2020版高考数学一轮复习课时作业45直线平面垂直的判定及其性质理含解析新人教版

课时作业45 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( A ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.2．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( B )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a ⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．3．(2019·安徽池州联考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是( C )A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：根据线面垂直的判定可知，当m⊥α，m∥n，n⊂β时可得n⊥α，则α⊥β，所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥β，故m ∥n，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β，所以D 不符合题意．故选C.4.(2019·贵阳监测考试)如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( B )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A能证明AP⊥BC；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C能证明AP⊥BC；由A知D能证明AP⊥BC；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.5．(2019·福建宁德质检)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论错误的是( D )A．BD∥平面CB1D1B．异面直线AD与CB1所成的角为45°C．AC1⊥平面CB1D1D．AC1与平面ABCD所成的角为30°解析：因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1＝45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D.6．(2019·福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( D )解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意．对于选项D中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝2，即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.7.三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E 是BC的中点，则下列叙述正确的是( A )①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.A．②B．①③C．①④D．②④解析：对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.二、填空题8.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有AB，BC，AC；与AP垂直的直线有AB.解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.9．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为②④.①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，则β内与α、β的交线平行的直线都与m 垂直，故在平面β内一定存在无数条直线与m 垂直，故②正确；对于③④，若m ⊂α，则在平面β内一定存在与m 垂直的直线，故③错误，④正确．10．(2019·广东七校联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为④.①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .解析：因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，则折叠时，D 点在平面BCE 上的射影的轨迹为O 1O 2(如图)．因为折起过程中，DE 与AC 所成角不能为直角，所以DE 不垂直于平面ACD ，故①不符合；只有D 点射影位于O 2位置，即平面AED 与平面AEB 重合时，才有BE ⊥CD ，所以折起过程中CD 不垂直于平面BED ，故②不符合；折起过程中，BD 与AC 所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD ，故③不符合；因为AD ⊥ED ，并且在折起过程中，当点D 的射影位于O 点时，AD ⊥BE ，所以在折起过程中，AD ⊥平面BED 能成立，故④符合．三、解答题11．(2019·昆明市调研测试)如图，在三棱锥P ­ABC 中，∠ABC ＝90°，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，点D 在PC 上，且BD ⊥平面PAC .(1)证明：PA ⊥平面PBC ； (2)若AB BC ＝6，求三棱锥D ­PAB 与三棱锥D ­ABC 的体积比．解：(1)证明：因为BD ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PA ， 因为∠ABC ＝90°，所以CB ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，所以CB ⊥平面PAB ， 又PA ⊂平面PAB ，所以CB ⊥PA ， 又CB ∩BD ＝B ，所以PA ⊥平面PBC .(2)因为三棱锥D ­PAB 的体积V D ­PAB ＝V A ­PBD ＝13S △PBD ×PA ＝16×BD ×PD ×PA ，三棱锥D ­ABC的体积V D ­ABC ＝V A ­BCD ＝13S △BCD ×PA ＝16×BD ×CD ×PA ，所以V D ­PAB V D ­ABC ＝PD CD. 设AB ＝2，BC ＝6，因为PA ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥PB ， 又PA ＝PB ，所以PB ＝2，在Rt △PBC 中，PC ＝BC 2＋PB 2＝22， 又BD ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥PC ，所以CD ＝BC 2PC ＝322，PD ＝22，所以PD CD ＝13，即三棱锥D ­PAB 与三棱锥D ­ABC 的体积比为13.12．(2019·河南郑州质检)在如图所示的五面体EF ­ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离．解：(1)证明：如图，取BD 中点O ，连接OM ，OE ，因为O ，M 分别为BD ，BC 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD .因为四边形ABCD 为菱形，所以CD ∥AB . 又EF ∥AB ，所以CD ∥EF . 又AB ＝CD ＝2，所以EF ＝12CD .所以OM 綊EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形，所以FM ∥OE . 又OE ⊂平面BDE ，FM ⊄平面BDE ， 所以FM ∥平面BDE .(2)由(1)知FM ∥平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 如图，取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，EM ，DM .因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ， 所以EH ⊥AD ，BH ⊥AD .因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ， 所以EH ⊥平面ABCD ，EH ⊥BH . 因为EH ＝BH ＝3，所以BE ＝ 6. 所以S △BDE ＝12×6×22－⎝⎛⎭⎪⎫622＝152. 设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为S △BDM ＝12S △BCD ＝12×12×2×2×sin60°＝32，所以由V 三棱锥E ­BDM ＝V 三棱锥M ­BDE ，得13×3×32＝13×152h ，解得h ＝155. 即F 到平面BDE 的距离为155.13．(2019·江西赣州联考)如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论：①EF ∥平面ABCD ； ②平面ACF ⊥平面BEF ； ③三棱锥E ­ABF 的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE 与BF 所成的角为30°. 其中正确的是①②③④.(写出所有正确的结论序号)解析：由正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22知，在①中，由EF ∥BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得EF ∥平面ABCD ，故①正确；在②中，如图，连接BD ，CF ，由AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，可知AC ⊥平面BDD 1B 1，而BE ⊂平面BDD 1B 1，BF ⊂平面BDD 1B 1，则AC ⊥平面BEF .又因为AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BEF ，故②正确；在③中，三棱锥E ­ABF 的体积与三棱锥A ­BEF 的体积相等，三棱锥A ­BEF 的底面积和高都是定值，故三棱锥E ­ABF 的体积为定值，故③正确；在④中，令上底面中心为O ，当E 与D 1重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是∠OBC 1，可求解∠OBC 1＝30°，故存在某个位置使得异面直线AE 与BF 成角30°，故④正确．14．(2019·山东日照二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P ­ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．解：(1)证明：在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO . 又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，所以AC ⊥平面PDO .(2)因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1. 又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1.又因为三棱锥P ­ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P ­ABC 体积的最大值为13×1×1＝13.(3)在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P ­ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值． 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ，所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点． 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62， 即CE ＋OE 的最小值为2＋62. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．如图，一张A4纸的长、宽分别为22a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是①②③④.(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP⊂平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。