2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷(十)含答案
2017年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷(理科)含解析
2017年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合，则A ∩B=（ ）A ．[1，+∞）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（﹣∞，1）2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线y=3与曲线y=2围成图形的面积为（ ）A ．B ．9C ．D ．4．已知变量，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于的线性回归方程为=1.3﹣1，则m 的值为（ ）5．等差数列{a n }中，a 3，a 7是函数f （）=2﹣4+3的两个零点，则{a n }的前9项和等于（ ） A ．﹣18 B ．9C ．18D ．366．设a 为实数，直线l 1：a+y=1，l 2：+ay=2a ，则“a=﹣1”是“l 1∥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d8．已知函数f （）=sin （ω+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f （）的图象（ ）A ．关于点（，0）对称B ．关于直线=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于直线=对称9．在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f （）的导函数f ′（），对∀∈R ，都有f ′（）＞f （）成立，若f （2）=e 2，则不等式f （）＞e 的解是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，ln2）11．已知双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．12．已知函数f （）=ln ﹣3与g （）=3﹣a 的图象上存在关于轴的对称点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，e ）B ．（﹣∞，e]C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin （﹣α）=，则cos （+2α）= ．14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为 ．15．已知圆C ：（﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点 A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆上存在点 P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是 ．16．若α，β∈[﹣，]，且αsin α﹣βsin β＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2 其中正确的序号是： ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）． （1）证明数列{a n ﹣2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n ．18．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（1）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（2）如从甲品种的6株中任选2株，记选到超过187粒的株数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA∥面MBD．（1）求证：M是PC的中点；（2）在PA上是否存在点F，使二面角F﹣BD﹣M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．21．已知函数f（）=e﹣a（ln+）．（1）若函数f（）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意＞0，恒有不等式f（）≥1成立．①求实数a的值；②证明：2e＞（+2）ln+2sin．四、解答题（共1小题，满分10分）22．以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）﹣1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+．五、解答题（共1小题，满分0分）23．设f（）=|+1|+||（∈R）的最小值为a．（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．2017年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合，则A∩B=（）A．[1，+∞）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={y|y=}={y|y∈R}=（﹣∞，+∞），B={|y=ln（﹣1）}={|﹣1＞0}={|＞1}=（1，+∞）；∴A∩B=（1，+∞）．故选：C．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：==，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．直线y=3与曲线y=2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【考点】67：定积分．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．4．已知变量，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于的线性回归方程为=1.3﹣1，则m的值为（）【考点】B：线性回归方程．【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，=2.5，代入线性回归方程为=1.3﹣1，可得=2.25，∴0.1+1.8+m+4=4×2.25，∴m=3.1．故选B ．5．等差数列{a n }中，a 3，a 7是函数f （）=2﹣4+3的两个零点，则{a n }的前9项和等于（ ） A ．﹣18 B ．9C ．18D ．36【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】由韦达定理得a 3+a 7=4，从而{a n }的前9项和S 9==，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 3，a 7是函数f （）=2﹣4+3的两个零点， ∴a 3+a 7=4，∴{a n }的前9项和S 9===．故选：C ．6．设a 为实数，直线l 1：a+y=1，l 2：+ay=2a ，则“a=﹣1”是“l 1∥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也必要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l 1∥l 2”得到：a 2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1， 所以应是充分不必要条件． 故选：A7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．8．已知函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线=对称【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（）=sin（2+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（）=sin（2+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（﹣）+φ]=sin（2﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（）=sin（2﹣），故当=时，函数f（）=sin=1，故函数f（）=sin（2﹣）关于直线=对称，故选：D．9．在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】设取出的两个数为、y，则可得“0≤≤1，0≤y≤1”表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而+y＜1.5表示的区域为直线+y=1.5下方，且在0≤≤1，0≤y≤1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．【解答】解：设取出的两个数为、y，则有0≤≤1，0≤y≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而+y＜1.5表示的区域为直线+y=1.5下方，且在0≤≤1，0≤y≤1表示区域内部的部分，易得其面积为1﹣=，则两数之和小于1.5的概率是．故选：D．10．函数f（）的导函数f′（），对∀∈R，都有f′（）＞f（）成立，若f（2）=e2，则不等式f（）＞e的解是（）A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞）D．（0，ln2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（）=，利用导数可判断g（）的单调性，再根据f （ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案【解答】解：∵∀∈R，都有f′（）＞f（）成立，∴f′（）﹣f（）＞0，于是有（）′＞0，令g（）=，则有g（）在R上单调递增，∵不等式f（）＞e，∴g（）＞1，∵f（2）=e2，∴g（2）==1，∴＞2，故选：A ．11．已知双曲线E ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．【考点】C ：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：四边形PFQF 1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF 1=90°，在△QPF 1中，利用勾股定理即可求得a 和b 的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e ．【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点F 1，由P 关于原点的对称点为Q ，则丨OP 丨=丨OQ 丨， ∴四边形PFQF 1为平行四边，则丨PF 1丨=丨FQ 丨，丨PF 丨=丨QF 1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF 丨﹣丨PF 1丨=2a ， ∴丨PF 1丨=a ，|OP|=b ，丨OF 1丨=c ， ∴∠OPF 1=90°，在△QPF 1中，丨PQ 丨=2b ，丨QF 1丨=3a ，丨PF 1丨=a ， ∴则（2b ）2+a 2=（3a ）2，整理得：b 2=2a 2，则双曲线的离心率e===，故选B ．12．已知函数f （）=ln ﹣3与g （）=3﹣a 的图象上存在关于轴的对称点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，e ）B ．（﹣∞，e]C ．D ．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f （）=﹣g （）有解，即y=ln 与y=a 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围．【解答】解：函数f （）=ln ﹣3与g （）=3﹣a 的图象上存在关于轴的对称点， ∴f （）=﹣g （）有解， ∴ln ﹣3=﹣3+a ，∴ln=a ，在（0，+∞）有解， 分别设y=ln ，y=a ， 若y=a 为y=ln 的切线，∴y ′=，设切点为（0，y 0），∴a=，a 0=ln 0，∴0=e ，∴a=，结合图象可知，a≤故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin（﹣α）=，则cos（+2α）= ．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】把已知式子中的角﹣α变为﹣（+α），利用诱导公式求出cos（+α）的值，然后再利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（+α）的值代入即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣α）=sin[﹣（+α）]=cos（+α）=，∴=cos2（+α）=2cos2（+α）﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵不共线向量，满足，且，则θ∈（0，π），∴（﹣2）=﹣2=﹣2||•||cosθ=﹣2cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=，故答案为：．15．已知圆C：（﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：④．【考点】GA：三角函数线．【分析】构造函数f （）=sin ，∈[﹣，]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f ′（）=sin+cos 可判断f （）=sin ，∈[0，]，与∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．【解答】解：令f （）=sin ，∈[﹣，]，∵f （﹣）=﹣•sin （﹣）=•sin=f （），∴f （）=sin ，∈[﹣，]为偶函数．又f ′（）=sin+cos ，∴当∈[0，]，f ′（）＞0，即f （）=sin 在∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f （）=sin 在∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f （α）＞f （β），即αsin α﹣βsin β＞0，反之也成立，∴α2＞β2． 故答案为④．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）． （1）证明数列{a n ﹣2n }是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =，求b n 的前n 和S n ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简b n =，然后利用错位相减法求和求解即可．【解答】解：（1）证明：当n ≥2时，，∴，又a 1=4，∴a 1﹣2=2，故是以2为首项，3为公差的等差数列，∴，∴．（2），∴=，令，①则，②①﹣②得：，==，∴．18．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（1）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（2）如从甲品种的6株中任选2株，记选到超过187粒的株数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图先求出甲种水稻样本单株平均数，由此能估计甲种水稻的亩产．（2）由题意知甲品种的6株中有2株超过187粒，故ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）由茎叶图知：甲种水稻样本单株平均数为：=182粒，把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻亩产约为：60000×182×=1092公斤．（2）由题意知甲品种的6株中有2株超过187粒，故ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=，M在PC上，且PA∥面MBD．（1）求证：M是PC的中点；（2）在PA上是否存在点F，使二面角F﹣BD﹣M为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；L3：棱锥的结构特征．【分析】（1）连AC交BD于E，连ME，推导出E是AC中点，PA∥ME，由此能证明M是PC的中点．（2）取AD中点O，以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出存在F，使二面角F﹣BD﹣M为直角，此时．【解答】证明：（1）连AC交BD于E，连ME．∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线，∴PA∥ME，∴M是PC的中点．解：（2）取AD中点O，由（1）知OA，OE，OP两两垂直．以O为原点，OA，OE，OP所在直线分别为轴，y轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为．设存在F满足要求，且，则由得：，面MBD的一个法向量为，面FBD的一个法向量为，由，得，解得，故存在F，使二面角F﹣BD﹣M为直角，此时．20．已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．【考点】4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=（﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（32+1）2﹣182+272﹣6=0，设出P 、Q 的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；（3）设直线PQ 的方程为=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m 2+3）y 2+6my+3=0，设P （1，y 1），Q （2，y 2），结合根与系数的关系分析用y 1．y 2表示出△FPQ 的面积，分析可得答案．【解答】解：（1）由，c=ea=×=2，则b 2=a 2﹣c 2=2，∴椭圆E 的方程是．（2）证明：由（1）可得A （3，0），设直线PQ 的方程为y=（﹣3），由方程组，得（32+1）2﹣182+272﹣6=0，依题意△=12（2﹣32）＞0，得．设P （1，y 1），Q （2，y 2），则，∵，由（2﹣1）y 2﹣（2﹣2）y 1=（2﹣1）•（2﹣3）﹣（2﹣2）•（1﹣3）=，得，∴M ，F ，Q 三点共线．（3）设直线PQ 的方程为=my+3．由方程组，得（m 2+3）y 2+6my+3=0，依题意△=36m 2﹣12（m 2+3）＞0，得．设P （1，y 1），Q （2，y 2），则．∴=，令t=m 2+3，则，∴，即时，S △FPQ 最大，∴S△FPQ 最大时直线PQ 的方程为．21．已知函数f （）=e ﹣a （ln+）．（1）若函数f （）恒有两个零点，求a 的取值范围； （2）若对任意＞0，恒有不等式f （）≥1成立． ①求实数a 的值；②证明：2e ＞（+2）ln+2sin ．【考点】6：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R ：函数恒成立问题；R6：不等式的证明．【分析】（1）利用导数的运算法则可得f ′（），对a 分类讨论，当a ≤0时，f'（）＞0，故f （）单调递增，舍去．当a ＞0时，f'（）=0有唯一解=0，此时，求出极值，进而得出答案．（2）①当a ≤0时，不符合题意．当a ＞0时，由（1）可知，f （）min =a ﹣alna ，故只需a ﹣alna ≥1．令，上式即转化为lnt ≥t ﹣1，利用导数研究其单调性极值即可得出．②由①可知2e ﹣ln ≥2+，因而只需证明：∀＞0，恒有2+＞2ln+2sin ．注意到前面已经证明：﹣1≥ln ，因此只需证明：2﹣+2＞2sin ．对分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．【解答】解：（1）f（）=e﹣aln﹣a，＞0，则．当a≤0时，f'（）＞0，故f（）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；，此时，则当a＞0时，f'（）=0有唯一解=．注意到，因此．（2）①当a＜0时，f（）单调递增，f（）的值域为R，不符合题意；当a=0时，则，也不符合题意．=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．当a＞0时，由（1）可知，f（）min令，上式即转化为lnt≥t﹣1，设h（t）=lnt﹣t+1，则，因此h（t）在（0，1）上单调递增，=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．在（1，+∞）上单调递减，从而h（）ma因此，lnt=t﹣1⇒t=1，从而有．故满足条件的实数为a=1．②证明：由①可知2e﹣ln≥2+，因而只需证明：∀＞0，恒有2+＞2ln+2sin．注意到前面已经证明：﹣1≥ln，因此只需证明：2﹣+2＞2sin．当＞1时，恒有2sin≤2＜2﹣+2，且等号不能同时成立；当0＜≤1时，设g（）=2﹣+2﹣2sin，则g'（）=2﹣1﹣2cos，当∈（0，1]时，g'（）是单调递增函数，且，因而∈（0，1]时恒有g'（）＜0；从而∈（0，1]时，g（）单调递减，从而g（）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即2﹣+2＞2sin．故2e＞（+2）ln+2sin．四、解答题（共1小题，满分10分）22．以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为（1，0），若直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+）﹣1=0，曲线C 的参数方程是（t 为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求+．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程化为ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0，由=ρcos θ，y=ρsin θ，能求出直线l 的普通方程；曲线C 的参数方程消去参数能求出曲线C 的普通方程．（Ⅱ）点M 的直角坐标为（1，0），点M 在直线l 上，求出直线l 的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以ρcos θ﹣ρsin θ﹣1=0 由=ρcos θ，y=ρsin θ， 得﹣y ﹣1=0…因为消去t 得y 2=4，所以直线l 和曲线C 的普通方程分别为﹣y ﹣1=0和y 2=4．… （Ⅱ）点M 的直角坐标为（1，0），点M 在直线l 上，设直线l 的参数方程：（t 为参数），A ，B 对应的参数为t 1，t 2．，，…∴====1．…五、解答题（共1小题，满分0分）23．设f（）=|+1|+||（∈R）的最小值为a．（1）求a；（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；5B：分段函数的应用．【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．【解答】解：（1）≤﹣2时，f（）=﹣﹣1≥2；﹣2＜＜0时，f（）=﹣+1∈（1，2）；≥0时，f（）=+1≥1∴f（）的最小值为1，即a=1；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．2017年5月22日。
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科
绝密 ★ 启用前江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科综合能力测试（五）物理试题本试卷共32页，38题（含选考题）。
全卷满分300分。
考试用时150分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5 K 39 Cr 52 Mn 55Ge 73 Ag 108第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每题6分，在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一个选项符合题目要求。
第19～21题有多选项题目要求。
全部答对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14． 1913年丹麦物理学家玻尔把微观世界中的物理量取分立值的观念应用到原子系统，提出了新的原子结构。
下列有关玻尔的原子结构的说法，正确的是( )A ．原子核外电子的运行轨道半径只能是一些特定的值B ．电子在定态轨道上运动时会向外辐射电磁波C ．玻尔的原子模型不但能解释氢原子光谱，也能解释氦原子光谱D ．玻尔的原子模型否定了卢瑟福的原子模型【解析】(1)玻尔的理论中认为原子核外电子的运行轨道半径是分立的，只能取一些特定的值，故A 正确；电子在定态轨道上运动时不会向外辐射电磁波，经典力学的观点是向外辐射电磁波，故B 错误；玻尔理论只能很好的解释氢原子的线状谱，在解释氦的原子光谱和其他原子光谱时并不能完全吻合，故C 错误；汤姆孙的是枣糕模型，卢瑟福的是原子核式结构模型，玻尔的原子模型否定的是汤姆孙的，故D 错误。
【答案】A15．一质点沿x 轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其x t －t 图象如图所示，则( )A ．质点做匀速直线运动，速度为0.5 m/sB ．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s 2C ．质点在1 s 末速度为1.5 m/sD ．质点在第1 s 内的平均速度为1.5 m/s【解析】若质点做匀变速直线运动，其位移x ＝v 0t ＋12at 2，对照题给的x t －t 图象，可变换成x t ＝v 0＋12at ，由此可知，质点做匀加速直线运动，加速度为a ＝1.0 m/s 2，初速度为v 0＝1.0 m/s ，选项A 、B 错误；由v ＝v 0＋at 可知质点在1 s 末速度为2.0m/s ，选项C 错误；质点在第1 s 内的位移x ＝v 0t ＋12at 2＝1.5 m ，第1 s 内的平均速度为1.5 m/s ，选项D 正确。
2017届高考数学仿真试卷(理科)(10) 含解析
2017年江西省高考数学仿真试卷（理科）（10)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合A=｛x｜x≥﹣1｝，B={x｜y=ln（x﹣2}，则A∩∁R B=( ）A．[﹣1，2) B．［2，+∞） C．[﹣1，2] D．[﹣1，+∞）2．记复数z的共轭复数为，若（1﹣i)=2i（i为虚数单位），则复数z的模|z｜=（）A．B．1 C．2D．23．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月(按30天计），共织390尺布”,则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．255．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3。
14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：,sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305．A．12 B．24 C．48 D．966．某几何体的三视图如图所示,则其体积为( ）A．80 B．160 C．240 D．4807．将二项式展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（）A．B．C．D．8．函数y=ln|x｜﹣x2的图象大致为（)A．B．C． D．9．已知等差数列{a n}的公差d＞0,且a2，a5﹣1，a10成等比数列,若a1=5，S n为数列{a n｝的前n项和,则的最小值为( ) A．B．C．D．10．已知M是△ABC内的一点,且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．911．抛物线x2=y在第一象限内图象上一点（a i,2a i2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N＊，若a2=32,则a2+a4+a6等于（）A．64 B．42 C．32 D．2112．函数y=｜log3x｜的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B，与直线从左至右分别交于点C，D．记线段AC和BD 在x轴上的投影长度分别为a，b,则的最小值为（)A． B． C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．已知tanα=2，则= ．14．若实数x，y满足不等式组，则z=｜x｜+|y|的最小值是．15．过抛物线的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则|AB｜= ．16．定义在R上的函数f（x)的导函数为f’（x），满足xf’（x)+f （x)＞x，则不等式的解集为．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(12分）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c,且sin2A+sin2C=sin2B﹣sinAsinC．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求sin ∠BAC的值．18．（12分）如图,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．(Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；（Ⅱ）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．19．（12分）某中学根据2002﹣2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影"、“棋类”、“国学"三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2015年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为,至少进入一个社团的概率为，且m＞n．（1）求m与n的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影"社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类"社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．20．（12分）已知右焦点为F的椭圆M：+=1(a＞）与直线y=相交于P，Q两点,且PF⊥QF．(1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0,a＜0．（1）若f（x）和F(x）在区间（0,ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；（2)若a∈(﹣∞，﹣］，且函数g（x）=xe ax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程］22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）,在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C1,C2的直角坐标方程；(Ⅱ）设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点，求｜MN|的取值范围．[选修4—5:不等式选讲］23．已知a＞0，b＞0，函数f（x)=｜x+a|+｜x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ)求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．2017年江西省高考数学仿真试卷（理科）(10）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x≥﹣1｝，B=｛x｜y=ln（x﹣2｝,则A∩∁R B=（）A．[﹣1，2）B．［2，+∞) C．［﹣1，2] D．[﹣1,+∞）【考点】1H:交、并、补集的混合运算．【分析】求定义域得集合B，根据交集与补集的定义写出运算结果．【解答】解:集合A=｛x|x≥﹣1｝,B={x｜y=ln（x﹣2｝=｛x|x﹣2＞0｝=｛x｜x＞2｝，∴∁R B=｛x|x≤2｝,∴A∩∁R B={x|﹣1≤x≤2}=［﹣1，2]．故选:C．【点评】本题考查了求定义域以及交集与补集的运算问题,是基础题．2．记复数z的共轭复数为,若(1﹣i）=2i(i为虚数单位）,则复数z 的模|z|=（）A．B．1 C．2D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1﹣i)=2i，∴（1﹣i)（1+i）=2i（1+i），∴2=2(i ﹣1），则=i﹣1,∴z=﹣1﹣i．则复数z的模|z|=．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式、不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布，现有一月(按30天计）,共织390尺布”,则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解:设公差为d,由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据:，sin15°≈0。
2017年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．67．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．3211．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD 为正三角形． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．2017年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|y=lgx}，集合B=，那么A∩（∁U B）=（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由对数函数的定义域求出A，由函数的值域求出B，由补集和交集的运算求出答案，【解答】解：由题意知，A={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），又，则B={y|y≥1}=[1，+∞），即C U B=（﹣∞，1），所以A∩（C U B）=（0，1），故选C．2．若复数，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：C．3．已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选：D．4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D 错误．故选：D．5．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，利用离心率为2，求出m的值．【解答】解：因为圆锥曲线C：x2+my2=1方程可化为，所以离心率为，故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．log210﹣1 B．2log23﹣1 C．D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的S，i的值，即可得出跳出循环时输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：由，当i=7时，进入循环，得，当i=8退出循环，输出，故选：B．7．已知函数的周期为π，若f（α）=1，则=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．【解答】解：因为函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），又f（α）=Asin（2α+φ）=1，∴f（α+）=Asin[2（α+）+φ]=Asin（2α+3π+φ）=﹣Asin（2α+φ）=﹣1．故选：B．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（）A． B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．【解答】解：因为圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得：∴由余弦定理有，故选D．9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱．A．28 B．32 C．56 D．70【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【分析】设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，列出方程组求得甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．【解答】解：设甲、乙丙各有x钱，y钱，z钱，则，解得x=72，y=32，z=4．∴甲有72钱，乙有32钱，丙有4钱．故选：B．10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，即可得出结论．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选A．11．抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=|，则∠AFB的最大值为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．【解答】解：因为，|AF|+|BF|=x1+x2+4，所以．在△AFB中，由余弦定理得：=．又．所以，∴∠AFB的最大值为，故选D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f （x）=lnx﹣x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定函数为偶函数则其周期为T=2，函数在x∈[1，2]为减函数，作出函数的图象，得出当x＜0时，要使符合题意则，根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．即可得出结论．【解答】解：因为函数f（2﹣x）=f（x）可得图象关于直线x=1对称，且函数为偶函数则其周期为T=2，又因为，当x∈[1，2]时有f'（x）≤0，则函数在x∈[1，2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中，当x＜0时，要使符合题意则根据偶函数的对称性，当x＞0时，要使符合题意则．综上所述，实数m的取值范围为，故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为120．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得出．【解答】解：根据题意（1+2x）6（1+y）5=，∴xy3的系数为=120，故答案为：120．14．已知单位向量的夹角为，，则在上的投影是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量投影的定义，利用数量积的运算求出对应的值即可．【解答】解：单位向量的夹角为，，则在上的投影是：||cos＜，＞==•=（2﹣）•=2﹣•=2﹣1×1×1×cos=．故答案为：．15．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为1，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．×2×【解答】解：由图中数据可得：，S圆柱侧=π1=2π，．所以几何体的表面积为．故答案为：．16．已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，推导出．从而等差数列后三项和为．法一：设x=2cosα，y=2sinα，利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，由此能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则x+y=a+c=2b，∴．则等差数列后三项和为=．（另解：由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，所以．）方法一：因为x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，所以．方法二：令z=x+3y，则x+3y﹣z=0，所以当直线x+3y﹣z=0与圆x2+y2=4相切时z将有最大值，此时，即，∴．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S3+S4=S5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前2n项和T2n．（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a n；，利用并项求和法和等差数列的前n项和（Ⅱ）由（I）化简b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1公式求出数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即3a2=a5，则3（1+d）=1+4d，解得d=2﹣﹣﹣﹣﹣所以a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=4[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ）2]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ =﹣4（1+2+3+4+…+2n ﹣1+2n ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（Ⅱ）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用直方图的性质即可得出．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，利用二项分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则：，，，，，，．∴X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=9000（元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=BC=2，AB=4，△PAD为正三角形．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；（Ⅱ）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，推导出AD⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（Ⅱ）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：有∴在△ABD中，有AB2=AD2+BD2，即AD⊥BD又因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，∴BD⊥平面PAD．﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD，得PE⊥平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由条件AD=DC=BC=2，则AE=DE=1，，．则D（0，0，0），E（1，0，0），，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在Rt△CDF中，有，DF=1，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（另解：可不作辅助线，利用求点C坐标）∴，，设平面PDC的法向量则，取，则y1=1，z1=﹣1，∴面PDC的法向量．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理有，，设平面PBE的法向量则，取y2=1，则，z2=0，∴面PBE的法向量．﹣﹣设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为θ，∴．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点B（4，0），F2为线段A1B的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意得a=4﹣2c，由椭圆的离心率，得a=2c，求出a，b，由此能示出椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，联立直线和直线可得点，猜想点G在直线x=1上，对猜想给予证明，得到点G在定直线上x=1上．法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），由B，M，N三点共线，得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0，再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．法三：设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出点G在定直线x=1上．【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：，即a=4﹣2c①又因为椭圆的离心率，即a=2c②联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线x=x0上．假设当点M为椭圆的上顶点时，直线l的方程为，此时点N，则联立直线和直线可得点据此猜想点G在直线x=1上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0由韦达定理可得，（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线，，联立两直线方程得（其中x为G点的横坐标）即证：，即3k（x1﹣4）•（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）•（x1+2），即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将（*）代入上式可得此式明显成立，原命题得证．所以点G在定直线上x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，因为B，M，N三点共线，所以，整理得：2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又A1，M，G三点共线，有：①又A2，N，G三点共线，有：②，将①与②两式相除得：即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即代入得：解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法三：由题意知l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N （x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，则，，，由A1，M，G三点共线，有：①由A2，N，G三点共线，有：②①与②两式相除得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得x3=4（舍去）或x3=1，所以点G在定直线x=1上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=（2x﹣4）e x+a（x+2）2（x＞0，a∈R，e是自然对数的底）．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，证明：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出最小值的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2e x+（2x﹣4）e x+2a（x+2）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），依题意：当x＞0时，函数f'（x）≥0恒成立，即恒成立，记，则=，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以，所以；﹣﹣﹣（Ⅱ）因为[f'（x）]'=2xe x+2a＞0，所以y=f'（x）是（0，+∞）上的增函数，又f'（0）=4a﹣2＜0，f'（1）=6a＞0，所以存在t∈（0，1）使得f'（t）=0且当a→0时t→1，当时t→0，所以t的取值范围是（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x∈（0，t），f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x=t时，．且有由（Ⅰ）知，在（0，+∞）上单调递减，又，g（1）=0，且，故t∈（0，1），∴，t∈（0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣记h（t）=e t（﹣t2+t﹣2），则h'（t）=e t（﹣t2+t﹣2）+e t（﹣2t+1）=e t（﹣t2﹣t ﹣1）＜0，所以h（1）＜h（t）＜h（0），即最小值的取值范围是（﹣2e，﹣2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A、B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，利用|PA|=2|PB|，分类讨论，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4co sθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，实数a的值为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由绝对值的几何意义知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，（x）在单调递减，在单调递增，利用函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年3月15日。
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科综合能力测试（十）第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每题6分，在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一个选项 符合题目要求。
第18～21题有多选项题目要求。
全部答对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14.PET （正电子发射型计算机断层显像）的基本原理是：将放射性同位素158O 注入人体，参与人体的代谢过程．158O 在人体内衰变放出正电子，与人体内负电子相遇而湮灭转化为一对光子，被探测器探测到，经计算机处理后产生清晰的图象．根据PET 原理，下列说法正确的是（ ）A ．158O 衰变的方程式为15150871O N e →+B ．将放射性同位素158O 注入人体，158O 的主要用途作为射线治疗C ．一对正负电子湮灭后也可能只生成一个光子D ．PET 中所选的放射性同位素的半衰期应较长【解析】158O 衰变的方程式为15150871O N e →+，等式两边的质量数与核电荷数都相等，选项A 正确；将放射性同位素158O 租入人体，由于它能被探测器测到，158O 的主要用途是作为示踪原子，选项B 错误；一对正负电子湮灭后也可能只生成两个光子，选项C 错误，因为PET 中所选的放射性同位素需要在人体内衰变，故其半衰期较短为好，选项D 错误。
【答案】A15.如图所示，真空中有两个等量异种点电荷A 、B ，M 、N 、O 是AB 连线的垂线上的点,且AO ＞OB ，一带正电的试探电荷仅受电场力作用，运动轨迹如图中实线所示，设M 、N 两点的电势分别为M ϕ、N ϕ，此电荷在M 、N 两点的加速度分别为a M 、a N ，此电荷在M 、N 两点的电势能分别为E P M 、E P N ，下列判断中正确的是（ ）A ．M N ϕϕ>B ．M N a a >C ．PM PN E E >D ．B 点电荷一定带正电【解析】粒子受到的电场力指向轨迹弯曲的一侧，所以该正电荷受到的电场力指向带负电的电荷，所以B 点带的是负电，选项D 错误；因为AO>OB ，根据等量异种点电荷的等势面分布特点可知，M N ϕϕ>，由E p =q 可知负电荷的电势能PM PN E E >；由qE a m=可知N 点场强大于M 点的场强，a M <a N ，选项B 错误。
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷九理科数学试题 含答案 精品
2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学 九第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2017怀仁一中]如果复数21iz =-+，则（ ） A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2．[2017临川一中]已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，(4)|0(1)x B x x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合()U A C B =（ ）A ．[24)-，B ．(13]-，C ．[21]--，D ．[13]-，3．[2017皖南八校]某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1~1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．[2017重庆一中]已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(),Px y 在抛物线C 上，且1x =，则PF =（ ）A ．98B ．32C ．178D ．525．[2017重庆一诊]函数1sin y x x=-的图象大致是（ ） A ．B ．．D ．6．[2017天水一中]若不等式组1,3,220x y x y λ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≥表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．[]1,2C ．[]2,4D ．(2,)+∞7．[2017汕头模拟]假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：30~7：30之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上7：00~8：00之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C ．21 D ．87 8．[2017郑州一中]我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()01，内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．[2017抚州七校]将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．49π12 B ．35π6C ．25π6D ．17π410．[2017长郡中学]三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π311．[2017南阳一中]过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．2(,1)3C ．12(,)23D ．12(0,)(,1)2312．[2017雅礼中学]已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21B ．22 C ．223 D ．29第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年江西省高考全真模拟数学试卷(理科)
2017年江西省高考全真模拟数学试卷（理科）（含答案）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}2．在复平面中，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．126．设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a﹣1的大小关系为（）A．e a﹣1＜a＜a e B．a e＜a＜e a﹣1 C．a e＜e a﹣1＜a D．a＜e a﹣1＜a e7．在△ABC中，若sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2，则角A的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B． C． D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A．3.10 B．3.11 C．3.12 D．3.1310．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．102 C．114 D．12011．已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．12．已知函数（其中m＞0，e为自然对数的底数）的图象为曲线M，若曲线M上存在关于直线x=0对称的点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．向量=（k，﹣2），=（2，2），+为非零向量，若⊥（+），则k= ．14．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为．15．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为．16．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）．（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足=log a b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD（ I）证明：AE⊥CD（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．20．已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为．（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．21．已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．2017年江西省宜春市上高二中高考全真模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁R B=（）A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁R B={x|x＜1或x＞2}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜1或x＞2}故选：C2．在复平面中，复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵==．∴复数对应的点的坐标为（），在第一象限．故选：A．3．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2H：全称命题；2I：特称命题；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．4．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0，2），可得关于m的方程，求出m，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线x2=8y的焦点为（0，2），∴双曲线的一个焦点为（0，2），∴+1=4，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．12【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱锥和一个棱柱组成的组合体，分别计算体积相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱锥和一个棱柱组成的组合体，底面面积S=×2×2=2，棱锥的高为1，棱柱的高为2，故组合体的体积V=2××2×1+2×2=，故选：B6．设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a﹣1的大小关系为（）A．e a﹣1＜a＜a e B．a e＜a＜e a﹣1 C．a e＜e a﹣1＜a D．a＜e a﹣1＜a e【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】令f（x）=e x﹣1﹣x，（x∈（0，1））．利用导数研究函数的单调性可得e a﹣1与a的大小关系，再利用指数函数的单调性可得a与a e的大小关系．【解答】解：∵0＜a＜1，a e＜a，令f（x）=e x﹣1﹣x，（x∈（0，1））．f′（x）=e x﹣1＞0，∴函数f（x）在x∈（0，1））单调递增，∴f（x）＞f（0）=1﹣1﹣0=0．∴e a﹣1＞a．∴e a﹣1＞a＞a e．故选：B．7．在△ABC中，若sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2，则角A的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA 的范围，进而求得A的范围．【解答】解：sin2（B+C）+cos2B+cos2C+sinBsinC≥2⇒sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥，∴A≤，∵A＞0，∴A的取值范围是（0，]故选：C．8．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B． C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；H5：正弦函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的单调性求解函数的求解函数单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=2sin（2x+），由2k π+≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，可得：k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，所以函数的一个单调减区间为：[，]．故选：A ．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近于圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的（四舍五入精确到小数点后两位）的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin75°=0.1305）A ．3.10B ．3.11C ．3.12D ．3.13 【考点】EF ：程序框图．【分析】列出循环过程中S 与k 的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得：k=0，S=3sin60°=，k=1，S=6×sin30°=3，k=2，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056≈3.11， 退出循环，输出的值为3.11．故选：B．10．有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78 B．102 C．114 D．120【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，②、取出的4张卡片种有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，③若取出的4张卡片为2张1和2张2，④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44=24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片中有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32=3种取法，安排在四个位置中，有A42=12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12=36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42=6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1=6个四位数；④、取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31=3种取法，安排在四个位置中，有C41=4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4=12个四位数；则一共有24+36+36+6+12=114个四位数；故选C．11．已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求出直线l的斜率，可得直线方程，与抛物线方程联立，利用|MN|，求出p，可得M 的坐标，即可求出以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程．【解答】解：如图，过点N作NE⊥MM′，由抛物线的定义，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=，所以直线l的斜率为，其方程为y=（x﹣），与抛物线方程联立可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，∴|MN|=p=，∴p=2，∴M（3，2），r=4，∴圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．故选：C．12．已知函数（其中m＞0，e为自然对数的底数）的图象为曲线M，若曲线M上存在关于直线x=0对称的点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由题意可得方程有正根．由y=与y=e mx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，求其公切点的横坐标，再由求得m 的范围．【解答】解：∵函数的图象上存在关于直线x=0对称的点，∴函数f（x）=（x＜0）关于y轴的对称图象与函数f（x）=e mx（x≥0）的图象有交点，即方程有正根．∵y=与y=e mx互为反函数，则其图象关于直线y=x对称，设y=与y=e mx的公切点为（x0，x0），则，，联立可得x0=e．∴，解得m．又m＞0，∴实数m的取值范围是0＜m．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．向量=（k，﹣2），=（2，2），+为非零向量，若⊥（+），则k= 0 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量=（k，﹣2），=（2，2），∴+=（k+2，0）．∵⊥（+），∴=k（k+2）=0，解得k=0或﹣2．∵+为非零向量，∴k≠﹣2．∴k=0．故答案为：0．14．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为8 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据（x+）n的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n的值．【解答】解：∵（x+）n的二项展开式的通项公式为T r+1=•x n﹣r•=••x n﹣2r，前三项的系数为1，，，∴n=1+，解得n=8或n=1（不合题意，舍去），∴常数n的值为8．故答案为：8．15．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD被球所截得图形的面积为3π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD．【解答】解：先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD；如图：有AB=AC=AD=2，OB=OC=OD=OA=2，所以△OAB，△OAC，△OAD均为等边三角形．所以截面BCD所在圆的半径为r=；所以截面面积为：3π．故答案为3π．16．已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】x2+2xy+4y2=6变形为=6，设，，θ∈．∴z∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）．（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足=log a b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质．【分析】（1）计算a m，a m+1+a m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；（2）求出a n，b n，得出数列{（a n+6）•b n}的通项公式，利用错位相减法计算．【解答】解：（1）∵S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14，∴a m=S m﹣S m﹣1=4，a m+1+a m+2=S m+2﹣S m=14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d=14，∴d=2．∵S m==0，∴a1=﹣a m=﹣4．∴a m=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4，∴m=5．（2）由（1）可得a n=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6．∵=log a b n，即n﹣3=log a b n，∴b n=a n﹣3，∴（a n+6）•b n=2n•a n﹣3，设数列{（a n+6）•b n}的前n项和为T n，则T n=2•a﹣2+4•a﹣1+6•a0+8•a+…+2n•a n﹣3，①∴aT n=2•a﹣1+4•a0+6•a+8•a2+…+2n•a n﹣2，②①﹣②得：（1﹣a）T n=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2a n﹣3﹣2n•a n﹣2，=﹣2n•a n﹣2=﹣，∴T n=﹣．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ），，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B，则，抽奖所获奖金X的均值E（X）=E=400E（ξ）=480，故选择方案甲较划算．19．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED⊥平面ABCD，AB=EA=ED，EF∥BD（ I）证明：AE⊥CD（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面AED，故而AE⊥CD；（II）取AD的中点O，连接EO，以O为原点建立坐标系，设，求出平面BDEF的法向量，令|cos＜＞|=，根据方程的解得出结论．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面AED，∵AE⊂平面AED，∴AE⊥CD．（II）解：取AD的中点O，过O作ON∥AB交BC于N，连接EO，∵EA=ED，∴OE⊥AD，又平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，OE⊂平面AED，∴OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：设正方形ACD的边长为2，，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），E（0，0，1），M（﹣λ，0，λ）∴=（﹣λ﹣1，0，λ），=（1，0，1），=（2，2，0），设平面BDEF的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1得=（1，﹣1，﹣1），∴cos＜＞==，令||=，方程无解，∴棱ED上不存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为．20．已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为．（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）直接利用求轨迹方程的步骤，由题意列出满足动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为的等式，整理后即可得到点P的轨迹；（2）如果存在满足条件的定点N，则该点对于m=0的直线也成立，所以先取m=0，与椭圆联立后解出A、B的坐标，同时求出D、E的坐标，由两点式写出AE、BD所在的直线方程，两直线联立求出N的坐标，然后证明该点对于m取其它值时也满足直线AE、BD是相交于定点N，方法是用共线向量基本定理．【解答】解：（1）由题意得=，即2=丨x﹣4丨，两边平方得：4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16．整理得：．∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆．（2）当m变化时，直线AE、BD相交于一定点N（，0）．证明：如图，当m=0时，联立直线x=1与椭圆，得A（1，）、B（1，﹣）、D（4，）、E（4，﹣），过A、B作直线x=4的垂线，得两垂足D（4，）、E（4，﹣），由直线方程的两点式得：直线AE的方程为：2x+2y﹣5=0，直线BD的方程为：2x﹣2y﹣5=0，方程联立解得x=，y=0，直线AE、BD相交于一点（，0）．假设直线AE、BD相交于一定点N（，0）．证明：设A（my1+1，y1），B（my2+1，y2），则D（4，y1），E（4，y2），由，消去x，并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）=144m2+144＞0＞0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由=（my1﹣，y1），=（，y2），则（my1﹣）y2﹣y1=my1y2﹣（y1+y2）=m×（﹣）﹣×（﹣）=0所以，∥，所以A、N、E三点共线，同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N（，0）．21．已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=（x﹣a），即y=x+mln（a+1）﹣，函数g（x）=在点（b，）处的切线方程为y﹣=（x ﹣b ），即y=x+．y=f （x ）与y=g （x ）的图象有且仅有一条公切线所以=（1），mln （a+1）﹣=（2）， 有唯一一对（a ，b ）满足这个方程组，且m ＞0…由（1）得：a+1=m （b+1）2代入（2）消去a ，整理得：2mln （b+1）++mlnm ﹣m ﹣1=0，关于b （b ＞﹣1）的方程有唯一解…令t （b ）=2mln （b+1）++mlnm ﹣m ﹣1，t′（b ）=﹣=，方程组有解时，m ＞0，所以t （b ）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t （b ）min =t （（﹣1+）=m ﹣mlnm ﹣1．由b→+∞，t （b ）→+∞；b→﹣1，t （b ）→+∞，只需m ﹣mlnm ﹣1=0…令u （m ）=m ﹣mlnm ﹣1，u′（m ）=﹣lnm 在m ＞0为单减函数，且m=1时，u′（m ）=0，即u （m ）min =u （1）=0，所以m=1时，关于b 的方程2mln （b+1）++mlnm ﹣m ﹣1=0有唯一解． 此时a=b=0，公切线方程为y=x…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C 1的参数方程为（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为． （ I ）求曲线C 2的直角坐标系方程；（ II ）设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（Ⅱ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x ﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥8恒成立．（Ⅱ）当m＞时，不等式即+2m＞10，即m2﹣5m+4＞0，求得m的范围．当0＜m≤时，f（1）=1++（1﹣2m）=2+﹣2m关于变量m单调递减，求得f（1）的最小值为17，可得不等式f（1）＞10恒成立．综合可得m的范围．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0），∴f （x ）=|x+|+|x ﹣2m|≥|x+﹣（x ﹣2m ）|=|+2m|=+2m ≥2=8， 当且仅当m=2时，取等号，故f （x ）≥8恒成立．（Ⅱ）f （1）=|1+|+|1﹣2m|，当m ＞时，f （1）=1+﹣（1﹣2m ），不等式即+2m ＞10，化简为m 2﹣5m+4＞0，求得m ＜1，或m ＞4，故此时m 的范围为（，1）∪（4，+∞）．当0＜m ≤时，f （1）=1++（1﹣2m ）=2+﹣2m 关于变量m 单调递减，故当m=时，f （1）取得最小值为17，故不等式f （1）＞10恒成立．综上可得，m 的范围为（0，1）∪（4，+∞）．2017年6月15日。
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷与答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则{|0}A B x x =<I A B =R U {|1}A B x x =>U A B =∅I 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是14π812π4设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为13,p p 14,p p 23,p p 24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 >1000和n =n +1 >1000和n =n +2≤和n =n +1≤和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin(2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16B．14C．12D．1011.设xyz为正数，且235x y z==，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是26，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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理科数学（十）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小项中，只有
1． [2017 广东模拟 ]设集合 A x x≥ 1 ，B x y ln x 2 ，则 A CR B （ ）
A ． 1 ，2
B． 2 ，
B ． 32
C． 42
D ．64
12． [2017 云师附中 ]函数 y log3 x 的图象与直线 l1 : y m 从左至右分别交于点 A，B ，
与直线 l2 : y
8 (m 0) 从左至右分别交于点 2m 1
C， D ．记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投
影长度分别为 a，b ，则 b 的最小值为（
3 分，求该新生在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．
A ． 18
B ． 20
C． 21
D ． 25
5． [2017 雅礼中学 ]公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增
加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积， 由此创立了割圆术， 利用割圆术刘徽得到了圆周率
精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”． 如图是利用刘徽的割圆术设
18．（ 本小题满分 12 分）[2017 天水一中 ] 如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 ACC1A1 与侧面 CBB1C1 都是菱形， ACC1 CC1B1 60 ， AC 2 ．
（1）求证： AB1 CC1； （2）若 AB1 6 ，求二面角 C AB1 A1 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分） [2017 正定中学 ] 某学校根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄 影”“棋类”“国学”三个社团， 据资料统计， 新生通过考核选拔能否成功进入这三个社团 是相互独立的， 2016 年某新生入学， 假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国
学”三个社团的概率依次为
m 、 1 、 n ，已知三个社团他都能进入的概率为 3
1
，至少进
24
入一个社团的概率为 3 ，且 m n ． 4
（1）求 m 与 n 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分
1 分，
对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分
2 分，对进入 “国学 ”社的同学增加校本选修学分
B 两点，则 AB __________ ．
16．[2017 重庆一中 ]定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，满足 xf x f x x ，
则不等式 x 4 f x 4 4f 4
x2 4x 的解集为．
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分） [2017 正定中学 ] 在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，且 sin2 A sin2 C sin 2 B sin Asin C ． （1）求 B 的大小； （2）设 BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D ， AD 2 3 ， BD 1，求 sin BAC 的值．
2 )6 展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概 x
率是（ ）
2
A．
7
1
B．
35
8． [2017 湖北七校 ]函数 y ln x
8
C．
35
x2 的图像为（
）
7
D．
24
A．
B．
C．
D．
9． [2017 淮北一中 ] 已知等差数列 an 的公差 d 0 ，且 a2, a5 1,a10 成等比数列，若
计的程序框图，则输出的 n 值为（ ）
参考数据： 3 1.732 ， sin15 0.258， sin 7.5 0.1305 ．
A ． 12
B ． 24
C． 48
6． [2017 长沙一中 ]某几何体的三视图如图所示，则其体积为（
D ．96 ）
A ． 80
B ． 160
C． 240
D ． 480
7． [2017 汕头期末 ]将二项式 ( x
a1
5, Sn为数列 an 的前 n 项和，则 2Sn
n
32
的最小值为（
）
an 1
A． 3 3
B． 2 7
20
C．
3
17
D．
3
10． [2017 南裕一中 ]已知 M 是 △ ABC 内的一点，且 AB AC 2 3 ， BAC 30 ，若
△ MBC ， △MCA ， △ MAB 的面积分别为 1 ，x，y ，则 1
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．[2017 郑州一中 ]《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第 2 天
起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织
5 尺布，现有一月（按 30 天计），共织 390
尺布”，则该女最后一天织多少尺布？
）
a
A ． 81 3
B ． 27 3
C． 9 3
D．3 3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第
(13)~(21) 题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第 (22)~(23) 题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共
4 小题，每小题 5 分。
13． [2017 重庆一模 ] 已知 tan
C． 1 ，2
D． 1，
2．[2017 湖南十三校 ] 记复数 z 的共轭复数为 z ，若 z 1 i 2i （ i 为虚数单位） ，则复数 z
的模 z （ ）
A． 2
B．1
C． 2 2
D． 2
3．[2017 长沙一中 ] 在 △ABC中，“ A B C ”是“ cos2 A cos2B cos2C ”的（ ）
sin cos 2 ，则
2sin cos
__________ ．
y≤3, 14． [2017 皖南八校 ] 若实数 x, y 满足不等式组 3x 7 y 24≤0, ，则 z x y 的最小值
x 4 y 8≥0,
是__________ ．
15．[2017 长沙一中 ]过抛物线 y 1 x2 的焦点 F 作一条倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A 、 4
4
的最小值为（
）
2
xy
A ． 20
B ． 18
11． [2017 南阳一中 ] 抛物线 x2
C． 16 1
y 在第一象限内图像上的一点 2
D．9 (ai ,2 ai 2) 处的切线与 x 轴
交点的横坐标记为 ai 1 ，其中 i N * ，若 a2 32 ，则 a2 a4 a6 等于（ ）
A ． 21