第三章生存年金新

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4,生存年金(续)

生存年金（续）
Contents
纯保费计算原则趸缴纯保费计算期缴纯保费计算
纯保费计算原则
❖保费收支相等原则
▪ 纯保费总收入现值与保险金支出总额现值在统计意义上相等。与储蓄不同，保险将全体保户视为一体来设想其收支，以全体保户缴纳的保费总额及保险公司支付给全体受益人的保险金总额来计算使其相等，这就是保费收支相等原则。
▪ 5、保险合同直到被保险人死亡或满期，都没有失效或退保的情况，但是寿险保费以预定死亡率及预定利率为基础，将来给付的保险金现值与所收保费现值相等
纯保费计算假：计算基础
❖1，生命表
▪ 93年男性非养老金用生命表的关健数据
Add your company slogan
纯保费计算原则
❖纯保费计算的假设
▪ 1、被保险人的年龄统一按保险年龄计算，即按投保年月日计算
▪ 2、被保险人为数众多，按大数法则，以预定死亡作为计算基础
▪ 3、保费收入按预定利率运用，因此保费计算要按预定利率贴现
▪ 4、被保险人死亡时给付的保险金是在死亡保险年度的年中给付的（本讲义以年中给付为例，当然也可以以年末给付为例，如果以年末给付为例，则计算更为简单，参见示例）

第三章生存年金1

第三章生存年金11-08-PPT文档资料

a k 1
k
qx
a n
n
px
k 0
3－22
相关公式
zK
vK1 vn
,K 0,1, ,Kn
,n1
1)
a x:n
E[Y]
E
1 zK d
d11E[zEdK(]zk)1dA1x:n dAx:n|
2)
Var[Y]
Var
1vK1
d
1 d2
Var[zK ]
2A x:n d2
A2 x:n
3－23
四、延期初付生存年金
10 , 00.0,x 530
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30, Va(Yr)
3－41
例3.4答案
(1)
70
a30
a t
0
fT(t)dt70010e.00.505t
1 dt 70
0.10510.0e520.057700 14.458
or
A30
70
vt
0
70
fT(t)dt e0.05t
3－36
例3.3
在死亡力为常数0.04，利息力为常数 0.06的假定下，求
（1）a x （2）a T 的标准差（3）a T 超过 a x 的概率，即基金不够用于实
际支付年金的概率。
3－37
例3.3答案
综合支付技巧
a x 0 1 v ttp xx td 0 0 t..0 00 6 4 (1 e 0 .0t)6 e 0 .0td 4 1 t 0
思考题：本题可以用
ax
1 Ax d
做吗？
3－21
三、初付定期生存年金
现时支付法
a x:nk n 1 0kE xk n 1 0vkk 1kp xl1 xk n 1 0vkk 1lx k

寿险精算学课件-生存年金

50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身生存年金
期初支付定期生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n

ax：n E(Y )
na
0T
t px

3,生存年金

解：
☺☺
人寿保险保费的确定
➢ 保费确定三原则：
➢ 充足性：保费至少能满足给付与费用支出； ➢ 公平性：不同出险概率的人保费不应一样； ➢ 适量性：还应考虑投保人的利益
➢ 总结成一个原则，即期望收支平衡原则
☺☺
人寿保险保费的确定
➢ 保费确定的方法：
➢ 净保费附加法 ➢ 资产份额法 ➢ 现金流量法
m
1 m
t
m t px
t0 m
☺☺
年付m次的生存年金
➢ n年延付期末终身生存年金
a(m)
n| x
n
Ex
a (m) xn
☺☺
年付m次的生存年金
➢ n年延付期初终身生存年金
a (m)
n| x
n
Ex
a (m) xn
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期末付n年生存年金
a (m) x:n
1 m
mn t 1
产品开发实施
产品上市
各部门信息如精算部经验数据、投资部投资机会分析等
宏观经济和目标市场及竞争对手等的分析
…
产品结构、开发所需资源研究；
建立定价假设与价格模型，进行利润与敏感性测试等；
…
修正产品特征和定价，制定产品的费率和检测利润
产生最终产品结构，确定产品最终费率，现金价值等数据
t Ex
m
1 m
mn t
m t px
t 1 m
a (m) x
n|
a (m) x
☺☺
年付m次的生存年金
➢ 期初付n年生存年金
a (m) x:n
1 m
m ( n 1) t0

中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)

第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。

假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。

[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。

2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。

[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。

[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。

[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。

5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。

A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。

6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。

A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。

A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。

生存年金的精算现值

资产配置优化
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时，合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精算现值模型在不同人群和不同地区的应用效果，以及在不同经济环境和政策背景下的适用性和有效性。同时，可以进一步研究如何将生存年金精算现值模型与其他相关模型进行融合和优化，以提供更全面、准确的评估和预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望

第三章生命年金的精算现值47课件

(x) 未来寿命 T= T(x),
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
2024/8/2
4
其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
3.2.1按年付的定额生命年金
按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次
支付的金额均相等的生命年金
2024/8/2
24
以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年金的精算现值:
设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的精算现值
2024/8/2
14
比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
了连续递增的连续支付型终身生命年金。这种年金的现值随机变量
2024/8/2
20
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变
成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2024/8/2

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ln
0.4
0.04e0.04t
dt
0.06
0.54
3－21
例3.3
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a30 , Var(Y )
3－22
例3.3答案
(1)
a30
70
a t 0
fT
(t)dt
701 e0.05t 0 0.05
70
v2t
0
fT (t)dt
70
e0.1t
0
1 dt 70
1 e7 70 0.1
0.1427269
Var(Z ) 2A30 ( A30 )2 0.1427269 0.2772 0.066
Var(Y
)
V ar 1
Z
Var(Z
2
)
0.066 0.052
26.4
3－24
定期连续生存年金精算现值估计
例3.2答案
综合支付技巧
ax
1 vt
0
t
px xt dt
0.04 0.06
(1 e0.06t )e0.04t dt 10
0
当期支付技巧
ax
vt
0
t
pxdt
e0.06te0.04t dt
0
e0.1tdt 10
0
3－19
例3.2答案
（2）Ax
e0.06t 0.04e0.04t
aT |
T 0
vt dt
vt ln v
|T0
1 vT
1 eT
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值。
ax E(aT| ) 0 at | fT (t)dt
3－15
相关公式
（1）ax
E(a T
)
a
0T
fT (t)dt
0
1 vt
t
px xt dt
缴纳的总保费
赔付金的总现值
3－36
初付终身生存年金
综合支付技巧
a&&x
E[a&& K 1
]
a&& Pr(K k) k 1
a&& k 1
k
qx
k 0
k 0
3－37
初付终身生存年金
a&&x
E[a&& K 1
]
a&& Pr(K k) k 1
a&& k 1
k
qx
k 0
k 0
因为 k
0
1 dt e0.0530 70
40 70
0.35
a
1 A
30:30
1 0.35 13.01
30:30
0.05
3－28
延期连续生存年金
定义: 种类
延付m年终身连续生存年金延付m年定期连续生存年金
常用领域
养老金
3－29
延期连续年金精算现值
险种
延期m年终身生存年金
延期m年 n年定期生存年金
a 30 30
3－31
例3. 5答案
30 a30
a30
a 30:30
14.45813.01 1.45
or
30
a30
70
vt t
30
p30dt
70
e0.05t
30
70 t 70
dt
1.45
or
30
a30
A 30:30
A30
0.35 0.277 0.05
1.45
3－32
例3.6
年龄为35的人，购买按连续方式给付年金额 2000元的生存年金，利率为i＝6%，试利用生命表求在UDD假设下的下列年金的精算现值。（1）终身生存年金；（2）20年定期生存年金；（3）延期10年的终身生存年金；（4）延期10年的20年定期生存年金。
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t x+n
n Ex
E nt xt
1
现时值
1
S
t Ex
1
3－12
第二节
连续给付型年金
13
简介
连续生存年金的定义
在保障时期内，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险
（2）ax
E(a T
)
1 vt E(
)
E(1
zt
)
1
(1
Ax
)
1 ax Ax
（3）Var(a T
)
Var(1 vt
)
Var (1
zt
)
1
2
Var ( zt
)
Var(a T
)
1
2
[2Ax
(
Ax
)2
]
3－16
终身连续生存年金精算现值的估计方法二 ——当期支付技巧
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值
确定性年金的支付期数确定生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存
为条件）
3－7
三、生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：养老保险伤残保险抚恤保险失业保险
3－8
四、与生存相关联的一次性支付
9
定义
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。
|q
x
k
px qxk
k
Px k 1
px ,则有
ax ak1| (k px k1 px )
k 0
a1| (1 px ) a2| ( px 2 px ) a3| (2 px 3 px )
a1| px (a2| a1| ) 2 px (a3| a2| )
1 px v 2 px v2 n px vn
vT
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值
ax E(vT )
0
vt
t
pxdt
3－17
例3.2
在死亡力为常数0.04，利息力为常数 0.06的假定下，求
（1） a x （2）aT 的标准差（3）aT 超过 ax 的概率，即基金不够用于实
际支付年金的概率。
3－18
, K 0,1,L , n 1 ,K n
n1
a&&x E[Y ]
a&& k 1
k
qx
a&& n
n
px
k 0
3－42
相关公式
zK
vK 1
v
n
,K ,K
0,1,L n
,n 1
1)
a&& x:n
E[Y ]
E
1
zK d
11E[ d
zEdK(]zk
)1
A1 x:n d
Ax:n d
|
2) Var[Y ] Var
精算现值估计
m
ax
ax
a x:m
m Ex axm
1
(A x:m
Ax )
m n ax
a x:mn
a x:m
m
Ex
a xm:n
1 (A A )
x:m
x:mn
3－30
例3.5（例3.3，3.4续）
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
第三章
生存年金
1
本章结构
生存年金简介与生存相联的一次性支付连续生存年金离散生存年金年h次支付生存年金等额年金的计算基数公式
3－2
第三章中英文单词对照
生存年金初付年金延付年金确定性年金现时支付法（当期支付技巧）总额支付法（综合支付技巧）
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment
综合支付技巧
Y
aT an
,0 T n ,T n
n
ax：n E(Y )
0
a t
t
px
xtdt
a n
n
px
当期支付技巧
ax：n
vn t
0t
pxdt
3－25
相关公式及理解
（1）ax：n
E(Y )
E(1 zt
)
1
(1
Ax：n
)
11ax
a Ax：n x:n|
Ax:n|
（2）V
ar(Y
1 vK1
d
1 d2
Var[zK ]
2A x:n d2
A2 x:n
3－43
四、延期初付生存年金
险种
精算现值
也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为 A 1 。
x:n
在生存年金研究中习惯用n Ex 表示该保险的精算现值：
n Ex
A1 x:n
vnn px
3－10
例3.1
计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费。已知 p 40 25 0.804438