2015-2016年江苏省苏州市常熟市高二上学期期中数学试卷及答案

2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为．2．（3分）已知A（1，1），B（4，5），则AB=．3．（3分）已知过两点A（﹣a，3），B（5，﹣a）的直线的斜率为1，则a=．4．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高是4，则圆锥侧面积等于．5．（3分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．6．（3分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为．7．（3分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．8．（3分）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：其中正确的命题是．（1）PA∥平面MOB；（2）MO∥平面PAC；（3）OC⊥平面PAB；（4）BC⊥PC．9．（3分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为．10．（3分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．11．（3分）设点A（1，0），B（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，则实数a的取值范围是．12．（3分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．13．（3分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．14．（3分）已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，则a的值为．二、解答题：15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，BD=DC，AF=C1F．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：DF∥平面A1ABB1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若∠ADC=，求证：平面PEC⊥平面PAB．17．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．18．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x+3y ﹣29=0相切，设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点．（1）求圆的标准方程；（2）求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得线AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4）？19．已知圆O：x2+y2=1，圆O关于直线x+y+2=0对称的圆C．（1）求圆C的方程；（2）在直线l：2x+y﹣3=0上是否存在点P，过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．20．已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为（3，4）．【解答】解：设点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为（a，b），∴点（2，3）即为点（1，2）和点（a，b）的中点，由中点坐标公式可得，解得故答案为：（3，4）2．（3分）已知A（1，1），B（4，5），则AB=5．【解答】解：∵A（1，1），B（4，5），∴AB==5．故答案为：5．3．（3分）已知过两点A（﹣a，3），B（5，﹣a）的直线的斜率为1，则a=﹣4．【解答】解：由，解得：a=﹣4．故答案为：﹣4．4．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高是4，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=3，高h=4，∴圆锥的母线l==5，∴圆锥侧面积S=πrl=15π，故答案为：15π．5．（3分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣3=0．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=25，则圆心C（1，0），半径R=5，若点P平分弦AB，则CP⊥AB，则CP的斜率k=，则AB的斜率k=1，则弦AB所在直线的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=06．（3分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为④．【解答】解：当m∥n，n⊂α，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为：④7．（3分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．8．（3分）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：其中正确的命题是（2），（4）．（1）PA∥平面MOB；（2）MO∥平面PAC；（3）OC⊥平面PAB；（4）BC⊥PC．【解答】解：由题意可知PA⊥平面ABC，点M为线段PB的中点，O是圆的圆心，所以MO⊥平面ABC，PA∥OM，所以PA与MO共面，（1）不正确；又PA∥OM，OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC；（2）正确；因为AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），所以OC不垂直AC，所以OC⊥平面PAB；不正确；因为AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），所以BC⊥AC，∵直线PA垂直于圆所在的平面，∴BC⊥PA，可知BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC，（4）正确．故答案为：（2）（4）．9．（3分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为54．【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π，∴R=．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=，∴a=6．∴该正三棱柱的体积为：V=S•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．底故答案为：5410．（3分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．【解答】解：∵各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，∴B1M⊥平面ACM，且B1M=，，∴三棱锥M﹣AB1C的体积：====．故答案为：．11．（3分）设点A（1，0），B（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，则实数a的取值范围是﹣≤a≤+．【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），PA=PB，∴P的轨迹方程为y=x+，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，∴y=x+与圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1有交点，∴≤1，∴﹣≤a≤+．故答案为：﹣≤a≤+．12．（3分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．【解答】解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，△ABC则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是[1﹣2，3] ．【解答】解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，M∩N≠∅，∴直线y=x+b与半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）有交点，半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d==2，解得b=1﹣2或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是[1﹣2，3]．∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]．故答案为：[1﹣2，3]．14．（3分）已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，则a的值为．【解答】解：∵点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），∴四边形PABN的周长为C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1=+++1，∴欲求当四边形PABN的周长最小时a的值，只需求出+的最小值时的a值．由于+=+，表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，﹣3）与（3，1）间的距离，且取得最小的a值为E（1，﹣3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，∵直线EF的斜率k==2，∴直线EF方程为y+3=2（x﹣1），化简得y=2x﹣5，令y=0，得x=，∴此时a的值为．故答案为：．二、解答题：15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，BD=DC，AF=C1F．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：DF∥平面A1ABB1．【解答】证明：（1）由AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AD⊥CC1，∵CC1∩BC=C，∴AD⊥平面BCC1B1，而AD⊂平面ADC1，∴平面平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）连结CA1，∵AF=C1F，∴F∈CA1，且A1F=CF，连接BA1，又BD=DC，∴DF∥BA 1，∵DF⊄平面A1ABB1，BA1⊂平面A1ABB1．∴有DF∥平面A1ABB1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若∠ADC=，求证：平面PEC⊥平面PAB．【解答】证明：（1）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD；（2）依题意，有CA=CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB，由（1）可得PE⊥AB，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．17．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3，又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在的直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），化为一般式可得3x+y+2=0；（2）∵直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1=0，∴原点与（a，b）的距离为==，由二次函数的知识可得当a=﹣时，原点与（a，b）距离取最小值为．18．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x+3y ﹣29=0相切，设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点．（1）求圆的标准方程；（2）求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得线AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4）？【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．（2）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（，+∞）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为﹣，l的方程为y=﹣（x+2）+4，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得a=．由于∈（，+∞），故存在实数a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB19．已知圆O：x2+y2=1，圆O关于直线x+y+2=0对称的圆C．（1）求圆C的方程；（2）在直线l：2x+y﹣3=0上是否存在点P，过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．【解答】解：（1）∵圆C与圆x2+y2=1关于直线x+y+2=0对称，∴圆C的半径r=1，圆x2+y2=1的圆心（0，0），设圆C的圆心为C（a，b），∵圆C与圆x2+y2=0关于直线x+y+2=0对称，∴，解得a=﹣2，b=﹣2．∴圆的方程为（x+2）2+（y+2）2=1．（2）过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB，∴点P一在OC的垂直平分线上，即在x+y+2=0上，∵点P也在直线l：2x+y﹣3=0上，∴点P是直线l与直线x+y+2=0的交点，由，解得x=5，y=﹣7，∴P（5，﹣7）20．已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0，∵BC：y=x﹣1，BC中点是（2，1），∴BC的垂直平分线是y=﹣x+3，由，得到圆心是（0，3），∴r=，∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3．设l：y=k（x﹣3）+2，则d==3，∴k=，∴l的方程y=x﹣2；当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意．综上，直线l的方程是x=3或y=x﹣2；（2）直线BH的方程为3x+y﹣3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．因为点M是点P，N的中点，所以M（），又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即因为该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆相交，所以（2r﹣r）2≤（3﹣6+m）2+（2﹣4+n）2≤（r+2r）2，又3m+n﹣3=0，所以r2≤10m2﹣12m+10≤9r2对任意m∈[0，1]成立．而f（m）=10m2﹣12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，故r2≤且9r2≥10．又线段BH与圆C无公共点，所以（m﹣3）2+（3﹣3m﹣2）2＞r2对任意m∈[0，1]成立，即．故圆C 的半径r 的取值范围为[，）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。