河北省衡水中学2018届高三下学期全国统一联合考试(3月)数学(理)试题 (2)

2018年全国高三统一联合考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A
B
B.A
B
C.()U C A
B
D.()U C A B
2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1
z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )
A.实轴上
B.虚轴上
C.第三象限
D.第四象限
3.将()2n
x -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4
B.5
C.6
D.7
4.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )
B.
6π
C.
9π
5.设1F ，2F 分别是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为
半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( )
1
6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是单调减函数，则a 和θ的值是( )
A.1a =，3
π
θ=
B.1a =-，3
π
θ=
C .1a =，6
π
θ=
D.1a =-，6
π
θ=
7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的
值是( ) A.4-
B.4
C.2-
D.2
8.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3
B.4
C.5
D.6
10.已知向量()cos ,sin AB αα=，()cos ,sin BC ββ=，()cos ,sin CA γγ=，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅的值是( )
A.
1
2
B.1
2
-
C. 11.设函数()f x 定义如下表：
执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )
A.4
B.5
C.2
D.3
12.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的
轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2
B.4
C.8
D.12
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.
14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.
15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，cos A =
cos B =
c =则a =____________.
16.已知函数()x
x
f x e =，关于x 的方程()()2
20f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当221
1e c e -<<时，
方程有2个实根；④当2
21
e c e -<
时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知正项等比数列{}n a 满足()
*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设221
1
log log n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D
.
(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；
(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：
根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；
(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？
附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y x a β=+的斜率和截距
的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
n
i
i i n
i
i x
x y y
x
x
β==--=
-∑∑，a y x β=-.
②参考数据：
20.已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴
上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；
(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2
QM QN QP ⋅=，求点P 的横坐标0x 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x =.
(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.
(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.
22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭
，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与
极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；
(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。