勾股定理第一课时
勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
勾股定理第一课
命题１：如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
证 a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
法
一：
用
拼 图
a
法 证
b
明
ac
b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab
b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a =4·1 ab+c2
2
c b =c2+2ab
法 三：
a
c
b
cb a
勾股定理（gou-gu法则)
在西方又称毕达哥拉 斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边
为c，那么 a2 b2 c2 a c
即 直角三角形两直角边的平方和等 b
于斜边的平方。
弦
表示为：Rt△ABC中，∠C=90° 勾a
c
则 a2 b2 c2
股b
合作探究
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 A 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
。
c2=a2 + b2
b
c a2=c2－b2
a c2 b2
b2 =c2-a2
b= c2-a2
C
B
a
c a2 b2
例、如图，在Rt△ABC中，
C＝ 90°，BC=a，AC=b，AB=c，
(1)已知a=3，b=4，求c (2)已知b=15，c=17，求a
a
c
b
知识应用
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
625
81
225 400
《勾股定理》PPT(第1课时)
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
课程讲授
1 勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c b a
b-a
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
课程讲授 2 勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及 正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图 形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了 勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关 键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平 方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授Biblioteka 2 勾股定理与图形面积定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
课程讲授
1 勾股定理
几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
B ac
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
bA
课程讲授 1 勾股定理
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
（1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米； （3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
AR P
CQ B
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
课程讲授 1 勾股定理
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理第一课时PPT课件
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理(第一课时) 初中数学 八年级数学
例：在Rt △ ABC中，∠C=90° 3 1）如果 b=4 ， c =5 ， 那么a = _____ 20 2）如果 a=15 ， c=25 ，那么 b= _____ 10 3）如果 a =6 ， b=8 ， 那么 c = ____ B 总结归纳： 直角三角 c 形中，如果知道其中的 a 任意的两边，则可以求 C A b 出第三边 像这些满足两个数的平方和等于第三个数的平方的 一组整数称为勾股数
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
课堂小结
1、这节课我的收获是＿ ＿ ＿ ；源自2、我最感兴趣的地方是＿ ＿ ＿ ；
3、我想进一步研究的问题是＿ ＿ ＿ ；
毕达哥拉斯（公元前572公元前492），古希腊著 名的哲学家、数学家、天 文学家）
推广至一般直角三角形 即：两条直角边上的正
方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积 A B
图1-1
C
SA+SB=SC
C A B
图1-2
即：直角三角形
两直角边的平方 和等于斜边的平 方。
勾股定理
c a
勾
股
b
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部 分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称 为“股”，斜边称为“弦”.
17.1勾股定理(第1课时)课件(共23张PPT)
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A B 9 C A B 图2-2 4 9 4 18 8
图2-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 4 3318 2
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
（单位面积）
分“割”成若干个直 角边为整数的三角形
弦 勾
股
图1-1
漂亮的勾股树
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 ab 2
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
C A B 图2-1 A B
S正方形c
C
1 6 2
2
1 8（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的 正方形面积的一半
勾股定理第一课时初中数学原创课件
第1课时 勾股定理
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程;
2.掌握勾股定理的内容并会运用;
3.在合作交流中解决问题,培养合作探究能力.
新知探索
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
做一做
1.观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
猜想：如果直角三角形两
直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么a2+b2=c2．
C
A
c
a
b
B
图1-2
c
a
A b
C
B
图1-3
验证猜想
下图图案是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会
的会徽．它与勾股定理有着密切联系.
问题1
这个图案由哪些基本图形组成？
由四个全等的直角三角形和一个
小正方形组成了一个大正方形.
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
c
a
斜边长为c，那么
a2+ b2=c2.
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
b
美国总统证明勾股定理
美国第17任总统加菲尔德证明勾股定理的方法：两个全
等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形.
尝试完成这个证明.
（× ）
巩固练习
练习1
求下列直角三角形中未知边的长度．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
A
5
C
x
12
（1）
x2 =52+ 122=169 ．
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勾股定理（第一课时）
教学目标：
1、理解并掌握勾股定理的证明；并且能初步运用勾股定理解决问题。
2、在探索过程中，让学生亲历“观察—猜想—归纳—证明”的过程，并且能体
会特殊到一般、数形结合的数学思想和方法。
3、通过了解与定理有关的中外数学史，激发学生的学习兴趣和研究精神。
特别
是通过了解中国古代的数学成就，激发学生的民族自豪感。
教学重点：勾股定理的证明和运用
教学难点：勾股定理的证明
教案
（一）合作交流，探究新知
早在2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了灵感，并且对此展开研究，下面我们也来重温数学家的发现之路，探究这个“饭局中诞生的定理”。
活动一探究：等腰直角三角形三边的关系
思考：（1）你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么联系吗？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
初步猜想：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
活动二 探究：一般直角三角形三边之间的关系是否也是如此？
（1）图形A 的面积= ，图形B 的面积=
交流：图形C 的面积如何求出？
（2）、你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?
（3）、你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
进一步猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
以上仅仅是我们的猜想，这个命题如何来进行证明呢？
得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
学案
我国古代人民早在几千万年以前就已经发现和运用勾股定理，在已有的文献
记载中，最早给出证明的是三国时期的吴国数学家赵爽在《周髀算经》注中已
经给出了勾股定理的证明。
指导学生利用手中4个全等的直角三角形进行拼图。
大正方形的面积可以表示为2c
也可以表示为4×ab 21+2)(a b -，于是可得：2c =4×ab 21+2)(a b - 整理的：2
22c b a =+ 得到勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、传说中的毕达哥拉斯证法
由于拼图前后面积没有发生变化，因此
Ｓ大正方形=22214b a ab ++⨯=222b a ab ++ Ｓ大正方形=22
14c ab +⨯=22c ab + 所以：222b a ab ++= 22c ab + 得到：222c b a =+
2、 总统证法（自主完成）
巩固案
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
a
c a
b b a b c
A B
D
⑷三边之间的关系：。
3、一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，那么它的宽是（）
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）5．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。
6、在Rt△ABC中，a、b、c分别是角A 、B 、C所对的三条边，∠C=900
如果：(1)a=3,b=4,求c （2）c=13，b=12，求a
(3)c=17,a=8,求b （4）b=6，c=10，求a
7、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙距离是
多少?
教学反思
本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣。
数学家毕达哥拉斯的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情。
然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解。
其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明。
在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱。