勾股定理获奖课件(第1课时)
合集下载
勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理一等奖公开课获奖课件
第3页
C A
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
图1-1 A
（1）你能用三角 形边长表达正方形 面积吗？
（2）你能发现直 角三角形三边长度 之间存在什么关系 吗？与同伴进行交 流。
B
直角三角形两直角边平
图1-2
方和等于斜边平方
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一种直角
三角形，并测量斜边长度。（2）中规律对这个三
角形仍然成立吗？ 第4页
第12页
课后探索
做一种长，宽，高分别为50厘米，40厘米， 30厘米木箱，一根长为70厘米木棒能否放入， 为何？试用今天学过知识阐明。
第13页
小 结：
1这节课你学到了什么知识？ 2 运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你尚有什么疑惑或没有弄懂地方？
第14页
勾股定理（gou-gu theorem)
假如直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2
ac
b
即 直角三角形两直角边平方和等于 斜边平方。
第5页
结论变形
直角三角形中，两直角边平方和等于斜边平方；
c2=a2 + b2
cb
a
第6页
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角手臂上半部分称为"勾"， 下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短直 角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为 “弦”.
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂 ，树顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
第10页
应用知y识=回0 归生活
2、如图:是一种长方形零件图,根据所给尺寸,求 两孔中心A、B之间距离
17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版
C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜
人教版初中八年级下册数学课件 《勾股定理》1(第1课时)
弦
即：勾2+股2=弦2
股
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
公式变形：
a c2 -b2 , b c2 -a2 c a2 b2
a、b、c为正数
典例精析
例1在Rt△ABC中，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c; （2）已知a=1,c=2,求b;
解： (1)据勾股定理得
积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路， A
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古 代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的 会徽.
朱实
赵 爽
黄
弦c b 实
图
a
赵爽所用的这种方法是我国 古代常用的“出入相补法”.在 西方，人们称勾股定理为毕达哥 拉斯定理.
问题1试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
毕达哥拉斯
+ = 正方形A
的面积
正方形B 的面积
正方形C 的面积
AB C
问题2你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
即：勾2+股2=弦2
股
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
公式变形：
a c2 -b2 , b c2 -a2 c a2 b2
a、b、c为正数
典例精析
例1在Rt△ABC中，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c; （2）已知a=1,c=2,求b;
解： (1)据勾股定理得
积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路， A
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
即 c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古 代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的 会徽.
朱实
赵 爽
黄
弦c b 实
图
a
赵爽所用的这种方法是我国 古代常用的“出入相补法”.在 西方，人们称勾股定理为毕达哥 拉斯定理.
问题1试问A、B、C面积之间有什么样的数量关系？
毕达哥拉斯
+ = 正方形A
的面积
正方形B 的面积
正方形C 的面积
AB C
问题2你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
八年级数学《勾股定理》第一课时课件
2
c a
=2ab+b2-2ab+a2
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
我探索、我验证！
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 +4• ab
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵
(a+b)2
=
c2
+4•
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
这就是本届大会 会徽的图案.
这个图案被称为“赵爽弦 图”， 是我国汉代数学家赵 爽在证明勾股定理时用到的.
你听说过勾股定理吗？
我操作 ，我猜想！
请同学们以四人一小组合作完成下列问题，其中 每组选两名同学动手操作，另两名同学负责监督整个 操作过程确保准确无误，最后每组派一名同学代表本 组发言。
（1）分别在方格纸上作两个直角三角形，使其两直角 边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米。
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
a2+b2=c2
走进勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 国在国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 理定理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 希年希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
c a
=2ab+b2-2ab+a2
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
我探索、我验证！
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
也可以表示为
c2 +4• ab
2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵
(a+b)2
=
c2
+4•
ab 2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
这就是本届大会 会徽的图案.
这个图案被称为“赵爽弦 图”， 是我国汉代数学家赵 爽在证明勾股定理时用到的.
你听说过勾股定理吗？
我操作 ，我猜想！
请同学们以四人一小组合作完成下列问题，其中 每组选两名同学动手操作，另两名同学负责监督整个 操作过程确保准确无误，最后每组派一名同学代表本 组发言。
（1）分别在方格纸上作两个直角三角形，使其两直角 边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米。
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c b股
┏
勾a
a2+b2=c2
走进勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 国在国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 理定理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 希年希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b
c
a 2 b2
即以a,b为直角边的直角三角形的斜边
1、设 a，b，c是直角三角形的三边，则a，b，c 不 可能的是（ C ） A.3，5，4 C.2，3，4 B.5，12，13 D.8，17，15
2、已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4，则第 三边长为 5或 7。 3、已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8， 则边BC的长为（ ） A A、21 C、6 B、15 D、以上答案都不对
13 则c=_____;
C a B
8 2)已知:a=6,c=10,则b=____;
例2、如图，在等腰三角形中，已知AB=AC=13cm, BC=10cm. (1)你能算出BC边上的高AD的长吗？ （2） △ABC 的面积是多呢？
解：（1）∵ AB=AC，AD为高 一”） A
1 ∴BD=DC= BC（“三线合 2
B D C
在Rt△BDC中，由勾股定理得
AD2=AC2 2—BD2 2
即AD=
1 1cm BC AD 5 12 30cm2 2 2 (2)S △ABC =
13 5 12
c
b b cb2 c a2 b a a a ∵S所求的大正方形= a2+b2 ∴大正方形的边长c应满足 c a
a b
2
2
a= b=
c b
2
2 2
c a
2
勾股趣事:
古今中外,无数的数学家对勾 股定理进行了充分的研究,其 中也有很多的有趣的故事,下 面有一些勾股趣事，当然同 学们也可以通过上网去了解.
应用举例，巩固定理:
例1、在Rt△ABC中, A ∠C=90°.
b c
1)已知:a=5,b=12,
E B A
F
b
a
a
b a
a c
b
c c
a c
b
c
b
c b
c a
2
a
b
2 2
a
b
1 S1= a b 4 ab 2
∴
1 S2= c 4 ab 2
2 2
a b
=
c
2
勾股定理
在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
直角三角形中，两直角边的
平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c2=a2+b2 A
c=
股
b C a 勾 B c 弦
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°， AC=15，BC=20，CD⊥AB，垂足为D。 （1）求斜边AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长。
D A
B
C
小结
说说这节课你有什么 收获？
课后思考： 如图，已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三 角形，以Rt △ABC的斜边AC为直角边，画第二 个等腰Rt △ACD，再以Rt △ACD的斜边AD为直 角边，画第三个等腰Rt △ADE，……，依此类 推，第6个等腰直角三角形的斜边长是 ， E 8 D 第 n个直角三角形的 ( 2 )n C 斜边是 。
2.1
勾股定理（１）
试一 试：
如图：下图是由两个边长不同的正方形连在一起 的“L”形纸片，现在请你剪两刀，再将所得图形拼 成一个正方形。
定理探索
我们来体验一下数学家发现 新知识的乐趣,一起来合作 探索。
步骤1 先剪出8个全等的直角三角形，其 中c为斜边，且b>a.
步骤2 再剪出3个边长分别为a、b、c的 正方形。 步骤3 把从步骤1和2中剪出来的图形拼 成两个大正方形。