第三章 直线与方程2
第三章直线与方程
一、选择题
1、两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A.-24
B.6
C.±6
D.不同于A、B、C的答案
2、下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为…()
A.x+3y=0
B.y=x-12
C.=1
D.y=x+4
3、点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
A. B. C. D.
4、过点P(1，2)引直线，使A(2，3)、B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A.4x+y-6=0
B.x+4y-6=0
C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
5、一条线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),另一个端点B的横坐标是-1,则点B的
纵坐标是()
A.-3
B.5
C.-3或5
D.-1或-3
6、已知两直线2x+3y-3=0与mx+6y+1=0互相平行,则它们的距离等于()
A. B. C. D.4
二、填空题
1、已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(-2,3)、C(0,-1),则BC边上中线的长为
___________.
2、若直线y=kx+3与直线的交点在直线y=x上,则k=______________.
3、直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为____________.
4、直线l和两条直线l1:x-3y+10=0及l2:2x+y-8=0都相交,且这两个交点所成的线段的中点是
P(0,1),则直线l的方程是_________________ 。
三、解答题
1、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
2、求经过点P (1,2)的直线,且使A (2,3),B (0, -5)到它的距离相等的直线方程.
3、（1）已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标。
（2）求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l 2的方程。
（3）试求直线:1l 02=--y x 关于直线2l :033=+-y x 对称的直线l 的方程。
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
直线与方程2
3 ( 6) 3 63 3 K PQ 60 2 2 3 K AB K PQ ( ) 1 3 2
所以，LAB┴LPQ
K AB
课堂练习
1、经过（m，3）与（2，m）的直线L与斜率为-4的直线互 相垂直，则m的值为（ ） 2、已知直线L1的倾斜角为30˚，直线L2┴L1，则直线L2的斜 率为（ ） 3、若直线L1过不同的两点A(2,a)、B（a-1,3）,直线L2过不 同的两点C（1,2）、D（-2，a+2） （1）若L1||L2，求a的值； （2）若L1┴L2，求a的值。
高中数学必修二第三章
-- 直线与方程
知识结构
点斜式方程 斜截式方程
直线方程
截距式方程
单 元 结 构
直线的交点坐 标与距离公式
两点式方程
一般式方 程 直线的交点坐标 线段的中点公式 两点间的距离 点到直线的距离公式
两条平行线之间的距离
思考题：
1、已知点A（-3，4），B（3，2），过点P（2，-1）的 直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 2、已知点A（-3，4），B（3，2），过点P（2，-1）的 直线l与线段AB没有公共点，求直线l的斜率k的取值范围
L1ǁL2
k1=k2
y=kx+b6
y=kx+b1 y=kx+b3 y=kx+b2
如图：斜率相等的直线 有无数条。 这无数条直线组成了 y=kx+b的平行直线系。
α
o
α
y=kx+b4 y=kx+b5
x
当直线L1、L2斜率不存在时，若有L1ǁL2，则L1、L2是两条垂 直于x轴且不重合的直线。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
8.已知直线l的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为10,求 此直线l的方程.
解法1:设直线方程为y=6x+b,
令x=0,得y=b,令y=0得
xb, 6
由题意 b b =10.∴b=12.
6
所以所求直线方程为6x-y+12=0.
题型二：直线的斜截式方程
9.求斜率为 3 , 且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直 4
2
∴直线l的方程为y=- 1 x,即x+2y=0.
2
(2)当直线在y轴上的截距不为零时,由题意可设直线l的方程
为 x y 1,
3b b
又直线l过点P(-6,3),
∴ 6 3 1
,解得b=1.
3b b
∴直线l的方程为
x +y=1.源自3即x+3y-3=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0.
技 能 演 练(学生用书P71)
技能演练
基础强化
1.过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是( ) A.x=5 B.y=2 C.x=2 D.x+y=2
答案:C
2.在x,y轴上截距分别为4,-3的直线方程是( )
A. x y 1 B. x y 1
4 3
3 4
C. x y 1 D. x y 1
名师讲解
1.直线的两点式方程
如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,且y1≠y2),则直线l的 斜率为 k y2 y1 , 由直线的点斜式方程得
x2 x1
y
y1
y2 x2
y1 x1
(
x
x1
),即
高中数学 同步教学 直线的两点式方程
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的两点式方程
典例 1 在△ABC中,已知A(－3,2)、B(5,－4)、C(0,－2), (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解析] (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)、C(0，－2)，
数 学
∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55，
修
②
人 教
版
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第三章 直线与方程
[归纳总结] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐
标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为ax＋by＝1(ab≠0)，即为
截距式．用截距式可以很方便地画出直线．
(2)直线方程的截距式在结构上的特点：
直线方程的截距式为ax＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项
[解析] M(5－2 7，－22＋6)，即 M(－1,2)．
数 学 必 修 ② 人 教 版
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第三章 直线与方程
5．在△ABC中,已知点A(5,－2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中
点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程． [解析] (1)设点 C(x，y)，由题意得5＋2 x＝0，3＋2 y＝0．
得 x＝－5，y＝－3.故所求点 C 的坐标是(－5，－3)．
(2)点 M 的坐标是(0，－52)，点 N 的坐标是(1,0)，
数 学 必 修 ② 人
直线 MN 的方程是－y－52－00＝0x－－11，
教
即 5x－2y－5＝0．
版
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直线的两点式方程说课
说板书设计
说教材
1、教材所处的地位和作用
《直线的两点式方程》是人教版高中数学课
本必修2的第三章“直线与方程”2.2小节内容
本节是在学习了直线的倾斜角、斜率、直
线的点斜式、斜截式之后编排的，通过本节课的 学习，既可以对旧知识进一步巩固和深化，又可 以为后面学习“直线的一般方程”打下基础，所 以《直线的两点式方程》是本章的重要内容。
说教学过程
导入新课
我准备采用复习式导入法，让学生通过对旧知识
的复习，在老师的引导下自发的发现新的问题并提出 问题，这样可以使学生产生学习的欲望
新课讲授 先让学生自己动手解决提出的新问题，教师启发 式的引导学生解决新问题，这样有利于提高学生对知 识的串联、积累和解决问题的能力，从而达到举一反
三的效果
课后作业
P100A组4、8题，B组1题 思考：以前学过的直线方程可不可以用
同一种形式来表示它们？
3、重点难点
重点
直线的两点式方程的推导过程和对两点式方程的
理解学习
难点
直线两点式方程的推导过程
说教法
1、“读(看)---议---讲”结合法 2、教学过程中坚持启发式教学原则 教学程序
说学法
通过分析高一学生的心理特征，学生对以往的知识可
能有所遗忘，对直线方程的两点式的引入和推导学生
不易理解，所以在教学过程中我准备以引导式、提问 式的方式让学生主动联想到以往知识对本节知识学习 的作用,从而解决本堂课的难题
说教材
2、教学目标
①知识目标
a、掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围
b、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围
2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
特别提醒 应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率
不存在时，不能表示成斜截式方程．
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0 [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
B．－1
C．3
D．－3
[答案] B
2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是
________，在x轴上的截距是________.
[答案]
－2
3
3 2
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32， 即在 x 轴上的截距是32.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
特别提醒 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值
时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件．
跟踪练习
(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______. (2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0 ，所以a＝－1； (2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程 为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
规律总结
①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在． ②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2
高中数学必修2知识点总结：第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. ．．．．．4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在，则：k1 = k2 = L1∥L2或者．．L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件：⑴ 两条直线的斜率都不存在；⑵ 两条直线的斜率存在，且k1 = k2．．．（若已知两条直线的斜率存在且平行，则应k1 = k2 且纵截距不相等；若已知两条直线的斜率不存在且平行，则应横截距不相等）2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在，则：k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 ．．．．．②两条直线垂直的判定条件：⑴ 两条直线：一条斜率不存在，另外一条k =0 ；⑵ 两条直线的斜率存在：k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么：① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合．．．．两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0．．② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直．．★ 如果已知两条直线的一般式方程，则可以通过系数关系求解相应的参数的值。
直线的两点式方程
我快乐
第三章 直线与方程 3.2 直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程.
2.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.
复习巩固
1.直线l过点P(
x 0, y
0
)(1)斜率不存在时直线方程__________；
y
0 0
k x x y (2)斜率为k时点斜式方程 __________。
B x , y 4.A x , y 、 ，线段AB的中点坐标__________ 。 2
1 1 2
1 2
2
x1 x 2 , 2
y y
探究新知
1.已知直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)
(其中 x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ), 求直线l 的方程.
x x0
2.直线l过点P(2，-5 )
x2 (1)斜率不存在时直线方程_________ ；
3 y 5 x 2 (2)倾斜角为150°时点斜式方程__________; 3
x0 y 0 ；y轴所在直线方程_________. (3)x轴所在直线方程________
y kx b 。 3.直线l斜率为k且过点(0，b ）斜截式方程__________
其中a ≠ 0, b ≠ 0 , 求直线l 的方程.
2.直线 l与 x 轴的交点是 A(a, 0) ，与 y 轴的交点是 B(0, b) ，
新知应用
例1.△ABC的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，
求(1)BC边所在直线的方程; (2)BC边边上中线所在直线的方程。
数学必修二第三章直线与方程
*9.直线系过定点问题
含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题 的解法：
(1)特殊值法，利用不论参数取何值，方程都有解， 给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x、y的两个 方程，从中解出的x、y的值即为所求定点的坐标．
(2)分离参数法：经过将方程整理为m(A1x＋B1y＋ C1)＋A2x＋B2y＋C2＝0，则该方程表示 的直线一定过直线A1x＋B1y＋C1＝0和 A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而交点就 是定点．
一、知识讲解
1.直线方程 (1)坐标平面内，任意一条直线的方程都 是关于x、y的二元一次方程；每一个关于 x、y的二元一次方程都表示一条直线．
特别注意x＝a也是一条直线，此 直线垂直于x轴，直线上任意一 点的横坐标都是a
(2)常见表达式的几何意义 ① x2＋y2表示动点 P(x，y)到原点(0,0)的距离． (x－1)2＋(y＋2)2 表示动点 P(x，y)到定点(1，－2)的距离 的平方． ②yx表示动点 P(x，y)与原点连线的斜率． yx＋－23表示动点 P(x，y)与定点(3，－2)连线的斜率． ③|x＋2y－1|表示动点 P(x，y)到直线 x＋2y－1＝0 的距 离的 5倍等等．
(6)与直线y＝kx＋b平行的直线方程可设为y＝kx＋b1.
(7)与 y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程可设为 y＝－1kx
＋b1.
(8)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y ＋C2＝0的交点(A1B2－A2B1≠0)的直线方程可设为 (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2y＋B2y＋C2)＝0.
4.直线的方程
方程名称
方程形式
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
斜截式 两点式 截距式 一般式
必修②第三章直线与方程
§3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.一、课前准备（预习教材P 90~ P 91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※ 学习探究新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角l x x x l 叫做直线的倾斜角.αl 关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.x 注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..x 试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.记为.()2παα≠tan k α=试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当时，则 ；0o α=k ⑵当时，则 ；090o o α<<k ⑶当时，则 ；90oα=k ⑷当时，则 .090180o α<<k 新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠2121y y k x x -=-探究任务三：1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序1212(,),(,),A a a B b b ,A B 有关吗？2．当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？y y ※ 典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴；30οα=⑵；135οα=⑶；60οα=⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴；0k =⑵；1k =⑶；k =⑷不存在.k 例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝(2,3),(4,7)A B 角.2...[0,180)︒的坐标来111222(,),(,)P x y P x y 时，直线的斜率是不存在的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或0o 90οD ．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为αtan α2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）.(2,0),(5,3)A B --A ． B ． C ． D ．45ο135ο90ο60ο3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ).A.1 B.4 C.1或3 D.1或44. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .l αk αk 5． 已知直线l 1的倾斜角为1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角为________.α2α1.已知点，若直线l 过点(2,3),(3,2)A B --(1,1)P 且与线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.AB k 2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角.l 2211(2,()),(2,())A t B t t t-+-=12//l l ⇔1k 2k .如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？12l l ⊥.121k k =-⇔121k k =-，试判断直线与的位置关系, 并证明你的结论.(4,0),(3,1),(1,2)B P Q ---BA PQ 三点，求点D 的坐标，使直线，且.1),(2,2),(3,0)B C CD AB ⊥//CB AD4变式：已知，试判断三角形的形状.(5,1),(1,1),(2,3)A B C -ABC ※ 动手试试练1. 试确定的值，使过点的直线与过点的直线m (,1),(1,)A m B m -(1,2),(5,0)P Q -⑴平行； ⑵垂直练2. 已知点，在坐标轴上有一点，若，求点的坐标.(3,4)A B 2AB k =B 三、总结提升：※ 学习小结：1．或的斜率都不存在且不重合.1212//l l k k ⇔=12,l l 2．或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.12121l l k k ⊥⇔=-A 10k =2l 20k =1l※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）.A ．若，则12l l ⊥121k k =-A B ．若直线，则两直线的斜率相等12//l l C ．若直线、的斜率均不存在，则1l 2l 12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）.(1,2)A (3,2)B -1y =A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过与的直线与斜率为的直线互助垂直，则值为（）.(,3)m (2,)m l 4-m A ． B ． C ． D ．75-75145-1454. 已知三点在同一直线上，则的值为.(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -a 5． 顺次连结，所组成的图形是.(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --1.若已知直线上的点满足，直线上的点满足，1l 260ax y ++=2l 2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠试求为何值时，⑴；⑵.a 12//l l 12l l ⊥2． 已知定点，以为直径的端点，作圆与轴有交点，求交点的坐标.(1,3),(4,2)A B -,A B x C C§ 3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前准备：（预习教材P 101~ P 104，找出疑惑之处）复习1．已知直线都有斜率，如果，则12,l l 12//l l；如果，则.12l l ⊥2．若三点在同一直线上，则的值为.(3,1),(2,),(8,11)A B k C -k 3．已知长方形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点的坐标 ABCD (0,1),(1,0),(3,2)A B C D .4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方l 00(,)P x y k 00()y y k x x -=-程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴轴所在直线的方程是，轴所在直线的方程是.x y ⑵经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是.000(,)P x y x y ⑶经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是.000(,)P x y y x 问题4：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程.l k y (0,)b l新知2：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（intercept ）.直线l y (0,)b b l y 叫做直线的斜截式方程.y kx b =+注意：截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.b y 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题例1 直线过点，且倾斜角为，求直线的点斜式和斜截式方程，并画出直线.(1,2)-135οl l 变式：⑴直线过点，且平行于轴的直线方程 (1,2)-x ；⑵直线过点，且平行于轴的直线方程；(1,2)-x ⑶直线过点，且过原点的直线方程.(1,2)-例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴，在轴上的距截是－2；y ⑵ 斜角是，在轴上的距截是0135y变式：已知直线的方程，求直线的斜率及纵截距.3260x y+-=※动手试试练1. 求经过点，且与直线平行的直线方程.(1,2)23y x=-练2. 求直线与坐标轴所围成的三角形的面积.48y x=+三、总结提升：※学习小结1.直线的方程：⑴点斜式；⑵斜截式；这两个公式都只能在斜率存00()y y k x x-=-y kx b=+.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 过点，倾斜角为的直线方程是（）.(4,2)-135οA B20y++-=360y+++=C．D．40x--=40x+-=2. 已知直线的方程是，则（）.21y x+=--A．直线经过点，斜率为(2,1)-1-B．直线经过点，斜率为(2,1)--1C．直线经过点，斜率为(1,2)--1-D．直线经过点，斜率为(1,2)-1-3. 直线，当变化时，所有直线恒过定点（）.130kx y k-+-=kA．B．（3，1）C．D．(0,0)(1,3)(1,3)--4. 直线的倾斜角比直线的倾斜角大，且直线的纵截距为3，则直线的方程.l12y=+45οl5. 已知点，则线段的垂直平分线的方程.(1,2),(3,1)AB AB1. 已知三角形的三个顶点，求这个三角形的三边所在的直线方程.(2,2),(3,2),(3,0)A B C-2. 直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，求直线l(2,3)P-x y,A B P AB的方程.l6§ 3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.一、课前准备：（预习教材P105~ P106，找出疑惑之处）复习1：直线过点，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角(2,3)-为，纵截距为，则直线方程为.60ο3-2．与直线垂直且过点的直线方程为21y x=+(1,2).3．方程表示过点，斜率是，倾斜角是，在y轴上的截()331--=+xy__________________距是的直线.______4．已知直线经过两点,求直线的方程.l12(1,2),(3,5)P P l二、新课导学：※学习探究新知1：已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为112222(,),(,)P x x P x y1212(,)x x y y≠≠，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点1112122121(,)y y x xx x y yy y x x--=≠≠--式方程，简称两点式（two-point form）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例已知直线过，求直线的方程并画出图象.(1,0),(0,2)A B-新知2：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直l x(,0)A a y(0,)B b0,0a b≠≠线的方程叫做直线的截距式方程.l1=+byax注意：直线与轴交点（,0）的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点（0,）x a a x b的纵坐标叫做直线在轴上的截距.b y问题3：,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？a b问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※典型例题例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴；(2,1),(0,3)A B-⑵.(4,5),(0,0)A B--例2 已知三角形的三个顶点，(5,0),(3,3)A B--，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.(0,2)C BC,则.(,)M x y 2121,22x x y y x y ++==的值为（ ）.b 需满足条件( ),,A B C 的直线方程 .取到最小值时，求直线的方||||PA PB ⋅l .§ 3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P 107~ P 109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点，则直线的方程 .(0,4)⑵在轴上截距为，在轴上的截距为3的直线方程 .x 1-y ⑶已知点，则线段的垂直平分线方程是.(1,2),(3,1)A B AB 复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？,x y 二、新课导学：※ 学习探究新知：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，,x y 0Ax By C ++=简称一般式（general form ）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程中，为何值时，方程表示的直线⑴平行于轴；⑵平行0Ax By C ++=,,A B C x 于轴；⑶与轴重合；⑷与重合.y x y ※ 典型例题例1 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.(6,4)A -12例2 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上l 260x y -+=l x y 的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形⑴；⑵；⑶y 350x y +-=145x y-=；⑷；⑸.20x y +=7640x y -+=270y -=10※ 动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是，经过点；12-(8,2)A -⑵ 经过点，平行于轴；(4,2)B x ⑶ 在轴和轴上的截距分别是；x y 3,32-⑷ 经过两点.12(3,2),(5,4)P P --练2.设A 、B 是轴上的两点，点P 的横坐标为2，x 且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为，求直线PB 的方10x y -+=程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A 、B 不全为0）；0Ax By C ++=2．点在直线上00(,)x y 0Ax By C ++=⇔00Ax By +※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 斜率为，在轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.3-x A ． B ．360x y ++=320x y -+=C ．D ．360x y +-=320x y --=2. 若方程表示一条直线，则（ ）.0Ax By C ++= A ． B ．1A ≠0B ≠C ． D ．0AB ≠220A B +≠3. 已知直线和的夹角的平分线为，如果的方程是，那么的1l 2l y x =1l 0(0)ax by c ab ++=>2l 方程为（ ）.A ．B ．0bx ay c ++=0ax by c -+=C ．D ．0bx ay c +-=0bx ay c -+=4. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则.270x y ++=x a y b a b +=5. 直线与直线1:2(1)40l x m y +++=2:3l mx y+平行，则. 20-=m =1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线x y 的方程.2．光线由点射出，在直线上进行反射，已知反射光线过点，(1,4)A -:2360l x y +-=62(3,13B 求反射光线所在直线的方程.§ 3.1两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标； 2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.一、课前准备：（预习教材P 112~ P 114，找出疑惑之处）1．经过点，且与直线垂直的直线.(1,2)A -210x y +-+2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程，，如何判断这两条直线的1111:0l A x B y C ++=222:l A x B y +20C +=位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线，1:3420l x y +-=2:22l x y ++的交点坐标.0=变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴，；1:0l x y -=2:33100l x y +-=⑵，；1:30l x y -=2:630l x y -=⑶，.1:3450l x y +-=2:68100l x y +-=例2 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程.2330x y --=20x y ++=310x y +-=变式：求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.2330x y --=20x y ++=310x y +-=例3 已知两点，求经过两直线和的交点和线段(2,1),(4,3)A B -2310x y -+=3210x y +-=中点的直线的方程.AB l ※ 动手试试练1. 求直线关于直线对称的直线方程.20x y --=330x y -+=练2. 已知直线的方程为，直线1l 30Ax y C ++=2l 的方程为，若的交点在轴上，求的值.2340x y -+=12,l l y C 三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行..※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两直线的交点坐标为（ ）.12:210,:220l x y l x y ++=-++=A ． B ． C ． D ．13(,)2413(,)24-13(,24--13(,)24-2. 两条直线和的位置关系是（ ）.320x y n ++=2310x y -+=A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与的值有关n 3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）.2360x y +-=(1,1)-A ．B ．3220x y -+=2370x y ++=C ．D ．32120x y --=2380x y ++=4. 光线从射到轴上的一点后被轴反射，则反射光线所在的直线方程.(2,3)M -x (1,0)P x 5. 已知点，则点关于点的对称点的坐标.(5,8),(4,1)AB A BC 1. 直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围.54210x y m +--=230x y m +-=m 2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在a 1l 10ax y ++=2l 0x y a +-=第一象限及轴上.x§ 3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.一、课前准备：（预习教材P 115~ P 116，找出疑惑之处）1．直线，无论取任意实数，它都过点.0mx y m +-=m 2．若直线与直线的交点为，则.111:1l a x b y +=222:1l a x b y +=(2,1)-112a b -=3．当为何值时，直线过直线k 3y kx =+2x y-与的交点?10+=5y x =+二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知数轴上两点，怎么求的距离？,A B ,A B 问题2：怎么求坐标平面上两点的距离？及的中点坐标？,A B ,A B 新知：已知平面上两点，则.111222(,),(,)P x y P xy 12PP 特殊地：与原点的距离为.(,)P xy OP =※ 典型例题例1 已知点求线段的长及中点坐标.(8,10),(4,4)A B -AB 变式：已知点，在轴上求一点，使,并求的值.(1,2),A B -x PA PB =PA 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.）.D. 较差10分）计分：）.D ．3 ）三角形.＝10和2－＝10相交于一点，则的值（ ）.y x y a ．1-，使，则.P PA PB =PA =P (1，0)后被轴反射，则反射光线所在的直线的方程 x 3的交点，且垂直于第一条直线.0，：相交于一点，求证交点不可01=++y 2l 0=-+a y x.的坐标为，直线方程P 00(,)x y 中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直0A =0B =.到直线的距离.(1,0)B -34-1x y -0=：，：1l 2380x y +-=2l 23x y +，1l 10Ax By C ++=2:l平行且到的距离为2的直线方程.1260y -+=l ）. C. 一般 D. 较差5分钟 满分：10分）计分：的距离（ ）12530x y +-=C ． D ．14132813）.B.240x y +-=D.350x y +-= ）.B ．0x y +=D ．0x y -=2－1＝0和3x －2＋1＝0的距离y y 距离为1，且与点距离为2的直线共有条.(1,2)A (3,1)B ，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直(1,0)G -350x y +-=的，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.ABCD 60O BAD ∠=中，，ABC ∆(1,1),(5,1)A B .求45O .和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方3260x y ++=2570x y +-=，1:40l ax by -+=2:(1)l a x y-+的值.,a b ，并且直线与直线垂直；⑵直线与直线平行，并且坐标原点到3,1)-1l 2l 1l 2l .例5 过点作直线分别交轴、轴正半轴于两点，当面积最小时，求直线(4,2)P l x y ,A B AOB ∆的方程.l ※ 动手试试练1. 设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.l (2)3m x y m ++=m ⑴在轴上的截距为；l x 2-⑵斜率为.1-练2．已知直线经过点且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．l (2,2)-三、总结提升：※ 学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差5分钟 满分：10分）计分：1. 点关于直线对称的点的坐标是（）.(3,9)3100x y +-=A ．B.(1,3)--(17,9)-C ．D ．(1,3)-(17,9)-2．方程所表示的直线（ ）.(1)210()a x y a a R --++=∈A ．恒过定点 B ．恒过定点(2,3)-(2,3)C ．恒过点和D ．都是平行直线 (2,3)-(2,3)3．已知点到直线的距离等于1，则（ ）.(3,)m 40x +-=m= A B ．C ．D4．已知在过和的直线上，则.(3,)P a (2,1)M -(3,4)N -a =5． 将直线绕点按顺时针方向旋转，所得的直线方程是.2)y x =-(2,0)30o 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -.0=⑴若，试求的值；12//l l a ⑵若，试求的值12l l ⊥a 2．两平行直线分别过点和，12,l l 1(1,0)P (0,5)P ⑴若与的距离为5，求两直线的方程；1l 2l ⑵设与之间的距离是，求的取值范围.1l 2l d d。