集合的表示方法
集合的表示与分类
集合的表示与分类一、引言集合是数学中的基本概念之一，它在各个学科和日常生活中都有着广泛的应用。
准确地表示和分类集合是我们研究和理解集合的重要基础。
本文将介绍集合的表示方法和分类方式。
二、集合的表示方法1. 列举法列举法是最直观、最简单的表示集合的方法。
通过将集合中的元素逐个罗列出来，用花括号{}括起来表示集合。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是包含元素1、2、3、4、5的集合。
2. 描述法描述法是通过给出集合中的元素满足的特定条件来表示集合。
一般形式为{元素 | 元素满足的条件}。
例如，集合B={x | x是正整数且x<10}表示B是包含所有小于10的正整数的集合。
3. 通用集合符号除了列举法和描述法外，通用集合符号也是表示集合的常用方法。
常见的通用集合符号有：- 空集符号：∅，表示一个不包含任何元素的集合。
- 元素属于符号：∈，表示一个元素属于某个集合。
- 元素不属于符号：∉，表示一个元素不属于某个集合。
- 子集符号：⊆，表示一个集合是另一个集合的子集。
- 真子集符号：⊂，表示一个集合是另一个集合的真子集。
三、集合的分类方式1. 有限集与无限集根据元素的个数，集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素个数有限的集合，例如{1,2,3,4,5}；无限集是元素个数无限的集合，例如正整数集合。
2. 空集与非空集根据元素的存在情况，集合可以分为空集和非空集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；非空集是至少包含一个元素的集合。
3. 包含集与被包含集根据集合之间的包含关系，集合可以分为包含集和被包含集。
如果集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则可以称集合B是集合A 的包含集，集合A是集合B的被包含集。
4. 相等集与不相等集根据集合之间的相等关系，集合可以分为相等集和不相等集。
如果两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等；否则，这两个集合不相等。
四、结论本文介绍了集合的表示方法和分类方式。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法．2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法：①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合；②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合：(1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合；(5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．[解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z x N x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
集合的使用方法
集合的使用方法
集合，是数学中的一个基本概念，可以用来描述几个元素的总体，一般表示为一个大括号内部用逗号分隔开的元素列表。
比如说，
{1,2,3,4,5}就是一个由5个数字构成的集合。
使用集合的方法包括：
1. 列出集合中的元素，用逗号隔开，并用大括号括起来表示。
2. 记号：如果一个元素x属于一个集合A，我们用符号x∈A表示。
如果一个元素y不属于集合A，我们用符号y∉A表示。
3. 集合的大小：一个集合中的元素个数叫做集合的大小。
比如说，{1,2,3,4,5}这个集合的大小就是5。
4. 集合的运算：常见的集合运算包括并集、交集、差集、对称差等。
a. 并集：两个集合A和B的并集是一个集合，其中的元素都属于A或B，用符号A∪B表示。
b. 交集：两个集合A和B的交集是一个集合，其中的元素都同时属于A和B，用符号A∩B表示。
c. 差集：两个集合A和B的差集是一个集合，其中的元素属于A 但不属于B，用符号A-B表示。
d. 对称差：两个集合A和B的对称差是一个集合，其中的元素要么属于A但不属于B，要么属于B但不属于A，用符号A△B表示。
以上就是集合的基本用法。
在实际应用中，集合常被用于数据的分类、运算和处理等方面。
集合的表示方法
1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。
满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。
② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。
4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。
集合的表示方法
重难点：集合的表示方法
集合的表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.用列举法表示
集合时，元素之间用逗号隔开.
例如：所有小于5的自然数组成的集合是{}4,3,2,1,0.
（2）描述法：把集合中元素的共同性质描述出来，写在大括号内表示集合的方法.它的一般形式是：{}p x x A 满足条件=.
例如：比-5大的实数组成的集合可表示为{}R x x x ∈->,5
有些集合既可以用列举法表示，也可以用描述法表示.
例如：所有小于5的自然数的集合，列举法可表示为{}4,3,2,1,0，描述法可表示为{}N x x x ∈<,5.
（3）Venn 图示法：用封闭曲线所围成的图形表示集合的方法.
历年真题：
1. （2015）用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（）
A. ∅
B.{}9,7,5
C.{}8,6,4
D.{}9,8,7,6,5,4
2.（2016）用列举法表示“大于2且小于9的偶数的全体”构成的集合是（）
A. ∅
B.{}8,6,4
C.{}7,5,3
D.{}8,7,6,5,4,3
3.（2017）用列举法表示“方程0652=+-x x 的所有解”构成的集合是（）
A. {}2
B.∅
C.{}3
D.{}3,2。
集合的表示方法
例题
4.用适当的方法表示下列集合 （1）一年中有31天的月份构成的集合A （2）方程 -x=0的解集B （3）使分式 有意义的x的集合C （4）被3除余1的自然数组成的集合D （5）-2与4之间奇数的集合E （6）非负数的集合F （7）不大于0.5且大于-1的实数集合G （8）在平面直角坐标系内，坐标轴上到原点的距离 等于1的点的坐标组成的集合H
描述法
问：小于5的实数所组成的集合B中有哪些元素？
描述法——写出集合中元素所 共同具有的特征．
A={x | x满足的性质}.
例如：1.小于5的实数所组成的集合 2.使x-7＜3的解的集合（解集）
归纳
集合的两种表示方法：
பைடு நூலகம்
1.列举法：元素一一列举 1.描述法：无法一一列举，描述其特征性质 各自的优缺点：
列举法
学校为了丰富学生的课余生活开设了5个兴趣小组：
足球、摄影、围棋、民乐、书法
如果用M来表示这五个兴趣小组的集合，并将 兴趣小组一一列出来，写在大括号内，
M=｛足球，摄影，围棋，民乐，书法｝
列举法——把集合中的元素一一列举出来，并且 写在大括号内的表示集合的方法。
例如：24的所有正因数构成的集合
课堂练习
1.1（2）1、2、3
作业
习题册P2
习题1.1（2）A组/1、2、3、4、5
1.1.2集合的表示方法
(x, y) x 0, y 0
例如，所有偶数组成的集合（偶 数集）用列举法表示成：
{…－6，－4，－2，0，2，4，6，…} 用描述法表示成： {n︱n=2m,m∈Z}
∈
简洁地表示成： {2m︱m∈Z}
思考：所有的奇数组成的集合 （偶数集）用列举法表示成？
∈
用描述法表示成？
课后作业： 第8页习题A,B组题
在不发生误解的情况下，可以采用省略的写法.
∈
例如，小于100的自然数集可以表示为： 0, 1, 2, , 99
例1 学校的商店进了两批货，第一批有毛巾、洗衣 粉、饮用纯净水、果汁饮料和面包，共计5个品种.
第二批有饮用纯净水、果汁饮料、膨化食品及牙膏，
共计4个品种.试用列举法分别写出两批进货品种所
M x A P( x) .
例如，不大于5的自然数组成的集合，用描述法表示 为x N Nhomakorabeax5
例
用描述法表示以下集合:
⑴
数轴上所有坐标不小于0，不大于2的点所组成
的集合.
⑵ 解
直角坐标平面第一象限内所有点组成的集合. 如图2-1所示
∈
（1 ） x 0 x 2 （2 ）
图 2-1
组成的集合.
解 则
∈
A2 表示. 设第一、二批进货品种的集合分别用 A1、
A1 ={毛巾，洗衣粉，饮用纯净水，果汁饮料，面包}，
A2 ={饮用纯净水，果汁饮料，膨化食品，牙膏}.
思考： 用列举法表示下列集合： (1)由1～20以内的所有质数 组成的集合； (2)方程x－5=0的所有解 组成的集合； (3)小于100的所有自然数 组成的集合。
集合的表示法
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动脑思考，探索新知
注意：
1．用列举法表示集合时，不必考虑元素的前后次序，要注 意不重不漏．例如，{1，2}与{2，1}表示同一个集合．
2．区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元 素．a表示这个集合的一个元素．
用描述法表示的集合一般记为A＝{xU｜p}．
巩固知识，典型例题
例2 用描述法表示下列集合： （1）不等式2x－1＜x＋6的解集； （2）小于4的全体有理数．
解 （1）A＝{xR｜x＜7}； （2）B＝{xQ｜x＜4}．
应用知识，强化练习
教材练习1.1.2
2. 用描述法表示下列各集合： （1）所有的直角三角形； （2）直线y＝2x＋1上的点； （3）不等式x2－5x＜6的解集； （4）所有的正奇数．
这个集合中的元素无法一一列举出来，不能 用列举法表示．但这个集合中的元素都具有明显 的特征：都是实数且小于6．
我们可以表示成{xR｜x＜6}．
动脑思考，探索新知
大括号竖线左边x表示这个集合的任一元素， 并标出元素的取值范围U．在竖线的右边写出只有 集合内的元素x才具有的特征性质p．这种用集合的 特征性质表示集合的方法叫做描述法．
阅读 教材章节1.1.2 书写 练习册 第2、3、4题 实践 用列举法和描述法表示一些集合
再见
3．列举法适用情况：集合是有限集，元素不太多．集合是 有限集，元素较多，有一定的规律（或有规律的无限集）， 可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号代表．例如， 小于1000的正整数的全体构成的集合，可表示为{1，2， 3，…，999}．
巩固知识，典型例题
例1 用列举法表示下列集合： （1）方程x2－2x＝0的解集； （2）大于1且小于9的所有偶数构成的集合；
1.1.2 集合的表示方法
创设情境，兴趣导入
试写出下列集合中的每一个元素： 1．不等式2x+3＜15的所有自然数的解构成的集合； 2．8的所有正约数构成的集合；
解：1.集合中的元素有0，1，2，3，4，5； 2.集合中的元素有1，2，4，8．
动脑思考，探索新知
一般的，将集合的元素一一列举出来，并且放在 一个大括号内．这种表示集合的方法叫做列举法．
{（－1，0 ），（1，0 ），（0，－1 ）}．
应用知识，强化练习 教材练习1.1.2
1. 用列举法表示下列各集合: （1）中国的首都； （2）方程x2－5x＋6＝0的解集；
（3）方程组 x y 1 的解集． x y 3
创设情景，兴趣导入
问题：不等式2x＋3＜15的所有实数解构成的集 合，这个集合的元素是什么？怎么表示？
[a，b]
闭区间 a
{x| a＜x＜b} （a，b） 开区间 a
{x| a≤x＜b} {x| a＜x≤b}
[a，b) 半开半闭 a 区间
(a，b]
a
b x
b x
bx
b x
动脑思考，探索新知
集合表示
{x|x≥a} {x| x≤b } {x| x＞a } {x| x＜b}
区间表示
[a，＋∞） （－∞，b] （a用到区间的概念，它
是数学中常用的述语和符号． 一般的，a≤x≤b，a＜x＜b，a≤x＜b， a＜
x≤b，上述四种不等式可以对应实数x的四种 集合．这四种集合都可用区间的形式来表示，
实数a和b称为相应区间的端点．
集合表示
动脑思考，探索新知
区间表示
名称
数轴表示
{x|a≤x≤b}
数轴表示
a x
b x
a x
b x
应用知识，强化练习
教材练习1.1.2
3. 用区间的形式表示下列各集合： （1）{x|－5≤x≤－2} ； （2）{x |3≤x＜8}； （3）{x|x≥－1} ； （4）{x |x＜5}．
归纳小结，强化思想
列举法 集合的表示方法
描述法
区间的有关概念
继续探索，作业探究
（3）二次函数y＝ x2－1的图像与两坐标轴交点构成的集合．
解（3）二次函数y＝x2－1的图像与x轴的交点是（－1，0 ）,（1，
解0点解）构（（，成故1与2）的解）y集解轴集{合2的方为，是交程{40点，x，2是6－2，（}2；08x，}＝．－01得)，x1＝所以0，它x的2＝图像2，与两坐标轴的交