河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题
河北省唐山市2015届高三上学期期末考试(数学文)
河北省唐山市2014－2015学年度高三年级期末考试数学（文）试题说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷．第I 卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部 分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用 橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．(1)函数y =的定义域为(A)[一5，2] (B)（一∞，—5]U[2，+oo ）(C)[一5,+ ∞)(D)[2,+ ∞)(2)函数2()12sin 2xf x =-的最小正周期为 (A) 2π (B)π （C ）2π(D)4π(3)"k<9’’是“方程221259x y k k +=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(4)设变量x 、y 满足10,30,230,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z=2x+3y 的最小值为(A)7 (B) 8(C) 22(D) 23(5)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 7=8,则a 4= (A)1(B) 4(C)2(D)(6)己知1()1,()2,f x x f a x=+-=则()f a -= (A)－4(B －2(C)－1(D)－3(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是 (A)19 (B)16(C)118(D)112（8）己知(12)3,1,()1,1.a x a x f x nx x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是 (A)(一∞，一1] (B)(一l ，12) (C)[－1，12) (D)（0，12） (9)执行如图所示的算法，则输出的结果是 (A)1(B)43(C)54(D)2(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于 (A)13 (B) 23(C)1 (D)43(11)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 30x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为(A)1231- 33l (12)设函数3()1()f x ax x x R =-+∈，若对于任意x ∈[一1，1]都有()f x ≥0，则实数a 的取值范围为(A)(-∞, 2] (B)[0+∞)(C)[0,2] (D)[1,2]第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． (13)若复数z 满足z=i(2+z)（i 为虚数单位），则z= 。
河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试文数学试题
唐山一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（文）一、选择题 (每题 5 分，共60 分)1.设会合A{ x | 2x 21}, B{ x |1x 0} ，则A I B 等于（）A. { x | x1}B.{ x |1x2}C.{ x | 0x 1}D.{ x | 0x1}2.若复数 Z a3i (a R ，i是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（）12iC. 3i2iA.2B.3 D.3.以下说法正确的选项是（）A. 命题“x R 使得x22x30 ”的否认是：“x R, x 22x 3 0”B. “a 1”是“f ( x) log a x(a0, a 1) 在 (0,) 上为增函数”的充要条件C. “p q 为真命题”是“p q为真命题”的必需不充足条件D. 命题 p：“x R, sin x cos x 2 ”，则p 是真命题4．已知数列a n的前 n 项和为 S n，且知足 a n 22a n 1a n，a5 4 a3，则 S7＝() A． 7B． 12C． 14D． 215.一个长方体截去两个三棱锥,获得的几何体如图 1 所示 ,则该几何体的三视图为（）A B C D6.假如f (x)是二次函数 , 且 f ( x) 的图象张口向上,极点坐标为(1, 3),那么曲线y f ( x) 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A．(0, ]B．[3, )C．(,2]D．[, )32233 7.直线l：x my 2 与圆M： x22x y2 2 y0相切，则 m 的值为()A.1 或－ 6B.1 或－ 7C.－1 或 71 D.1 或78. 已知函数f ( x)a x 1 3 (a>0且a≠1)的图象过定点P,且点 P 在直线14()mx ＋ny－ 1＝ 0(m>0，且 n>0)上，则m＋n的最小值是A.12B.16C.25D.24x ≤ 19. 在拘束条件x y m 2≥ 0下，若目标函数 z2x y 的最大值不超出4，则实数 m 的x y 1≥ 0取值范围（）A. ( 3,3)B.[0, 3]C. [ 3,0]D. [ 3,3]10. 已知0 ，函数 f ( x)sin( x) 在 ( , ) 上单一递减 .则 的取值范围是 （）42A.[ 1, 5]B.[1,3]C.(0, 1]D (0, 2]2 42 4211. 若 a, b,c均为单位向量， a bc xayb (x, y R)，则x y的最大值是（）1 ，2A ．2B. 3C ．2D.112. 设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 yln(2 x) 上，则 PQ 最小值为（）2A.1ln2B.2(1 ln 2) C.1 ln2 D. 2(1 ln 2)二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分)13. 在ABC 中，a, b,c 分别是内角 A, B, C 的对边，若 A,b 1 ， ABC 的面积为 3 ，32则 a 的值为.14. 已知矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则( AE AF) BD.15. 把一个半径为532cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3 倍，则这个圆锥的高为.16. 函数 f (x) sin x ( x 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点, 设交点中横坐标的最大值为,则(12)sin 2 =___.三．解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 10分 ) 已 知 向 量 a(1,sin x) ， b ＝ (cos(2x), sin x) ， 函 数1cos2x .3f ( x) a b2(1) 求函数 f(x)的分析式及其单一递加区间； (2) 当 x ∈ 0,时，求函数 f(x)的值域．318.( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 a n 知足 a 1 1, a n 1 11 此中 n N .,4a n(1) 设 b n2 ，求证：数列b n 是等差数列，并求出a n 的通项公式 a n ；2a n1(2) 设 c n4a n ，数列 c n c n 2 的前 n 项和为 T n , 能否存在正整数 m , 使得 T n 1 对n 1c m c m 1于 nN * 恒建立，若存在，求出 m 的最小值，若不存在，请说明原因 .19.(本小题满分 12 分 )设函数 f (x) 2x 1x 3（1）求函数 y f (x) 的最小值；（2）若 f ( x)axa 7a 的取值范围．2恒建立，务实数2ABC 和 BCE 是20. (本小题满分 12 分 ) 如下图， 边长为 2 的正三角形，且平面ABC 平面 BCE ，AD 平面 ABC ， AD2 3 .（ 1）证明： DE BC ；（ 2）求三棱锥 DABE 的体积 .DEACB21. （本小题满分 12 分 ) 己知函数 f ( x)x 3 ax 23x1是 f (x) 的极值点，求f (x) 在 [1, a] 上的最大值；（1）若 x3（2）在（ 1）的条件下，能否存在实数 b ，使得函数 g( x) bx 的图象与函数 f ( x) 的图象恰有 3 个交点，若存在，恳求出实数b的取值范围；若不存在，试说明原因.22. ( 本小题满分 12 分) x D ,有 f (x)F ( x) g( x) ，则称 F ( x) 为 f ( x) 与 g( x) 在 D 上的 一个“分界函数”.如x 0,1 ,1 x(1 x)e 2x1建立，则称1 xy(1 x ) e2 x是 y1 x 和 y1 x 在 0,1 上的一个“分界函数” 。
河北省唐山市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学试题(含详细答案)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
(13)Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则{an}的公比q=。
(14)已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角等于．
即AD＝AC＝2，故S△ACD＝1．…12分
（18）解：
（Ⅰ）茎叶图如下：
测试成绩（单位：次／分钟）如下表：
( I)在答题卡上补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数：
( II)试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析.
(19)（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，
∠BAD= ，M为BB1的中点，Ol为上底面对角线的
(8)在区间[一1,1]上随机取一个数x，使cos x≥ 的概率为
(A) (B) (C) (D)
(9)若x，y满足不等式组 则 的最大值是
(A) (B) 1
(C)2 (D)3
(10)某几何体的三视图如右图所示，则其体积为
(A) 8 (B)
(C) 9 (D)
(11) 为双曲线 =1（a>0，b>0）的右焦点，若 上存在一点P使得△OPF
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半
圆C(圆心为点C)的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈( ， )．
(I)求半圆C的参数方程：
(II)直线，与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A(O，-2)，点D在半圆C上，
且直线CD的倾斜角是直线，倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．
河北省唐山市高三数学第一次模拟考试试题 文(扫描版)
唐山市2015—2016学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABBD A BACA DCB 卷：BABCD A BACA CD 二、填空题：（13）2 （14）2π3（15）(x －1)2＋(y －1)2＝1（16）8π三、解答题： （17）解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．…4分（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30°，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1． …12分 （18）解：（Ⅰ）茎叶图如下：…4分 乙队测试成绩的中位数为72，众数为75．…6分（Ⅱ）－x 甲＝63＋66＋72＋73＋76＋826＝72，s 2甲＝16[(63－72)2＋(66－72) 2＋(72－72) 2＋(73－72) 2＋(76－72) 2＋(82－72) 2]＝39；－x 乙＝62＋68＋69＋75＋75＋836＝72，s 2乙＝16[(62－72)2＋(68－72) 2＋(69－72) 2＋(75－72) 2＋(75－72) 2＋(83－72) 2]＝44，…10分因为－x 甲＝－x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲乙两队水平相当，但甲队发挥较稳定． …12分（19）解：（Ⅰ）连接AO 1，BD在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，∵ 四边形ABCD 是边长为2的菱形， ∴ AC ⊥BD ，又∵ BD ∩BB 1＝B ， ∴ AC ⊥平面DBB 1D 1， 又∵ O 1M ⊂平面DBB 1D 1， ∴ AC ⊥O 1M ．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD ＝ π3，M 为BB 1的中点，∴ BD ＝2，AC ＝23，B 1M ＝BM ＝1，∴ O 1M 2＝O 1B 12＋B 1M 2＝2，AM 2＝AB 2＋BM 2＝5，O 1A 2＝O 1A 12＋A 1A 2＝7，∴ O 1M 2＋AM 2＝O 1A 2， ∴ O 1M ⊥AM ．又∵ AC ∩AM ＝A ， ∴ O 1M ⊥平面ACM ．…6分（Ⅱ）∵A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥平面ACM ，即C 1到平面ACM 的距离等于O 1到平面ACM 的距离， 由（Ⅰ）得O 1M ⊥平面ACM ，且O 1M ＝2，即点C 1到平面ACM 的距离为2． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可得c ＝2，左焦点F 1(－2，0)，|PF |＝63， 所以|PF 1|＝|PF |2＋4c 2＝563，即2a ＝|PF |＋|PF 1|＝26， 即a 2＝6，b 2＝2，故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1． …5分（Ⅱ）显然直线l 与x 轴不垂直，设l ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将l 的方程代入C 得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以AB 的中点N (6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，即M (－12k 21＋3k 2，4k1＋3k 2)．由点M 在C 上，可得15k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝ 15或－ 13（舍），即k ＝±55． 故直线l 的方程为y ＝±55(x －2)．…12分（21）解：（Ⅰ）解：f '(x )＝acos 2x－e x，所以f '(0)＝a －1，又f (0)＝a －1，所以a －1＝a －40－2，解得a ＝2．…4分（Ⅱ）由f (x )≥0得a ≥ex tan x ＋1，ABCDMC 1B 1 D 1A 1O 1令g (x )＝e x tan x ＋1，则g '(x )＝e xtan x (1－tan x )( tan x ＋1)2， x ∈(0， π 4)，g '(x )＞0；x ∈( π 4， π2)，g '(x )＜0，所以g (x )的最大值为g ( π4)＝e π 42，故所求a 的取值范围是a ≥e π 42．…12分（22）解：（Ⅰ）因为BF ∥CD ，所以∠EDC ＝∠BFD ， 又∠EBC ＝∠EDC ，所以∠EBC ＝∠BFD ，又∠BCE ＝∠BDF ，所以△BCE ∽△FDB . …4分（Ⅱ）因为∠EBF ＝∠CBD ，所以∠EBC ＝∠FBD ， 由（Ⅰ）得∠EBC ＝∠BFD ，所以∠FBD ＝∠BFD ， 又因为BE 为圆O 的直径，所以△FDB 为等腰直角三角形，BD ＝22BF ＝2，因为AB 与圆O 相切于B ，所以EB ⊥AB ，即AD ·ED ＝BD 2＝2． …10分（23）解：（Ⅰ）半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1（y ＞1），它的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，φ为参数且φ∈(0，π)．…4分（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程为y ＝x tan α－2，D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB |＝2sin α，点D 到直线l 的距离为|sin αcos2α－cos αsin2α－3cos α|＝|3cos α－sin αcos2α＋cos αsin2α|＝3cos α＋sin α，由△ABD 的面积为4得tan α＝1，得α＝ π4，故点D 为(0，2)．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－43)＝f (2)＝5， 得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－ 43，或x ＞2}．…5分（Ⅱ）由f(x)≤a|x＋3|得a≥|x＋1||x－1|＋|x＋3|，由|x－1|＋|x＋3|≥2|x＋1|得|x＋1||x－1|＋|x＋3|≤12，得a≥12．（当且仅当x≥1或x≤－3时等号成立）故a的最小值为12．…10分。
河北省唐山市2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2{|1}U x x =>，集合2{|430}A x x x =-+<，则U C A =（ ） A ．(1,3) B ．(,1)[3,)-∞+∞ C ．(,1)[3,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞【答案】C考点：一元二次不等式的解法、集合的补集运算. 2.22()1i i=-（ ） A ．2i - B ．4i - C ．2i D ．4i 【答案】A 【解析】试题分析：∵222442()2122i i i i i i i-====----，∴选A. 考点：复数的乘法、除法运算.3.已知抛物线的焦点(,0)(0)F a a <，则抛物线的标准方程是（ ） A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =- 【答案】B 【解析】试题分析：以(,0)F a 为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =. 考点：抛物线的焦点和抛物线的标准方程. 4.命题P ：32,x N x x ∃∈<；命题q ：(0,1)(1,)a ∀∈+∞，函数()log (1)a f x x =-的图象过点(2,0)，则（ ）A ．P 假q 假B ．P 真q 假C ．P 假q 真D ．P 真q 真 【答案】C考点：命题的真假、全称命题和特称命题、对数函数图象、不等式的解法. 5.执行下边的程序框图，则输出的A 是（ ） A ．2912 B ．2970 C ．7029 D ．16970【答案】C考点：程序框图.6.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A C 【答案】B考点：余弦定理.7.已知2sin 21cos 2αα=+，则tan 2α=（ ） A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或0 【答案】D考点：三角函数求值、平方关系. 8.2321(2)x x+-展开式中的常数项为（ ） A ．-8 B ．-12 C ．-20 D ．20 【答案】C 【解析】 试题分析：∵236211(2)()x x x x +-=-，∴6621661()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-， 令620r -=，即3r =，∴常数项为336(1)20C -=-.考点：二项式定理.9.函数()|sin |2|cos |f x x x =+的值域为（ ）A ．[1B ．[1,2]C ．D ．【答案】A当[,]2x ππ∈时，()sin 2cos )f x x x x β=-=+，cos β=，sin β=，∴max ()()2f x f πβ=-=min ()()12f x f π==，∴()f x 的值域为[1.考点：三角函数、绝对值函数的值域.10.F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则C 的离心率是（ ）A ．2 D 【答案】B考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.11.直线y a =分别与曲线2(1)y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为（ ）A．3 B．2 C．4 D．32【答案】D考点：导数的运算、利用导数求函数的最值.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12 B．12．4 D．122+【答案】A【解析】试题分析：根据几何的三视图，画出该几何体的直观图，如下图考点：三视图、几何体的表面积.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模14.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-. 由以上信息，得到下表中C 的值为 .【答案】6 【解析】试题分析：∵3456755x ++++==， 2.534 4.51455c cy +++++==，∴代入到回归直线方程中得：140.8550.255c+=⨯-，∴6c =. 考点：线性回归方程.15.在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若AB AC AD ===BCD 被球所截面图形的面积为 . 【答案】16π考点：球的截面问题.16.已知,x y R ∈，满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 . 【答案】[4,12]考点：均值不等式、配方法.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足(1)1n n q S qa -+=，且(1)0q q -≠. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列. 【答案】（1）a n ＝qn －1；（2）证明详见解析.考点：等比数列的通项公式及前n 项和公式、等差中项. 18.（本小题满分12分）小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】（1）49；（2）分布列详见解析，203EX =.数学期望.试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，12124()339P A C =⨯⨯=． (4)分（Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．2228(0)()3327P X ==⨯=，考点：二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）5-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1AB 1，所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则cos ,5||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角C -AB 1-A 1为钝角，所以二面角C -AB 1-A 1的余弦值为．…12分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.20.（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（20y -=0y +.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分y-=0y+=．…12分考点：椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质.21.（本小题满分12分）已知函数2(1)()2xx f x e +=-，()2ln(1)x g x x e -=++.（Ⅰ）(1,)x ∈-+∞时，证明：()0f x >； （Ⅱ）0a >，若()1g x ax ≤+，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明详见解析；（2）1a =.01a <<进行讨论，证明()h x 的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p (x )＝f(x )＝e x－x －1，p(x )＝e x－1，（2）当a ＞1时，h(0)＜0， x ∈(－1，0)时，h(x )＝21x +－e －x－a ＜21x +－1－a ＝0，解得x ＝11a a -+∈(－1，0)． 即x ∈(11aa -+，0)时h (x )＜0，h (x )单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…9分（3）当0＜a＜1时，h(0)＞0，x ∈(0，＋∞)时，h(x)＝21x+－e－x－a＞21x+－1－a＝0，解得x＝11aa-+∈(0，＋∞)．即x∈(0，11aa-+)时h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．…11分综上，a的取值为1．…12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）如图，圆周角BAC∠的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.（Ⅰ）求证：//BC DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求BAC∠.【答案】（1）证明详见解析；（2）27π.所以∠CFA ＝∠FBA ＋∠FAB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CFA ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则7x π=， 所以∠BAC ＝2x ＝27π．…10分考点：几何证明、四点共圆、角的转化.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.【答案】（1）2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x＋9＝0；（2）8(5P -.试题解析：（Ⅰ）C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x＋9＝0．…4分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x a x =-++. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的值. 【答案】（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）a ＝－4或0.试题解析：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝3,112,1213,2x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪≥⎪⎩，考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.。
河北省唐山市高三数学第一次模拟考试试题 理(扫描版)
唐山市2015—2016学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CADCB A CBDA DC B 卷：BADCA A CBDB DC 二、填空题：（13）3 （14）23 （15）－2 （16）48三、解答题：（17）解：（Ⅰ）在△ADC 中，∠ADC ＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，由正弦定理可得DC sin∠DAC ＝AC sin ∠ADC ，即DC sin30°＝2sin(150°－θ) ，于是：DC ＝1sin (150°－θ)．…5分（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin θ＝BC sin 60° ，即BC ＝3sin θ，由（Ⅰ）知：DC ＝1sin (150°－θ) ，那么S ＝34sin θ·sin (150°－θ)＝32sin θcos θ＋23sin 2θ＝33＋2sin(2θ－60°)，故θ＝75°时，S 取得最小值6－33．…12分（18）解：（Ⅰ）连接AO 1，BD在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ， ∵ 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴ AC ⊥BD ，又∵ BD ∩BB 1＝B ， ∴ AC ⊥平面DBB 1D 1， 又∵ O 1M ⊂平面DBB 1D 1，∴ AC ⊥O 1M ．∵ 直四棱柱所有棱长均为2，∠BAD ＝ π 3，M 为BB 1的中点， ∴ BD ＝2，AC ＝23，B 1M ＝BM ＝1，∴ O 1M 2＝O 1B 12＋B 1M 2＝2，AM 2＝AB 2＋BM 2＝5，O 1A 2＝O 1A 12＋A 1A 2＝7，∴ O 1M 2＋AM 2＝O 1A 2，∴ O 1M ⊥AM ．又∵ AC ∩AM ＝A ，∴ O 1M ⊥平面ACM ． ． …6分（Ⅱ）设BD 交AC 于点O ，连接OO 1，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (3，0，0)，D (0，－1，0)，D 1(0，－1，2)，M (0，1，1)， AD 1→＝(－3,－1，2)，AD →＝(－3,－1，0)，DM→ CDMC 1B 1D 1 A 1O 11＝(0，2，1)，设平面ADM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·DM →＝0，即⎩⎨⎧－3x －y ＝0，2y ＋z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－3，23)．设AD 1与平面ADM 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD 1→，n 〉|＝|AD 1→·n ||AD 1→||n |＝4322×4＝64， 即AD 1与平面ADM 所成角的正弦值为64．…12分（19）解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A ，则P (A )＝3×2×14×4×4＝332，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P ＝1－P (－A )P (－A )＝1－(1－332)2＝1831024．…5分（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取160，224，256，320．P (X ＝160)＝332， P (X ＝224)＝3×2×3＋3×2×1＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝256)＝3×2×3＋1×2×3＋1×2×14×4×4＝1332，P (X ＝320)＝1×2×34×4×4＝332，则E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240．∵ 270＞240，∴第二种方案比较划算． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意可设C (x ，y )，则G (x3，y3)，H (x ，y3)．BH →＝(x －1， y 3)，AC →＝(x ＋1，y )， 因为H 为垂心，所以BH →•AC →＝x 2－1＋y 23＝0，整理可得x 2＋y23＝1，即动点C 的轨迹Г的方程为x 2＋y 23＝1（x ·y ≠0）． …5分 （Ⅱ）显然直线AC 的斜率存在，设AC 方程为y ＝k (x ＋1)，C (x 0，y 0)．将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋y 23＝1得(3＋k 2)x 2＋2k 2x ＋k 2－3＝0，解得x 0＝3－k 23＋k 2，y 0＝6k 3＋k 2，则H (3－k 23＋k 2，2k3＋k2)．原点O 到直线AC 的距离d ＝|k |1＋k2， 依题意可得k 21＋k 2＝9－2k 2＋k49＋6k 2＋k 4，即7k 4＋2k 2－9＝0，解得k 2＝1，即k ＝1或－1， 故所求直线AC 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2－e x，x ＜ln 2时，f '(x )＞0；x ＞ln 2时，f '(x )＜0，所以f (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， 则当x ＝ln 2时，f (x )取得最大值2ln 2－1．…4分（Ⅱ）x ∈(0，1)时，f (x )在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，1)上单调递减， 且f (0)＝0，f (1)＝3－e ＞0，所以此时f (x )＞0，因为tan x ＞0，所以当a ≤0时，af (x )≤0＜tan x ． …6分当a ＞0时，令g (x )＝tan x －af (x )，则g '(x )＝1cos 2x －a (2－e x )＝1cos 2x＋a (e x－2)，故g '(x )在(0，1)上单调递增且g '(0)＝1－a ．（ⅰ）当0＜a ≤1时，g '(0)≥0，g '(x )≥0，所以g (x )在(0，1)上单调递增， 又g (0)＝0，所以此时g (x )＞0，即af (x )＜tan x 成立；（ⅱ）当a ＞1时，g '(0)＜0，g '(1)＞0，所以存在x 0∈(0，1)使得g '(x 0)＝0， 即x ∈(0，x 0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以此时g (x )＜0， 与af (x )＜tan x 矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤1．…12分（22）解：（Ⅰ）因为BF ∥CD ，所以∠EDC ＝∠BFD ， 又∠EBC ＝∠EDC ，所以∠EBC ＝∠BFD ，又∠BCE ＝∠BDF ，所以△BCE ∽△FDB . …4分 （Ⅱ）因为∠EBF ＝∠CBD ，所以∠EBC ＝∠FBD ， 由（Ⅰ）得∠EBC ＝∠BFD ，所以∠FBD ＝∠BFD ， 又因为BE 为圆O 的直径，所以△FDB 为等腰直角三角形，BD ＝22BF ＝2，因为AB 与圆O 相切于点B ，所以EB ⊥AB ，即AD ·ED ＝BD 2＝2． …10分 （23）解：（Ⅰ）半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1（y ＞1），它的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ，φ是参数且φ∈(0，π)． (4)分（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程为y ＝x tan α－2，D (cos2α，1＋sin2α)，2α∈(0，π)．|AB |＝2sin α，点D 到直线l 的距离为|sin αcos2α－cos αsin2α－3cos α|＝|3cos α－sin αcos2α＋cos αsin2α|＝3cos α＋sin α，由△ABD 的面积为4得tan α＝1，即α＝ π4，故点D 为(0，2)． …10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x ＜－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x ＞1．由f (x )的单调性及f (－ 43)＝f (2)＝5，得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－ 43，或x ＞2}． …5分（Ⅱ）由f (x )≤a |x ＋3|得a ≥|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|，由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1|得|x ＋1||x －1|＋|x ＋3|≤ 1 2，得a ≥ 12．（当且仅当x ≥1或x ≤－3时等号成立）故a 的最小值为 12． …10分。
河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学(文)(附答案)
试卷类型：A唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试文科数学说明：一、本试卷分为第I 卷和第II 卷.第1卷为选择题：第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案.四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回.第I 卷—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 有且只有_项符合题目要求.(1)设集合A= {1, 2}.则满足A B={1，2, 3, 4}的集合B 的个数是 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(2)若g 数)(12R a iia ∈+-为纯虚数，则|3―ai| = (A)13 (B) 13 (C) 10(D)10(3)已知22)6cos(),,0(=+∈ππa a 则tan2a= (A)33 (B) 33- (C) 3 (D) -3 (4)求二个不相等的实数a.b, c 最大值的 程序框图如图所示，则空内判断框内应 为(A) a>b? (B) a >c ?(C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c?(5)已知向量a, b 满足：(a+2b)•(a －b)=-6,且 |a|=1，|b|=2,则 a 与b 的夹角为(A)6π (B) 3π (C) 32π (D) 65π(6)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的图象如图所示，为了得到函数)6cos(ωω+=x y 的图 象，只需将y=f(x)的图象(A)向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位(C)向左平移6π个单位(D)向心平移6π.个单位(7)已知命题p: 01],1,21[≥-∈∀a xx 命题022,:2=-++∈∃a ax x R x q .若qp ∧是真命题，则实数a 的取值范围是(A) 1≥a (B) 12=-≤a a 或 (C) 212≤≤-≤a a 或 (D) 12≤≤-a(8)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-++-0202201a y ax y x y x 表示的平面区域的面积为. 215，则a=（A)74 (B) 1 (C) 2 (D) 3(9)二棱柱ABC －A l B 1C 1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，则异面AB 1与BC 所成角的余弦值为(A)46 (B) 41 (C) 43 (D) 42(10)己知直线l 的斜率为k,它勾抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若FB AF 2=，则|k|=(A) 22 (B)3 (C)42 (D) 33(11)x 0函数f (x )=2s i n x —πl n x (x ∈ (O , π))的零点，x 1<x 2,则 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)：③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0.其中正确的命题为 (A) ①③ (B) ①④(C) ②③)(D)②④(12)如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G,所 得二棱锥G-DEF 的俯视图如图2,则其正视 图的面积为(A)21 (B) 32(C) 322(D) 22第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填写在题中横线上.(13)不等式321515>+-x x 的解集为_______(14)双曲线C 的中心在原点，焦点在;C 轴上，离心率26=e ，其焦点到渐近线的距离为L 则C 的方程为_______(15)某单位为了了解每天用电量y(度）与当天最高气温x (0C)之间的关系，随机统 计了某4天的用电量与当天的最高气温，并制作了对照表.由表中数据得线性回归方程为a x y +-=2.3，则a ＝_______(16)ΔABC 中,角A 、B 、C 所对的边a ，b, c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍， 则 cosA+cosC=______.三、解答题：本大题共70分，其中(17) — (21)题为必考题，（22), (23), (24)题 为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分）已知等比数列{a n }满足91,31321=-=a a a ( (I)求{a n }的通项公式； (II)设)1(1...321211++++⨯++⨯+=n n n n n b n ，求数列}{nn a b 的前n 项的和.(18)(本小题满分12分）某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时间，得 下表：公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时间t (分钟）的关系是]20[40200t y +=，其中]20[t 表示不超过]20[t的最大整数.以样本频率为概率：(I )求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率； (II )估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元).(19)(本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD,. 090=∠APD (I )求证：平面PAB 丄平面PCD(II)如果 AB=BC=2, PB=PC=6求四棱锥P-ABCD 的体积.(20)(本小题满分12分）已知椭圆C 1：1422=+y x 和动圆)0(:2222>=+r r y x C ，直线l:y=kx+m 与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B.(I)求r 的取值范围；(II )求|AB|的最大值，并求此时圆 C 2的方程.(21)(本小题满分12分） 已知函数xen mx x f +=)(在x=1处取得极值e -1. (I )求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间； (II)当x>0 时，试证：f(1+x)>f(1-x).请考生在第（22), (23)，（24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黒.(22)(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线MN 交圆 0于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM ∠，交圆0于点D ， 过D 作DE 丄MN 于E.(I )求证：DE 是圆O 的切线； (II)若 DE=6，AE=3,求ΔABC 的面积(23)(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 .极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.己知曲线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨⎧=+=a t y at m x sin cos （t 为参数，π<≤a 0），射线4,4,πϕθπϕθϕθ-=+==与曲线C 1交于极点O 外的三点A,B,C.(I )求证：||2||||OA OC OB =+；(II )当12πϕ=时，B, C 两点在曲线C 2上，求m 与a 的值. (24)(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=丨x —a 丨+ |x —1丨，a ∈R. (I )当a=3时，解不等式 4)(≤x f ;(II)当)1,2(-∈x )时，f(x)>|2x-a-1|.求 a 的取值范围唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试文科数学参考答案一、选择题：A 卷：CAADB CBCDA BB B 卷：BBADCDCCABBA二、填空题： （13）(1，＋∞) （14）x 22－y 2＝1（15）53.2（16）78三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设a n ＝a 1q n －1，依题意，有⎩⎨⎧a 1a 2＝a 21q ＝－ 13，a 3＝a 1q 2＝ 19，解得a 1＝1，q ＝－ 13． …4分所以a n ＝(－ 1 3)n －1．…5分（Ⅱ）b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n (n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＝(n ＋1)[(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1n ＋1)]＝n ．…7分记数列{b na n}的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n＝1－(－3)n 4－n ×(－3)n， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n16．…12分（18）解：（Ⅰ）当0≤t ＜60时，y ≤300．记事件“公司1人每月用于路途补贴不超过300元”为A ． …2分 则P (A )＝25100＋50100＋15100＝0.9．…6分（Ⅱ）依题意，公司一名职工每月的平均路途补贴为x -＝200×25＋240×50＋280×15＋320×5＋360×5100＝246（元） …10分该公司每月用于路途补贴的费用总额约为246×8000＝1968000（元）． …12分（19）解：（Ⅰ）因为四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，所以CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA ．又∠APD ＝ π2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．…4分（Ⅱ）如图，作PO ⊥AD ，垂足为O ，则PO ⊥平面ABCD ． 连结OB ，OC ，则PO ⊥OB ，PO ⊥OC ．因为PB ＝PC ，所以Rt △POB ≌Rt △POC ，所以OB ＝OC ． 依题意，ABCD 是边长为2的正方形，由此知O 是AD 的中点． …7分在Rt △OAB 中，AB ＝2，OA ＝1，OB ＝5． 在Rt △OAB 中，PB ＝6，OB ＝5，PO ＝1．…10分 故四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3AB 2·PO ＝ 43．…12分 （20）解：（Ⅰ）由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0．由于l 与C 1有唯一的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0， 从而m 2＝1＋4k 2．① …2分由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0． 由于l 与C 2有唯一的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0， 从而m 2＝r 2(1＋k 2)．② …4分由①、②）得k 2＝r 2－14－r 2．由k 2≥0，得1≤r 2＜4，所以r 的取值范围是[1，2)．…6分（注：由图形直接看出r 取值范围而未做代数推理的只给1分） （Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由（Ⅰ）的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2＝－kr 2m ．|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2·(4－r 2)2ABCDPO＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 所以|AB |2＝5－(r 2＋4r 2)（1≤r ＜2）．…10分因为r 2＋4r2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，所以当r ＝2时，|AB |取最大值1，此时C 2的方程为x 2＋y 2＝2． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－mx ＋n －me x ． 依题意，f (1)＝e －1，f '(1)＝0，即⎩⎨⎧(m ＋n )e －1＝e －1，－n e －1＝0，解得m ＝1，n ＝0．…4分所以f (x )＝xe x ．f '(x )＝－x －1e x ．当x ∈(－∞，1)时，f '(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x )＜0． …6分函数f (x )在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减．（Ⅱ）设g (x )＝f (1＋x )－f (1－x )＝1＋x e 1＋x －1－x e1－x ＝(1＋x )e －x －(1－x )e xe ． …8分 设h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ＝1＋x e x －(1－x )e x ，则h '(x )＝x (e 2x －1)e x ＞0，h (x )在(0，＋∞)单调递增，h (x )＞h (0)＝0， …10分 所以g (x )＞0，从而f (1＋x )＞f (1－x )．…12分（22）解：（Ⅰ）连结OD ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ． 因为∠EAD ＝∠OAD ，所以∠ODA ＝∠EAD ．…2分因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，所以∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD ． 所以DE 是圆O 的切线．…4分（Ⅱ）因为DE 是圆O 的切线，所以DE 2＝EA ·EB ，ABCDE OM N即62＝3(3＋AB )，所以AB ＝9． …6分 因为OD ∥MN ， 所以O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6又因为O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12 …8分 故△ABC 的面积S ＝ 12AB ·BC ＝54．…10分（23）解：（Ⅰ）依题意，|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos (φ＋ π 4)，|OC |＝4cos (φ－ π4)，…2分则|OB |＋|OC |＝4cos (φ＋ π 4)＋4cos (φ－ π4)＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ， ＝2|OA |．…5分 （Ⅱ）当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π6)．化为直角坐标为B (1，3)，C (3，－3)．…7分C 2是经过点(m ，0)，倾斜角为α的直线， 又经过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)， …9分 所以m ＝2，α＝2π3．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3．当x ＜2时，由f (x )≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0； 当1≤x ≤3时，f (x )≤4恒成立；当x ＞3时，由f (x )≤4得2x －4≤4，解得x ≤4．…4分所以不等式f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤4}．…5分（Ⅱ）因为f (x )＝|x －a |＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|， 当(x －1)(x －a )≥0时，f (x )＝|2x －a －1|； 当(x －1)(x －a )＜0时，f (x )＞|2x －a －1|．…7分记不等式(x －1)(x －a )＜0的解集为A ，则(－2，1)⊆A ，故a ≤－2， 所以a 的取值范围是(－∞，－2]．…10分。
河北省唐山市2015届高三数学上学期摸底试卷 文(含解析)
河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）2．（5分）复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i3．（5分）函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）A．B．C．5 D．210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．+6 C．+5 D．+511．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为．14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为．16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，co s∠C=，则AC+BC=三、解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，•=﹣（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（1）求证：AT2=BT•AD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．24．（10分）设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}，则M∪N=（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[﹣1，+∞）考点：并集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合N，根据集合并集的定义得到答案．解答：解：∵集合M={x|x≥﹣1}，N={x|2﹣x2≥0}={x|﹣≤x≤}，∴M∪N={x|x≥﹣}=[﹣，+∞），故选：A点评：本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题．2．（5分）复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．解答：解：复数z====﹣1﹣i．显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．3．（5分）函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．解答：解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，∴f（x）为增函数；故选B．点评：本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：将抛物线方程化为标准方程，确定焦点的位置，从而可求抛物线y=2x2的准线方程．解答：解：抛物线y=2x2可化为，焦点在y轴上，2p=，∴∴抛物线y=2x2的准线方程是故选D．点评：本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题的关键是将方程化为标准方程，属于基础题．5．（5分）已sin（﹣x）=，则sin2x的值为（）A．B．C．D．±考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用角之间的关系将sin2x化为cos2x，再利用二倍角公式求解．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（）=1﹣2×=；故选C．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及二倍角公式的运用．6．（5分）甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，甲、乙相邻的基本事件个数m==2．由此能求出甲、乙相邻的概率．解答：解：甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数为n==6，甲、乙相邻的基本事件个数m==2．∴甲、乙相邻的概率p==．故选：B．点评：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．﹣C．5 D．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=﹣，a=﹣，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为5，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．解答：解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．9．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，则ω的值可能是（）A．B．C．5 D．2考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：当x=时，函数f（x）=sin（ωx+）的相位的终边落在y轴上，由此列式求得ω的可能取值．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）的图象关于x=对称，∴ω•+=k，k∈Z．ω=6k+2，k∈Z．当k=0时，ω=2．∴ω的值可能是2．故选：D．点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的对称性，关键是对函数具有对称性的理解，是基础题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．+6 C．+5 D．+5考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为1的正方体，上部是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：5×1×1+4××1×=+5，故选：D点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．11．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．解答：解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题13．（5分）函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足2x﹣1＞0，由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域满足：2x﹣1＞0，解得x＞，∴函数f（x）=log2（2x﹣1）的定义域为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．14．（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是6．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式和指数运算的性质即可得出．解答：解：∵实数x，y满足x+2y=2，∴3x+9y=3x+32y≥2=6，当且仅当x=2y=1时取等号．因此3x+9y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式和指数运算的性质，属于基础题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为x2﹣=1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由C的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，∴=，∵C的一个焦点到l的距离为1，∴=1，∴c=2，∴a=1，b=，∴C的方程为x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．16．（5分）在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，cos∠C=，则AC+BC=3考点：解三角形．专题：解三角形．分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．解答：解：∵BD=2DC，∴设CD=x，AD=y，则BD=2x，∵cos∠DAC=，cos∠C=，∴sin∠DAC=，sin∠C=，则由正弦定理得，即，即y=，sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=×+×=，则∠ADB=，，在△ABD中，，即2=4x2+2x2﹣2×=2x2，即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD=在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos=2+1﹣2×=5，即AC=，则AC+BC=3，故答案为：3点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），公差d为2．（1）求a n与k；（2）若数列{b n}满足b1=2，b n﹣b n﹣1=2（n≥2），求b n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）先利用S n=kn（n+1）﹣n（k∈R），用k把a1和a2表示出来，再结合d=2即可求出k，则首项可求，通项可求；（2）对于数列b n所满足的条件，可采用迭代法，因为数列{a n}通项已知，且b1已知，所以最终b n可求．解答：解：（Ⅰ）由题设得a1=S1=2k﹣1，a2=S2﹣S1=4k﹣1，由a2﹣a1=2得k=1，则a1=1，a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（Ⅱ）b n===…=，由（Ⅰ）知，且b1=2，∴==．显然n=1时，上式成立，综上所述，．点评：本题主要考查了等差数列的基本量计算、迭代法求数列通项的问题．前者主要是方程（组）的思想方法，后者要注意使用条件的判断．18．（12分）某公司对夏季室外工作人员规定如下：当气温超过35℃时，室外连续工作时间严禁超过100分钟；不少于60分钟的，公司给予适当补助．随机抽取部分工人调查其高温室外连续工作时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中工作时间范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求频率分布直方图中x的值；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率；用分层抽样的方法从享受补助人员和不享受补助人员中抽取25人的样本，检测他们健康状况的变化，那么这两种人员应该各抽取多少人？考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图中，各组的累积频率为1，构造关于x的方程，解方程可得答案；（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，解得中位数；（3）根据已知数据可得享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%，进而根据抽取的样本容量为25，得到结论．解答：解：（1）由直方图可得：20×（x+0.0250+0.0065+0.0030+0.0030）=1，解得x=0.0125．…（4分）（2）设中位数为t，则20×0.0125+（t﹣20）×0.0250=0.5，得t=30．样本数据的中位数估计为30分钟．…（8分）（3）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%=3人，抽取不享受补助人员25×88%=22人．…（12分）点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，是统计基本概念的直接考查，难度不大，属于基础题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB=AC，BC=AA1=2，求点A1到平面ADC1的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE∥A1B．由此能证明A1B∥平面ADC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，从则C到与平面ADC1的距离即为所求．解答：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，则点E是A1C及AC1的中点．连接DE，则DE∥A1B．因为DE⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求．…（6分）因为AB=AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，所以AD⊥平面BCC1B1，平面ADC1⊥平面BCC1B1．作于CF⊥DC1于F，则CF⊥平面ADC1，CF即为所求距离．…（10分）在Rt△DCC1中，CF==．所以A1到与平面ADC1的距离为．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知函数f（x）=2e x﹣ax﹣2（a∈R）（1）讨论函数的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）先求函数的定义域，易知x∈R，然后对原函数求导，借助于函数y=2e x的图象，通过变换得到f′（x）=2e x﹣a的图象，解不等式得到原函数的单调区间．（2）这是一道不等式恒成立问题，因此只需当x≥0时，f（x）min≥0即可，再结合（1）中对函数单调性的研究，确定f（x）的最小值，则问题可解．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2e x﹣a．若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＞0，令f′（x）=0得x=ln，易知当x∈（﹣∞，ln）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在[ln，+∞）上单调递增；综上，a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在ln，+∞）上单调递增．（Ⅱ）注意到f（0）=0．（1）当a≤0时，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，只需f（x）min=f（0）=0，显然成立．（2）当a＞0时若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，f（x）≥f（0）=0，符合题意．若ln＞0，即a＞2，则当x∈（0，ln）时，f（x）单调递减，又因为f（0）=0，所以此时f（x）＜0，不合题意．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题重点考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题．对于此类问题在解不等式时要充分利用数形结合的思想辅助分析，进行讨论；而不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，再进一步利用导数研究函数的单调性求最值．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，P（m，0）为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点．当m=0时，•=﹣（1）求C的方程；（2）求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=，由此能证明|PA|2+|PB|2是定值．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为离心率为，所以=．当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=．…（2分）设A（x0，y0），则B（﹣x0，﹣y0），P（m，0），•=﹣﹣=﹣=﹣•．又因为•=﹣，所以a2=25，b2=16，椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）l的方程为x=y+m，代入，并整理得25y2+20my+8（m2﹣25）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则|PA|2=（x1﹣m）2+=，同理|PB|2=．…（8分）则|PA|2+|PB|2=（+）=[（y1+y2）2﹣2y1y2]=[（﹣）2﹣]=41．所以，|PA|2+|PB|2是定值．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（10分）如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D．（1）求证：AT2=BT•AD；（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（1）证明AB=BT，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取BC中点M，连接DM，TM，可得O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径，即可求∠A．解答：（1）证明：因为∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT=∠DBT=90°．所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．解答：解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站24．（10分）设函数f（x）=|x ﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m 的范围取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x ﹣|+|x+m|≥|﹣（x ﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m ﹣+4，由f（2）＞5，求得m ＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．点评：本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．- 21 -。
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CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，
所以OA⊥OB1．又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，
所以OA⊥平面BB1C1C．
S□BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝2，
故VA－BB1C1C＝S□BB1C1C×OA＝2．…12分
20、解：（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，
则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A，连AB，故
|AB|＋|AB|＝2(|OO1|＋|O1P|)＝4．
所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，则
曲线Γ的方程为＋y2＝1．…5分
（Ⅱ）因为OB与圆O1相切，所以⊥．
12、直线 分别与曲线 ， 交于 ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、函数 的定正方体玩具，四个面标有数字 ，其余两个面标有数字 ，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是．
16、在半径为 的球面上有不同的四点 ， ， ， ，若 ，则平面 被球所截得图形的面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
求 的通项公式；
若 ， ， 成等差数列，求证： ， ， 成等差数列．
18、（本小题满分12分）为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：
A． B． C． D．
4、命题 ， ；命题 ，函数 的图象过点 ，则（）
A． 假 假B． 真 假
C． 假 真D． 真 真
5、执行右边的程序框图，则输出的 是（）
A． B．
C． D．
6、设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
7、在直角梯形 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
当 时，解不等式 ；
若 的最小值为 ，求 的值．
参考答案
一、选择题：
1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、D 7、B 8、C 9、A 10、D 11、A 12、C
二、填空题：
13、(－∞，－1]14、15、16、3π
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S1＋q＝1，
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qn＝1，得(1－q)Sn－1＋qn－1＝1，两式相减得(1－q)an＋qn－qn－1＝0，
唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2、 （）
A． B． C． D．
3、已知抛物线的焦点 （ ），则抛物线的标准方程是（）
因为q(q－1)≠0，得an＝qn－1，当n＝1时，a1＝1．
综上an＝qn－1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知＝q，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列．
所以Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8．
故a2，a8，a5成等差数列．…12分
18、解：（Ⅰ）由表中数据计算得，＝5，＝4，＝8.5，＝10，
天数 （天）
3
4
5
6
7
繁殖个数 （千个）
3
4
6
求 关于 的线性回归方程；
利用 中的回归方程，预测 时，细菌繁殖个数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， ．
19、（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形， ， ．
求证： ；
若 ，求四棱锥 的体积．
20、（本小题满分12分）已知圆 ，点 ，以线段 为直径的圆 内切于圆 ，记点 的轨迹为 ．
设B(x0，y0)，则x0(x0－)＋y＝0．…7分
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±．
则kOB＝±，kAB＝ ，…10分
则直线AB的方程为y＝±(x－)，即
x＋y－＝0或x－y－＝0．…12分
21、解：（Ⅰ）由题意得x＞0，f(x)＝1－＋．…1分
由函数f(x)在定义域上是增函数得，f(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1（x＞0）．
求证： ；
若 ， ， ， 四点共圆，且 ，求 ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆 ，直线 （ 为参数）．
写出椭圆 的参数方程及直线 的普通方程；
设 ，若椭圆 上的点 满足到点 的距离与其到直线 的距离相等，求点 的坐标．
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
因为－(x－1)2＋1≤1（当x＝1时，取等号），
所以a的取值范围是[1，＋∞).…5分
（Ⅱ）g(x)＝ex(－1＋2lnx－x)，…7分
由（Ⅰ）得a＝2时，f(x)＝x－2lnx－＋1
且f(x)在定义域上是增函数得，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0，1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0．…10分
求曲线 的方程；
当 与圆 相切时，求直线 的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数 ， ．
若函数 在定义域上是增函数，求 的取值范围；
求 的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆周角 的平分线与圆交于点 ，过点 的切线与弦 的延长线交于点 ， 交 于点 ．
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
9、已知 ，则 （）
A． 或 B． 或 C． D．
10、函数 的值域为（）
A． B． C． D．
11、 是双曲线 （ ， ）的右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于点 ．若 ，则 的离心率是（）
A． B． C． D．
＝＝0.85，＝－＝－0.25．
所以，回归方程为＝0.85t－0.25．…8分
（Ⅱ）将t＝8代入（Ⅰ）的回归方程中得＝0.85×8－0.25＝6.55．
故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．…12分
19、解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则
△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1中点O，连OA，OB1，则