集合的表示方法 (2)
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
2022年暑假初升高数学第2讲：集合的表示方法(学生版)
2022年暑假初升高数学第2讲：集合的表示方法学习目标核心素养1.掌握集合的两种表示方法．(重点)2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．思考1：观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．思考2：观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？ 提示：利用描述法． 2．区间的概念设a ，b 是两个实数，且a ＜b ：(1)集合{x |a ≤x ≤b }可简写为[a ，b ]，并称为闭区间； (2)集合{x |a ＜x ＜b }可简写为(a ，b )，并称为开区间；(3)集合{x |a ≤x ＜b }可简写为[a ，b )，集合{x |a ＜x ≤b }可简写为(a ，b ]，并都称为半开半闭区间；(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)；(5)满足不等式x ≥a ，x ＞a 和x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合用区间分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．1．下列判断错误的是( )A ．方程x 2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示B ．不大于2 020的自然数构成的集合是无限集C ．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＝0是空集 D ．{x ︱x 2 ＝0}＝{0}2．把集合{x |x 2－3x ＋2＝0}用列举法表示为( ) A ．{x ＝1，x ＝2} B ．{x |x ＝1，x ＝2} C ．{ x 2－3x ＋2＝0} D ．{1,2}3．用区间表示下列数集．(1){x |x ≥2}＝________；(2){x |3＜x ≤4}＝________.4．用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．用列举法表示集合【例1】 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合； ④方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用大括号括起来.1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.用描述法表示集合【例2】(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．集合的表示法的应用角度一【例3】若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝()A. －4B. 0C. 4D. 0或－4在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．角度二对参数分类讨论问题【例4】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合．(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集.(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).提醒：一般地，集合{x|f(x)＝0}表示方程f(x)＝0的解集；,{x|f(x)＞0}表示不等式f(x)＞0的解集；,{x|y＝f(x)}表示y＝f(x)中x的取值的集合；,{y|y＝f(x)}表示y＝f(x)中y的取值的集合.4．若A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}＝∅，求a的取值范围．1．∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．1．下列说法正确的是()A．0∈∅B．∅＝{0}C．∅中元素的个数为0 D．∅没有子集2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．93．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1且x≠2}＝________.。
课时2 集合的表示方法(26页)
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,
≠ 0,
即
= (-8)2 -4 × × 16 < 0,
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.
当堂检测
1.已知集合A= {x∈N|x<6},则下列关系式不成立的是 (
延伸探究 若把【例 3】中的集合改为 A= (x,y) = 2 ,哪
位同学解答正确?
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
典型例题
探究三：集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
2-3 = 14,
的解组成的集合;
3 + 2 = 8
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
典型例题
= 4,
2-3 = 14,
解:(1)解方程组
得
= -2,
3 + 2 = 8,
故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.
2-3 = 14,
该集合也可用描述法表示为 (,)
提示:它们是互不相同的集合.
①集合{x|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有x值的集合,所以{x|y=x2+1}=R;
②集合{y|y=x2+1}表示满足y=x2+1的所有y值的集合,因为y≥1,所以
{y|y=x2+1}={y|y≥1};
高中数学同步教学课件 集合的表示方法 (2)
随堂演练
课时对点练
一
列举法
问题1 用A表示“本班所有的男生”组成的集合,这是利用的哪种方法
表示的集合?你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗?
提示
这是用自然语言法表示的集合;我们可以把所有男生的名字写出来,
或者把所有男生的学号一一写出.
知识梳理
大括
把集合中的元素 一一列举 出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在_____
(2)大于4的所有偶数组成的集合B.
偶数可表示为2n,n∈Z,又因为大于4,故n≥3,从而用描述法表示此集合
B={x|x=2n,n∈Z且n≥3}.
三
几种常见的数集
知识梳理
1.设a,b是两个实数,且a<b,则有下表:
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
{x|a<x<b}
开区间
(a,b)
{x|a≤x<b}
1
1
2
得x=- 或x=1,即方程ax +2x+1=0有两个根- 和1,
3
3
此时A=
1
− ,1
3
,与A={1}矛盾.
故不存在实数a,使A={1}.
反
思
感
悟
根据已知的集合求参数的关注点
(1)集合中元素的个数即为方程的根的个数.
(2)解方程ax2+bx+c=0时注意对a的讨论.
跟踪训练 4
设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,试用列举法表示集合A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
第二课时 集合的表示
第二课时集合的表示一、列举法1、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2、使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.二、描述法1、定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．2、具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.题型一、用列举法表示集合例1、若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )A．1B．2 C．3 D．4[解析] 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．[答案] B[活学活用]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意a∈A，有|a|∈B.因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.题型二、用描述法表示集合例2、(1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1________A，－1________A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．(1)[解析] ①将1代入方程成立，将－1代入方程不成立，故1∈A ，－1∉A .②将x ＝1，y ＝2代入y ＝x ＋1成立，故填∈.(2)[解] ①偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．②设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}．③坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．[活学活用]下列三个集合：①A ＝{x |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.题型三、集合表示的应用例3、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N}B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N}C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N}D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N} (2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B.(1)[解析] 观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.[答案] C(2)[解] ①当x ＝1时，62＋1＝2∈N.当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [活学活用]定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B＝{1,2}，试用列举法表示出集合A *B .解：当x 1＝1时，x 2可以取1或2，则x 1＋x 2＝2或3；当x 1＝2时，x 2可以取1或2，则x 1＋x 2＝3或4；当x 1＝3时，x 2可以取1或2，则x 1＋x 2＝4或5.∴A *B ＝{2,3,4,5}．拓展集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．[解] 当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意； 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，原方程的解为x ＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，原方程只有一个解，此时A 中只有一个元素．课堂练习1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是 ( ) A ．(－5,4) B ．(5，－4) C ．{(－5,4)} D ．{(5，－4)}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x2－4x ＋4＝0}解析：集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其它选项所表示的集合都是含有一个元素2.答案：B3．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是相等的．其中正确的是________(填写正确说法的序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确； 方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x|x ＝t2，t ∈A}，用列举法表示集合B 为________． 解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4,9,16}．答案：{4,9,16}课时跟踪检测(二) 集合的表示一、选择题1．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是( )A ．M ＝{π}，N ＝{3.141 59}B ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}D ．M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M 3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20二、填空题6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.7．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________．三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .10．(1)已知集合M ＝{x ∈N |61＋x ∈Z }，求M ；(2)已知集合C ＝{61＋x∈Z |x ∈N }，求C .答 案课时跟踪检测(二)1．选D 选项A 中两个集合的元素互不相等，选项B 中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C 中集合M ＝{0,1}，只有D 是正确的．2．选D 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.3．选B ∵x －3<2，x ∈N *，∴x <5，x ∈N *，∴x ＝1,2,3,4.故选B.4．选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集，∴x 1、x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．5．选C 由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19个，故选C.6．解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．解析：∵1∉{x |2x ＋a >0}，∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2.答案：a ≤－28．解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：29．解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.10．解：(1)∵x∈N，61＋x∈Z，∴1＋x应为6的正约数．∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5. ∴M＝{0,1,2,5}．(2)∵61＋x∈Z，且x∈N，∴1＋x应为6的正约数，∴1＋x＝1,2,3,6，此时61＋x分别为6,3,2,1，∴C＝{6,3,2,1}．。
集合的概念、表示方法和运算
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
2集合的含义及其表示2
［师］请同学互相举例并判断是否相等.
稍微复杂的式子,特别是用描述法给出的要认真分辨.
如：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.
3.集合的分类
（1）有限集——含有有限个元素的集合.
（2）无限集——含有无限个元素的集合.
四、课堂小结
1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合{x｜x2－x－2＞0}
下面给出问题，经学生考虑后回答：
幻灯片（B）：
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点. (2)抛物线x2＝y上点的横坐标.
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标. (4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.
(5){x｜∈Z,x∈Z}
［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.列举法表示为{6，9，12}
(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}
(4)15以内的质数2，3，5，7，11，13.用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}
投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.
［生］幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.
(3)空集——不含任何元素的集合,记作
表示集合的三种基本方法
表示集合的三种基本方法
表示集合的三种基本方法是：子集构造法、并集构造法和规格语法(set-builder notation)。
子集构造法是指一个集合可以由他的子集来构成，其中一个集合A包含所有的子集B，C，D，…，那么它就可以用A = {B, C, D, …}来表示。
这种方法也可以把一个复杂的集合分解成几个子集来构造，比如说有一个集合S，它可以由S1和S2构成，那么它可以用S = S1∪S2来表示，它的意思就是S1和S2的并集就是S。
并集构造法是指一个集合可以由它的并集来构成，其中一个集合A包含所有的子集B，C，D，…，那么它就可以用A = ∪{B, C, D, …}来表示。
这种方法可以把一个复杂的集合分解成几个子集来构成，比如说有一个集合S，它可以由S1，S2，S3构成，那么它可以用S = S1∪S2∪S3来表示，它的意思就是S1，S2，S3的并集就是S。
规格语法(set-builder notation)是一种比较抽象的表示方式，它可以用来表示一个集合的成员，比如说有一个集合S={x | x是偶数}，那么可以用S={x | x为偶数}来表示，它的意思就是集合S包含所有的偶数。
总之，表示集合的三种基本方法是子集构造法、并集构造法和规格语法(set-builder notation)。
子集构造法
可以将一个复杂的集合分解成几个子集来构成；并集构造法可以将一个复杂的集合由它的并集来构成；规格语法(set-builder notation)可以用来表示一个集合的成员。
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适用情况
1.集合是有限集，元素又不多. 例:由构成英语单词good的字母组成的集合 {g,o,d} 2.集合元素较多，排列呈现一定的规律.可列 出几个元素为代表，其他元素用省略号表示 例：不大于100的自然数 {0,1,2, …, 100} 3.有规律的无限集. 例：N={0,1,2,3，…，n, …} Z={…，-2，-1,0,1,2， …}
（2）大于0小于5的整数的全体B；
（3）平方等于16的实数全体C； （4）12以内的质数组成的数集D.
思考
满足不等式 2x>4 的全体实数构成的集合，
能用列举法表示吗？
（1）特征性质 一般地，集合 A 的特征性质 p 是指， 属于集合 A 的元素都具有这种性质 p， 不属于集合 A 的元素都不具有性质 p.
（5）中国的所有直辖市组成的集合
（6）12以内的质数组成的数集
小 结
1、集合的表示方法有哪些？ 2、什么是列举法？ 什么情况下适用列举法？ 3、什么是性质描述法？
作 业
P6，练习1（4）（5） 3（4）（5）（6）
谢谢，再见！
当集合中元素不多时，我们常常把集
合的元素一一列举出来，写在大括号内表
示这个集合，这种表示集合的方法叫做列 举法。
如：（1）由两个元素0,1构成的集合
{0,1} （2）由1,2,3,4,5,6构成的集合 {1,2,3,4,5,6} (3)中国古代四大发明构成的集合 ｛指南针，造纸术，活字印刷术，火药｝
例题
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合
｛0 ，1 ， 2 ，3 ，4 ， 5 ，6 ， 7 ，8 ，9 ｝
（2）绝对值等于2的实数的全体构成的 集合
｛-2,2｝
（3）所有大于0且小于10的奇数组成的 集合
｛1 ，3 ，5 ，7 ，9 ｝
用列举法表示集合. （1）我国现有的直辖市组成的集合A；
第一章
集 合
§1.1.2 集合的表示方法 郑茂颖
1.集合的基概念
2.集合与元素之间的关系
3.集合中元素的性质 4.集合的分类
5.常用数集有哪些以及表示方法
用符号“”或“”填空：
， 0___N ， 0.3___N ； ， -4___N （1）1___N ， 0___Z ， -4___Z ， （2）1___Z ； 0.3___Z
用描述法表示集合
正偶数 2,4,6,8，…的全体构成的
集合；
｛x∈Z|x能被2整除，且x>0｝ 或｛x∈Z|x=2n，n∈N ｝
或｛x|x是正偶数｝
例题
例2 用性质描述法表示下列集合 （1）不等式 x-1<5 的解构成的集合; （2）大于10且小于20的所有有理 数构成的集合.
解：(1)不等式 x-1<5 的解构成的集合用 性质描述法表示为｛x|x-1<5｝;
（2）设大于10且小于20的所有有理数 为x，它满足条件x∈Q,且10<x<20,因此， 用性质描述法表示为｛x∈Q|10<x<20｝。
用适当的方法表示下列集合： （1）方程x2-9=0的所有解组成的集合 （2）地球上的四大洋组成的集合
（3）所有大于或等于3的整数组成的集合
1 （4）使分式 2 x 3 有意义的所有x组成的集合
如：满足不等式 2x>4 的全体实数构成的集合 的特征性质是 x∈R，且x>2 我们把这个集合表示为 ｛x∈R|x>2｝
（2）定义 这种用集合的特征性质表示集合的 方法叫做性质描述法，简称描述法。 其一般形式为
集合中任意 一个元素 集合内元素x才具有 的特征性质
A=｛x∈U|p｝
元素的取值范围
（3）约定 一般地，如果x在实数集R中取值， “x∈R”中的“∈R”常常省略不写。 如：｛x∈R|x>2｝可3___Q ， -4___Q ； （3）1___Q
， 0___R ， -4___R ， 0.3___R ． （4）1___R
以前我们学过集合可以用大写的英文字 母来表示，但是一个大写的字母体现不 了集合中的元素，那么我们用什么方法 来表示集合呢？这节课我们来学习一下 集合的表示方法。
用列举法表示集合的时候需要注 意以下几点： （1）要把集合中的元素都列举出来， 写在“ { } ”内 （2）元素间分隔用逗号 “，” （3）元素不重复 （4）元素无顺序
a与{a}相同吗？ a表示一个元素，{a}表示一个集合， 该集合只有一个元素 如：0与｛0｝有着本质的区别，｛0｝表 示一个集合，0表示集合｛0｝的一个元素。