浦区校级期中）已知直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3＝0，l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2＝0，若l1⊥l2，则k＝1或﹣3．【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【解答】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为：1或﹣3【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．35．（2022秋•浦东新区校级期中）已知点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线ax+y+1＝0的距离相等，则a 的值为﹣4或．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线ax+y+1＝0的距离相等．∴＝，解得a＝﹣4或．故答案为：﹣4或．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．36．（2022秋•杨浦区校级期中）一个圆经过椭圆＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆标准方程为（x﹣）2+y2＝．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆＝1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a＝，圆的半径为，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2＝．故答案为：（x﹣）2+y2＝．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．37．（2022春•崇明区校级期中）与双曲线x2﹣y2＝1有相同的渐近线，且过点（1，2）的双曲线的标准方程为．【分析】可设与双曲线x2﹣y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），将点（1，2）代入，解方程求得λ值，即可得到所求方程．【解答】解：设与双曲线x2﹣y2＝1有相同渐近线的双曲线的方程为：x2﹣y2＝λ（λ≠0），将点（1，2）代入上式，可得λ＝1﹣4＝﹣3，∴所求双曲线的方程为x2﹣y2＝﹣3，即为．故答案为：．【点评】本题考查有相同渐近线的双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．38．（2022秋•静安区校级期中）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x．【分析】根据双曲线离心率为2，列出关于a、b的方程，解之得b＝a，由双曲线渐近线方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为y＝又∵离心率为e＝＝2，可得c＝2a∴c2＝4a2，即a2+b2＝4a2，可得b＝a由此可得双曲线渐近线为y＝故答案为：y＝【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求它的渐近线，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．39．（2022春•浦东新区校级期中）直线y＝x+3与曲线﹣＝1交点的个数为3．【分析】先对x进行分类讨论：≥0时，曲线方程为﹣＝1，图形为双曲线在y轴的右半部分；当x ＜0时，曲线方程为，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示，再结合图形即可得出直线y＝x+3与曲线﹣＝1交点的个数．【解答】解：当x≥0时，曲线方程为﹣＝1，图形为双曲线在y轴的右半部分；当x＜0时，曲线方程为，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示，由图可知，直线y＝x+3与曲线﹣＝1交点的个数为3．故答案为3．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，题目中所给的曲线是部分双曲线的椭圆组成的图形，只要注意分类讨论就可以得出结论，本题是一个基础题．40．（2022秋•普陀区校级期中）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，S5，S7∈{﹣5，0}，则S n的最小值为﹣6．【分析】对a4的值进行分类讨论，结合等差数列前n项和最值的求法得到S n的最小值．【解答】解：①当a4＝0时，∴S7＝＝7a4＝0，∴S5＝5a3＝﹣5，∴a3＝﹣1，∴d＝a4﹣a3＝1，a1＝a3﹣2d＝﹣3，∴a n＝﹣3+（n﹣1）＝n﹣4，令a n≤0得，n≤4，∴S n的最小值为S4＝＝﹣6，②当a4＝﹣5时，∴S7＝＝7a4＝﹣35，不符合题意，综上所述，S n的最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．41．（2022春•静安区校级期中）椭圆+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为（3，4）∪（4，）．【分析】分t＞4和0＜t＜4求出椭圆的长半轴长和半焦距，再由a﹣c＞1列式求解t的取值范围．【解答】解：当t＞4时，椭圆+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则a＝，b＝2，c＝，由题意可得：a﹣c＝＞1，解得4＜t＜；当0＜t＜4时，椭圆+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a＝2，b＝，c＝，由题意可得：a﹣c＝2﹣＞1，解得3＜t＜4．综上，t的取值范围为（3，4）∪（4，）．故答案为：（3，4）∪（4，）．【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确长轴的两个端点到焦点距离最小（或最大）是关键，是中档题．42．（2022秋•闵行区校级期中）若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．【解答】解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式的性质和转化思想，属于中档题．43．（2022春•崇明区校级期中）如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左、右焦点，也是C2的左、右焦点，并且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＝1，则双曲线C2的方程为﹣＝1．【分析】由题意的方程可得左焦点的坐标，再由P1P2F1P3P4F2是正六边形，可得P2的坐标，由两个曲线的焦点相同可设双曲线的方程，将P2点代入可求出参数的值，进而求出双曲线的方程．【解答】解：由题意的方程可得椭圆的半个焦距c2＝4+2﹣2＝4，即c＝2，所以左焦点F1（﹣2，0），由六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形，所以由图可得P2（﹣1，），因为椭圆C1和双曲线C2D的焦点相同，设双曲线的方程为：﹣＝1，0＜λ＜4，由于P2也在双曲线上，所以﹣＝1，整理可得λ2＝12，0＜λ＜4，所以，所以双曲线的方程为：﹣＝1，故答案为：﹣＝1．【点评】本题考查圆锥曲线的综合，及正六边形的性质，属于中档题．44．（2022秋•浦东新区校级期中）已知等差数列{a n}前15项的和S15＝30，则a1+a8+a15＝6．【分析】利用等差数列的求和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简求出a8的值，然后将所求式子的第一、三项结合，利用等差数列的性质化简，将a8的值代入即可求出值．【解答】解：∵等差数列{a n}前15项的和S15＝30，∴＝30，即a8＝2，则a1+a8+a15＝（a1+a15）+a8＝3a8＝6．故答案为：6【点评】此题考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的性质，熟练掌握公式及性质时间解本题的关键．45．（2022春•长宁区校级期中）设等差数列{a n}的公差d为﹣2，前n项和为S n，则＝﹣3．【分析】通过等差数列求出通项公式与前n项和，利用数列的极限直接求解即可．【解答】解：因为等差数列{a n}的公差d为﹣2，前n项和为S n，a n＝a1﹣2（n﹣1），S n＝na1+∴＝＝＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查数列的极限的求法，等差数列的通项公式与前n项和的求法，考查计算能力．46．（2022春•宝山区校级期中）已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3．【分析】如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，属于难题．47．（2022秋•奉贤区期中）已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为4．【分析】根据题意，由双曲线的性质可得＝，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，。
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)
2020-2021学年湖北省部分重点中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说明正确的是()A. “若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B. {a n}为等比数列，则“a1<a2<a3”是“a4<a5”的既不充分也不必要条件C. ∃x0∈(−∞,0)，使3x0<4x0成立D. “tanα≠√3”必要不充分条件是“a≠π3”2.设复数z1=1−i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1⋅z2的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.“∃x0∈R,x02+1<0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+1≥0B. ∀x∈R，x2+1<0C. ∃x0∈R,x02+1≥0D. ∃x0∈R,x2+1<04.若，则等于()A. −2B. −4C. 2D. 05.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B的在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为23，则k的值为()A. −13B. 13C. ±13D. ±126.方程|x|+|y|=1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是()A. 2B. 1C. 4D. √27.直线l1:y=mx+1，直线l2的方向向量为a⃗=(1,2)，且l1⊥l2，则m=A. 12B. −12C. 2D. −28.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则双曲线E的渐近线方程为()A. y=±12x B. y=±x C. y=±√3 D. y=±2x9. 已知A 、B 两点均值焦点为F 的抛物线y 2=2px(p >0)上，若|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，线段AB 的中点到直线x =p2的距离为1，则p 的值为( )A. 1B. 1或3C. 2D. 2或610. 已知命题p ：f(x)=12+12x −1为奇函数；命题q ：∀x ∈(0,π2)，sinx <x <tanx ，则下面结论正确的是( )A. p ∧(￢q)是真命题B. (￢p)∨q 是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是假命题11. 直线y =kx 与函数f(x)=|x 2−1|x−1图象有两个交点，则k 的范围是( )A. (0,√3)B. (0,1)∪(1,√3)C. (1,√3)D. (0,1)∪(1,2)12. 抛物线y =ax 2的准线方程为y =−1，则实数a =( )A. 4B. 14C. 2D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(2,0)，N(3,0)，P 是抛物线C ：y 2=3x 上一点，则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中正确的序号是______ ．①∃x 0∈R ，使f(x 0)=0；②若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)=0；③若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x 0)上单调递减； ④函数y =f(x)的图象是中心对称图形． 15. 设F 1、F 2为曲线C 1：的焦点，P 是曲线：与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为_______________________． 16. 设函数，若在区间内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (12分)(I)求函数图象上的点处的切线方程；(Ⅱ)已知函数，其中是自然对数的底数，对于任意的，恒成立，求实数的取值范围。
2021-2022学年高二下学期期中学业质量监测数学试题 (解析版)
一、单项选择题（共8小题）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+53．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．6005．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.05046．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．167．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．1810．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex 11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．在复平面内，复数z＝﹣1+2i（i为虚数单位）对应的点所在象限是（）A．一B．二C．三D．四【分析】由复数z得到z的坐标得答案．解：∵z＝﹣1+2i，∴在复平面内，复数z＝﹣1+2i对应的点的坐标为（﹣1，2），所在象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A． 1.23x+0.08B．0.08x+1.23C． 1.23x+4D． 1.23x+5【分析】设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．解：设回归直线方程为 1.23x+a∵样本点的中心为（4，5），∴5＝1.23×4+a∴a＝0.08∴回归直线方程为 1.23x+0.08故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．3．已知随机变量X的分布列为P（X＝k），（k＝1，2，3，4），则P（1＜X≤3）＝（）A．B．C．D．【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于3和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，利用互斥事件的概率公式把结果相加即可．解：∵∴P（X＝2）P（X＝3），∴P（1＜X≤3）故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是正确利用分布列的性质，解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间，概率和为1，本题是一个基础题．4．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A．36B．72C．480D．600【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有A44＝24种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有A52＝20种情况，则有24×20＝480个符合题意的六位数；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）A．0.42B．0.2016C．0.1008D．0.0504【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．解：甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为：p0.2016．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率计算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a能被17整除，则a的值为（）A．1B．4C．13D．16【分析】将式子化简，利用二项式定理展开，可得1+a能被17整除，从而得出结论．解：设a∈Z，且0≤a≤16，若42020+a＝161010+a＝（17﹣1）1010+a＝171010﹣171009+171008﹣171007+…+（﹣17）+1+a 能被17整除，则1+a能被17整除，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98，100）．∵μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝1﹣P（ξ＜108）＝1﹣Φ（）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A．【点评】本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．函数，x∈（﹣3，0）∪（0，3）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，利用导函数在（﹣3，0）以及（0，3）上的符号，判断函数的单调性情况，进而结合选项得出答案．解：，当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＞0，此时f（x）应单调递增，图象呈上升趋势，可排除选项B，C；当x∈（0，3）时，f′（x）可正可负，此时f（x）有增有减，可排除选项D．故选：A．【点评】本题考查函数图象的运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想及数形结合思想，属于中档题．一、选择题9．若，则x的值为（）A．4B．6C．9D．18【分析】由，利用组合数的性质即可得出x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解出即可得出．解：∵，∴x＝3x﹣8或x+3x﹣8＝28，解得：x＝4，或9．故选：AC．【点评】本题考查了组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（）A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．解：直线的斜率为k，由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A 不能选；由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx有解，故C 可以选；由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．故选：BCD．【点评】本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．11．下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0 C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的基本性质以及复数的模的几何意义，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．12．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A．a＝1B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458D．若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等【分析】由题意令x＝1，可得a的值；二项式展开，分析可得结论．解：令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为（1+a）×1＝2，∴a＝1，故A正确；∵（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），故展开式中常数项为﹣160，故B不正确；的展开式中各项系数绝对值的和，即项（1）的各系数和，为（1+a）•36＝1458，故C正确；根据（1）（1）（64x6﹣192x4+240x2﹣160+60x ﹣2﹣12x﹣4+x﹣6），可得若r为偶数，则展开式中xr和xr﹣1的系数相等，故D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．计算35 ．【分析】先把化为C33，再根据组合数的性质，∁nm+∁nm﹣1＝Cn+1m，逐个化简，即可求出的值．解：∵∁mn+Cm﹣1n＝∁mn+1，∴原式35．故答案为：35．【点评】本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．14．规定，其中x∈R，m∈N*，且，这是排列数（n，m∈N*，且m≤n）的一种推广．则，则函数的单调减区间为．【分析】直接由排列数公式展开求得；展开排列数公式，得到f（x）的解析式，求出导函数，再由导数小于0求得函数的单调减区间．解：由，得；函数x（x﹣1）（x﹣3+1）＝x3﹣3x2+2x，∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．由f′（x）＜0，得3x2﹣6x+2＜0，解得x．∴函数的单调减区间为（，）．故答案为：；（，）．【点评】本题考查排列及排列数公式的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．15．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 3 ．【分析】由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，算出取到白球的概率，由于每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，得到变量符合超几何分布，写出期望公式，得到结果．解：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，∵每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，∴符合二项分布，∴2，∴n＝3故答案为：3【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．16．已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8（m ∈R），若a1＝27，则ai）的值为43 ．【分析】先求出m的值，令x＝0，可得a0＝﹣2，在所给等式中，两边对x求导数，再令x＝1，可得要求式子的值．解：∵已知（x+m）（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，而a1＝﹣1+m1+14m＝27，∴m＝2．∴（x+2）•（2x﹣1）7 ＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8．令x＝0，可得a0＝﹣2．等式两边对x求导数可得，（2x﹣1）7+（x+2）•14（2x﹣1）6 ＝a1+2a2x+3a3x2…+8a8x7，∴再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+…+8a8＝43，则ai）＝a1+2a2+…+8a8）＝43，故答案为：43．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位）．（1）若为纯虚数，求实数a的值；（2）若（其中是复数z2的共轭复数），求实数a的取值范围．【分析】（1）利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．（2）化简，由可得（a﹣3）2+4＜a2+4，即可求a的范围．解：（1）由z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，得．又因为为纯虚数，所以，所以，．（2），又因为，所以，即，（a﹣3）2+4＜a2+4，解得，．【点评】本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．18．在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中含x2的项．【分析】（1）由题意可得2，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的含x2的项．解：（1）∵在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，即2，求得n＝7，或n＝2（舍去）．（2）展开式的通项公式为Tr+1••，令2，求得r＝2，可得展开式中含x2的项为T3••x2•x2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．19．近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组．为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如表所示的2×2列联表．甲组乙组合计男生 3女生13合计40 60（1）将2×2列联表补充完整，判断是否有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关？（2）如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率．附：参考数据及公式：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）先计算出抽取的6人中甲组的人数和乙组的人数，再利用对立事件间的概率关系即可求出结果．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：甲组乙组合计男生27 3 30女生13 17 30合计40 20 60根据列联表中的数据，可以求得：K214.7；由于14.7＞2.706，所以有90%的把握认为学生按成绩分组与性别有关；（2）因为甲组有40人，乙组有20人，若用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，则抽取的6人中甲组有4人，乙组有2人，从这6人中随机抽取2人，至少有1人在甲组的概率为P＝1，答：至少有1人在甲组的概率为．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及对立事件间的概率关系，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．【分析】（1）将a＝1代入，求导，求出函数在[﹣2，1]上的单调性，进而求得最大值；（2）求导，分a＝0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3+x2﹣x+1，则f′（x）＝3x2+2x ﹣1＝（x+1）（3x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜﹣1或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，由于f（﹣1）＝2，f（1）＝2，故函数f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为2；（2）f′（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（x+a）（3x﹣a），令f′（x）＝0，解得x＝﹣a或，当a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣a或，令f′（x）＜0，解得，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递增，在单调递减，∴函数f（x）的极大值为f（﹣a）＝a2+1，极小值为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨思想及运算求解能力，属于基础题．21．为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华名族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉．现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院．（1）求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；（2）若要求每家医院至少一人，设X，Y分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记ξ＝|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【分析】（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，利用组合数求出事件A的基本事件数，再利用乘法计数原理求出总事件的基本空间数，最后根据古典概型即可求得概率；（2）随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，然后利用组合数与古典概型逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）设“7名医学专家中恰有两人被分配到‘雷神山’医院”为事件A，种，7名医学专家被随机分配到“雷神山”“火神山”两家医院，共有27＝128种等可能的基本事件，∴P（A）．故7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率为．（2）每家医院至少1人共有27﹣2＝126种等可能的基本事件，随机变量ξ的所有可能取值为1，3，5，P（ξ＝1）；P（ξ＝3）；P（ξ＝5）．∴ξ的分布列为ξ 1 3 5P数学期望E（ξ）．【点评】本题考查古典概型、计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．22．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设g（x）＝x2+|f（x）|，求函数g（x）的单调区间；（3）设h（x）＝mf（x）﹣lnx，求证：当0＜m时，函数h（x）恰有2个不同零点．【分析】（1）利用导数求函数的在x＝1处切线的斜率，进而求出切线方程；（2）利用导数的正负求g（x）的单调区间，当g′（x）＞0时解得为函数的增区间，g′（x）＜0解得为函数的减区间，关键是由于f（x）为分段函数，所以g（x）也要进行分段讨论；（3）利用导数研究函数的单调性，从而证明函数的零点问题，关键是求函数的单调性时，导数的零点不可求，要用到零点存在性定理，放缩法卡范围．解：（1）由f（x）＝（x﹣1）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，所以f′（1）＝e，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；（2）当x≥1时，g′（x）＝2x+xex ＝x（2+ex）＞0，所以函数g（x）的单调增区间为[1，+∞），当x＜1时g（x）＝x2﹣（x﹣1）ex，所以g′（x）＝2x﹣xex＝x（2﹣ex），令g′（x）＞0得0＜x＜ln2；令g′（x）＜0，得x＜0或ln2＜x ＜1，所以函数的单调增区间为（0，ln2）；单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．综上所述，函数的单调增区间为（0，ln2）和[1，+∞）；函数的单调减区间为（﹣∞，0）和（ln2，1）．（3）证明：由题意知，F（x）＝m（x﹣1）ex﹣lnx得，令h（x）＝mx2ex﹣1（x＞0），当时，h′（x）＝（2mx+mx2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝me﹣1＜0，h（ln）1＞0，所以存在唯一的，使得，当x∈（0，x0）时，h′（x0）＜0，所以在（0，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，所以在（x0，+∞）上单调递增，故x0是h（x）＝mx2ex﹣1（x ＞0）的唯一极值点．令t（x）＝lnx﹣x﹣1，当x∈（1，+∞），，所以在（1，+∞）上单调递减，即当x∈（1，+∞）时，t（x）＜t（1）＝0，即lnx＜x﹣1，所以，又因为F（x0）＜F（1）＝0，所以F（x）在（x0，+∞）上有唯一的零点，所以函数F（x）恰有两个零点．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值及函数零点的问题，属于难题．。
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1.卢瑟福的α粒子散射实验结果表明了 ( )
A .原子中的带正电部分均匀地分布在原子中.
B .原子中的电子使α粒子发生偏转.
C .原子中带正电部分体积很小，几乎集中了原子的全部质量.
D .原子中很空荡.
2．如图所示，把电阻R 、电感线圈L 、电容器C 并联，三个支路中分别接有一灯泡。
接入交流电源后，三盏灯亮度相同。
若保持交流电源的电压不变，使交变电流的频率增大，则以下判断正确的是( )
Ａ．与线圈L 连接的灯泡L 1将变暗 Ｂ．与电容器C 连接的灯泡L 2将变暗
Ｃ．与电阻R 连接的灯泡L 3将变暗 Ｄ．三盏灯泡的亮度都不会改变 3、关于光的波粒二象性的理解正确的是 （ ） A ．大量光子的效果往往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性
B ．光在传播时是波，而与物质相互作用时就转变成粒子
C ．高频光是粒子，低频光是波
D ．波粒二象性是光的根本属性，有时它的波动性显著，有时它的粒子性显著
4、用如图所示的装置演示光电效应现象．当用某种频率的光照射到光电管上时，电流表
G 的读数为i ．若改用更高频率的光照射，此时（ ）
A ．将电池正的极性反转，则光电管中没有光电子产生
B ．将电键S 断开，则有电流流过电流表G
C ．将变阻器的触点c 向b 移动，光电子到达阳极时的速度必将变小
D ．只要电源的电动势足够大，将变阻器的触点c 向a 端移动，电流表G 的读数必将变大
5、下列关于物理学家的贡献认识不正确的是
A 、德国物理学家普朗克提出了能量量子说
B 、英国物理学家法拉第发现了电磁感应现象
C 、爱因斯坦提出光子说，成功地解释了光电效应规律
D 、美国物理学家康普顿预言了实物粒子的波动性
6．某小型水电站的电能输送示意图如图．发电机的输出电压为 220 V ，输电线总电阻为 r ，升压变压器原、副线圈匝数分别为 n1、n2.降压变压器原、副圈线匝数分别为 n3、n4(变压器
均为理想变压器)．要使额定电压为 220 V 的用电器正常工作，则( ) A. 431
2n n n n > B. 4312n n n n < C. 升压变压器的输出电压等于降压变压器的输入电压
D. 升压变压器的输出功率大于降压变压器的输入功率
7、研究光电效应规律的实验装置如图所示，以频率为υ的光照射光电管阴极K 时，有光电子产生。
由于光电管K 、A 间加的是反向电压，光电子从阴极K 发射后将向阳极A 作减速运动，光电流由图中电流计G 测出，反向电压U 由电压表V 测出。
当电流计的示数恰好为零时，电压表的示数称为反向截止电压U 0。
在下列表示光电效应实验规律的图象中，错误的是：[ ]
8、如图光滑水平面上有质量相等的A 和B 两个物体，B 上装有一轻质弹簧，B 原来静止，A 以速度v 正对B 滑行，当弹簧压缩到最短时，有：
A ．A 的速度减小到零
B ．A 和B 具有相同的速度
C ．此时B 的加速度达到最大
D ．此时B 的速度达到最大
E. 物体A 减少动能全部转化为弹簧的弹性势能
F.由于有弹力作用,系统动量不守恒.
L u 图10。