2020届广东省佛山市高三上学期第一次模拟考试数学文试题含答案
20 2020届 佛山 高三 语文 一模 试题 答案
2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）语文试题本试卷共10 页，22 小题，满分150 分。
考试用时150 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角“ 条形码粘贴处” 。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（本题共 3 小题，9 分）阅读下面的文字，完成1～3 小题。
严格意义上说，生态思想文化是针对当代生态环境问题反思而形成的现代话语，传统社会并没有面临今天意义上的日益严重的生态环境问题，传统思想文化中并没有当代意义上的生态思想文化，我们今天研究传统生态思想文化，是从反思现代生态环境问题的角度，从传统思想文化中寻找生态思想文化资源。
因此，研究传统生态思想文化，应注意从当代科学视角进行阐释和研究。
首先，应以现代科学精神与方法对传统生态思想文化进行阐释与研究。
传统生态思想文化建立在传统农林牧渔业生产经验和主体自身生命直觉基础上，如果说其中蕴含科学精神的话，是一种建立在长期生产生活经验基础上的科学精神，这与建立在现代科学实验基础上的，追求精确数据分析和内在机理研究的现代科学迥异其趣。
传统生态思想文化建立在直觉和经验基础上，具有自身特定的智慧和优势，但也存在自身的局限和缺陷，比如知其然而不知其所以然，不能掌握其内在明晰的机理，因此不便于广泛传承与推广应用。
2020届广东省佛山市禅城区高三上学期统一调研测验(一)数学(文)试题(解析版)
2020届广东省佛山市禅城区高三上学期统一调研测验（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|7}A x N x =∈<，{}2|450B x x x =--≥，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】求出集合A ，B 的等价条件，结合集合并集，交集的定义进行计算即可． 【详解】解：{}{|7}A x N x =0123456=∈<，，，，，，，{}{2|450=|5B x x x x x =--≥≥或1}x ≤-，则{|15}R x C x B =-<<，则(){0,1,2,3,4}R C B A ⋂=共5个元素， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集，交集的定义是解决本题的关键． 2．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.3．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c a b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a c b <<【答案】A【解析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系。
【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较。
4．设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．,αβ垂直于同一平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α内有两条相交直线与β平行【答案】D【解析】,,A B C 均可以举出反例；D 选项中，根据面面平行的判定定理可知充分条件成立；根据面面平行的性质定理可知必要条件成立，因此可得结果. 【详解】A 中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到//αβ，可知A 错误；B 中，,αβ垂直于同一个平面，此时α与β可以相交，可知B 错误；C 中，,αβ平行于同一条直线，此时α与β可以相交，可知C 错误；D 中，由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行α\内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件即α内有两条相交直线与β平行是//αβ的充要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．5．执行如图所示的程序框图，若输出y =θ=（ ）A.6π B.6π-C.3π D.3π-【答案】D【解析】分sin θ=tan θ=时两种情况加以讨论，解方程并比较||θ与4π的大小，最后综合即可得到本题的答案． 【详解】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是sin θ或tan θ，①当输出的sin θ时，即sin θ=22ππθ-<<，此时θ不存在；②当输出的tan θ时，即tan θ=22ππθ-<<，此时3θπ==-；||34ππθ=>，此时3πθ=-符合题意，综上所述可得输入的3πθ=-．故选：D ． 【点睛】本题以程序框图为载体，求方程的解，着重考查了算法语句与方程、三角函数等知识，属于基础题．6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．34【答案】B【解析】设大灯下缀2个小灯为x 个，大灯下缀4个小灯有y 个，根据题意求得120,240x y ==，再由古典概型及其概率的公式，即可求解．【详解】设大灯下缀2个小灯为x 个，大灯下缀4个小灯有y 个， 根据题意可得360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120,240x y ==，则灯球的总数为360x y +=个， 故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为24023603=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．已知命题:0p x ∀>，ln(1)0x +>，命题3:8q x >是||2x >的充要条件，下列命题为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.()p q ⌝∨ C.()p q ∧⌝ D.()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】由已知可判断命题p 为真命题，命题q 是假命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：命题:0p x ∀>，ln(1)0x +>，由0x >，得11x +>，可得ln(1)0x +>，故命题p 为真命题；命题3:8q x >是||2x >的充要条件，由38x >，得2x >，可推出||2x >，充分性满足，但当||2x >时，如3x =-，不能推出38x >，不满足必要性，故命题q 是假命题 由复合命题的真假判断得()p q ∧⌝为真命题， 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题． 8．已知1sin cos 5x x +=，[0,]x π∈，则tan x 的值为（ ） A.34-B.43-C.43±D.34-或43- 【答案】B【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan x 的值． 【详解】解：∵1sin cos 5x x +=，[0,]x π∈， 两边同时平方得：112sin cos 25x x +=，得12sin cos 025x x =-< ∴x 为钝角，结合22sin cos 1,sin ,cos 5354x x x x +=∴==-， 则sin 4tan cos 3x x x ==-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
广东省佛山市实验中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
佛山市实验中学2020届高三第一次月测文科数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试用时120分钟. 2019年8月30日一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝()A ．{4，5}B ．{1，4，5}C ．{6，7}D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2i i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知角α的终边经过点(8sin 30-3π)，则cos α＝( ) A ．45 B ． -4C ．35D ．－454．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为1，则输出的k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45. 如图，▱ABCD 的对角线交于点M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12bB ．12a －12bC ．－12a －12bD ．－12a ＋12b6. 在区间[0，π]内随机取一个数x ，则使得sin x >12的概率为( ) A. 12 B. 13 C.23D.347.已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．13 B ．3 C ．－13D ．－38．将函数sin()3y x π=+横坐标缩短一半，再向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间[,]44ππ-上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递减 C ．有一条对称轴为x =6πD ．有一个对称中心为（π4，0）9. 如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，AB ＝15，BD ＝10，120ADC ∠=，则c o s BAD ∠＝( )(A)33 (B)223 (C)－63 或63 (D)63 10. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－2311.函数f (x )1cos 2x x +，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的最小值是( )A.0B. π2C.6π D. π312．在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC 的最大值为( )A ．2B ．C ．D ．47二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝ (1，λ)，若c ⊥ (2a ＋b )，则λ＝________．14. 已知sin αcos α1－cos 2α＝12，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________.15. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b 2＋c 2＝________． 16. 函数f (x )＝cos 2x ＋33cos()2x π+＋14⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
广东省佛山市2019-2020学年上学期普通高中高三教学质量检测(一)数学理科试题(解析版)
2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞04．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+15．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．38．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝19．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x在（0，+∞）上不是单调函数，故cos x﹣cos y＞0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cos x+cos y＝﹣1＜0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x，然后向右平移一个单位得到f（x），得y＝e﹣（x﹣1），即f（x）＝e﹣x+1，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1．∴第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n 为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，，解可得，q＝，a1＝27，∴a n＝，若使得a1a2…a n取得最大值，则n应该是偶数，且n＞4时，|a n|＜1，故当n＝4时，a1a2…a n取得最大值．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．3【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，解得tan＝，或tan＝﹣2，∴tan（+）＝＝＝3．故选：D．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b），△OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1，且a＝×2＝，可得双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题．9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析．【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，则F（0）＝f（0）﹣＝0，又由F（﹣x）＝+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；又由F′（x）＝＝＝＞0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）＞3，则f（a2）﹣＞，f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]，F（a2）＞﹣F（2a），F（a2）＞F（﹣2a），所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sin x﹣sin（πx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，①正确．假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sin x+sinπx，sin（x+T）﹣sin x＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f（x）＝sin x+sin（πx），没有周期，②错误．f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π）x＝，或，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，x0＝且πx0＝，（k∈Z）即x0＝且x0＝，所以＝，k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝＝m+①△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，即8≤h2≤16，S＝，S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝[（h﹣m）2+4]×（m2+4）把①代入得S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝[+4]×（m2+4）＝5+＝5+（+m）2﹣4＝1+（+m）2＝1+h2，所以S2＝1+h2∈[9，17]，S2max＝17，S max＝，故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．【分析】取BC的中点D，＝（+）＝（（+）+），⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝（+）•（﹣）＝（（+）+）•（﹣）＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为y＝x﹣1 ．【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax2﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，f′（x0）＝g′（x0），即＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②，联立①②消a得，lnx0＝，令φ（x）＝lnx﹣，φ′（x）＝+＞0，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以φ（x）＝lnx﹣有唯一解1，即x0＝1，则y0＝f（1）＝0，a＝1．故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，±1）；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P 的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|＝，化简得y2＝2x+1，令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），A（﹣，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|＝，故答案为：（0，±1）；．【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：Y1 15 ﹣5P 0.3 0.7E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：Y2 5 ﹣5P 0.8 0.2E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：Y 15﹣x﹣5P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05xE（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得a sin B＝b sin A，则有b sin A＝b（sin A﹣cos A），化简可得sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，，则＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值．【解答】解：（1）由题意得：e＝＝，+＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程：＝1；（2）由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：（3+4k2）x2＝12，解得x＝，令M的坐标（，k）∵|OP|＝|MN|，由对称性可知，点P为OM的中点．故P的坐标（，），由P在直线l1：x+y﹣＝0，所以+﹣＝0，解得：k＝0或k＝，故M的坐标为（2，0），或（，），所以|OM|＝2，或，所以|MN|的长度为4或．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE ∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），P（0，﹣，2），＝（3，3，0），＝（0，2），设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），平面PAB的法向量＝（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为，当x＞π时，，∴f（x）的最小值为；（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g′（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，x＞0，则h′（x）＝1﹣cos x≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）＝，∴g′（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x＞0，即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，得y2＝4x，∴曲线C的普通方程为y2＝4x，∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，∴直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，设方程的两个解为t1，t2，则t1t2＝，∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，|PM|•|PN|＝||＝||，∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是（﹣1，3）；（2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，所以a的取值范围是（﹣1，3）．（2）当a≥1时，函数f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k ＝1．当a＜1时，f（x）＝则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得a＝0，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝2．综上所述，k的值是1或2．【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。
2020届广东省佛山市高三上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省佛山市普通高中2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝,∴在复平面内,复数对应的点的坐标为（2,1）,位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0},B＝{x||x|＞1},则A∩B＝（）A．（﹣2,﹣1）B．（﹣1,1）C．（0,1）D．（1,2）【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2},B＝{x|x＜﹣1或x＞1},∴A∩B＝（1,2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式和绝对值不等式的解法,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题．3．（5分）已知x,y∈R,且x＞y＞0,则（）A．cos x﹣cos y＞0B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0D．lnx+lny＞0【分析】根据题意,结合函数的单调性分析选项A、C,可得A错误,C正确,对于B、D,利用特殊值分析可得其错误,综合即可得答案．【解答】解：根据题意,依次分析选项：对于A,y＝cos x在（0,+∞）上不是单调函数,故cos x﹣cos y＞0不一定成立,A错误；对于B,当x＝π,y＝时,cos x+cos y＝﹣1＜0,B不一定成立；对于C,y＝lnx在（0,+∞）上为增函数,若x＞y＞0,则lnx＞lny,必有lnx﹣lny＞0,C正确；对于D,当x＝1,y＝时,lnx+lny＝ln＜0,D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用,涉及实数大小的比较,属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度,所得图象与y＝e x关于y轴对称,则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系,利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x,然后向右平移一个单位得到f（x）,得y＝e﹣（x﹣1）,即f（x）＝e﹣x+1,故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换,结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出,先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）,然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色代表挖去的面积,那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点,则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件,求出第3个大正三角形的面积,及黑色区域的面积,代入几何概型计算公式,即可求出答案．。
2020届广东省佛山市高三上学期第一次模拟考试数学理试题
2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数 学(理科) 2020 年 1 月7 日本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．注意事项：1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数ii215+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合A = {x| x 2- x - 2 < 0} ，B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ） A ． (-2, -1) B ． (-1,1)C ． (0,1)D ． (1, 2)3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（）A. cos x - cos y > 0B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 04.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于y 轴对称，则 f (x ) = （ ）A.1+-x eB.1--x eC.1-x eD.1+x e5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶 点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A.53 B.169 C.167 D.52 6.已知等比数列}{n a 满足24,363121=-=-a a a a ，则使得n a a a Λ21取得最大值的n 为（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 67.已知α为锐角，53cos =α则=-)4tan(απ（ ）8.已知双曲线C:12222=-by a x ，O 为坐标原点，直线a x =与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（）9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GWD ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过31 10.已知函数12121)(+++=x x f x，且3)2()(2>+a f a f ，则a 的取值范围是（ ）11.已知函数 f (x ) = sin x + si n(πx )，现给出如下结论：① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2其中正确结论的个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 412.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 ,BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC = 。
2020届广东省佛山市高三教学质量检测(一)数学(理)科试题(解析版)
2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．在复平面内，复数512ii+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法法则化简复数为代数形式，再根据复数几何意义确定选项. 【详解】()()()51252121212i i i i i i i -==+++-，在复平面内对应的点为()2,1，位于第一象限. 故选：A 【点睛】本题考查复数除法法则即有复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知集合{}2|20A x x x =--<，{}|||1B x x =>，则A B =I （ ）A ．()2,1--B ．()1,1-C ．()0,1D ．()1,2【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A ，解含绝对值不等式得集合B ，再根据交集定义得结果. 【详解】{}2|20A x x x =--<()(){}|120x x x =+-<{}|12x x =-<<，{|||1}{|1B x x x x =>=>或}1x <-，所以()1,2A B ⋂=故选：D 【点睛】本题考查解一元二次不等式、解含绝对值不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）A ．cos cos 0x y ->B ．cos cos 0x y +>C ．ln ln 0x y ->D ．ln ln 0x y +>【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A,B,D 错误，再根据单调性证明C 成立. 【详解】当320x y ππ=>=>时cos 11cos x y =-<=； 当320x y ππ=>=>时cos cos 110x y +=-+=； 当110x y e=>=>时ln ln 10x y +=-<； 因为函数()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，且0x y >>，所以()()f x f y >，即ln ln x y >，即ln ln 0x y ->.故选：C 【点睛】本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题.4．函数()f x 的图像向左平移一个单位长度，所得图像与xy e =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A ．1e x -+B ．1e x --C ．1e x -D ．1e x +【答案】A 【解析】 【分析】先求与xy e =关于y 轴对称函数解析式，再根据向右平移一个单位长度得结果.【详解】将xy e =的图象关于y 轴对称，得xy e -=，再将其向右平移一个单位长度，再将其向右平移一个单位长度，得()11x x y e e ---+==.故选：A 【点睛】本题考查根据函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A ．35B ．916C ．716D ．25【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果. 【详解】设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为3193444161-⨯⨯= 所以落在黑色区域的概率为916. 故选：B 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知等比数列{}n a 满足1236a a -=，1324a a -=，则使得12n a a a ⋅⋅⋅取得最大值的n 为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列{}n a 通项公式，最后逐一验证得结果. 【详解】2131212113a a q q a a q --==+=--，∴13q =-，()121141363a a a q a -=-==，∴127a =，∴127a =，29a =-，33a =，41a =-，513a =，619a =-，1711,27(27)3n n a a -==-，令 12n n T a a a =⋅⋅⋅，则22123456727,927,27,27,279,27,1,T T T T T T T ==-⨯=-==⨯=-=-，当7n ≥时，||1n T ≤，可知当4n =时，21227n a a a ⋅⋅⋅=取得最大值故选：B 【点睛】本题考查等比数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．已知α为锐角，3cos 5α=，则tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan 2α，再根据两角和正切公式求结果.【详解】∵α为锐角，3cos 5α=，∴4sin 5α=， 则2sin2sincos222tan 2cos 2cos 22αααααα==4sin 1531cos 215αα===++， ∴1tan tan 1422tan 31421tan tan 1422παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--. 故选：D 【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=，O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，若OAB ∆是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=【答案】A 【解析】 【分析】先根据双曲线性质得3a =，再根据渐近线求得1b =，即得双曲线C 的方程.【详解】由图可知，3a =，且一条渐近线的倾斜角为30°，所以33b a =，解得1b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13【答案】D 【解析】 【分析】先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择. 【详解】中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．已知函数()12121xf x x =+++，且()()223f a f a +>，则a 的取值范围是（ ） A ．()(),31,-∞-⋃+∞ B ．()(),20,-∞-+∞U C ．()2,0- D ．()1,3-【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数()()32g x f x =-，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】∵()()1121212121x x f x f x x x -+-=+++-+++12232112xx x=++=++， 所以函数()f x 关于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()()22ln 2ln 2ln 222201421222x x x x f x '=-=-≥->+++， ∴函数()f x 单调递增. 设()()32g x f x =-，则()g x 为奇函数且单调递增， 由()()223f a f a +>，得()()220g a g a +>，∴()()()222g ag a g a >-=-，∴22a a >-，220a a +>， 解得2a <-或0a >. 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题. 11．已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间()0,π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确. 【详解】∵()()(),sin sin x R f x x x π∈-=-+-()sin sin x x f x π=--=-，∴()f x 是奇函数，①正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122|2,|2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z I ， 所以()f x 不是周期函数，②错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1ππ-，③正确； 当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ，∵1|2,|2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z I ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故④错误. 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题.12．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于点M ，N ，Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则MNQ ∆面积的最大值为（ ）A ．3BC ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设CQ x =,根据勾股定理得BN ,即得MNQ ∆面积函数关系式,再根据导数求其单调性,最后根据单调性球最值. 【详解】如图，不妨取点M 为点A ，设CQ x =，BN y =，[],0,4x y ∈，不妨设90MQN ∠=︒，则222MN MQ NQ =+，即()222444y x y x +=+++-，整理得：220x xy -+=，∴222x y x x x+==+，又∵4y „，所以24x x +„，解得2222x +剟设MNQ ∆的面积为S ， 则()()()22222444444S x y x x x ⎛⎫⎡⎤=+⋅+-=+⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭2222164204204x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 设()224f x x x =+，22,22x ⎡∈⎣，则()()4332482x f x x x x-'=-=， 可知函数()f x 在22,2⎡⎣上单调递减，在2,22上单调递增，又(2212f =，(2212f =， 所以()max 12f x =， ∴()2max42041268S=+⨯=，∴max 17S =. 故选：C 【点睛】本题考查利用函数单调性求最值以及列函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题13．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果，故共有12365360C C C =（种）可能的结果.【考点定位】组合问题14．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上一点，则AP BC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】52【解析】 【分析】取BC 中点D ，利用垂直关系转化所求数量积为AD BC ⋅u u u r u u u r，再利用基底,AB AC u u u r u u u r 表示得结果. 【详解】取BC 中点D ，连接PD ，则PD BC ⊥，0PD BC ⋅=u u u r u u u r， 所以AP BC AP BC PD BC AD BC ⋅=⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()12AB AC AC AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r()221522AC AB =-=u u u r u u u r .故答案为：52【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.15．函数()ln f x x =和()2g x ax x =-的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则这条切线方程为______. 【答案】1y x =- 【解析】 【分析】先根据导数几何意义列方程组，消a 得2ln 10t t +-=，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】()1,f x x'=()21g x ax '=-，设切点的横坐标为t ，则根据题意可得2ln 121t at t at t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，得1ln 2tt -=，2ln 10t t +-=， 设()2ln 1g t t t =+-，则()g t 单调递增，又()10g =， 所以方程2ln 10t t +-=有唯一解1t =，所以切点为()1,0，切线斜率1k =，切线方程为1y x =-. 故答案为：1y x =- 【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求方程的解，考查综合分析求解能力，属中档题. 16．在平面直角坐标系xOy 中，对曲线C 上任意一点P ，P 到直线10x +=的距离与该点到点O 的距离之和等于2，则曲线C 与y 轴的交点坐标是______；设点5,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则PO PA +的最小值为______. 【答案】()0,1± 74【解析】 【分析】先根据条件列方程，再令0x =解得C 与y 轴的交点坐标；根据绝对值定义化简讨论方程，再根据抛物线定义求最值.【详解】设(),P x y ，则根据题意可得2212x x y +++=，令0x =21y =，1y =±，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是()0,1±，当1x -…时，2212x x y ++=221x y x +=-， 即点P 到点O 的距离与点P 到直线1x =的距离相等， 所以此时曲线C 是以点O 为焦点，直线1x =为准线的抛物线， 如图（1），94PO PA PM PA AB +=+=„， 当1x <-时，2212x x y --+=223x y x +=+，即点P 到点O 的距离与点P 到直线3x =-的距离相等， 所以此时曲线C 是以点O 为焦点，直线3x =-为准线的抛物线， 如图（2），74PO PA PN PA AC +=+=„， 综上可知，PO PA +的最小值为74. 故答案为： 【点睛】本题考查轨迹方程以及利用抛物线定义求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立. （1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 【答案】（1）多10000元；（2）定价为13元 【解析】 【分析】（1）先根据概率分布求数学期望，再比较两个期望大小得结果；（2）先根据概率分布求数学期望函数关系式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为1Y （元），则1Y 是随机变量，其分布列为：()1150.350.71E Y =⨯-⨯=元，则500个游客的平均利润为5000元；当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.30.05100.8+⨯=，不被带走的可能性为0.2，设每个游客的利润为2Y （元），则2Y 是随机变量，其分布列为：()250.850.23E Y =⨯-⨯=元，则500个游客的平均利润为15000元；该项目每天的平均利润比调整前多10000元.（2）设降价x 元，则015x <…，照片被带走的可能性为0.30.05x +， 不被带走的可能性为0.70.05x -，设每个游客的利润为Y （元），则Y 是随机变量，其分布列为：()()()()150.30.0550.70.05E Y x x x =-⨯+-⨯-()20.05769x ⎡⎤=--+⎣⎦，当7x =时，()E Y 有最大值3.45元， 即当定价为13元时，日平均利润为17250元. 【点睛】本题考查概率分布、数学期望以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求A ；（2）D 是线段BC 上的点，若2AD BD ==，3CD =，求ADC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）14【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，化边为角，解得A ； （2）设B θ∠=，则2ADC θ∠=，3ACD πθ∠=-，利用正弦定理得322sin sin 33ππθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得θ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】（1）由正弦定理，得sin sin a B b A =.则有13sin sin 2b A b A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得：13sin 22A A =-. 即tan 3A =-，∵()0,A π∈，则23A π=. （2）设B θ∠=，πθ0,3骣琪Î琪桫， 由题意得：BAD θ∠=，2ADC θ∠=，23DAC πθ∠=-，3ACD πθ∠=-. 在ADC ∆中，sin sin CD ADDAC ACD=∠∠，则322sin sin 33ππθθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3131cos sin cos sin θθθθ=+-3sin θθ=. 结合22sin cos 1θθ+=，可得21sin 14θ=，57cos θ=则53sin 22sin cos θθθ==. ∴1153153sin 2322ADC S AD CD ADC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 解法二：如图，在线段DC 上取点E ，使得2DE =，连接AE ，则2BAE π∠=，在ABC ∆中，sin sin AC BC B BAC =∠，即52sin sin 3b B π=，3sin B =，在ACE ∆中，sin sin AC CE AEC EAC =∠∠，即1sin sin 6b AECπ=∠，sin 2b AEC ∠=， 而sin sin cos 2AEC B B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，由∴22222317sin cos 1100425B B b b b +=+==，∴57b =此时sin 14AEC ∠=，cos 14AEC ∠=-， sin sin 6C AEC π⎛⎫=∠+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin66AEC AEC ππ=∠+∠11427==，11sin 322AEC S AC CD C ∆=⋅⋅⋅==解法三：由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，得224449222223c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，整理得222350b c +=①，又由余弦定理可得222222cos 25a b c bc A b c bc =+-=++=②， ①－②2⨯，得：220c bc -=，2c b =，∴2257b =.∴23313sin sin 5525ADC ABC S S bc A b A ∆∆==⨯=32557=⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线2l ：y kx =与椭圆C 交于M ，N 两点，交1l 于P 点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足14OP MN =，求此时MN 的长度.【答案】（1）22143x y +=；（2）4或5【解析】 【分析】（1）先根据离心率以及点在椭圆上，列方程组解得结果； （2）先求直线1l 的方程，再求M 点坐标，根据14OP MN =得P 点坐标，代入1l 的方程，解得k ，最后代入P 点坐标，求得结果.【详解】（1）由题意得12c e a ==，2223121a b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，结合222a b c =+， 解得24a =，23b =，21c =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）易知定直线1l0y +=.联立22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()223412k x +=，解得x = 无妨令M点的坐标为. ∵14OP MN =，由对称性可知，点P 为OM 的中点，故P ， 又P 在直线1l0y +-上，=， 解得10k =，23k =， 故M 点的坐标为()2,0或65⎛⎝⎭， 所以2OM =， 所以MN 的长度为4或5. 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，90APB ACB ∠=∠=︒，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是BCE ∆的重心.（1）证明：GF P 平面PAC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AP C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155【解析】 【分析】（1）根据三角形重心性质可得DE AC P ，根据三角形中位线性质得EF AP P ，再根据线面平行判定定理得DE P 平面PAC ，EF P 平面PAC ，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；（2）先根据面面垂直性质定理得PE ⊥平面ABC ，确定GF 与平面ABC 所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角. 【详解】（1）连接EF ，连接EG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点， 从而点D ，E ，F 分别是棱CB ，AB ，PB 的中点， ∴DE AC P ，EF AP P .又DE ，EF ⊄平面PAC ，AC ，AP ⊂平面PAC ， ∴DE P 平面PAC ，EF P 平面PAC . 又DE ，EF ⊂平面PAC ，DE EF E =I ，∴平面EFG ∥平面PAC ， 又GF ⊂平面PAC ， ∴GF P 平面PAC .（2）连接PE ，∵PA PB =，E 是AB 的中点，∴PE AB ⊥， ∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，PE ⊥平面ABC .连接CG 并延长交BE 于点O ，则O 为BE 的中点， 连接OF ，则OP PE P ，∴OF ⊥平面ABC .∴FGO ∠为GF 与平面ABC 所成的角，即60FGO ∠=︒. 在Rt FGO ∆中，设2GF =，则1OG =，OF =，∴3OC =，PE =∴AB =CE =OE = ∴222OE OC CE +=，即OC AB ⊥， 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,A -，()3,0,0C，(0,P .∴()AC =u u u r，(AP =u u u r，设平面PAC 的一个法向量为()1,,n x y z =u r，则11300n AP x n AC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u v u u u v u v u u u v，可取)11,1n =-u r ， 又平面PAB 的一个法向量为()21,0,0n =u u r，则121212cos ,5n n n n n n ⋅===⋅u r u u ru r u u r u r u u r ， 所以二面角B AP C --的余弦值为5. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题. 21．已知函数()12sin f x x x =+-，0x >. （1）求()f x 的最小值；（2）证明：()2e xf x ->.【答案】（1）13π+；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值；（2）先构造函数()()212sin xg x x x e =+-，再求导数，转化研究()sin h x x x =-，利用导数可得sin x x >，最后利用放缩得()g x 单调递增，根据单调性证得结果. 【详解】（1）()12cos f x x '=-，令()0f x '=，得1cos 2x =， 故在区间[]0,π上，()f x '的唯一零点是3x π=，当0,3x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当,3x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x 的极小值为133f ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当x π>时，()1213f x f πππ⎛⎫>+-=->⎪⎝⎭，所以，()f x 的最小值为133f ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（2）要证：0x >时，()2xf x e->，即证0x >时，()()212sin 1xg x x x e=+->.()()()22212sin 12cos x x g x x x e x e '=+-+-()2324sin 2cos x x x x e =+--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-…，即()h x 是()0,∞+上的增函数， ∴()()00h x h >=，即sin x x >，∴324sin 2cos 32sin 4sin 2cos x x x x x x +-->+--()32sin cos 304x x x π⎛⎫=-+=-+> ⎪⎝⎭，∴()()2324sin 2cos 0x g x x x x e '=+-->.即()g x 是()0,∞+上的增函数，()()01g x g >=，故当0x >时，()2x f x e->.【点睛】本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属较难题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）.（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅.【答案】（1）24y x =，开口向右，焦点为()1,0的抛物线；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据代入消元法得曲线C 的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得PA PB ⋅，同理可得PM PN ⋅，最后根据倾斜角关系证结论.【详解】由4y m =，得4y m =，代入24x m =，得24y x =，即24y x =， ∴C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为()1,0F 的抛物线. （2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-，则直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 与24y x =联立得()222000sin 2sin 4cos 40t y t y x ααα+-+-=，设方程的两个解为1t ，2t ，则2001224sin y x t t α-=，∴2001224sin y x PA PB t t α-⋅==， 则2200002244sin ()sin y x y x PM PN παα--⋅==-， ∴PA PB PM PN ⋅=⋅.【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值.【答案】（1）()1,3-；（2）1或2.【解析】【分析】（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果；（2）先根据a 与1大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数.【详解】（1）()12f a a =-<，得212a -<-<，即13a -<<，∴a 的取值范围是()1,3-;（2）当1a …时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增， 则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得1k =，当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --⎧⎪=-<<⎨⎪-++⎩…„，则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得2k =.综上所述，k的值为1或2.【点睛】本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.。
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2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数 学(文科) 2020 年 1 月7本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟．注意事项：1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数ii215-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知集合A = {x| x 2- 2x < 0} ，B = {x| | x |> 1}，则 A ∩B = （ ）A ． (-1, 1)B ． (-1,2)C ． (-1，0)D ． (0，1)3.已知 x , y ∈ R ，且 x > y > 0 ，则（）A. cos x - cos y > 0B. cos x + cos y > 0 C ． l n x - ln y > 0 D ． l n x + ln y > 04.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = ex 关于x轴对称，则 f (x ) = （）A.－1-x eB.1+-x eC.1---x eD.1+--x e5.已知函数))(ln(2)(2R a x a x x x f ∈+++=为奇函数，则a =（ ） A.－1 B. 0 C. 1 D.26.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么 黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）A.53 B.169 C.167 D.52 7.已知α为锐角，53cos =α则=-)24tan(απ（ ）8.“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段．今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GWD ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过3110.已知抛物线 y 2 = 2 px 上不同三点 A , B , C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（）A ． A ,B ,C 的纵坐标成等差数列B ． A , B ,C 到 x 轴的距离成等差数列C ． A , B , C 到点O (0, 0) 的距离成等差数列D ． A , B , C 到点 F )0,2(p的距离成等差数列11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论：① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2其中正确结论的个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ． 412.已知椭圆C 的交点为21,F F ,过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若||35||||1212BF F F AF ==,则C 的离心率为（ ） A.22 B.33 C.21 D.31 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.函数f (x ) = e x+ sin x 在点(0,1) 处的切线方程为 . 14.若实数变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ,且y x z +=2的最大值和最小值分别为m 和n ，则m+n= .15.在△ABC 中，ABC C a ∆==,43cos ,1的面积为47，则c= . 16.已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为m （m ∈Z ），底面边长为n （n ∈Z ），内有一个体积为V 的球，若V 的最大值为π29，则此时三棱柱外接球表面积的最小值为 . 三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 满足12,83,2111321+====++n n n n b b a b b b . （1）求}{n a 的通项公式； （2）求}{n b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．全 面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求．《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI ），其计算公式为：)()(22m kg BMI 身高体重 ，当BMI ＞23.5时认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI.某高中高一、高二年级学生共 2000人，人数分布如表(a )．为了解这2000名学生的BMI 指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本．性别 年级男生 女生 合计 高一年级 550 650 1200 高二年级 425 375800合计9751025 2000表（a ）（1）为了使抽取的 160 个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这 160 个学生的 BMI 值，统计出“超重”的学生人数分布如表(b ). （i ）试估计这 2000 名学生中“超重”的学生数;（ii ）对于该校的 2000 名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强．应用卡方检验，可依次得到2K 的观察值1k ，2k ，是判断1k 和2k 的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题满分12分）如图，三棱锥 P - ABC 中，P A=PB=PC ，∠APB = ∠ACB = 90，点 E , F 分别是棱 AB , PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心．（1）证明： GF ⊥ 平面 ABC ；（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，且GF=2，求三棱锥P -ABC 的体积.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知两定点A （－2，2），B （0，2），动点P 满足2||||=PB PA （1）求动点P 的轨迹C 的方程‘（2）轨迹C 上有两动点E ，F ，它们关于直线04:=-+y kx l 对称，且满足，求△OEF 的面积.21.（本小题满分12分） 已知函数xex a x f ---=sin 21)(，)(x f '是)(x f 的导函数，且0)0(='f .（1）求a 的值，并证明)(x f 在0=x 处取得极值; （2）证明：)(x f 在区间)](22,2[N k k k ∈+πππ有唯一零点.请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号． 22．(本小题满分 10 分)[选修 4 - 4 :坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为m my m x (442⎩⎨⎧==为参数） （1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线21,l l ，其中1l 与曲线C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点),(00y x P ，求证：||||||||PN PM PB PA ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数|1|||)(-+-=x a x x f . （1）若2)(<a f ，求a 的取值范围；（2）当],[k a a x +∈时，函数)(x f 的值域为[1,3]，求k 的值.。