高考复习理科数学专题强化训练：数形结合思想含解析
高考专题训练二十三数形结合思想
高考专题训练二十三数形结合思想第一篇：高考专题训练二十三数形结合思想原马：感觉还错三个对？弄对此迷，的时候应该呢钙？磨洗弥久而愈！姿态来果在行你？心恐：烧伤仅；务等技；带校音功可以很？说偏低；妄自尊大的。
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高考数学数形结合思想解析(与“练习”有关文档共14张)
,求
y+5 x+2
最大值和最小值。
3
-3 -2
O
3X
-3
-5
第6页，共14页。
练习1：已知x，y满足条件
பைடு நூலகம்x2
16
+
y2 25 =1
，
求y-3x的最值。
Y 5
y-3x最大值为： 13
y-3x最小值 为：-13
-4
O 4X
第7页，共14页。
-5
练习2：从点P(m , 3)向圆 (x+2)2 + (y+2) 2 =1
点的线段相交，则l 斜率的取值范围是------------。
Y
Y
M
[5,+∞) ∪(- ∞ ,
2 5]
2
y-3x最大值为： 13
O π2 π X -2 SSS求y围一段围yy[s[ys求练 围y段求练数ysS55((-(--iiiiiiinnnc333cc,,nnnny是象没是y习是没函习形++(((oooxxx--xxx∞∞33最最最sss-限 有 -3-有 数 5结------xx)):：-------的大的大大---内公公f合∪∪直------1111(22)2)已)---最值最值值===θ---有共共思((线)))-----)===知---=值为值为为--∞∞-两点点想sssl---iii双过---nnn。：。：：,,---个，，在---曲点------不则则《---111---111线M---333。。。同正正解(]]-的数数析1 ,交几aa2的的点何)且取取》,的则与值值中最m以范范的大的P围围应的(值取-为为2用右值和,----焦范---最3----点)--、小----为。。Q值F(4，。,0)为端
高考数学复习考点知识讲解与专项练习24---数形结合思想
4＝4a＋32， b＝ab＋32，解得
a＝18， 所以 b＝36，
ab＝18×36＝92.
数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从 图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象 的位置求解不等式．
1．若存在实数 a，对任意的 x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0 恒成立，则实数 m
△FMN
的面积
S＝12×2×8
5
58 ＝
5
5.故选
C.
10 / 10
A．
5 5
B．6 5 5
C．8 5 5
D．4 5 5
答案 C
解析 如图，设椭圆的右焦点为 F%，连接 MF%，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF%|＋|NF′|
≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线 x＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN| 2b2 8 5
＝a＝ 5 ，
又 c＝ a2－b2＝ 5－4＝1，所以此时
数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几 何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．
热点题型探究
热点 1 数形结合化解方程问题
2－x－1（x≤0）， 例 1 已知函数 f(x)＝ f（x－1）（x＞0），若方程 f(x)＝x＋a 有且只有两个不相等的实
答案 B
解析
→
→
设|AB|＝3a，|AC|＝b，则△ABC
的面积为12×3ab
sin
#3＝2
3，解得 ab＝83，由A→P
＝mA→C＋12A→B＝mA→C＋34A→D，且 C，P，D 三点共线，可知 m＋34＝1，即 m＝14，故A→P＝14A→C＋
2019年高考苏教版(理科)数学练习题之数形结合思想(含答案及解析)
2019年高考苏教版（理科）数学练习题之数形结合思想典例1设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．分析根据点集M，N中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．解如图，集合M表示以O(0,0)为圆心，r1＝2a为半径的上半圆，集合N表示以O′(1，3)为圆心，r2＝a为半径的圆．∵M∩N≠∅，∴半圆O和圆O′有公共点．当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．∵OO′＝2，∴外切时，2a＋a＝2，a＝22＋1＝22－2.内切时，2a－a＝2，a＝22＋2.∴a的最大值为22＋2，a的最小值为22－2.点评本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．典例2 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．分析 建立坐标系，用轨迹法． 解析 设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )， 由(2a －c )·(3b －c )＝0，有 (2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0， 化简整理得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132， 即向量c 的坐标(x ，y )在以M ⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，r ＝132为半径的圆上． 从而求|c |的最大值，即圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132上的点到坐标原点距离的最大值， 又坐标原点在此圆上，所以|c |的最大值为2r ＝26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．典例3 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k 的取值范围．解 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －2＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12，k <23，k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23. 点评 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂． 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下：1．“形”中觅“数”．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合．2．“数”上构“形”．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法．3．用图形分析的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观、形象地作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成． 跟踪演练1．(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝________.答案1解析 由题意得T 4＝2π4ω＝5π12－π6⇒ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，|φ|<π2⇒φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π6，周期为6，一个周期的和为零，所以∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝f (1)＝sin π2＝1. 2．(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos πx |，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos πx |， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos πx ，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示，有5个交点．所以h (x )总共有6个零点．3．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α，β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一 (1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)，所以原点到直线l 的距离小于半径1，即d ＝|0＋0＋a |r(32＋12)＝|a |2<1，所以－2<a <2. 又因为α，β∈(0,2π)，α≠β. 所以直线l 不过点(1,0)， 即3＋a ≠0，即a ≠－3， 即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠xOH ＝α＋β2，因为OH ⊥AB ， 所以k AB ·k OH ＝－1， 所以tan α＋β2＝33，因为α＋β2∈(0,2π)，所以α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象，由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知，当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C ，D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3，当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于A ，B 两点， 由对称性知α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)当a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)当a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝g x ，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2x ≠1，令y ′＝3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．即y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝gx ，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝hx ＝x 3＋x 2－xx ≠1，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (－1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－527， 画出草图如图．当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故当a ＝－527时恰有两个公共点．。
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
高考数学中的数形结合思维训练
高考数学中的数形结合思维训练数学作为一门科学，一直以来都被认为是一门干燥的学科，需要靠死记硬背来掌握。
但是，数学的实际运用却是非常广泛的，如果我们只是一味地灌输知识而缺乏对其应用的理解和体验，那么学习和应用数学都将变得毫无意义。
为了提高学生数学思维能力和数学应用能力，高考数学试卷中经常会出现数形结合的题目，因此，学会数形结合思维的训练，对于提高高考数学成绩具有重要作用。
数形结合指的就是在数学学科中，通过绘制图形的方式，能够更好地理解和解决问题。
这样可以让学生把数学中抽象的理论知识转化为具体的形象，从而达到更好的理解和应用。
数形结合训练的重点在于培养学生的立体思维和想象力，从而更好地进行推理和解决问题。
那么，在高考数学的试卷中，数形结合思维训练有哪些常见的形式和应用呢？下面我们就来介绍一下。
1.几何图形中的数量关系几何图形中的数量关系是数形结合的一种常见形式。
举一个例子，如果要求解一个正方体的底面积及体积，我们可以通过在底面绘制一个性质相同但数量不同的小正方形或小立方体，从而分别计算出底面积和体积。
这种方法既可以使学生进一步掌握几何图形的特性，也可以提高学生计算量的速度和准确度。
2.利用图像解决问题图像问题也是数形结合的一个经典例子。
通过对图形进行观察和分析，可以从中发现很多关于数值的规律。
通过对图像和数值关系的分析，可以让学生更好地理解问题和掌握解决问题的方法。
例如，通过让学生观察一个三角形的高与其底边的比例情况，可以让学生更好地理解三角形的面积公式。
3.解析几何与向量的运用解析几何和向量是数学中重要的概念。
通过数形结合的方法，可以方便地进行分析和推导。
例如，在计算两个坐标的距离时，如果将坐标点标在平面直角坐标系上，我们可以利用勾股定理得到一个解析式，从而解决问题。
以上只是数形结合在高考数学中的几种形式，还有很多其他的应用形式，例如平面几何中的计算、立体几何中的体积和表面积计算等等。
同时，还可以通过巧妙利用数形结合思维，解决其他学科中的问题，如物理中的运动问题，化学中的化学式和分子量计算等等。
高考复习理科数学专题强化训练：数形结合思想含解析
在同一坐标系中画出函数图象，得c<a<b，故选D.
答案：D
10．[20xx·大庆质检三]定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x)；②当x∈(1,2]时，f(x)＝2－x.若函数g(x)＝f(x)－logax(a>0且a≠1)恰有3个零点，则a的取值范围是( )
答案：C
2．[20xx·江淮十校模拟]函数f(x)＝ 的图象为( )
解析：由f(－x)＝－ ＝－f(x)，得f(x)的图象关于原点对称，排除选项C，D；当x>0时，得f(x)>0，排除选项B，故选A.
答案：A
3．[20xx·甘肃二诊]函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，如图所示，则方程(f(x))2－5f(x)＋6＝0的所有根之和为( )
答案：B
15．[20xx·福建龙岩质检]已知f(x)＝ ，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)－1－m＝0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：解方程[f(x)]2＋mf(x)－1－m＝0，得f(x)＝1或f(x)＝－m－1；解f(x)＝1得x＝0，所以方程f(x)＝－m－1有3个不是0的根．
答案：C
7．[20xx·湖南师大附中模拟]如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ＝( )
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. ＋
解析：根据题意，得 ＝ ( ＋ )，又 ＝ ＋ ， ＝ ，所以 ＝ ( ＋ ＋ )＝ ＋ ，故选D.
答案：D
8．[20xx·宣城第二次调研]已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝20xx＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
高考数学数形结合思想分析与讲解
高考数学数形结合思想分析与讲解所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
以“形”变“数” 虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。
解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。
“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。
解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。
一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。
实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。
数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。
要想提 高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。
基础自测：1.已知10<<a ，则方程x aa xlog =的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个 2.设数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=43m x m x M ，数集⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=n x n x N 31，且N M ,都是集合{}10≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的“长度”，那么集合N M 的长度的最小值为 A.31 B.32C.121D.1253.若奇函数)(x f 在()+∞,0上的增函数，有0)3(=-f ，则{}=<⋅0)(x f x x （ ） A.{}033<<->x x x 或 B.{}330-<<<x x x 或 C.{}33-<>x x x 或 D.{}0330<<-<<x x x 或 4.当y x ,满足条件1≤+y x 时，变量3-=y xu 的取值范围是（） A.[]3,3- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,31参考解析：1.解析 在同一坐标系下，画出函数y=a|x|， y=|logax|的图象，则图象有两个交点.2.解析 由题意知.集合M 的“长度”为43，集合N 的“长度”为31，而集合{x|0≤x ≤1}的“长度” 为1；设线段AB=1，41,43==b a ，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N.如图，显然当a ，b 各自靠近AB 两端时，重叠部分最短,其值为12113143=-+ . 答案 C3.解析 由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，如图，如右图中找出f(x)与x 异号 的部分，可以看出x ·f(x)＜0的解 集为{x|0＜x ＜3或-3＜x ＜0}. 答案 D4.解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1的图象如右图阴影部分， ①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;②若x ≠0时，变量 可看成点A (0，3)与可行域内的点B 连线斜率k 的 倒数,而k ∈(-∞,-3]∪[3,+∞),典型例题讲解题型一 代数问题“几何化”——以形助数【例1】求函数m m A -++=642的值域。
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二、填空题
16．已知函数f(x)＝ 若|f(x)|≥ax、则a的取值范围是________．
解析：画出函数|f(x)|的图象、数形结合求解．
作出函数y＝|f(x)|的图象、如图、
当|f(x)|≥ax时、必有k≤a≤0、其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率、显然、k＝－2.
∴a的取值范围是[－2,0]．
当x≥1时、f(x)＝ 、f′(x)＝ 、所以f(x)在(1、e)上单调递增、在(e、＋∞)上单调递减；f(1)＝0、f(e)＝ 、且x>1时、 >0；
当x<1时、f(x)＝－(x－1)3在(－∞、1)上是减函数、则f(x)的大致图象如下：
所以若使方程f(x)＝－m－1有3个不是0的根、则0<－m－1< 、即－1－ <m<－1、所以实数m的取值范围为 、故选B.
答案：D
5．[20xx·河南郑州质检三]我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观、形缺数时难入微、数形结合百般好、隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中、常用函数的图象来研究函数的性质、也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征、则函数f(x)＝ 的图象大致是( )
解析：因为函数f(x)＝ 、f(－x)＝ ＝ ≠f(x)、所以函数f(x)不是偶函数、图象不关于y轴对称、排除A、B选项；又因为f(3)＝ 、f(4)＝ 、所以f(3)>f(4)、而选项C在x>0是递增的、排除C、故选D.
解析：作出图形、如图所示．
过点F作FF′⊥AA′、垂足为F′.设|AF′|＝3x.
因为cos∠FAA′＝ 、
所以|AF|＝5x、|FF′|＝4x.
由抛物线定义可知、|AF|＝|AA′|＝5x、
则|A′F′|＝2x＝p、所以x＝ 、四边形AA′PF的面积S＝ ＝
＝14、解得p＝2、所以抛物线C的方程为y2＝4x、故选B.
答案：A
4．[20xx·河南八市五模]已知椭圆C： ＋ ＝1(a>0、b>0)的右焦点为F、过点F作圆x2＋y2＝b2的切线、若两条切线互相垂直、则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：如图、由题意可得、 b＝c、则2b2＝c2、
即2(a2－c2)＝c2、则2a2＝3c2、∴ ＝ 、
即e＝ ＝ 、故选D.
A. B．(1,2]
C．(2,3]D．(3,4]
解析：由题意得方程f(x)＝logax(a>0且a≠1)有三个解、所以函数y＝f(x)和y＝logax的图象有三个交点．因为对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x)、所以函数y＝f(x)是周期为1的函数．又当x∈(1,2]时、f(x)＝2－x、画出函数y＝f(x)的图象、如下图所示．－y2＝1的左、右焦点、P为双曲线上任意一点、过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线、垂足为H、则|OH|＝________.
解析：不妨设P在双曲线的左支上、如图、
延长F1H交PF2于点M、由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M、故△PF1M为等腰三角形、|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点、所以OH为△MF1F2的中位线、所以|OH|＝ |MF2|＝ (|PF2|－|PM|)＝ (|PF2|－|PF1|)＝1.
A．2B.
C．1D.
解析：将长方体中含有ABD1的平面取出、过点A作AM⊥BD1、垂足为M、延长AM到AP、使MP＝AM、则P是A关于BD1的对称点、如图所示．
过P作PE⊥BC1、垂足为E、连接PB、PC1、依题意AB＝1、AD1＝ 、BD1＝2、∠ABD1＝60°、∠BAM＝30°、∠PBE＝30°、PE＝ 、BE＝ 、所以PC1＝1、故选C.
解析：如图、方程x＋3＝ 、 x＝ 、 x＝x＋3的根转化为y＝x＋3和y＝ 和y＝x＋3、y＝ x、y＝ x和y＝ 的交点问题．
在同一坐标系中画出函数图象、得c<a<b、故选D.
答案：D
10．[20xx·大庆质检三]定义在R上的函数f(x)同时满足：①对任意的x∈R都有f(x＋1)＝f(x)；②当x∈(1,2]时、f(x)＝2－x.若函数g(x)＝f(x)－logax(a>0且a≠1)恰有3个零点、则a的取值范围是( )
答案：1
19．设平面点集A＝{(x、y)|(y－x) ≥0}、B＝{(x、y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}、则A∩B所表示的平面图形的面积为________．
解析：不等式(y－x) ≥0可化为 或 集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合、A∩B所表示的平面区域如图阴影部分所示．由于曲线y＝ 、圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称、所以阴影部分占圆面积的一半．
高考复习理科数学专题强化训练：数形结合思想含解析
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(二)数形结合思想
一、选择题
1．[20xx·金华十校模拟]在下面四个x∈[－π、π]的函数图象中、函数y＝|x|sin2x的图象可能是( )
解析：因为f(－x)＝|－x|sin(－2x)＝－|x|sin2x＝－f(x)、即f(x)是奇函数、图象关于原点对称、排除B、D；当x＝π时、f(π)＝πsin2π＝0、排除A、故选C.
答案：5
A．a>c>d>bB．a>d>c>b
C．c>d>a>bD．c>a>b>d
解析：由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)、则f(x)＝20xx＋g(x)、所以g(x)＝0的两个根是a、b、由题意知f(x)＝0的两根c、d、也就是g(x)＝－2 019的两根、画出g(x)以及直线y＝－2 019的大致图象、
答案：
20．已知函数f(x)＝－2x2＋1、函数g(x)＝ 则函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数为________．
解析：函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数、即|f(x)|－g(x)＝0的根的个数、可得|f(x)|＝g(x)、画出函数|f(x)|、g(x)的图象如图所示、观察函数的图象、知它们的交点为5个、即函数的零点个数为5.
答案：D
6．[20xx·湖北重点中学起点考试]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F、准线为l、O为坐标原点、点M在C上、直线MF与l交于点N.若∠MFO＝ 、则 ＝( )
A. B.
C. D.
解析：如图、作MQ垂直l于Q、则在Rt△MQN中、∠MQN＝ 、∠MNQ＝ 、所以 ＝ ＝ 、故选C.
答案：C
14．[20xx·山西晋城三模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F、准线为l、l与x轴的交点为P、点A在抛物线C上、过点A作AA′⊥l、垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14、且cos∠FAA′＝ 、则抛物线C的方程为( )
A．y2＝8xB．y2＝4x
C．y2＝2xD．y2＝x
答案：[－2,0]
17．已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上面依次为A、B、C、D四点、则|AB|＋|CD|＝________.
解析：如图所示、圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝1、抛物线的焦点为F(2,0)、准线x＝－2.由 得x2－12x＋4＝0、设直线与抛物线交于A(xA、yA)、D(xD、yD)、则xA＋xD＝12.|AB|＋|CD|＝(|AF|－|BF|)＋(|DF|－|CF|)＝(|AF|－1)＋(|DF|－1)＝|AF|＋|DF|－2、由抛物线的定义得|AF|＝xA＋2、|DF|＝xD＋2、故|AB|＋|CD|＝(|AF|＋|DF|)－2＝xA＋xD＋2＝14.
答案：C
7．[20xx·湖南师大附中模拟]如图所示、在正方形ABCD中、E为AB的中点、F为CE的中点、则 ＝( )
A. ＋ B. ＋
C. ＋ D. ＋
解析：根据题意、得 ＝ ( ＋ )、又 ＝ ＋ 、 ＝ 、所以 ＝ ( ＋ ＋ )＝ ＋ 、故选D.
答案：D
8．[20xx·宣城第二次调研]已知a、b、c、d都是常数、a>b、c>d.若f(x)＝20xx＋(x－a)(x－b)的零点为c、d、则下列不等式正确的是( )
答案：C
2．[20xx·江淮十校模拟]函数f(x)＝ 的图象为( )
解析：由f(－x)＝－ ＝－f(x)、得f(x)的图象关于原点对称、排除选项C、D；当x>0时、得f(x)>0、排除选项B、故选A.
答案：A
3．[20xx·甘肃二诊]函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称、如图所示、则方程(f(x))2－5f(x)＋6＝0的所有根之和为( )
A. B.
C. D.
解析：如图、由AB＝3、AD＝4、
得BD＝ ＝5、
AE＝ ＝ .
· ＝ ·( ＋ )＝ · ＋ · ＝ · ＋ · .
∵AE⊥BD、∴ · ＝0.
∵ · ＝| || |cos∠EAO＝| || |· ＝| |2＝ 、
∴ · ＝ 、故选B.
答案：B
12．[20xx·陕西榆林三模]已知函数f(x)＝|ln|1＋x||、若存在互不相等的实数x1、x2、x3、x4、满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)、则f ＝( )
A．0B．1
C．2D．4
解析：作出函数f(x)＝|ln|1＋x||的图象、如图所示．
函数f(x)＝|ln|1＋x||关于x＝－1对称、即x1＋x4＝－2、x2＋x3＝－2、所以f ＝f(－2)＝0、故选A.
答案：A
13．[20xx·湖南师大附中模拟]长方体ABCD－A1B1C1D1中、AB＝BC＝1、BB1＝ 、设点A关于直线BD1的对称点为P、则P与C1两点之间的距离为( )
则与f(x)交点横坐标就是c、d、f(x)与x轴交点就是a、b.