山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)数学试题(解析版)

山东省潍坊市2020届高三模拟（二模)数学试题一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【答案】C【解析】集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ． 2．若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+，又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C .4．以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为（ ）A ．()2214x y -+= B ．()2214x y ++= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=【答案】D【解析】抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1，准线方程为1y =-，圆与E 的准线相切，则2r，故圆方程为：()2214x y +-=.故选：D.5．设函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，则不等式f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0的解集为( ) A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，13） C ．（13，+∞） D ．（1，+∞）【答案】D【解析】由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94 B ．95C ．96D ．98【答案】B【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，则有19n +m ＝1349，则m ＝1349﹣19n ，所以90≤1349﹣19n ≤100，解得14565661919n ≤≤，因为年龄为整数，所以n ＝66，则m ＝1349﹣19×66＝95.故选：B 7．在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( )A B C D 【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，设球心为O ，则O 为AD 的中点，∴AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝1，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，OB ＝OC ＝OD 22=，BO ⊥AD ，BO ⊥OC ， ∴BO ⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：V B ﹣ACD1112222332ACDS BO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：y ＝±b x a，则点F （c ，0），A （c ，bca ），设点B （x 0，0bx a -），∵BF ∥OA ，∴OA BF k k =，即00bx b a a x c-=-，解得：x 02c =，所以(,)22c bc B a -，∴322c bc AB a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，22c bc OB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，又∵0AB OB ⋅=，∴2222344c b c a-+=0，即a 2＝3b 2．∵c 2＝a 2+b 2，∴a 2＝3（c 2﹣a 2），即3c 2＝4a 2，所以离心率e 233c a ==．故选：A ． 二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（ ）A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 【答案】BCD【解析】由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确． 故选：BCD10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b->- B ．11b aa b -<- C ．ln()0b a -> D ．()()ccab ba> 【答案】BD【解析】由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<，而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ） A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数 B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2【答案】AC【解析】由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确； ()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误． 故选：AC ．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //l B ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 【答案】BD【解析】若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确． 故选：BD ． 三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F ，且12,F F 与水平夹角均为45︒，12102N F F ==，则物体的重力大小为_________N .【答案】20【解析】由题意知12||=|F +F |G .12,FF 的夹角为2π.所以2222121122||||||+2||||cos+||2G F F F F F F π=+=.所以2||200+0+200=400G =.所以||20G =. 14．已知5024sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tanα＝_____． 【答案】3【解析】5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sinππαα-=--=，∴2235310sin sin[()][sin()cos()]4444ππππαααα=-+=-+-=⨯=，(0,)2πα∈，∴210cos1sinαα=-=，∴sintan3cosααα==．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【解析】由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．16．已知函数()3212311lnx xf xx x x≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____．【答案】﹣4 （0，14）【解析】当[1x∈，]e时，()f x lnx=，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln==，当[1x∈-，1)时，32()231f x x x=-+，则2()660f x x x'=-=时，1x=（舍)或0，且有()f x在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，因为()()123141f f-=--+=-<，故函数()f x在[1-，]e上的最小值为4-；令()t f x=，()0g x=即2t t a-=-，作出函数()y f x=的图象，如图所示：直线y t=与函数()y f x=的图象最多只有三个交点，所以01t<<，即说明方程2t t a-=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t=-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值． 【解析】（1）4B π=，23,3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得223sin 22sin 3a Bb A ===．（2）23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当b c =取“=”；ABC ∆∴面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）令1n =，得()1132321a b =+-=，所以11b =，令2n =，得211223(43)27a b a b +=+-⨯=，所以226a b =，又23b =，所以22a =， 设数列{}n a 的公比为q ， 则212a q a ==，所以12n n a ；（2）当2n ≥时，11122113[2(1)3]2n n n a b a b a b n ---+++=+--①又3311223(23)2n n n a b a b a b b n a +++=+-，②②–①113(23)23(25)2(21)2nn n n n a b n n n --⎡⎤=+--+-=-⎣⎦， 因为12n na ，所以21nb n =-，1n =时也成立，所以21n b n =-.111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 所以111111[(1)()()]23352121n T n n ==-+-++--+ 111111[(1)()]23213521n n =+++-+++-+ 11(1)22121nn n =-=++. 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析 【解析】（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ． 证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面F AC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩，取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1），平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ，则cosθ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥P A ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cosθ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cosθ21m n m n⋅==⋅ ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 【解析】（1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减． a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex +1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x ﹣ex +1，F ′（x ）＝e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x-=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。