概率论第一章4节

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第一章 概率论的基本概念
n个事件的相互独立性
§4 独立性
设 A1， A2， ， An 为n 个随机事件，如果下列 等式成立：
1 i j n P Ai A j P Ai P A j P A A A P A P A P A 1 i j k n i j k i j k P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P( Ain ) 1 i1 i 2 i m n P A1 A2 An P A1 P A2 P An
可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立； 由 可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立.
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P AB P A PB
§4 独立性
第一章 概率论的基本概念
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
§4 独立性
A 与 B、A 与 B 、A 与 B
也相互独立. 解：为方便起见，只证 A 与 B 相互独立即可 由于
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第一章 概率论的基本概念 相互独立事件至少发生其一的概率的计算
§4 独立性
若 A1 , A2 , An
是相互独立的事件，则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An )
特别地，如果
P( A) P(B) P( A)P(B)
0.7 0.8 0.7 0.8 0.94
另解
P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A) P( B) 0.94
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第一章 概率论的基本概念
例 3（不独立事件的例子）
§4 独立性
5）互不相容与相互独立不能同时成立。 设事件 A 与 B 满足： P APB 0
§4 独立性
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ； 若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
由于事件A与 B 相互独立，故
P AB P APB 0
所以，AB
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解：设B={密码能够被破译}
，i 1,2,3. Ai 第i个人破译密码
则：
PB P A1 A2 A3 1 PA1 A2 A3 1 PA1 PA2 PA3
234 3 1 345 5
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思考
• 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概 率为 p, p 1/ 2.问对甲而言，采用三局二胜制 有利，还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负 相对独立.
第一章 概率论的基本概念
1 P ABC 4
§4 独立性
由此可见
P AB P APB PBC PB PC P AC P APC
但是
1 1 P ABC P APB PC 4 8
这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但 不是相互独立的．
p( A1 ) p( A2 )
则有
p( An ) p
n P Ai 1 1 p n i 1
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第一章 概率论的基本概念
注
意
§4 独立性
假设独立重复地做n次某一试验E, A是某一随机 事件, Ai 表示第i次试验中A出现, 则前n次试验中 A至少出现一次的概率为
A A1 A2 A3 A4 .
L
1
2
3
4
R
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第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独 立性，得到
P( A) P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 A2 ) P( A3 A4 ) P( A1 A2 A3 A4 )
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第一章 概率论的基本概念
事件独立性的定义 设 A、B 是两个随机事件，如果
§4 独立性
P AB P A PB
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 P A 0
则 P B A P B P( AB) P( A) P ( B )
2 n 3 n n n n 0 n
1 n
2 1 n
n
个等式.
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第一章 概率论的基本概念
独立随机事件的性质
如果 A1， A2，
§4 独立性
， An 这 n 个随机事件相互独立．
则 Ai1，
， Aim， Aim1，
， Ain 这n 个随机事件也相互独立．
其中i1， i2， ， in 是1， 2， ， n 的一个排列．
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第一章 概率论的基本概念
说
明
§4 独立性
由例 1，可知 P(B) P(B A) 这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概 率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独 立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二 次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球 与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球 的概率自然也未改变． 由此，我们引出事件独立性的概念.
第一章 概率论的基本概念
由于AB =Φ，所以
§4 独立性
P AB P 0
但是，由题设
P APB 0
所以， P AB P APB
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
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第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我 们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意 义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立 性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的 公式进行计算。（例如甲、乙向同一目标射击， 有放回的摸球等等，但是不放回摸球不独立.）
得：PB P AB P A B

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第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
bb 1 ab b a ba b 1 a ba b 1 a b
P AB 而，PB A P A
b 1 a b 1
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜 色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 1 P A PB PC 2 1 P AB PBC P AC 18 返回主目录 4






则称 A1， A2， ， An 这 n 个随机事件相互独立．
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第一章 概率论的基本概念
Hale Waihona Puke 说 明在上面的公式中，
§4 独立性
2 3 第一行有 Cn 个等式，第二行有 Cn 个等式， ，最后 n 一行共有 Cn 个等式 因此共有
C C C 2 C C
PA B PB AB
注意到 AB B，由概率的可减性，得
PA B PB P AB
PB P APB 事件 A与 B的独立性 1 P A PB P A PB

所以，事件A 与 B相互独立．
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• 4）设两个事件A和B的概率都大于0且小于1，则 下面四个等式等价，即其中任何一个成立，另外 三个也成立：
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第一章 概率论的基本概念
证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故
P AB P APB P B 因此， PB A P A P A
2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 证明：由 PSA P A 1 P A PS P A
则称A、B、C是相互独立的随机事件．
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第一章 概率论的基本概念
注
意
§4 独立性
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立．
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第一章 概率论的基本概念
例 4
§4 独立性
第一章 概率论的基本概念
§4 独 立 性
目录索引
• 独 立 性
§4 独立性
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第一章 概率论的基本概念
例 1
§4 独立性
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }， 则
b P A ab 2 b P AB 2 a b
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第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果
§4 独立性
P AB P APB PBC PB PC P AC P APC P ABC P APB PC
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例 2（独立事件的例子） • 甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7， 乙投中的概率为0.8，求甲乙二人至少有一人投中 的概率。 解 记A=“甲投中”，B=“乙投中”，显然A与B A B 相互独立， 表示至少有一人投中，则：
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
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bb 1 a b a b 1 b ab
第一章 概率论的基本概念
因此
PB A PB
§4 独立性
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上， 由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球 的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发 生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也 应发生变化．或者说，第一次的摸球结果对第二次 摸球肯定是有影响的．