第三章生存年金新

10v2
2
p90
5 1.05
72 100
10 1.052
39 100
6.97
思考题：本题可以用
ax
1
Ax d
做吗？
3－41
三、初付定期生存年金
当期支付技巧
a&& x:n
n1
k Ex
k 0
n1
vkk1 k px
k 0
1 lx
n1 vkk1 lxk
k 0
综合支付技巧
Y
a&&K 1 a&&n
|q
x
k
px qxk
k
Px k 1
px ,则有
ax ak1| (k px k1 px )
k 0
a1| (1 px ) a2| ( px 2 px ) a3| (2 px 3 px )
a1| px (a2| a1| ) 2 px (a3| a2| )
1 px v 2 px v2 n px vn
例3.2答案
综合支付技巧
ax
1 vt
0
t
px xt dt
0.04 0.06
(1 e0.06t )e0.04t dt 10
0
当期支付技巧
ax
vt
0
t
pxdt
e0.06te0.04t dt
0
e0.1tdt 10
0
3－19
例3.2答案
（2）Ax
e0.06t 0.04e0.04t
本题利用“年金精算现值与寿险趸缴纯保费 之间的关系”解。
答案参考书上P62-63
3－33
第三节
离散生存年金
34
一、简介
离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一 段时期支付一次年金的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系 计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、 延付要分别考虑
2)
Var[a&& K 1
]
Var
1
v d
K
1
1 d2
Var[
zk
]
2 Ax d2
Ax2
3－39
例3.7
已知 i = 0.05
x 90 91 92 93
lx 100 72 39
0
dx
28
33
39
－
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，
求： a90
3－40
例3.7答案
a90
5vp90
1 dt 70
1 1 e0.0570 0.05 0.052 70
14.458
or
A30
70
vt
0wenku.baidu.com
fT (t)dt
70
e0.05t
0
1 dt 70
1 e0.0570 0.05 70
0.277
a30
1 A30
1 0.277 0.05
14.458
3－23
例3.3答案
(2)
2 A30
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)1000040E25 100001.0640 0.804438 782.09 (2)1000040E25 100001.02540 0.804438 2995.97
3－11
相关公式及意义 (P65)
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存 保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴 纯保费为 A 1 。
x:n
在生存年金研究中习惯用n Ex 表示该保险 的精算现值：
n Ex
A1 x:n
vnn px
3－10
例3.1
计算25岁的男性购买40年定期生存险的 趸缴纯保费。已知 p 40 25 0.804438
1 vK1
d
1 d2
Var[zK ]
2A x:n d2
A2 x:n
3－43
四、延期初付生存年金
险种
精算 现值
)
V
ar(1
zt
)
1
2
Var(
zt
)
Var(a T
)
1
2
[2A x:n
(A x:n
)2]
3－26
例3.4（例3.3续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
a 30:30
3－27
例3. 4答案
a 30:30
30
at
fT
(t
ln
0.4
0.04e0.04t
dt
0.06
0.54
3－21
例3.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var(Y )
3－22
例3.3答案
(1)
a30
70
a t 0
fT
(t)dt
701 e0.05t 0 0.05
0
0.4
2Ax
e0.12t 0.04e0.04t 0.25
0
Var[a T
]
1
2
[2Ax
( Ax
)2]
1 0.062
(0.25
0.16)
25
Var[a ] 5 T
3－20
例3.2答案
（3）
Pr(a T
ax
)
Pr(1
e0.06T 0.06
10)
Pr(T ln 0.4) 0.06
连续生存年金的种类
终身连续生存年金/定期连续生存年金
连续生存年金精算现值的估计方法 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束
时的总值。
当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之
和。
3－14
终身连续生存年金精算现值的估计方法之一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所 有已支付的年金的现值之和。
)dt
a 30
30
0
p30
301 e0.05t 0 0.05
1 dt 1 e0.0530
70
40 70
13.01
or
a 30:30
30
vt t
0
p30dt
30
e0.05t
0
70 t 70
dt
13.01
or
A 30:30
30
vt
0
fT (t)dt v30 30
p30
30
e0.05t
aT |
T 0
vt dt
vt ln v
|T0
1 vT
1 eT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分 所得的年金期望值，即终身连续生存年金 精算现值。
ax E(aT| ) 0 at | fT (t)dt
3－15
相关公式
（1）ax
E(a T
)
a
0T
fT (t)dt
0
1 vt
t
px xt dt
第三章
生存年金
1
本章结构
生存年金简介 与生存相联的一次性支付 连续生存年金 离散生存年金 年h次支付生存年金 等额年金的计算基数公式
3－2
第三章中英文单词对照
生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 现时支付法 （当期支付技巧） 总额支付法 （综合支付技巧）
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment
70
v2t
0
fT (t)dt
70
e0.1t
0
1 dt 70
1 e7 70 0.1
0.1427269
Var(Z ) 2A30 ( A30 )2 0.1427269 0.2772 0.066
Var(Y
)
V ar 1
Z
Var(Z
2
)
0.066 0.052
26.4
3－24
定期连续生存年金精算现值估计
离散生存年金的分类 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
3－35
二、初付终身生存年金
当期支付技巧
a&&x
k 0
k
Ex
vkk1
k 0
k
px
1 lx
vkk1 lxk
k 0
ax
k 0
vxk vx
lxk lx
1 Dx
Dxk
k 0
Nx Dx
lx ax v0 lx v1 lx1 v2 lx2
0
1 dt e0.0530 70
40 70
0.35
a
1 A
30:30
1 0.35 13.01
30:30
0.05
3－28
延期连续生存年金
定义: 种类
延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金
常用领域
养老金
3－29
延期连续年金精算现值
险种
延期m年 终身生存年金
延期m年 n年定期生存年金
缴纳的 总保费
赔付金的 总现值
3－36
初付终身生存年金
综合支付技巧
a&&x
E[a&& K 1
]
a&& Pr(K k) k 1
a&& k 1
k
qx
k 0
k 0
3－37
初付终身生存年金
a&&x
E[a&& K 1
]
a&& Pr(K k) k 1
a&& k 1
k
qx
k 0
k 0
因为 k
a 30 30
3－31
例3. 5答案
30 a30
a30
a 30:30
14.45813.01 1.45
or
30
a30
70
vt t
30
p30dt
70
e0.05t
30
70 t 70
dt
1.45
or
30
a30
A 30:30
A30
0.35 0.277 0.05
1.45
3－32
例3.6
年龄为35的人，购买按连续方式给付年金额 2000元的生存年金，利率为i＝6%，试利 用生命表求在UDD假设下的下列年金的精算 现值。（1）终身生存年金；（2）20年定 期生存年金；（3）延期10年的终身生存年 金；（4）延期10年的20年定期生存年金。
（2）ax
E(a T
)
1 vt E(
)
E(1
zt
)
1
(1
Ax
)
1 ax Ax
（3）Var(a T
)
Var(1 vt
)
Var (1
zt
)
1
2
Var ( zt
)
Var(a T
)
1
2
[2Ax
(
Ax
)2
]
3－16
终身连续生存年金精算现值的估计方法二 ——当期支付技巧
步骤一：计算时间T所支付的当期年金 的现值
vT
步骤二：计算该当期年金现值按照可能 支付的时间积分，得到期望年金现值
ax E(vT )
0
vt
t
pxdt
3－17
例3.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数 0.06的假定下，求
（1） a x （2）aT 的标准差 （3）aT 超过 ax 的概率，即基金不够用于实
际支付年金的概率。
3－18
确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存
为条件）
3－7
三、生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
3－8
四、与生存相关联的一次性支付
9
定义
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n年末获得生存赔付的保险。
综合支付技巧
Y
aT an
,0 T n ,T n
n
ax：n E(Y )
0
a t
t
px
xtdt
a n
n
px
当期支付技巧
ax：n
vn t
0t
pxdt
3－25
相关公式及理解
（1）ax：n
E(Y )
E(1 zt
)
1
(1
Ax：n
)
11ax
a Ax：n x:n|
Ax:n|
（2）V
ar(Y
分类（P57）：
趸缴年金/年缴年金 个人年金/联合年金 定额年金/变额年金 即付年金/延付年金 定期年金/终身年金
3－6
二、生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别
总额支付法与现时支付法是等价的。
3－38
相关公式（P66－67）
期初会年金的精算现值与寿险趸缴
纯保费之间的关系:
a
1 v v2
vk
1 vk1
1 vk1
k 1|
1 v
d
1)
a&&x
E[a&& K 1
]
E
1 vK 1
d
d11E[Ezdk(]zk )1d1AxdAx
1 d ax Ax
精算现 值估计
m
ax
ax
a x:m
m Ex axm
1
(A x:m
Ax )
m n ax
a x:mn
a x:m
m
Ex
a xm:n
1 (A A )
x:m
x:mn
3－30
例3.5（例3.3，3.4续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t x+n
n Ex
E nt xt
1
现时值
1
S
t Ex
1
3－12
第二节
连续给付型年金
13
简介
连续生存年金的定义
在保障时期内，以被保险人存活为条件，连续支 付年金的保险
, K 0,1,L , n 1 ,K n
n1
a&&x E[Y ]
a&& k 1
k
qx
a&& n
n
px
k 0
3－42
相关公式
zK
vK 1
v
n
,K ,K
0,1,L n
,n 1
1)
a&& x:n
E[Y ]
E
1
zK d
11E[ d
zEdK(]zk
)1
A1 x:n d
Ax:n d
|
2) Var[Y ] Var
technique Aggregate payment
technique
3－3
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
生存年金简介 连续给付型年金 离散生存年金 年付h次的生存年金 等额年金计算基数公式
3－4
第一节
生存年金简介
5
一、生存年金的概念与分类
定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时 期（年、半年、季、月）支付一次保险 金的保险类型