高中数学第十三章-极限

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高中数学中的数列极限定义及其应用

高中数学中的数列极限定义及其应用数列极限出现在高中数学中，是一个重要的概念。

它是指随着自变量趋近于某个数的时候，函数值无限接近于某个数的现象。

在数学中，极限的概念是非常重要的，它广泛应用于计算、物理等科学领域。

下面我们将深入探讨高中数学中的数列极限定义及其应用。

一、数列极限定义数列极限是一个数学概念，它是指在数列中，当数列的每一项都无限接近一个常数时，这个常数就是该数列的极限。

正式的定义如下：设$\{a_n\}$为一个数列，$A$为一个实数，若对于任意一个$\epsilon>0$，都存在自然数$N$，使得当$n>N$时，都有$|a_n-A|<\epsilon$成立，那么称$A$是数列$\{a_n\}$的极限。

在这个定义中，$A$被称为数列$\{a_n\}$的极限，$\epsilon$是一个任意小的正数，$N$则是自然数中的一个整数。

这个定义说明了一个数列极限的核心概念：无限接近。

二、数列极限的概念在数学中的应用1.极限的运用数列极限的概念在证明极限的时候是非常常见的。

在数学中，极限是一种非常常见的概念。

当我们求解一个极限的时候，需要使用到数列极限的概念。

比如说，在分析某个函数的性质时，我们需要求解这个函数值在某个点附近的极限。

在数学中，数列极限的概念是非常重要的工具之一。

2.应用于微积分和数学分析数列极限的概念在微积分和数学分析中也得到了广泛的应用。

比如说，我们在求导的时候，需要求解函数在某个点附近的极限值。

在这种情况下，我们需要使用到数列极限的概念来求解函数的极限值。

3.应用于统计学数列极限的概念在统计学中也发挥着巨大的作用。

在统计学中，我们需要对样本数据进行相应的分析。

在这种情况下，我们可以使用数列极限的概念来判断样本数据是否具有显著性，从而得出更加准确的统计结论。

4.应用于物理学数列极限的概念还在物理学中得到了广泛应用。

比如说，在物理学中，我们需要对某个物理量进行相应的分析。

《高等数学极限》课件

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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何特性等方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行运算和求导。

《高数13函数的极限》PPT课件

若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由子列极限不存在或不相等函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.

高中数学-极限与导数

1、数列的极限：设有数列12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与常数a ，如果n 无限增大时，n x 无限接近于a ，则称常数a 是数列的{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或 ()n x a n →→∞.例如：1n a n=，则lim 0n n a →∞=；90.99n n a =⋅⋅⋅个，则lim 1n n a →∞=.2、数列的收敛与发散：若一个数列有极限，则称该数列是收敛的；否则称该数列是发散的. 定理：单调有界的数列必有极限. 例如：1n a n =收敛；()11n n a n=-⋅收敛；()1nn a =-发散；n a n =发散.3、函数的极限：设有函数()f x 和常数0,x A ，如果当x 无限接近于0x 时，()f x 无限接近于A ，则称常数A 是函数()f x 当0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=或()()0f x A x x →→. 注：（1）可以用+∞或-∞代替0x ，表示x 无限增大或无限减小时()f x 的极限，（2）函数的极限不一定都存在，例如()11x Qf x x Q ∈⎧=⎨-∉⎩.4、极限的运算：若()()00lim ,lim xx x x f x A g x B →→==，则（1）()()()0lim xx f x g x A B →±=±；（2）()()0lim x x f x g x A B →⋅=⋅；（3）()()()0lim 0x xf x AB g x B→=≠. 推论：①()0lim x x cf x cA →=; ②()()0lim nn x xf x A →=.5、夹逼定理（1）数列中的夹逼定理：设*,n n n a b c n N ≤≤∈，且lim lim n n n n a c a →∞→∞==，那么lim n n b a →∞=. （2）函数中的夹逼定理：设函数,f g 与h 在点0x 的近旁（不包含0x ）满足不等式()()()f x h x g x ≤≤如果()()00lim lim x x x x f x g x A →→==，则()0lim x x h x A →=.6、两个重要极限（1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【例1】（1）证明：数列{}n x ：22221111123n x n =+++⋅⋅⋅+是收敛的. （2）证明：数列{}n x ：1111123n x n=+++⋅⋅⋅+是发散的.（1）22022lim 232n n n n n →++++；（2）2222lim 232n n n n n →∞++++；（3）n ；（4）lim n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅；（5）()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.（1）3031lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（2）322lim 2121x x x x x →+∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；（3）3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭；（4）1lim 12xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.一.定义1.函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，01,x x 是其定义域内不同的两点，记()()101000,x x x y y y f x x f x =-=-=+-，则当0x ≠时，商()()00f x x f x yxx+-=称作函数()y f x =在区间[]00,x x x +或[]00,x x x +的平均变化率.2.设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变()()00y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率()()00f x x f x yx x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作()()000lim x f x x f x l x ∆→+∆-=∆或当0x ∆→时，()()00f x x f x l x+∆-→∆.3.函数()y f x =在点0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在点0x 处的导数，并记作()0f x '．这时又称()f x 在点0x 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．4.如果()f x 在开区间(),a b 内每一点x 都是可导的，则称()f x 在区间(),a b 可导．这样，对开区间(),a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(),a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．注：①x 可正可负.②不是所有函数在每一点都有导数，例如：()f x x =，()11x Qf x x Q∈⎧=⎨-∉⎩.【例4】用定义求下列函数的导函数：（1）()f x c =（c 为常数）；（2）()f x kx b =+（,k b 为常数）；（3）()sin f x x =；（4）()cos f x x =；（5）()ln f x x =.【例5】若函数()f x 在R 上可导，且()'21f =，则()()222lim2h f h f h h→+--=__________.【例6】己知()f x 在0x 处可导，则()()220003limh f x h f x h h→+--=____________．二.导数的运算法则1.()'''f g f g +=+.例如：()2sin '2cos x x x x +=+.2.()'''f g f g fg ⋅=+.例如：()()()22222'''213x x x x x x x x x x ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=.3.2'''f f g fg g g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.例如：2sin cos sin 'x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【例7】求下列函数的导函数：（1）cos ln y x x =+；（2）sin y x x =；（3）1y x x=+；（4）tan y x =；（5）21xy x =+；（6）sin ln y x x x =⋅⋅.4.若函数()u g x =与函数()y f u =均可导，则复合函数()()y f g x =可导，且xu x y y u '''=⋅，或记成dy dy dudx du dx=⋅．【例8】求下列函数的导函数：（1）()()221f x x =+；（2）()2sin f x x =；（3）()()2ln 23f x x x =++；（4）()()sin f x a bx c =+；（5）()()22cos 253f x x x =++；（6）()()2sin sin f x x =.【例9】已知函数()()()()12100f x x x x =--⋅⋅⋅-，则()'1f =__________.【例10】证明：若f 是一个恒取正值的可导函数，则()()()()'ln 'f x f x f x =.【例11】求下列函数的导函数：（1）()af x x =，()0x >；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()()g x y f x =，()f x 在它的定义域上恒有()0f x >；（4）()()cos sin xf x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（5）()xx f x x =，()0x >5.设()y f x =在包含0x 的区间I 上连续且严格单调，如果它在0x 处可导，且()0'0f x ≠，那么它的反函数()1x f y -=在()00y f x =处可导，且()()()11''fy f x -=.【例12】求下列函数的导函数：（1）()af x x =；（2）()()0,1xf x a a a =>≠；（3）()arcsin f x x =；（4）()arctan f x x =；6.高阶导数设函数f 在区间I 上可导，那么()()'f x x I ∈在I 上定义了一个函数'f ，称之为f 的导函数.如果'f 在区间I 上可导，那么'f 的导函数()''f ，记为''f 称为f 的二阶导函数.一般的，对任何正整数n N +∈，可以定义f 的导函数()n f .（Leibniz ）设函数f 与g 在区间I 上都有n 阶导数，那么乘积fg 在区间I 上也有n 阶导数，并且()()()()0nn n k kk n k fg C f g -==∑，这里()()00,f f g g ==.【例13】求下列函数的n 阶导函数：（1）()xf x e λ=；（2）()2cos f x x x =（3）()n xf x x e =；【习题1】求下列函数的极限（1）22251lim 1n n n n →∞+++；（2）220251lim 1n n n n →+++；（3）1123lim 23n n n nn ++→∞++；（4）211lim 31x x x x→---+；（5）201cos lim x xx →-.【习题2】求下列函数的导数（1）5432()5432f x x x x x x =++++；（2）31()f x x =；（3）()ln f x x x =；（4）()3()2f x x =+；（5）1()f x x=；（6）()3()sin 2f x x =+；（7）()ax bf x cx d+=+；（8）()tan ln x f x a bx c dx =+；（9）sin ()xx xf x e =；（10）()f x【习题3】求()()cos n x e x 和()()sin n x e x .【习题4】若()f x 是定义在R 上的偶函数，且()'0f 存在，则()'0f =___________.【习题5】设()02f x '=，则()()000limh f x h f x h h→+--=（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【习题6】设函数()12sin sin2sin n f x a x a x a nx =++⋅⋅⋅+，其中12,,,,n a a a R n N +⋅⋅⋅∈∈. 已知对一切x R ∈，有()sin f x x ≤，证明：1221n a a na ++⋅⋅⋅+≤.。

高中数学重点手册13——极限

13．极限「演绎法」由一般命题到特殊命题的推理方法叫做演绎法或演绎推理。

它是以某类事物的一般判断为前提作了这类事物的个别或特殊的判断的思维形式。

如果原命题正确，则采用演泽法推得的命题也是正确的。

「归纳法」由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法或归纳推理。

根据归纳推理的前提和结论所指对象的范围是否相同，可以把归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。

①完全归纳法：完全归纳法的推理形式为若1S 具有（或不具有）性质P ；若2S 具有（或不具有）性质P ；若3S 具有（或不具有）性质P ； ……若n S 具有（或不具有）性质P ；且123,,,,n S S S S 是S 类的全部个体对象，则S 具有性质P 。

这是一种严格的数学推理形式，由它所得到的结论是可靠的。

②不完全归纳：不完全归纳法的推理形式为若1S 具有（或不具有）性质P ；若2S 具有（或不具有）性质P ；若3S 具有（或不具有）性质P ； ……若n S 具有（或不具有）性质P ；且123,,,,n S S S S 是S 类的部分对象，则S 具有性质P 。

用不完全归纳法得到的结论可能是真实的，也可能是错误的，只能作为猜想或假设，其正确性尚需实践检验或证明，所以不完全归纳法不能作为严格的数学推理。

「数学归纳法」有一类与正整数有关的问题，不可能就所有正整数一一加以验证，显然不可能直接用完全归纳法进行证明，而要证明这类问题的正确性，则需借助演绎法转化成完全归纳法，这就是数学归纳法。

使用数学归纳法证明时的一般步骤如下： ■第一步奠基步骤：证明当n 取第一个允许值0n 时结论正确。

■第二步递推步骤：假设当0(,)n k k k n +=∈N ≥时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确。

■第三步总结性结论：判定命题对于由0n 开始的一切正整数都正确。

使用数学归纳法的注意事项（1）初始值0n 不总是1，也可能是别的正整数；初始值0n 有时还需取两个正整数加以证明。

人教版高中数学电子课本目录

人教版高中数学电子课本目录人教版高中数学电子课本目录第一章函数与极限1-1 函数概念1-2 函数的表示与分类1-3 极限的概念1-4 极限的性质1-5 单侧极限与无穷大1-6 极限存在准则第二章导数与微分2-1 导数的概念2-2 导数的计算2-3 函数在一点的导数2-4 导数的应用2-5 微分的概念与计算2-6 微分的应用第三章曲线的性质与图形的变化率3-1 曲线的单调性3-2 求解函数极值3-3 函数的凸凹性3-4 曲线的拐点3-5 图形的变化率第四章积分4-1 不定积分的定义与性质4-2 基本积分公式4-3 定积分的定义与性质4-4 定积分的计算4-5 定积分的应用第五章微分方程5-1 微分方程的概念与分类5-2 可分离变量的微分方程5-3 一阶线性微分方程5-4 高阶线性微分方程第六章空间解析几何6-1 点、向量、向量积的概念6-2 点、直线、平面方程6-3 点与线、点与平面的距离6-4 空间图形的位置关系第七章空间解析几何7-1 参数方程与一般式方程7-2 球面和球体方程7-3 直线和面的交线7-4 空间图形的计算第八章多元函数微分学8-1 函数的概念及性质8-2 偏导数的概念及计算8-3 隐函数及其微分8-4 多元函数极值8-5 条件极值与拉格朗日乘数法8-6 多元函数的微积分学应用第九章概率与数理统计9-1 概率的基本概念9-2 随机变量及其分布9-3 正态分布及其应用9-4 统计与统计量参考内容：1.函数与极限：本章主要讲述了函数的概念，分类以及极限的概念和性质，并对单侧极限和无穷大进行了详细的介绍。

函数和极限是高中数学的基础，学好了这一章可以打下坚实的基础，为后面的学习打下基础。

2.导数与微分：本章主要讲述了导数的概念、计算、含义以及微分的概念、公式和应用。

导数是研究函数的变化率和极值问题的基本工具，微分在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用。

3.曲线的性质与图形的变化率：本章主要讲述了曲线的单调性、函数的极值、函数的凸凹性和拐点问题，以及图形的变化率问题。

高中数学知识点第十三章-极限

高中数学第十三章-极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极限知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k nk n ∈=∞→ ③对于任意实常数，当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.）如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ）注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0li m =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。

高考数学极限运算方面精讲

高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。

在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。

一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。

极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。

通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。

通常用符号“lim”表示。

例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。

在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。

这里我们不再赘述。

二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。

1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。

它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。

具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。

例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。

我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。

需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。

对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。

2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。

具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。

例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。

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高中数学第十三章-极限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极限知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果
①当（）时，成立；
②假设当（）时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
① ②当时，.
⑵几个常用极限：
①（为常数） ②
③对于任意实常数，
当时，当时，若a = 1，则；若，则不存在当时，不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：
如果，那么 ① ② n 0n k n =0,n k N k ≥∈+1+=k n )(n P n 0n n =+∈N n 0)(n P k n ≤0,n k N k ≥∈+)(n P 1+=k n )(n P 0n n ≥)(n P a a n n =∞
→lim ∞→n a a n →C C n =∞
→lim C ),(01
lim 是常数k N k n k n ∈=∞→1|| a 0lim =∞
→n n a 1=a 1lim =∞→n n a 1-=a n n n n a )1(lim lim -=∞
→∞→1 a n n a ∞
→lim b b a a b n n n ==∞
→∞→lim ,lim b a b a n n n ±=±∞
→)(lim b a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim
③ 特别地，如果C 是常数，那么
. ⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为. （化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，. 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果，那么 ① ② ③ 特别地，如果C 是常数，那么
. （）注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限：
① ②（0＜＜1）；（＞1）
③ )0(lim ≠=∞→b b
a b a n n n Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞
→∞→∞→lim lim )(lim 1 q )1(11 q q a S -=x 0x 0x )(x f a x 0x )(x f a a x f x x =→)(lim 0
0x x →a x f →)(0x x →)(x f )(x f 0x 0x x →0x x =)(x f 0x )(x f 0x ⇒)(x f 0x )(lim 0
x f x x →⎩
⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 1=x )(lim 1x P x →1=x b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
0b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0
b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0
)0()()(lim 0≠=→b b
a x g x f x x )(lim ))((lim 0
0x f C x f C x x x x →→=⋅n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0
0→→=+∈N n 01lim =∞→x
n 0lim =+∞→x x a a 0lim =-∞→x x a a 1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x
x x
④，（） 4. 函数的连续性：
⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点连续，那么函数在点处都连续.
⑵函数f （x ）在点处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点处有定义；②存在；③函数f （x ）在点处的极限值等于该点的函数值，即. ⑶函数f （x ）在点处不连续（间断）的判定：如果函数f （x ）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使. ⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.
⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）
6. 几个常用极限：
① ② ③为常数） ④ ⑤为常数） e x x x =+∞→)11(lim e x x x =+→1
0)1(lim 71828183.2=e 0x x =)0)(()
()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 0x x =0x x =0x x =)(lim 0x f x x →0x x =)()(lim 00
x f x f x x =→0x x =0x x =0x 0x x =)(0x f )(lim 0x f x x →)(lim 0x f x x →)()(lim 00
x f x f x x ≠→）（x f ],[b a 0)()( b f a f ⋅),(b a )(x f ξa ξb 0)(=ξf )(x f ],[b a B b f A a f ==)(,)(B A ,C ),(b a ξC f =)(ξa ξb δ ||00x x -)(x g )(x f )(x h A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00.)(lim 0
A x f x x =→||0x x -0x ||0x x -ξ1,0lim q q n n =+∞→)0(0!
lim a n a n
n =+∞→k a a n n k n ,1(0lim
=+∞→0ln lim =+∞→n
n n k n n k
n ,0(0)(ln lim
εε=+∞→。